1. Le cas de \overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p} et du Gr^{1}B_{dR}^{+}

Voici comment je vois le lien entre B_{dR}^{+}/Fil^{2}B_{dR}^{+} et le complexe cotangent. Je note C =

ˆ\overline{ℚ}_{p}. On regarde A_{inf} ⟶^{θ} O_{C} l’épaississement infinitésimal p-adique universel de O_{C}. Pour tout

entier n ≥ 1, l’épaississement infinitésimal p-adique d’ordre ≤ n est A_{inf}/Fil^{n+1}A_{inf} ⟶^{θ} O_{C} où Fil^{n+1}A_{inf} = (ker θ)^{n+1} et par définition,

B_{dR}^{+}/Fil^{n+1}B_{dR}^{+} = (A_{inf}/Fil^{n+1}A_{inf})[\frac{1}{p}].

Je vais maintenant regarder les épaississements d’ordre ≤ 1. Puisque \overline{ℤ}_{p} est une union croissante de ℤ_{p}-algèbres syntomiques génériquement étales, l’augmentation du complexe cotangent induit un quasi-isomorphisme

𝕃_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}} ⟶^{∼} Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1}.

Jean-Marc a calculé Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1}: l’application

dlog : μ_{p^{∞}}(\overline{ℤ}_{p}) ⟶ Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1}

induit un isomorphisme

(\overline{ℤ}_{p}/𝔞)(1) ⟶^{∼} Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1}

où 𝔞 = \{x ∈ \overline{ℤ}_{p} | v(x) ≥ −\frac{1}{p−1}\}. On note en particulier que c’est un \overline{ℤ}_{p}-module p-divisible.

Soit maintenant A ↠ O_{C} un épaississement infinitésimal d’ordre ≤ 1 de noyau l’idéal de carré nul I et tel que A soit p-adiquement complet. Pour tout n ≥ 1 on a donc un épaississement infinitésimal d’ordre ≤ 1, A/p^{n}A ↠ \overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p} de noyau I/p^{n}I. Étudions de tels épaississements de \overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p} par des ℤ/p^{n}ℤ-algèbres. Le point crucial est qu’ils sont rigides. En effet, il résulte de ce que Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1} est p-divisible que

Ω_{(\overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p})/ℤ_{p}}^{1} = Ω_{(\overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p})/(ℤ/p^{n}ℤ)}^{1} = 0

et de tels épaississements ne possèdent donc pas d’automorphismes autres que l’identité. En d’autres termes, \overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p} possède un épaississement infinitésimal d’ordre ≤ 1 par une ℤ/p^{n}ℤalgèbre universel

u_{n} : A_{n} ↠ \overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p}

avec

ker u_{n} = H^{−1}(𝕃_{(\overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p})/(ℤ/p^{n}ℤ)}).

Maintenant, puisque \overline{ℤ}_{p} est plat sur ℤ_{p}, il y a un quasi-isomorphisme

𝕃_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}} ⊗_{\overline{ℤ}_{p}} \overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p} ⟶^{∼} 𝕃_{(\overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p})/(ℤ/p^{n}ℤ)}.

Mais puisque 𝕃_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}} ⟶^{∼} Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1} avec Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1} p-divisible, dans la catégorie dérivée des \overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p}- modules, il y a un isomorphisme

𝕃_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}} ⊗_{\overline{ℤ}_{p}} \overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p} ≃ [Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1}[p^{n}]_{−1} ⟶ 0]

où Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1}[p^{n}] sont les éléments annulés par p^{n} dans Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1}. On a donc

ker u_{n} = H^{−1}(𝕃_{(\overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p})/(ℤ/p^{n}ℤ)}) = Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1}[p^{n}].

Le tiré en arrière de l’épaississement u_{n} via \overline{ℤ}_{p}/p^{n+1}\overline{ℤ}_{p} → \overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p}, c’est à dire le produit fibré du diagramme

\xymatrix{ & \overline{ℤ}_{p}/p^{n+1}\overline{ℤ}_{p} \ar@{->>}[d] \\ A_{n} \ar[r] & \overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p}.}

est un épaississement de \overline{ℤ}_{p}/p^{n+1}\overline{ℤ}_{p}. Par la propriété universelle de u_{n+1}, cela nous fournit un morphisme d’épaississements

\xymatrix{A_{n+1} \ar@{->>}[r]^{u_{n+1}} \ar[d] & \overline{ℤ}_{p}/p^{n+1}\overline{ℤ}_{p} \ar@{->>}[d] \\ A_{n} \ar@{->>}[r]^{u_{n}} & \overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p}.}

En retraçant les diverses identifications, le morphisme associé

ker u_{n+1} ⟶ ker u_{n}

est donné par

Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1}[p^{n+1}] ⟶^{×p} Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1}[p^{n}].

Une fois de plus, puisque Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1} est p-divisible on en déduit que

A_{n+1} ⊗_{\overline{ℤ}_{p}/p^{n+1}\overline{ℤ}_{p}} \overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p} ⟶^{∼} A_{n}.

Alors,

u : lim_{⟵}_{n} A_{n} ↠ O_{C}

est un épaississement infinitésimal d’ordre ≤ 1 de noyau

T_{p}(Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1}) = 𝔞̂(1).

On retrouve donc le résultat de la section 1.4 de [1] grâce au complexe cotangent.

2. Le cas de \overline{R}/R plus généraux et du Gr^{1}

Les raisonnements précédents montrent que si A est une ℤ_{p}-algèbre sans p-torsion, B une Aalgèbre qui est une limite inductive filtrante de A-algèbres syntomiques génériquement étales (sur un ouvert schématiquement dense) et Ω_{B/A}^{1} est p-divisible alors B̂, le complété p-adique de B, possède un épaississement p-adique infinitésimal d’ordre ≤ 1 universel (par épaississements on entend ceux de A-algèbres)

u : E ↠ B

avec

ker u = T_{p}(Ω_{B/A}^{1}).

Supposons maintenant que R est une ℤ_{p}-algèbre intégre lisse munie d’un morphisme étale

ℤ_{p}[T_{1}^{±1}, …, T_{d}^{±1}] ⟶ R.

On note comme d’habitude \overline{R} le normalisé de R dans l’extension maximale de Frac(R) étale en dehors de p (après choix d’une clôture algébrique de Frac(R) i.e. Aut(\overline{R}/R) = π_{1}(Spec(R), η̄) pour un point géométrique au dessus du point générique de Spec(R)). On note

R_{∞} ⊂ \overline{R}

l’anneau obtenu en ajoutant \overline{ℤ}_{p} et toutes les racines p^{n}-ièmes pour tout n des T_{i}, 1 ≤ i ≤ d, à R. Il satisfait aux hypothèses précédentes et on a donc un épaississement infinitésimal d’ordre ≤ 1 de R̂_{∞} de noyau T_{p}(Ω_{R_{∞}/R}^{1}) que l’on peut calculer explicitement.

Maintenant, d’après Faltings, \overline{R}|R_{∞} est presque étale au sens où pour tout i ≤ 0, H^{i}(𝕃_{\overline{R}/R_{∞}}) est annulé par p^{ϵ} pour tout ϵ > 0 (ce n’est pas la définition de Faltings, mais de toutes façons ça devrait être la bonne définition au sens où si sa définition n’est pas équivalente à celle là alors c’est qu’il s’est trompé de définition). Appliquant cela on en déduit que 𝕃_{R_{∞}/R} ⊗_{R_{∞}} \overline{R} → 𝕃_{\overline{R}/R} est un presque quasi-isomorphisme. Utilisant cela on en déduit que

Gr^{1}B_{dR}^{+}(\overline{R}) = V_{p}(Ω_{\overline{R}/ℤ_{p}}^{1})

que l’on peut calculer explicitement.

3. Lien entre le complexe de de Rham dérivé et B_{dR}

Je vais admettre le fait suivant qui doit s’obtenir en chassant dans les diagrammes. Soit B une A-algèbre et 𝕃Ω_{B/A}^{•} son complexe de de Rham dérivé comme dans ta thèse. Je suppose que Ω_{B/A}^{1} = 0. Je regarde l’anneau filtré H^{0}(𝕃Ω_{B/A}^{•}). On a alors Gr^{0}H^{0}(𝕃Ω_{B/A}^{•}) = B et Gr^{1}H^{0}(𝕃Ω_{B/A}^{•}) = H^{−1}(𝕃_{B/A}). On a donc un épaississement

H^{0}(𝕃Ω_{B/A}^{•})/Fil^{2}H^{0}(𝕃Ω_{B/A}^{•}) ↠ B

de noyau H^{−1}(𝕃_{B/A}). Cet épaississement est donné via l’isomorphisme de ta thèse

Extalg_{A}(B, H^{−1}(𝕃_{B/A})) ⟶^{∼} Ext_{B}^{1}(𝕃_{B/A}, H^{−1}(𝕃_{B/A})) = Hom_{B}(H^{−1}(𝕃_{B/A}), H^{−1}(𝕃_{B/A}))

par un morphisme

H^{−1}(𝕃_{B/A}) ⟶ H^{−1}(𝕃_{B/A})

dont je vais admettre que c’est un isomorphisme (c’est sûrement ±Id) i.e. l’épaississement précédent est l’épaississement universel d’ordre ≤ 1 de B.

Proposition 1. Soit le complexe D = lim_{⟵}_{n} 𝕃Ω_{(\overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p})/(ℤ/p^{n}ℤ)}^{•} muni de sa structure multiplica-

tive D ⊗_{ℤ_{p}} D → D et de sa filtration de Hodge. Alors, l’anneau filtré H^{0}(D) est tel qu’il y ait des isomorphismes compatibles H^{0}(D)/Fil^{k}H^{0}(D) ⟶^{∼} A_{inf}/Fil^{k}A_{inf}.

Démonstration. On a (cf. ta thèse page 277 volume II)

Gr^{i}D = (R lim_{⟵}_{n} ∧^{i} 𝕃_{(\overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p})/(ℤ/p^{n}ℤ))})[−i].

D’après les calculs précédents,

𝕃_{(\overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p})/(ℤ/p^{n}ℤ))} = (Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1}[p^{n}])[1].

qui est un \overline{ℤ}_{p}/p^{n}\overline{ℤ}_{p}-module libre de rang 1 (le symbole “[p^{n}]”désigne les points de p^{n}-torsion et “[1]”un décalage). D’après la formule de décalage (I.4.3.2.1 de ta thèse volume I)

∧^{i}((Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1}[p^{n}])[1]) ≃ (Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1}[p^{n}])^{⊗i}[i].

dans la catégorie dérivée. Il faut vérifier divers résultats de compatibilité lorsque n varie pour obtenir que

Gr^{i}D ≃ T_{p}(Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1})^{⊗i}[i]

où la structure multiplicative

Gr^{i}D × Gr^{j}D ⟶ Gr^{i+j}D

est donnée par le morphisme évident

T_{p}(Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1})^{⊗i}[i] ⊗ T_{p}(Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1})^{⊗j}[j] ⟶ T_{p}(Ω_{\overline{ℤ}_{p}/ℤ_{p}}^{1})^{⊗(i+j)}[i + j].

Soit k ≥ 1. Regardons l’épaississement infinitésimal

H^{0}(D)/Fil^{k}H^{0}(D) ↠ O_{C}.

D’après la propriété universelle de A_{inf} ⟶^{θ} O_{C} il y a un morphisme d’épaississements

\xymatrix{A_{inf}/Fil^{k}A_{inf} \ar[dd]_{f} \ar[dr]^{θ} \\  & O_{C} \\ H^{0}(D)/Fil^{k}H^{0}(D) \ar[ur]}

qui d’après le fait admit avant cette proposition induit un iromorphisme

Gr^{1}A_{inf} ⟶^{∼} Gr^{1}H^{0}(D).

Or on sait (cela résulte de ce que ker θ est engendré par un élément régulier) que pour i ≥ 1

(Gr^{1}A_{inf})^{⊗i} ⟶^{∼} Gr^{i}A_{inf}

et de même pour H^{0}(D) comme on l’a vu précédemment. Le morphisme f précédent d’anneaux filtrés induit donc un isomorphisme sur les gradués. C’est donc un isomorphisme. □

Comme dans la section précédente, tout cela doit se généraliser “sans problème”à des situations relatives telles que celles considérées par Faltings.

References

[1] Jean-Marc Fontaine. Le corps des périodes p-adiques. Astérisque, (223):59–111, 1994. With an appendix by Pierre Colmez, Périodes p-adiques (Bures-sur-Yvette, 1988).