DUALITÉ DE POINCARÉ ET INVOLUTION DE ZELEVINSKY DANS

LA COHOMOLOGIE ÉTALE ÉQUIVARIANTE DES ESPACES ANALYTIQUES RIGIDES

par

Laurent Fargues

Introduction

1. Dualité dans la catégorie des représentations lisses d’un groupe p-adique

1.1. Hypothèses et notations. — Soit p un nombre premier et Λ un anneau dans lequel p est inversible. Ce sera l’anneau des coefficients de nos représentations. On suppose que Λ est un anneau local de Gorenstein de dimension zéro. Le foncteur défini sur la catégorie des Λ-modules V ↦ V^{∗} = Hom_{Λ}(V, Λ) est alors exact et si V est de type fini l’application de bi-dualité V ⟼ (V^{∗})^{∗} est un isomorphisme. Ainsi la théorie de la dualité pour un tel Λ est identique à celle des corps. Nous introduisons cette hypothèse car nous allons nous intéresser à une théorie de la dualité pour les représentations d’un groupe à coefficients dans Λ et cette hypothèse permet d’exclure toutes les extensions provenant des coefficients et de se concentrer sur le groupe.

Dans la pratique on s’intéresse essentiellement au cas où Λ est un corps de caractéristique différente de p ou bien de la forme O_{λ}/ϖ_{λ}^{n} avec O_{λ} l’anneau des entiers d’une extension de degré fini de ℚ_{ℓ}, ℓ ≠ p, d’uniformisante ϖ_{λ}.

Soit G un groupe topologique localement profini possédant un voisinage de l’élément neutre qui est un pro-p-groupe.

Nous nous intéresserons à la catégorie des représentations lisses de G à coefficients dans des Λ-modules notée Λ[G]−Mod_{∞}. Souvent Λ sera sous-entendu mais toutes les représentations seront à coefficients dans cet anneau et tous les morphismes seront des morphismes de Λ-modules. Nous noterons Λ[G]−Mod la catégorie des Λ[G]-modules.

Nous fairons l’hypothèses suivante :

(⋆) Toute sous-représentations d’une représentation lisse de type fini de G à coefficients dans Λ est de type fini.

Cette hypothèse est satisfaite lorsque G = \underline{G}(F) où F est un corps local non-archimédien, \underline{G} est un groupe réductif sur F et l’une des deux conditions suivante est vérifiée :

– Λ est un corps de caractéristique 0 ([9])

– Λ est quelconque et \underline{G} est classique ([7])

Rappelons que la catégorie Λ[G]−Mod_{∞} possède suffisemment d’injectifs (grâce à l’induction lisse) et de projectifs (grâce à l’induction lisse à support compact à partir de sous-groupes compacts ouverts pro-p). Pour ∗ ∈ {+, −, b} on considérera 𝔻^{∗}(Λ[G]_{∞}) les catégories dérivées associées. Grâce à l’hypothèse (⋆) on a des sous-catégories triangulées 𝔻_{tf}^{∗}(Λ[G]_{∞}) formées des complexes à cohomologie des représentations de type fini. De plus (⋆) implique que la catégorie des représentations lisses de type fini est une sous-catégorie abélienne de Λ[G]−Mod_{∞} qui possède suffisemment de projectifs. Donc pour ∗ ∈ {−, b} la catégorie 𝔻_{tf}^{∗}(Λ[G]_{∞}) s’identifie également à la catégorie dérivée des G-modules lisses de type fini à cohomologie bornée en fonction de ∗.

Enfin on notera que si G = \underline{G}(F) avec \underline{G} un groupe réductif sur le corps local F et Λ est un corps de caratéristique banale, c’est à dire première à l’ordre de tous les sous-groupes compacts ouverts dans G, alors Λ[G]−Mod_{∞} est de dimension projective finie (cf. [18] où le cas de caractéristique zéro est traité, mais les méthodes de [18] s’étendent aussitot au cas de caractéristique banale).

1.2. Le foncteur de dualisation. — Soit H l’algèbre de convolution des distributions lisses à support compact sur G à valeurs dans Λ. Il s’agit d’un G × G-module lisse via

∀f ∈ H, ∀(g_{1}, g_{2}) ∈ G × G, (g_{1}, g_{2}).f = δ_{g_{1}} ∗ f ∗ δ_{g_{2}^{−1}}.

Après choix d’une mesure de Haar sur G (qui existe puisque p est inversible dans Λ et G possède un sous-groupe ouvert pro-p) on a une identification H = C_{c}^{∞}(G). La structure de bi-module est alors

∀f ∈ C_{c}^{∞}(G), ((g_{1}, g_{2}).f)(•) = f(g_{1}^{−1} • g_{2}).

Définition 1.1. — Soit π une représentation lisse de G. On pose

D^{n}(π) = Hom_{G}(π, H)

où les G-homomorphismes sont ceux pour la structure de G-module sur H via l’action à gauche de G sur lui-même. L’action à droite de G sur lui-même induit une structure de G-module en posant

∀f ∈ Hom_{G}(π, H), ∀g ∈ G, (g.f)(•) = f(•g).

Cela définit un foncteur contravariant exact à droite

D^{n} : Λ[G]−Mod_{∞} ⟶ Λ[G]−Mod

et donc

D^{n} : 𝔻^{−}(Λ[G]_{∞}) ⟶ 𝔻^{+}(Λ[G]).

En général si π est lisse D^{n}(π) ne l’est malheureusement pas. Par exemple D^{n}(C_{c}^{∞}(G)) n’est pas lisse ; si g ∈ G l’application de translation φ ↦ φ ∗ δ_{g} est un élément de D^{n}(C_{c}^{∞}(G)) qui n’est pas un vecteur lisse. On serait tenté afin de réparer cela de composer ce foncteur avec le foncteur de lissification

∞_{G} : Λ[G]−Mod ⟶ Λ[G]−Mod_{∞}
π ⟼ lim_{⟶}_{K} π^{K} = {vecteurs lisses de π}.

Au final c’est ce que l’on va faire, cependant prendre ce point de vue serait une mauvaise idée car cela conduirait à de sérieux problèmes dans la suite faisant intervenir les foncteurs dérivés de ∞_{G} qui ne sont pas vraiment sympathiques. En effet, dans la suite on va d’abord construire des quasi-isomorphismes entre certains complexes d’objets de Λ[G]−Mod puis on voudra appliquer un foncteur de lissification afin d’obtenir des résultats dans Λ[G]−Mod_{∞}. Pour cela il faut utiliser un autre foncteur de lissification.

Voici comment réparer ce problème en utilisant une idée de Jean-François Dat que l’on trouvera dans l’appendice B de [8] (dans cet article Dat introduit cela pour résoudre un autre problème, mais l’idée est la même : il faut se débarasser des foncteurs dérivés de ∞_{G}).

Notons D_{c} = D_{c}(G) l’algèbre de convolution des distributions à support compact sur G à valeurs dans Λ. On a H ⊂ D_{c} qui est l’idéal bilatère des distributions à support compact invariantes sous un sous-groupe ouvert. La catégorie des G-modules lisses est équivalente à celle des Hmodules lisses et tout H-module lisse possède canoniquement une structure de D_{c}-module (cf. [5]). Réciproquement à tout D_{c}-module est associé un G-module via l’action des distributions de Dirac, Λ[G] = Λ[δ_{g}]_{g∈G} ⊂ D_{c}(G).

L’idée consiste à utiliser le foncteur de lissification associé à la catégorie des D_{c}-modules

∞_{D} : D_{c}−Mod ⟶ G−Mod
M ⟼ lim_{⟶}_{K} e_{K}.M

où K parcourt les sous-groupes compacts ouverts pro-p de G et e_{K} désigne l’idempotent associé à K (si μ ∈ D(K) est la mesure de Haar de volume 1 sur K et i : K ↪ G alors e_{K} = i_{∗}μ). L’avantage est que ∞_{D} est exact. Il y a un triangle de foncteurs

\xymatrix{ & Λ[G]−Mod \ar[dl]^{∞_{G}} \\ Λ[G]−Mod_{∞} \ar[ur]^{i_{G}} \ar[rr]_{i_{D}} &  & D_{c}−Mod \ar[ll]_{∞_{D}} \ar[ul]_{κ}}

où les flêches autres que ∞_{G} et ∞_{D} sont des flêches d’oubli. On remarquera que ∞_{D} ≠ ∞_{G} ∘ κ.

Revenons à notre foncteur de dualité.

Lemme 1.2. — Le foncteur D^{n} : Λ[G]−Mod_{∞} ⟶ Λ[G]−Mod possède une factorisation canonique D^{m}

\xymatrix{Λ[G]−Mod_{∞} \ar[rr]^{D^{m}} \ar[dr]_{D^{n}} &  & D_{c}−Mod \ar[dl]^{κ} \\  & Λ[G]−Mod}

Démonstration. Il suffit d’écrire D^{n}(π) = Hom_{D_{c}(G)}(π, H) et d’utiliser la structure de D_{c}(G) bi-module sur H. Plus précisément si T ∈ D_{c}(G) et f ∈ Hom_{G}(π, H) il suffit de poser

T.f : V_{π} ⟶ H
v ⟼ f(v) ∗ Ť

où Ť ∈ D_{c}(G) est la distribution obtenue à partir de T via l’involution g ↦ g^{−1} de G.

En fait, puisque H ⊂ D_{c} est l’ensemble des distributions lisses à gauche (ou a droite), pour π lisse D^{m}(π) = Hom_{D_{c}}(π, D_{c}) ce qui rend encore plus transparent la définition de D^{m} en utilisant la structure de D_{c}-bi-module sur lui-même. Voici maintenant le bon foncteur de dualisation.

Définition 1.3. — On note D : Λ[G]−Mod_{∞} ⟶ Λ[G]−Mod_{∞} le foncteur composé D = ∞_{D} ∘ D^{m} et D : 𝔻^{−}(Λ[G]_{∞}) ⟶ 𝔻^{+}(Λ[G]_{∞}) le foncteur dérivé induit au niveau des catégories dérivées.

On a la formule explicite suivante pour π une représentation lisse

D(π) = lim_{⟶}_{K} Hom_{G}(π, C_{c}^{∞}(G/K))

où K parcourt les sous-groupes compacts ouverts pro-p de G. Plus généralement

∀i ≥ 0, R^{i}D(π) = lim_{⟶}_{K} Ext^{i}(π, C_{c}^{∞}(G/K))

(groupes d’extensions dans Λ[G]−Mod_{∞}).

Remarque 1.4. — On vérifie que ∞_{D} ∘ D^{m} = ∞_{G} ∘ D^{n}. Mais la définition précédente est bien plus pratique lorsqu’on passera au niveau des catégories dérivées. Le foncteur ∞_{D} étant exact on a D = ∞_{D} ∘ D^{m} où D^{m} est le foncteur dérivé de D^{m}.

Remarque 1.5. — En fait D^{n}(π), D(π), les R^{i}D(π) et plus généralement D(π^{•}) pour π^{•} ∈ 𝔻^{−} sont munis d’une action des distributions T sur G telles que H ∗ T ⊂ H, action étendant l’action de D_{c}(G). En particulier il sont munis d’une action de telles distributions qui sont invariantes par conjugaison. Ces distributions s’indentifient au centre ℨ_{G} de la catégorie Λ[G]−Mod_{∞}, ℨ_{G} = Aut(Id_{Λ[G]−Mod_{∞}}). Le foncteur D(−) est donc munie d’une action de ℨ_{G}. Il y a une involution T ↦ Ť sur ℨ_{G}. Ces distributions étant invariantes l’action de z ∈ ℨ_{G} sur D(π) est donnée par l’action de ž sur π au sens où z ∈ ℨ_{G} = End(Id_{Λ[G]−Mod_{∞}}) induit un morphisme π ⟶^{z} π dans

Λ[G]−Mod_{∞} et alors l’action de z sur D(π) est D(π) ⟶^{D(ž)} D(π).

Exemple 1.6. — Lorsque G est compact C_{c}^{∞}(G) = C^{∞}(G) = Ind_{{e}}^{G}1. La dualité de Frobenius implique donc qu’alors pour π lisse D(π) = π̃, le dual lisse usuel.

1.3. Propriétés de finitude. —

Lemme 1.7. — Soit π une représentation lisse de G de type fini. Alors D(π) = D^{n}(π) et est également une représentation de type fini.

Démonstration. Si π = ∑_{i∈I} Λ[G].v_{i} avec I fini et K un sous-groupe compact ouvert tel que ∀i ∈ I, v_{i} ∈ π^{K}, alors

Hom_{G}(π, H) ↪ C_{c}^{∞}(K\G)^{I}
f ↦ (f(v_{i}))_{i∈I}

Donc, C_{c}^{∞}(K\G)^{I} étant lisse D(π) = D^{n}(π). De plus C_{c}^{∞}(K\G)^{I} étant de type fini d’après l’hypothèse (⋆) D(π) l’est également.

Corollaire 1.8. — Au niveau des catégories dérivées D : 𝔻_{tf}^{−}(Λ[G]_{∞}) ⟶ 𝔻_{tf}^{+}(Λ[G]_{∞}). En particulier si π est une représentation lisse de type fini ∀i ≥ 0, R^{i}D(π) = Ext^{i}(π, H(G)) est un G-module lisse de type fini.

La proposition suivante est démontrée dans le chapitre III de [18] pour les coefficients de caractéristique zéro de manière légérement différente.

Proposition 1.9. — Supposons que l’on dispose d’une “bonne” théorie du centre de Bernstein sur le corps résiduel de Λ (par exemple si ce corps résiduel est de caractéristique zéro). Si π ∈ Λ[G]−Mod_{∞} est de longueur finie alors ∀i ≥ 0, R^{i}D(π) l’est également, D : 𝔻_{lf}^{−} ⟶ 𝔻_{lf}^{+} (catégorie dérivée à cohomologie de longueur finie).

Démonstration. Puisque Λ est local artinien, on se raméne facilement par dévissage au cas où Λ est un corps. Soit ℨ_{G} le centre de Bernstein de G. Une représentation σ de G est de longueur finie ssi elle est de type fini et l’annulateur de σ dans ℨ_{G} est un idéal de codimension finie. De plus d’après la remarque 1.5

Ann_{ℨ_{G}}(π)^{∨} ⊂ Ann_{ℨ_{G}}(R^{i}D(π)).

Le résultat s’en déduit.

1.4. Comportement sur les induites compactes. — Soit maintenant K un sous-groupe compact ouvert pro-p de G. Si ρ est une représentation de K on notera ρ^{∗} son dual algébrique d’espace sous-jacent Hom_{Λ}(V_{ρ}, Λ). Si ρ est lisse alors ρ^{∗} est munie canoniquement d’une structure de D(K)-module à gauche (utiliser l’involution g ↦ g^{−1} pour passer de la structure de module à droite vers celle à gauche). Il y a un foncteur d’induction à support compact

c−Ind_{K}^{G} : D(K)−Mod ⟶ D_{c}(G)−Mod
M ⟼ D_{c}(G) ⊗_{D(K)} M.

Si G/K = {g_{i}K}_{i∈I} alors

D_{c}(G) = ⨁_{i∈I} δ_{g_{i}^{−1}} ∗ D(K)

et D_{c}(G) est donc un D(K)-module libre à droite (et à gauche). En particulier le foncteur c−Ind_{K}^{G} est exact. On vérifie de plus grâce à la décomposition précédente que le composé avec le foncteur d’oubli κ

D(K)−Mod ⟶^{c−Ind_{K}^{G}} D_{c}(G)−Mod ⟶^{κ} Λ[G]−Mod

est le foncteur d’induction compacte usuelle

c−Ind_{K}^{G}ρ = {f : G ⟶ V_{ρ} | ∀k ∈ K f(k•) = ρ(k).f(•), supp(f) compact}

Lemme 1.10. — Considérons les deux foncteurs composés

Λ[K]−Mod_{∞} ⟶^{(−)^{∗}} D(K)−Mod ⟶^{c−Ind_{K}^{G}} D_{c}(G)−Mod
Λ[K]−Mod_{∞} ⟶^{c−Ind_{K}^{G}} Λ[G]−Mod_{∞} ⟶^{D^{m}} D_{c}(G)−Mod.

Il y a une application naturelle qui est un plongement

c−Ind_{K}^{G} ∘ (−)^{∗} ↪ D^{m} ∘ c−Ind_{K}^{G}.

Démonstration. En effet, ∀ρ ∈ Λ[K]−Mod_{∞}

Hom_{D_{c}(G)} (D_{c}(G) ⊗_{D(K)} ρ^{∗}, Hom_{D_{c}(G)}(c−Ind_{K}^{G}, H(G)))
= Hom_{D(K)} (ρ^{∗}, Hom_{K}(ρ, H(G))) .

Définissons alors

ρ^{∗} ⟶ Hom_{K}(ρ, H(G))
φ ⟼ [v ↦ [g ↦ \{{0 si g ∉ K \atop φ(g^{−1}.v) si g ∈ K} ]]

dont on vérifie que c’est bien un morphisme de D(K)-modules. Cela définit notre application naturelle. Au niveau des Λ[G]-modules sous-jacents le morphisme c−Ind_{K}^{G}ρ^{∗} ⟶ Hom_{K}(ρ, H(G)) se décrit de la façon suivante. Soit f ∈ c−Ind_{K}^{G}ρ^{∗}, f : G ⟶ V_{ρ}^{∗}, on lui associe le morphisme de K-modules

V_{ρ} ⟶ C_{c}^{∞}(G)
v ⟼ [g ↦< f(g), v >] .

En particulier cette description concrète permet de vérifier que le morphisme c − Ind_{K}^{G}ρ^{∗} ⟶ D^{m}(c−Ind_{K}^{G}ρ) est une injection.

Remarque 1.11. — En général le morphisme précédent n’est pas un isomorphisme. Par exemple si I est un ensemble infini, si ρ = Λ^{(I)} est la somme I-fois de la représentation triviale de K,

c−Ind_{K}^{G}ρ^{∗} = c−Ind_{K}^{G}(Λ^{I}) et Hom_{K}(ρ, H(G)) = C_{c}^{∞}(K\G)^{I}.

Alors

Im (c−Ind_{K}^{G}(Λ^{I}) ⟶ C_{c}^{∞}(K\G)^{I}) = {(f_{i})_{i∈I} | ∪_{i∈I} supp(f_{i}) est borné }.

Lemme 1.12. — Supposons ρ ∈ Λ[K]−Mod_{∞} de type fini (ce qui est équivalent à ce que le Λmodule sous-jacent soit de type fini). Alors le morphisme précédent c−Ind_{K}^{G}ρ^{∗} ⟶ D^{m}(c−Ind_{K}^{G}ρ) est un isomorphisme.

Démonstration. Soit K′ ◁ K un sous-groupe ouvert tel que ρ = ρ^{K′}. Alors

Hom_{K}(ρ, C_{c}^{∞}(G)) ↪ Hom(V_{ρ}, C_{c}^{∞}(K′\G)) ⟵^{∼} V_{ρ}^{∗} ⊗_{Λ} C_{c}^{∞}(K′\G)

car C_{c}^{∞}(K′\G) est un Λ-module libre. On a donc

Hom_{K}(ρ, C_{c}^{∞}(G)) = Hom(V_{ρ}, C_{c}^{∞}(K′\G))^{K} = [V_{ρ}^{∗} ⊗_{Λ} C_{c}^{∞}(K′\G)]^{K}

que l’on identifie naturellement à c−Ind_{K}^{G}ρ^{∗} (bien sûr il faut vérifier que les identifications que l’on vient de faire donnent l’application naturelle définie précédemment).

Lemme 1.13. — Soit ρ ∈ Λ[K]−Mod_{∞} de type fini. Alors

∀i > 0, Ext^{i}(c−Ind_{K}^{G}ρ, H(G)) = 0

pour les groupes d’extensions dans la catégorie Λ[G]−Mod_{∞}.

Démonstration. Soit P^{•} ⟶ ρ une résolution de ρ dans Λ[K]−Mod_{∞} formée d’objets projectifs de type fini. Alors c−Ind_{K}^{G}P^{•} ⟶ c−Ind_{K}^{G}ρ est une résolution projective dans Λ[G]−Mod_{∞}. On a d’après le lemme précédent

Hom_{G}(c−Ind_{K}^{G}P^{•}, C_{c}^{∞}(G)) = c−Ind_{K}^{G}(P^{•})^{∗}.

Mais les foncteurs (−)^{∗} et c−Ind_{K}^{G} sont exacts.

Remarque 1.14. — Le lemme précédent est bien sûr évident lorsque Λ est un corps puisqu’alors c−Ind_{K}^{G}ρ est une représentation projective, et cela est vrai sans l’hypothèse ρ de type fini. Mais en général ce n’est pas le cas. On remarquera qu’on a utilisé de façon insidieuse dans la démonstration le fait que Λ est Gorenstein.

Proposition 1.15. — Soit ρ^{•} un complexe d’objets de Λ[K]−Mod_{∞} dont la cohomologie est de type fini. Alors le morphisme de complexes de D_{c}(G)-modules

c−Ind_{K}^{G}(ρ^{•})^{∗} ⟶ D^{m}(c−Ind_{K}^{G}ρ^{•})

est un quasi-isomorphisme.

Démonstration. Les foncteurs (−)^{∗} et c−Ind_{K}^{G} : D(K)−Mod ⟶ D_{c}(G)−Mod étant exacts

∀i ∈ ℤ, H^{−i} (c−Ind_{K}^{G}(ρ^{•})^{∗}) = c−Ind_{K}^{G}H^{i}(ρ^{•})^{∗}.

De plus d’après le lemme précédent

∀i ∈ ℤ, H^{−i} (D^{m}(c−Ind_{K}^{G}ρ^{•})) = D^{m}(c−Ind_{K}^{G}H^{i}(ρ^{•})).

Il suffit alors d’appliquer le lemme 1.12.

Proposition 1.16. — Soit ρ^{•} un complexe d’objets de Λ[K]−Mod_{∞} dont la cohomologie est de type fini. Il y a alors des quasi-isomorphismes

c−Ind_{K}^{G}(ρ^{•}) ⟶ ∞_{D}(c−Ind_{K}^{G}(ρ^{•})^{∗}) ⟶ D(c−Ind_{K}^{G}ρ^{•})

où (ρ^{•}) = ∞_{G}(ρ^{•})^{∗} = ∞_{D}(ρ^{•})^{∗} désigne le dual lisse.

Démonstration. D’après l’exactitude du foncteur ∞_{D} le deuxième quasi-isomorphisme résulte de la proposition précédente. Le morphisme

c−Ind_{K}^{G}(ρ^{•}) ⟶ ∞_{D}(c−Ind_{K}^{G}(ρ^{•})^{∗})

est défini par l’inclusion de D_{c}(G)-modules c−Ind_{K}^{G}(ρ^{•}) ↪ c−Ind_{K}^{G}(ρ^{•})^{∗} et la propriété d’ajonction de ∞_{D}. L’exactitude de ∞_{D} couplée à celle des induites compactes et des dualisations algébriques et lisses implique qu’au niveau des groupes de cohomologie il induit ∀i ∈ ℤ

c−Ind_{K}^{G}(H^{−i}(ρ^{•}) ) ⟶ ∞_{D}(c−Ind_{K}^{G} (H^{−i}(ρ^{•})^{∗}))

Mais H^{−i}(ρ^{•}) étant de type fini son dual algébrique coïncide avec son dual lisse et donc

∞_{D}(c−Ind_{K}^{G}(H^{−i}(ρ^{•})^{∗})) = ∞_{D}(c−Ind_{K}^{G}(H^{−i}(ρ^{•}) )) = c−Ind_{K}^{G}(H^{−i}(ρ^{•}) )

Exemple 1.17. — Voici un exemple permettant de vérifier que l’hypothèse de type finitude est indispensable dans la proposition précédente. Soit ρ = C^{∞}(K) = Ind_{{1}}^{K}1. L’accouplement (f, g) ↦ ∫_{K} fg induit un isomorphisme ρ̃ = ρ. Donc c−Ind_{K}^{G} ρ̃ = C_{c}^{∞}(G). On a de plus ρ^{∗} = D(K) et donc c − Ind_{K}^{G}ρ^{∗} = D_{c}(G). De plus D(c − Ind_{K}^{G}ρ) = End_{G}(C_{c}^{∞}(G)) qui s’identifie aux distributions essentiellement compactes D_{ess−c}(G) c’est à dire les distributions T vérifiant H(G) ∗ T ⊂ H(G). La suite de la proposition précédente est alors

C_{c}^{∞}(G) ⊂ D_{c}(G) ⊂ D_{ess−c}(G)

1.5. Involutivité. — Supposons que Λ est un corps et que Λ[G]−Mod_{∞} soit de dimension projective finie. Alors, D est un endomorphisme de 𝔻_{tf}^{b}(Λ[G]_{∞}). Il y a une application naturelle Id ⟶ D ∘ D.

Proposition 1.18. — L’application naturelle de foncteurs sur 𝔻_{tf}^{b}(Λ[G]_{∞}), Id ⟶ D ∘ D, est un isomorphisme.

Démonstration. Si P ∈ Λ[G]−Mod_{∞} est projectif de type fini alors P est facteur direct d’une représentation projective de la forme c−Ind_{K}^{G}ρ avec K compact ouvert pro-p et ρ lisse de type fini, c−Ind_{K}^{G}ρ = P ⊕Q. D’après le lemme 1.12, D(c−Ind_{K}^{G}ρ) = c−Ind_{K}^{G} ρ̃ qui est encore une représentation projective. De plus c−Ind_{K}^{G}ρ ⟶ D(D(c−Ind_{K}^{G}ρ)) = c−Ind_{K}^{G}˜ ρ̃ est bien un isomorphisme puisque ρ ⟶ ˜ ρ̃ en est un. Revenant à P, D(P)⊕D(Q) = c−Ind_{K}^{G} ρ̃ et on en déduit que D(P) est projectif. L’application P ⊕ Q ⟶ D(D(P ⊕ Q)) = DD(P) ⊕ DD(Q) étant un isomorphisme on a bien que P ⟶ DD(P) en est un.

1.6. Variante à caractère central fixé. — Soit Z ⊂ G un sous-groupe central fermé et χ : Z ⟶ Λ^{×} un caractère lisse. Soit Λ[G]−Mod_{∞,χ} la catégorie des représentations lisses de G sur lesquelles Z agit via le caractère χ. On note 𝔻(Λ[G]_{∞,χ}) la catégorie dérivée associée.

Si K est un sous-groupe ouvert de G, compact modulo Z, il y a un foncteur d’induction à support compact

c−Ind_{K,χ}^{G} : Λ[K]−Mod_{∞,χ_{|K∩Z}} ⟶ Λ[G]−Mod_{∞,χ}

tel que

c−Ind_{K,χ}^{G}ρ = {f : G ⟶ V_{ρ} | ∀k ∈ K, f(k•) = ρ(k).f(•), ∀z ∈ Z, f(z•) = χ(z)f(•),

supp(f) compact mod Z}.

Grâce à cela la catégorie Λ[G]−Mod_{∞,χ} possède suffisamment de projectifs (elle possède également suffisemment d’injectifs en utilisant des induites lisses à caractére central). Sous l’hypothèse (⋆) tout sous-objet d’un objet de type fini de Λ[G]_{∞,χ} est de type fini et 𝔻_{tf}^{b}(Λ[G]_{∞,χ}) s’identifie à la catégories dérivées des représentations lisses de type fini à caractére central χ.

Considérons maintenant

H_{χ} = {distributions lisses f sur G à coefficients dans Λ telles que ∀z ∈ Z, δ_{z} ∗ f = χ(z)f et supp(f) compact mod Z}.

C’est un D_{c}(G) × D_{c}(G) module. Après choix d’une mesure de Haar sur G,

H_{χ} = {f ∈ C^{∞}(G) | ∀z ∈ Z, f(z•) = χ(z)^{−1}f(•) et supp(f) compact mod Z}.

Cela définit un foncteur comme précédemment

D_{χ} : Λ[G]−Mod_{∞,χ} ⟶ Λ[G]−Mod_{∞,χ^{−1}}
π ⟼ ∞_{D}(\underline{Hom}_{G}(π, H_{χ})).

Il vérifie des propriétés analogues à celles énoncées précédemment pour D.

Nous utiliserons le lien suivant entre D et D_{χ}.

Lemme 1.19. — Soit π ∈ 𝔻_{tf}^{b}(Λ[G]_{∞}). Il y a alors un isomorphisme naturel dans 𝔻_{tf}^{b}(Λ[G]_{∞,χ^{−1}})

RD(π) ⊗^{𝕃}_{H(Z)} χ^{−1} ≃ RD_{χ}(π ⊗^{𝕃}_{H(Z)} χ).

Démonstration. Utilisant les diverses propriétés d’adjonction des foncteurs intervenant dans la formule on voit qu’il y a un morphisme naturel du membre de gauche vers celui de droite. Or si K est un sous-groupe compact ouvert pro-p, ρ une représentation lisse de K dans un Λ-module libre de type fini on a D(c−Ind_{K}^{G}ρ) = c−Ind_{K}^{G}ρ^{∗} qui est une représentation plate sur H(Z) et

(c−Ind_{K}^{G}ρ^{∗}) ⊗_{H(Z)} χ^{−1} = c−Ind_{K,χ^{−1}}^{G}(ρ^{∗} ⊗_{H(Z∩K)} χ_{|Z∩K}^{−1})
= c−Ind_{K,χ^{−1}}^{G}(ρ ⊗_{H(Z∩K)} χ_{|Z∩K})^{∗}
= D_{χ}(c−Ind_{K,χ}^{G}(ρ ⊗_{H(Z∩K)} χ_{|Z∩K}))
= D_{χ}((c−Ind_{K}^{G}ρ) ⊗_{H(Z)} χ).

Or c−Ind_{K}^{G}ρ est plate sur H(Z) et (c−Ind_{K}^{G}ρ)⊗_{H(Z)}χ = c−Ind_{K,χ}^{G}(ρ⊗_{H(Z∩K)}χ_{|Z∩K}) est projective dans Λ[G]_{∞,χ} donc D_{χ}-acyclique.

1.7. Le théorème de Schneider-Stuhler et lien avec l’involution de Bernstein-Zelevinsky. — Dans cette section Λ = \overline{ℚ}_{ℓ} ou ℂ ce qui est le cadre de l’article [18] ainsi que de la théorie classique du centre de Bernstein. Il est néanmoins fort probable que les résultats suivants s’étendent en caractéristique de torsion banale pour les coefficients. Nous utilisons les composantes connexes du centre de Bernstein afin de formuler le résultat, mais une décomposition orthogonale de la catégorie des représentations lisses de type fini indéxée par les classes de conjugaison de sous-groupes de Levi serait suffisante à formuler le résultat.

Soit F |ℚ_{p} finie et G les F -points d’un groupe algébrique réductif sur F. Soit I = {(M, π)}/ ∼ où M est un sous-groupe de Levi de G et π une représentation supercuspidale irreductible de M. La relation d’équivalence ∼ est la relation d’équivalence inertielle. L’ensemble I paramétre les composantes connexes du centre de Bernstein de G. À chaque élément de I est associé un idempotent indécomposable agissant sur Λ[G]−Mod_{∞}. Il y a alors une décomposition orthogonale

𝔻_{tf}^{b}(Λ[G]_{∞}) = ⨁_{𝔰∈I} 𝔻_{tf}^{b}(Λ[G]_{∞})_{s}.

L’involution T ↦ Ť sur les distribution invariantes induit une involution du centre de Bernstein qui induit 𝔰 ↦ 𝔰̌ sur I. Concrétement [(M, π)]^{∨} = [(M, π̃)].

D’après la remarque 1.5,

D : 𝔻_{tf}^{b}(Λ[G]_{∞})_{𝔰} ⟶ 𝔻^{b}(Λ[G]_{∞})𝔰̌.

Si χ est un caractére central fixé de G et I_{χ} ⊂ I désigne l’ensemble des classes d’équivalences de (M, π) telles que le caractére central de π restreint au centre de G coïncide avec χ alors

𝔻_{tf}^{b}(Λ[G]_{∞,χ}) = ⨁_{𝔰∈I_{χ}} 𝔻_{tf}^{b}(Λ[G]_{∞,χ})_{𝔰}

et D_{χ} : 𝔻_{tf}^{b}(Λ[G]_{∞,χ})_{𝔰} ⟶ 𝔻_{tf}^{b}(Λ[G]_{∞,χ^{−1}})𝔰̌.

Il y a une fonction i : I ⟶ ℕ qui à [(M, π)] associe la profondeur d’un sous-groupe parabolique auquel M est associé. En se ramenant à un sous-groupe de Levi standard c’est le nombre de racines simples telles que ce sous-groupe de Levi soit le centralisateur du noyau de ces racines simples. Ce nombre est nul ssi M = G. Il est maximal ssi M est un Levi minimal. Pour 𝔰 ∈ I_{χ}, le nombre ι(𝔰) est la dimension de la composante du centre de la catégorie Λ[G]−Mod_{∞,𝔰,χ} (variante du centre de Bernstein lorsque l’on fixe un caractére central). On a alors le théorème de pureté et dualité suivant.

Théorème 1.20 (Schneider-Stuhler, [18] théorème III.3.1). — Soit 𝔰 ∈ I_{χ} et π ∈ Λ[G]−Mod_{∞,χ,𝔰} de longeur finie. Alors

R^{i}D_{χ}(π) = Ext_{Λ[G]_{∞,χ}}^{i}(π, H_{χ}) = 0 si i ≠ ι(𝔰).

De plus R^{i(𝔰)}D(π) est de longeur finie dans Λ[G]−Mod_{∞,χ^{−1}}. La représentation π est irréductible ssi R^{i(𝔰)}(π) l’est. Le foncteur R^{i(𝔰)}D de la catégorie des objets de longueur finie de Λ[G]−Mod_{∞,χ,𝔰} dans celle des objets de longueur finie de Λ[G]−Mod_{∞,χ^{−1},𝔰̌} est exacte.

Par exemple si π est supercuspidale de longueur finie R^{0}D(π) = D(π) = π̃, le morphisme π̃ ⟶ Hom(π, H_{χ}) étant donné par les coefficients matriciels π ⊗ π̃ ↪ H_{χ}. Dans le théorème précédent le point principal est l’annulation des Ext^{i} pour i < i(𝔰). En effet, l’annulation pour i > i(𝔰) résulte de ce que d’après Bernstein la dimension projective de la catégorie Λ[G]−Mod_{∞,χ,𝔰} est i(𝔰), et les autres assertions se déduisent des propositions 1.9 et 1.18.

Soit l’involution

Zel : Λ[G]−Mod_{∞,χ,𝔰,lf} ⟶ Λ[G]−Mod_{∞,χ^{−1},𝔰̌,lf}
π ⟼ R^{i(𝔰)}D(π̃)

(où lf signifie de longeur finie). D’après la proposition IV.5.2 de [18] et le théorème 2.3 de [1], lorsque G = GL_{n}(F) l’involution précédente coïncide sur les représentations irréductibles avec l’involution de Zelevinsky définie dans [19].

Corollaire 1.21. — Soit π^{•} ∈ 𝔻_{lf}^{b}(Λ[G]_{∞,χ}). Alors la suite spectrale

E_{2}^{pq} = R^{p}D_{χ}(H^{−q}(π^{•})) ⟹ R^{p+q}D_{χ}(π^{•})

dégénère en E_{2}. Elle fournit un isomorphisme pour tout n

H^{n}(D_{χ}(π^{•})) = ⨁_{𝔰∈I_{χ}} H^{n}(D_{χ}(π^{•}))𝔰̌ = ⨁_{𝔰∈I_{χ}} Zel(H^{−n+i(𝔰)}(π^{•})𝔰̃).

2. Le théorème de dualité pour la cohomologie à coefficients de torsion

2.1. Énoncé du théorème. — On reprend les hypothèses et notations de la section précédente concernant Λ et G. On supposera de plus que Λ est de torsion, annulé par un entier premier à p. Soit F un corps valué complet pour une valuation non-triviale à valeurs dans ℝ. Supposons le corps résiduel de F de caractéristique p. Soit X un F -espace analytique au sens de Berkovich muni d’une action continue de G au sens de la section 6 de [3]. On supposera |X| séparé et X équidimensionel de dimension d. Soit L un système local G-équivariant en Λ-modules libres de rang fini sur X_{ét}. On note L^{∨} = \underline{Hom}(L, Λ) le système local dual.

On peut alors définir un complexe de cohomologie étale à support compact équivariant lisse (cf. sous-section qui suit pour des rappels)

RΓ_{c}(X ˆ⊗_{F} ˆ \overline{F}/G × Gal(\overline{F} |F), L) ∈ 𝔻^{b} (Λ[G × Gal(\overline{F} |F)]_{∞}) .

En fait on va plutot regarder le groupe de Galois Gal(\overline{F} |F)^{d} qui est le groupe discret après oubli de la topologie profini. Pour un tel groupe les représentations lisses correspondent aux représentations quelconques. Il est probable que l’on puisse démontrer un théorème de dualité avec le complexe de cohomologie Galois-lisse précédent, mais il faudrait légérement améliorer la démonstration car contrairement à G, Gal(\overline{F} |F) ne possède pas de sous-groupe ouvert pro-p. Dans les applications en vue le théorème qui suit sera largement suffisant.

Théorème 2.1. — Supposons que l’action de G sur |X| est propre et que G\|X| est compact. Alors RΓ_{c}(X ˆ⊗_{F} ˆ \overline{F}/G × Gal(\overline{F} |F), L) ∈ 𝔻_{tf}^{b}(Λ[G × Gal(\overline{F} |F)]_{∞}) et il y a un isomorphisme dans 𝔻_{tf}^{b}(Λ[G × Gal(\overline{F} |F)^{d}]_{∞})

RΓ_{c}(X ˆ⊗_{F} ˆ \overline{F}/G × Gal(\overline{F} |F)^{d}, L^{∨})(d)[2d] ⟶^{∼} D (RΓ_{c}(X ˆ⊗_{F} ˆ \overline{F}/G × Gal(\overline{F} |F)^{d}, L)) .

Dans l’énoncé précédent la dualité D signifie que si π est un Λ[G × Gal(\overline{F} |F)^{d}]_{∞}-module alors on considére D_{G}(π), le dual défini précédemment relativement à l’action de G, muni de son action contragrédiente de Gal(\overline{F} |F)^{d}. Tous les résultats établis précédemment pour G restent valables pour G × Gal(\overline{F} |F)^{d}.

Commençons par supposer F algébriquement clos. On expliquera à la fin comment incorporer l’action du groupe de Galois.

2.2. Rappels sur les faisceaux équivariants lisses et la cohomologie étale à support compact équivariante lisse. — Soit X_{ét} le site étale de X et X̃_{ét} son topos étale. Berkovich a défini une notion de G-faisceau étale lisse sur X_{ét}. On renvoit à la section IV.9 de [11] ou bien à l’appendice B de [8] pour une définition. Notons X̃_{ét}/G cette catégorie de faisceaux équivariants lisses. La catégorie abélienne Λ − X̃_{ét}/G des faisceaux de Λ-modules équivariants lisses possède suffisemment d’injectifs. Rappelons également (section 3 de [3] ou section IV.9.1 de [11]) que l’on dispose d’une notion de faisceau de groupes abéliens mou sur X_{ét}. Ceux-ci sont Γ_{c}(X, −)- acycliques. De plus, d’après le corollaire IV.9.22 de [11], pour tout objet injectif de Λ − X̃_{ét}/G le faisceau sous-jacent est mou. Le complexe RΓ_{c}(X, −) est alors le foncteur dérivé de

Γ_{c}(X, −) : Λ − X̃_{ét}/G ⟶ Λ[G]−Mod_{∞}
F ⟼ Γ_{c}(X, F)

et peut se calculer sur des résolutions dont la résolution faisceautique sous-jacente est formeé de faisceaux mous (cf. section IV.9.7 de [11] ou l’appendice B de [8]).

2.3. Résolutions canoniques. — Supposons que F est algébriquement clos. Soit U un ouvert distingué dans X (cf. [11] IV.9.3). Notons j : U ↪ X. Soit K un sous-groupe compact ouvert dans G stabilisant U. On a défini dans [11] IV.9.9 un triplet de foncteurs adjoints

\xymatrix{Ũ_{ét}/K \ar[r]^{c−Ind_{U/K}^{X/G}} \ar[r]_{_{Ind{X/G \atop U/K}}} & X̃_{ét}/G \ar[l]|{Res_{U/K}^{X/G}}}

analogue équivariant du triplet

\xymatrix{Ũ_{ét} \ar[r]^{j_{!}} \ar[r]_{j_{∗}} & X̃_{ét} \ar[l]|{j^{∗}}}

Le couple (c−Ind, Res) apparait également dans [8].

Plus précisément

– Res_{U/K}^{X/G}F = j^{∗}F muni de l’action restreinte de K

– c−Ind_{U/K}^{X/G}F = ⨁_{g∈Ω} g^{∗}j_{!}F où Ω est un ensemble de représentants dans G des éléments de

K\G, j_{!}F ∈ Ũ_{ét}/K et l’action de G est l’action usuelle par permutation sur les induites – Ind_{U/K}^{X/G}F = ∏_{g∈Ω} g^{∗}(j_{∗}F)^{∞} où j_{∗}F ∈ Ũ_{ét}/K^{disc} est un faisceau K-équivariant qui n’est pas

lisse en général, (−)^{∞} désigne le foncteur de lissification ([11] IV.9.9), Ω et l’action de G sont comme précédemment. On remarquera (et cela est crucial) qu’étant donné que U est relativement compact dans |X| et l’action de G propre, le produit précédent de faisceaux définissant l’induite est localement fini sur X et est donc en fait une somme directe. Il est donc bien lisse.

On retiendra deux propriétés essentielles pour les foncteurs induits au niveau des faisceaux de Λ-modules :

– c−Ind_{U/K}^{X/G} et Res_{U/K}^{X/G} envoient les objets dont le faisceau sous-jacent est mou sur des objets dont le faisceau sous-jacent est mou

– Ind_{U/K}^{X/G} et Res_{U/K}^{X/G} envoient injectifs sur injectifs

Maintenant si X = G.U les deux couples adjoints précédents permettent de construire des monades et comonades qui fournissent des résolutions simpliciales/cosimpliciales canoniques en F ∈ Λ − X̃_{ét}/G

C^{•}(F) ⟶ F et F ⟶ D^{•}(F)

dans Λ − X̃_{ét}/G où

C^{p}(F) = ⨁_{α∈G\(G/K)^{−p+1}} c−Ind_{U_{α}/K_{α}}^{X/G}Res_{U_{α}/K_{α}}^{X/G}F
D^{p}(F) = ⨁_{α∈G\(G/K)^{p+1}} Ind_{U_{α}/K_{α}}^{X/G}Res_{U_{α}/K_{α}}^{X/G}F

où si α = [(ḡ_{1}, …, ḡ_{s})] alors U_{α} = g_{1}.U ∩ ⋯ ∩ g_{s}.U et K_{α} = g_{1}Kg_{1}^{−1} ∩ ⋯ ∩ g_{s}Kg_{s}^{−1} (afin de ne pas allourdir les notations, pour tout α ∈ G\(G/K)^{±p+1} on sous-entend le choix d’un relévement dans (G/K)^{±p+1}).

Exemple 2.2. — Si X = M(F) avec F algébriquement clos, G est discret, K = {e}, U = X et F = M est un Λ[G]-module on retrouve les résolutions canoniques permettant de calculer H_{•}(G, M) et H^{•}(G, M).

On renvoit au théorème IV.9.31 de [11] pour plus de détails. Maintenant si F ⟶ J^{•} est une résolution dans Λ−X̃_{ét}/G telle que la résolution faisceautique sous-jacente soit formée de faisceaux mous, si d = 2 dim X, il y a un morphisme

Tot C^{•}(τ_{≤2d}J^{•}) ⟶ F

qui induit par application de Γ_{c}(X, −) un isomorphisme

Tot ⨁_{α∈G\(G/K)^{−•+1}} c−Ind_{K_{α}}^{G}Γ_{c}(U_{α}, τ_{≤2d}J^{•}) ⟶^{∼} RΓ_{c}(X/G, F)

Si F ⟶ I^{•} est une résolution injective dans Λ − X̃_{ét}/G il y a alors une résolution injective

F ⟶ Tot D^{•}(I^{•})

qui induit par application de Γ_{c}(X, −) un isomorphisme

RΓ_{c}(X/G, F) ⟶^{∼} Tot ⨁_{α∈G\(G/K)^{•+1}} c−Ind_{K_{α}}^{G}Γ(U_{α}, I^{•})^{∞}

où Γ(U_{α}, I^{•})^{∞} = ∞_{K_{α}}Γ(U_{α}, I^{•}) désigne les sections lisses sous K_{α} dans Γ(U_{α}, I^{•}).

2.4. Étude de la cohomologie sans support d’un ouvert distingué. — Soit U distingué dans X et K stabilisant U comme précédemment. On supposera de plus que K est pro-p.

Lemme 2.3. — Pour tout F ∈ Λ − Ũ_{ét}/K le Λ[K]-module Γ(U, F) est muni d’une structure de D(K)-module induisant la structure de Λ[K]-module naturelle. Pour cette structure ∞_{K}Γ(U, F) = ∞_{D(K)}Γ(U, F). De plus cette structure est canonique au sens où si V ⊂ U, V est distingué dans X stable sous K′ ⊂ K alors l’application de restriction Γ(U, F) ⟶ Γ(V, F) est un morphisme de D(K′)-modules.

Démonstration. On a Γ(U, F) = lim_{⟵}_{W} Γ(W, F) où W parcourt les domaines analytiques com-

pacts dans U. De plus un tel W étant stabilisé par un sous-groupe ouvert dans K on peut supposer dans la limite projective précédente que les W sont stables sous K. Alors pour un tel W, Γ(W, F) ∈ Λ[K]−Mod_{∞} et est donc muni d’une structure de D(K)-module, et les morphismes de transition de la limite projective sont des morphismes de D(K)-modules. La limite projective précédente est donc naturellement un D(K)-module.

On vérifie de plus que pour un D(K)-modules M limite projective de modules lisses ∞_{K}M = ∞_{D(K)}M.

L’assertion concernant l’application de restriction est laissée au lecteur.

Remarque 2.4. — Tout ouvert distingué est paracompact ([11] remarque IV.9.9) et donc acyclique sur les faisceaux mous sur X_{ét}. Cela implique que le foncteur

Λ − Ũ_{ét}/K ⟶ D(K)−Mod
F ⟼ Γ(U, F)

donne naissance à un foncteur dérivé F ↦ RΓ(U/K, F) ∈ 𝔻^{+}(D(K)) qui via l’application d’oubli 𝔻^{+}(D(K)) ⟶ 𝔻^{+}(Λ) redonne le complexe usuel RΓ(U_{ét}, F).

2.5. Démonstration du théorème. — On va être obligé d’effectuer quelques acrobaties car on veut définir l’application de dualité de Poincaré en inversant un minimum de quasi-isomorphismes dans la catégorie dérivée. On voudra en effet plus tard recoller ces morphismes de dualité de Poincaré sur des ouverts différents et il serait perilleux de le faire dans la catégorie dérivée sans controle sur les quasi-isomorphismes que l’on inverse.

Lemme 2.5. — Tout F ∈ Λ − X̃_{ét}/G dont le faisceau sous-jacent est plat sur \underline{Λ} possède une résolution dans Λ − X̃_{ét}/G formée de faisceaux mous et plats.

Démonstration. Il suffit d’utiliser la résolution de Godement-Berkovich (cf. [11] IV.9.6). En effet, si ∀x ∈ X on a fixé un point géométrique x̄ au dessus de x, N_{x} est un Λ-module plat, Ind_{K(x̄)|K(x)}N_{x} ∈ Λ − M(K(x))˜ét désigne l’induite lisse et i_{x} : M(K(x)) ⟶ X alors

G = ∏_{x∈X} i_{x∗}Ind_{K(x̄)|K(x)}N_{x}

est plat. En effet, si U ⟶ X est étale alors

Γ(U, G) = ∏_{x∈X} Γ(M(K(x)) ×_{X} U, Ind_{K(x̄)|K(x)}N_{x})
= ∏_{x∈X} ∏_{|M(K(x̄))×_{X}U|} N_{x}

et Λ étant noethérien un produit quelconque de modules plats est plat.

Fixons maintenant deux résolutions dans Λ − X̃_{ét}/G

L^{∨} ⟶ I^{•} et L ⟶ J^{•}

où I^{•} est injective et J^{•} est une résolution molle et plate. Fixons également

\underline{Λ} ⟶ K^{•}

une résolution injective dans Λ − X̃_{ét}/G.

Soit V un ouvert distingué dans X et K compact ouvert stabilisant V. Il y a un morphisme de complexes de Λ[K]-modules

Γ(V, I^{•})(d)[2d] ⟶ Hom(Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J^{•}), Tot (Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J^{•} ⊗_{Λ} I^{•}))(d)[2d])

obtenu à partir du morphisme de bi-complexes

Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J^{•}) ⊗_{Λ} Γ(V, I^{•})(d)[2d] ⟶ Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J^{•} ⊗_{Λ} I^{•})(d)[2d]

(décalage de 2d par rapport au second indice). En effet, si C^{•} et D^{•} sont deux complexes on définit naturellement un morphisme C^{•} ⟶ Hom(D^{•}, Tot C^{•} ⊗ D^{•}).

De plus L⊗_{Λ}L^{∨} ⟶ Tot J^{•}⊗I^{•} est une résolution car J^{•} est plate. Considérons l’accouplement L ⊗ L^{∨} ⟶ \underline{Λ}. Il y a donc, puisque K^{•} est injective, un morphisme de résolutions

\xymatrix{L ⊗ L^{∨} \ar[d] \ar[r] & Tot J^{•} ⊗ I^{•} \ar[d] \\ \underline{Λ} \ar[r] & K^{•}}

qui induit un morphisme Tot ((τ_{≤2d}J^{•}) ⊗ I^{•}) ⟶ K^{•}. Fixons un tel morphisme. Il induit un morphisme de complexes de Λ[K]-modules

Tot Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J^{•} ⊗ I^{•}) ⟶ Γ_{c}(V, K^{•})

On peut de plus composer ce morphisme avec le morphisme

Γ_{c}(V, K^{•}) ⟶ τ_{≥2d}Γ_{c}(V, K^{•})

Par composition des morphismes précédentes on obtient donc un morphisme de complexes de Λ[K]-modules

Γ(V, I^{•})(d)[2d] ⟶ Hom(Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J^{•}), τ_{≥2d}Γ_{c}(V, K^{•})(d)[2d])

L’inclusion

H_{c}^{2d}(V, Λ)[−2d] = H^{2d}(Γ_{c}(V, K^{•}))[−2d] ↪ τ_{≥2d}Γ_{c}(V, K^{•})

est un quasi-isomorphisme. Il y a de plus une application trace ([2] section 7.2)

tr_{V} : H_{c}^{2d}(V, Λ)(d) ⟶ Λ

On obtient donc un diagramme de complexes de Λ[K]-modules

\xymatrix{Γ(V, I^{•})(d)[2d] \ar[r] \ar[ddr]_{_{Poinc_{V}}} & Hom(Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J^{•}), τ_{≥0}(Γ_{c}(V, K^{•})(d)[2d])) \\  & Hom(Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J^{•}), H_{c}^{2d}(V, Λ)(d)) \ar[u]_{quasi−iso} \ar[d] \\  & Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J^{•})^{∗}}

où Poinc_{V} est un morphisme dans 𝔻^{+}(Λ[K]) et (−)^{∗} = Hom_{Λ}(−, Λ) désigne la dualité pour les complexes de Λ-modules (prendre le dual et inverser les indices).

Désormais, afin d’alléger les notations, nous noterons J^{•} pour τ_{≤2d}J^{•} (le complexe non-tronqué n’interviendra plus dans la suite).

Plus tard nous utiliserons plutot l’application trace relativement à X qu’à V pour définir Poinc_{V}, c’est à dire le diagramme suivant compatible au précédent

\xymatrix{Γ(V, I^{•})(d)[2d] \ar[r] \ar[ddr]_{_{Poinc_{V}}} & Hom(Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J^{•}), τ_{≥0}(Γ_{c}(X, K^{•})(d)[2d])) \\  & Hom(Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J^{•}), H_{c}^{2d}(X, Λ)(d)) \ar[u]_{quasi−iso} \ar[d] \\  & Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J^{•})^{∗}}

obtenu à partir du précédent par composition Γ_{c}(V, I^{•}) ⟶ Γ_{c}(X, I^{•}).

Si V′ ⊂ V est un ouvert distingué de X, K′ ⊂ K stabilise V′ alors le diagramme suivant dans 𝔻^{+}(Λ[K′]) commute

\xymatrix{Γ(V, I^{•})(d)[2d] \ar[r]^{^{Poinc^{V}}} \ar[d] & Γ_{c}(V, J^{•})^{∗} \ar[d] \\ Γ(V′, I^{•})(d)[2d] \ar[r]^{_{Poinc_{V ′}}} & Γ_{c}(V′, J^{•})^{∗}}

Lemme 2.6. — Le morphisme Poinc_{V} est naturellement un morphisme dans 𝔻^{+}(D(K)), où Γ_{c}(V, J^{•}) est un D(K)-module via sa structure de Λ[K]-module lisse et la structure de D(K)- module sur Γ(V, I^{•}) est celle défini dans le lemme 2.3.

Démonstration. Il s’agit essentiellement de vérifier que si F, G ∈ Λ − X̃_{ét}/G alors l’application

Γ_{c}(V, F) ⊗_{Λ} Γ(V, G) ⟶^{∪} Γ_{c}(V, F ⊗_{Λ} G)

est un morphisme de D(K)-modules. Mais si s ∈ Γ_{c}(V, F), t ∈ Γ(V, G), soit W ⊂ V un domaine analytique compact tel que supp(s) ⊂ W̊. Alors s ∪ t = s_{|W̊} ∪ t_{|W} via Γ_{c}(V, F) ⊗ Γ(W, G) ⟶ Γ_{c}(W̊ , F ⊗ G) ⟶ Γ_{c}(V, F ⊗ G). Or t_{|W} est lisse (et cette lissité définit l’action de D(K) sur Γ(V, G)).

La résolution J^{•} est Γ_{c}(V, −)-acyclique. La résolution I^{•} est Γ(V, −)-acyclique car formée de faisceaux mous et V est paracompact. D’après le théorème 7.3.1 de [2] le morphisme Poinc_{V} est donc un isomorphisme dans 𝔻^{+}(D_{c}(G)).

Considérons maintenant le complexe double d’objets de Λ[G]−Mod_{∞} de la section 2.3

C^{••} = ⨁_{α∈G\(G/K)^{−•+1}} c−Ind_{K_{α}}^{G}Γ_{c}(U_{α}, J^{•})

tel que Tot C^{••} ≃ RΓ_{c}(X/G, L). En enlevant les induites compactes le complexe s’écrit

C^{••} = ⨁_{α∈(G/K)^{−•+1}} Γ_{c}(U_{α}, J^{•})

Remarquons que pour p ≤ 0 et α ∈ (G/K)^{−p+1}

{β ∈ (G/K)^{−p+1} | β → α et U_{β} ≠ ∅}

est fini, où si β = (ḡ_{1}, …, ḡ_{−p+2}) on écrit β → α si ∃i, α = (ḡ_{1}, …, ˆ ḡ_{i}, …, ḡ_{−p+2}). Le bicomplexe précédent donne donc lieu à un bicomplexe

C̃^{••} = ⨁_{α∈(G/K)^{•+1}} Γ_{c}(U_{α}, J^{−•})^{∗}
= ⨁_{α∈G\(G/K)^{•+1}} c−Ind_{K_{α}}^{G}Γ_{c}(U_{α}, J^{−•})^{∗}

Notons D^{m}(C^{••}) le bicomplexe (p, q) ↦ D^{m}(C^{−p,−q}). D’après le lemme 1.10 il y a un morphisme de complexes doubles de D_{c}(G)-modules

C̃^{••} ⟶ D^{m}(C^{••})

(comme précédemment, utiliser que ∀p, {ᾱ ∈ G\(G/K)^{−p+1} | U_{α} ≠ ∅} est fini pour voir qu’il n’y a qu’un nombre finie d’induites compactes en chaque bidegré).

D’après le corollaire 5.6 de [3] (et le théorème d’approximation d’Elkik) ou bien le point (c) du corollaire 2.11 de [17] , ∀p, q, H^{q}(C^{p•}) est un Λ-module de type fini. On en déduit d’après le lemme 1.15 que ∀p le morphisme

C̃^{p•} ⟶ D^{m}(C)^{p•}

est un quasi-isomorphisme et que donc le morphisme de complexes de D_{c}(G)-modules

Tot (C̃^{••}) ⟶ Tot D^{m}(C^{••}) = D^{m}(Tot C^{••})

est un quasi-isomorphisme.

On peut également considérer les variantes suivantes de C̃^{••}. Soit

C̃_{1}^{••} = ⨁_{α∈(G/K)^{•+1}} Hom(Γ_{c}(U_{α}, J^{•}), τ_{≥0}(Γ_{c}(X, K^{•})(d)[2d]))

(le Hom signifie le complexe d’homomorphismes. Le lecteur, s’il le veut, pourra plutot considérer les tricomplexe C̃^{•••} en prenant pour Hom les homomorphismes usuels. Cela ne changera rien puisque ce qui nous inéresse c’est le complexe total associé). Soit également

C̃_{2}^{••} = ⨁_{α∈(G/K)^{•+1}} Hom(Γ_{c}(U_{α}, J^{−•}), H_{c}^{2d}(X, Λ)(d))

Il y a alors un diagramme de complexes doubles de D_{c}(G)-modules

C̃_{1}^{••} ⟵ C̃_{2}^{••} ⟶ C̃^{••}

induisant

Tot C̃_{1}^{••} ⟵^{quasi-iso.} Tot C̃_{2}^{••} ⟶ Tot C̃^{••}

Considérons le second complexe double d’objets de Λ[G]−Mod_{∞} de la section ? ? ?

D^{••} = ⨁_{α∈G\(G/K)^{•+1}} c−Ind_{K_{α}}^{G}Γ(U_{α}, I^{•})^{∞}

tel que Tot D^{••} ≃ RΓ_{c}(X/G, L^{∨}). Soit le complexe de Cech

D_{0}^{••} = ⨁_{α∈G\(G/K)^{•+1}} c−Ind_{K_{α}}^{G}Γ(U_{α}, I^{•})

Il s’agit d’un complexe de D_{c}(G)-modules, où Γ(U_{α}, I^{•}) est un complexe de D(K)-modules et c−Ind_{K_{α}}^{G} : D(K_{α})−Mod ⟶ D_{c}(G)−Mod. D’après le lemme ? ? ?

D^{••} = ∞_{D_{c}(G)}D_{0}^{••}

Pour tous p, q et α les morphismes de D(K_{α})-modules

\xymatrix{Γ(U_{α}, I^{q})(d)[2d] \ar[r] & Hom(Γ_{c}(U_{α}, J^{•}), τ_{≥0}(Γ_{c}(X, K^{•})(d)[2d]))^{q} \\  & Hom(Γ_{c}(U_{α}, J^{−q}), H_{c}^{2d}(X, Λ)(d)) \ar[u] \ar[d] \\  & Γ_{c}(U_{α}, J^{−q})^{∗}}

étant compatibles entre eux, ils induisent un diagramme

\xymatrix{D_{0}^{••}(d)[2d] \ar[r] & C̃_{1}^{••} \\  & C̃_{2}^{••} \ar[u] \ar[d] \\  & C̃^{••}}

où dans la premier bicopmplexe le décalage [2d] se fait sur le second indice. Cela induit un diagramme de complexes de D_{c}(G)-modules

[figure: Tot (D_{0}^{••})(d)[2d]; Poinc; Tot (D_{0}^{••}(d)[2d]); Tot C̃_{1}^{••}; _{Tot C̃_{2}^{••}}; quasi−iso.; Tot(C̃^{••})]

où le morphisme Poinc est un isomorphisme dans 𝔻^{+}(D_{c}(G)). Il y a maintenant un diagramme dans 𝔻^{+}(D_{c}(G))

\xymatrix{Tot(D_{0}^{••})(d)[2d] \ar[r]^{Poinc} \ar[d] & Tot(C̃^{••}) \ar[r] & D^{m}(Tot C^{••}) \\ Tot(D^{••})(d)[2d]}

Après application du foncteur exact ∞_{D_{c}(G)} on obtient un isomorphisme dans 𝔻^{+}(Λ[G]_{∞})

Tot (D^{••})(d)[2d] ⟶^{∼} D(Tot C^{••})

De plus Tot C^{••} st un complexe d’objets projectifs de Λ[G]−Mod_{∞} comme il résulte du lemme qui suit. On conclut donc car alors D(Tot C^{••}) ≃ RD(RΓ_{c}(X/G, L)).

Lemme 2.7. — Soit Y un espace analytique et F ∈ Λ − Ỹ_{ét} un faisceau mou et Λ-plat. Alors Γ_{c}(Y, F) est un Λ-module libre.

Démonstration. L’anneau Λ étant artinien il suffit de montrer que Γ_{c}(Y, F) est un Λ-module plat. Soit donc M un Λ-module. La formule de projection

RΓ_{c}(Y, F) ⊗^{𝕃} M ≃ RΓ_{c}(Y, F ⊗\underline{Λ} \underline{M})

fournit l’isomorphisme

Tor_{1}^{Λ}(Γ_{c}(Y, F), M) ≃ H_{c}^{1}(Y, F ⊗\underline{Λ} \underline{M})

Il est de plus aisé de vérifier que F mou et plat sur Λ implique que F ⊗\underline{Λ} \underline{M} est mou.

Comme promis, voici comment incorporer l’action de Galois lorsque F n’est pas algébriquement clos. Il suffit de partir d’un ouvert distingué U de X comme précédemment et d’appliquer les résolutions précédentes à l’ouvert U ˆ⊗ˆ\overline{F}. Plus précisément si q : X ˆ⊗ˆ\overline{F} ⟶ X, en choisissant des résolutions comme précédemment de q^{∗}L, resp. q^{∗}L^{∨} , resp. \underline{Λ}, dans Λ − X̃_{ét}/G × Gal(\overline{F} |F)^{d} on construit l’isomorphisme voulu puisqu’alors tous les complexes sont naturellement Galois équivariants.

3. Le cas des coefficients ℓ-adiques

3.1. Rappels sur la cohomologie ℓ-adique des espaces analytiques. — Soit ℓ un nombre premier différent de p et L_{λ}|ℚ_{ℓ} une extension de degré fini d’anneau des entiers O_{λ} et d’uniformisante ϖ_{λ}.

Soit X un F -espace analytique lisse de dimension finie. On suppose F algébriquement clos. Rappelons quelques résultats que l’on trouvera dans la section 4.1 de [12].

Définition 3.1. — – On note O_{λ•} − X̃_{ét} la catgéorie des système projectifs de faisceaux sur X_{ét}, F_{1} ← F_{2} ← ⋯ ← F_{n} ← F_{n+1} ← …, où ∀i ≥ 1, F_{i} est un faisceau de O_{λ}/ϖ_{λ}^{i}-modules et les applications de transition sont O_{λ}-linéaires.

– On note

Γ_{!}(X, −) : O_{λ} − X̃_{ét} ⟶ O_{λ}−Mod

le foncteur Γ_{c}(X, −)

– On note

\xymatrix{O_{λ•} − X̃_{ét} \ar[r]^{π_{∗}} & O_{λ} − X̃_{ét} \ar[l]^{π^{∗}}}

le couple de foncteurs adjoints π_{∗}(F_{n})_{n} = lim_{⟵}_{n} F_{n} et π^{∗}F = (F ⊗ O_{λ}/ϖ_{λ}^{n})_{n}. On note de la

même façon le couple de foncteurs adjoints entre O_{λ•}−Mod et O_{λ}−Mod (cf. appendice, il n’y aura pas d’ambiguïté de notations).

– Le foncteur sections à support compact λ-adiques est le composé

Γ_{c}(X, −) = Γ_{!}(X, −) ∘ π_{∗} : O_{λ•} − X̃_{ét} ⟶ O_{λ}−Mod

– On note Γ̃_{c}(X, −) : O_{λ•} − X̃_{ét} ⟶ O_{λ•}−Mod et RΓ̃_{c}(X, −) le foncteur dérivé associé, à valeurs dans 𝔻^{b}(O_{λ•})

Rappelons qu’alors

RΓ_{c}(X, −) = RΓ_{!}(X, −) ∘ Rπ_{∗}

Il y a de plus un isomorphisme pour F ∈ O_{λ•} − X̃_{ét}

H_{c}^{•}(X, F) = lim_{⟶}_{U} H^{•}(Rπ_{∗}(RΓ̃_{c}(U, F)))

où U parcourt les ouverts distingués de X. En particulier si F = (F_{n})_{n} et pour tout ouvert distingué U de X et tout q le système projectif (H_{c}^{q}(U, F_{n}))_{n} vérifie la condition d’Artin-Rees on a pour tout q

H^{q}(U, (F_{n})_{n}) = lim_{⟶}_{U} lim_{⟵}_{n} H_{c}^{q}(U, F_{n})

C’est par exemple le cas si pour tout n, F_{n} est un système local en O_{λ}/ϖ_{λ}^{n}-modules de type fini car alors H_{c}^{q}(X, F_{n}) est de type fini (corollaire 5.6 de [3] ou bien le point (c) du corollaire 2.11 de [17]).

Nous aurons besoin d’autres résultats plus précis sur la cohomologie ℓ-adique à support compact des ouverts distingués démontrés dans [15]. Plutot que de faire référence à [15] expliquons comment ces résultats se démontrent simplement à partir d’un autre résultat de Huber obtenu dans [17] et des résultats de l’appendice. On utilise pour cela les résultats et notations de l’appendice. Soit donc U ⊂ X un ouvert distingué. Soit L = (L_{n})_{n} un système local λ-adique sur X_{ét}. Cela signifie que ∀n, L_{n} est un faisceau de O_{λ}/ϖ_{λ}^{n}-modules localement libres de rang fini et L_{n+1}/ϖ_{λ}^{n} = L_{n}.

Considérons C = RΓ̃_{c}(U, L) ∈ 𝔻^{b}(O_{λ•}). À l’étage n on a i_{n}^{∗}RΓ̃_{c}(U, L) ≃ RΓ_{c}(U, L_{n}) et donc d’après la formule de projection C ∈ D (cf. définition A.1). D’après les théorèmes de finitude rappelés précédemment C ∈ D_{tf}. En particulier ∀q, (H_{c}^{q}(U, L_{n}))_{n} est un système projectif A.R.- λ-adique de type fini.

D’après le théorème 2.9 de [17] U s’écrit comme une union croissante d’ouverts distingués U = ⋃_{k≥1} U_{k} de telle manière que ∀k les morphismes

H_{c}^{•}(U_{k}, L_{1}) ⟶ H_{c}^{•}(U_{k+1}, L_{1}) ⟶ H_{c}^{•}(U, L_{1})

soient des isomorphismes (avec les notations de [17], H_{c}^{•}(L(ϵ), L_{1}) ⟶^{∼} H_{c}^{•}(L̊, L_{1}) pour ϵ < 1 proche de 1, mais si l’on définit L′(ϵ) en prenant l’intérieur du fermé constructible défini en mettant des < à la place des ≤ dans la définition de L(ϵ), grâce à la proposition 5.4.5 de [14] on montre qu’il en est de même pour la cohomologie à support compact de L′(ϵ) pour ϵ proche de 1). Utilisant le fait que le foncteur i_{1}^{∗} : D ⟶ 𝔻^{b}(O_{λ}/ϖ_{λ}) est conservatif on en déduit que pour k ≥ 1

RΓ̃(U_{k}, L) ⟶^{∼} RΓ̃(U_{k}, L)

dans 𝔻^{b}(O_{λ•}). Pour tout q la limite inductive H_{c}^{q}(X, L) = lim_{⟶}_{k} H^{q}(Rπ_{∗}(RΓ̃_{c}(U_{k}, L))) est donc

constante et on a donc les formules

RΓ_{c}(U, L) = Rπ_{∗}RΓ̃_{c}(U, L) ∈ 𝔻_{tf}^{b}(O_{λ})
H_{c}^{q}(U, L) = lim_{⟵}_{n} H_{c}^{q}(U, L_{n})

RΓ_{c}(U, L_{n}) = RΓ_{c}(U, L) ⊗^{𝕃}_{O_{λ}} O_{λ}/ϖ_{λ}^{n}

On a le même type de résultat pour la cohomologie sans support d’un ouvert distingué U. Plus précisément, notons

Γ̃(U, −) : O_{λ•} − X̃ ⟶ O_{λ•}−Mod
(F_{n})_{n} ⟼ (Γ(U, F_{n}))_{n}

et

Γ(U, −) = π_{∗} ∘ Γ̃(U, −)

On a alors comme précédemment RΓ(U, −) = Rπ_{∗} ∘RΓ̃(U, −). La formule de projection est valable dans ce cadre là,

RΓ(U, L_{n+1}) ⊗^{𝕃}_{O_{λ}/ϖ_{λ}^{n+1}} O_{λ}/ϖ_{λ}^{n} = RΓ(U, L_{n})

(tout simplement car O_{λ}/ϖ_{λ}^{n} possède une résolution formée de O_{λ}/ϖ_{λ}^{n+1}-modules libres de type fini), et donc RΓ̃(U, L) ∈ D. De plus d’après la proposition 3.1 et le théorème 3.3 de [16] on a

RΓ̃(U, L) ∈ D_{tf}

De tout cela on déduit que les (H^{q}(U, L_{n}))_{n} sont des systèmes projectifs A.R.-λ-adiques de type fini, RΓ(U, L) ∈ D_{tf},

H^{q}(U, L) = lim_{⟵}_{n} H^{q}(U, L_{n})

et

RΓ(U, L_{n}) = RΓ(U, L) ⊗^{𝕃}_{O_{λ}} O_{λ}/ϖ_{λ}^{n}

3.2. Complexe de cohomologie ℓ-adique équivariant lisse. — Supposons maintenant que X soit muni d’une action continue du groupe localement profini G. On suppose que G possède un sous-groupe ouvert pro-p. On note D_{c}(G) l’algèbre des distributions à support compact à valeurs dans O_{λ}. Si L = (L_{n})_{n} est un système local λ-adique comme précédemment et qui est de plus G-équivariant, on sait d’après le corollaire 4.4.7 de [12] que l’action de G sur H_{c}^{•}(X, L) est lisse. On veut relever cela en un complexe de cohomologie λ-adique équivariant lisse. On procède comme dans [8] en utilisant le foncteur ∞_{D_{c}(G)}.

Considérons pour cela le foncteur

Γ_{c,D}(X/G, −) : O_{λ•} − X̃_{ét}/G ⟶ D_{c}(G)−Mod
(F_{n})_{n} ⟼ Γ_{c}(X, (F_{n}))

On a en effet déja vu dans le lemme 2.3 qu’une limite projective de G-modules lisses est naturellement un D_{c}(G)-module. Or on vérifie aisément que Γ_{c}(X, (F_{n})_{n}) est un sous-D_{c}(G)-module de lim_{⟵}_{n} Γ_{c}(X, F_{n}). Posons alors

Γ_{c}(X/G, −) = ∞_{D_{c}(G)} ∘ Γ_{c,D}(X/G, −) : O_{λ•} − X̃_{ét}/G ⟶ O_{λ}[G]−Mod_{∞}

On a donc RΓ_{c}(X/G, −) = ∞_{D_{c}(G)} ∘ RΓ_{c,D}(X/G, −).

Tout (F_{n})_{n} ∈ O_{λ•} − X̃_{ét}/G possède une résolution formée d’objets (J_{n})_{n} ∈ O_{λ•} − X̃_{ét}/G tels que les applications de transition J_{n+1} ⟶ J_{n} soient scindées et les J_{n} soient mous. Un tel système projectif est Γ_{c}(X, −)-acyclique. On en déduit que via la foncteur 𝔻^{+}(D_{c}(G)) ⟶ 𝔻^{+}(O_{λ}), RΓ_{c,D}(X/G, (F_{n})_{n}) s’envoit sur RΓ_{c}(X, (F_{n})_{n}) (ou l’on note abusivement de la même façon (F_{n})_{n} pour le G-faisceau ou bien le faisceau après oubli de son action de G). Pour un système local L comme précédemment qui est de plus G-équivariant, puisque ses groupes de cohomologie λ-adiques sont lisses, on en déduit que via 𝔻^{+}(O_{λ}[G]_{∞}) ⟶ 𝔻^{+}(O_{λ}), RΓ_{c}(X/G, L) s’envoit sur RΓ_{c}(X, L).

3.3. Énoncé du théorème. —

Théorème 3.2. — Supposons que l’action de G sur |X| est propre et que G\|X| est compact. Soit L un système local λ-adique G-équivariant sur X_{ét}. Alors, RΓ_{c}(X ˆ⊗_{F} ˆ \overline{F}/G × Gal(\overline{F} |F)^{d}, L) ⊗_{O_{λ}} L_{λ} ∈ 𝔻_{tf}^{b}(L_{λ}[G × Gal(\overline{F} |F)^{d}]_{∞}) et il y a un isomorphisme

RΓ_{c}(X ˆ⊗_{F} ˆ \overline{F}/G × Gal(\overline{F} |F)^{d}, L^{∨})(d)[2d] ⊗ L_{λ} ⟶^{∼} D (RΓ_{c}(X ˆ⊗_{F} ˆ \overline{F}/G × Gal(\overline{F} |F)^{d}, L) ⊗ L_{λ})

Comme dans le cas de torsion on va supposer F algébriquement clos, l’action de Galois s’incorporant facilement une fois que l’on a compris ce cas là.

3.4. Résolutions canoniques λ-adiques. — Soit U un ouvert distingué dans X et K un sous-groupe compact ouvert pro-p stabilisant U. Comme dans la section 2.2 il y a un triplet de foncteurs adjoints

\xymatrix{O_{λ•} − Ũ_{ét}/K \ar[r]^{c−Ind_{U/K}^{X/G}} \ar[r]_{_{Ind{X/G \atop U/K}}} & O_{λ•} − X̃_{ét}/G \ar[l]|{Res_{U/K}^{X/G}}}

qui étage par étage fournit les foncteurs adjoints de la section 2.2. Ainsi si F ∈ O_{λ•} − X̃_{ét}/G il y a deux résolutions

C^{•}(F) ⟶ F et F ⟶ D^{•}(F)

dans O_{λ•} − X̃_{ét}/G qui étage par étage sont les résolutions de la section 2.2.

Si maintenant F = (F_{n})_{n} ∈ O_{λ•}−X̃_{ét}/G est tel que ∀n, F_{n} soit mou, alors C^{•}(F) = (C^{•}(F_{n}))_{n} est une résolution molle étage par étage. Supposons de plus que pour tout n, F_{n} soit plat sur O_{λ}/ϖ_{λ}^{n} et F_{n+1}/ϖ_{λ}^{n} = F_{n}. Il en est alors de même pour tout q de (C^{q}(F_{n}))_{n}.

Or si G = (G_{n})_{n} ∈ O_{λ•} − X̃_{ét} est mou étage par étage, G_{n} est plat et G_{n+1}/ϖ_{λ}^{n} = G_{n}, G est Γ_{c}(X, −)-acyclique. En effet, si V est un ouvert distingué dans X alors la formule de projection montre que Γ_{c}(V, G_{n+1})/ϖ_{λ}^{n} = Γ_{c}(V, G_{n}). Le système projectif (Γ_{c}(V, G_{n}))_{n} est donc π_{∗}-acyclique. De la formule

H_{c}^{q}(X, F) = lim_{⟶}_{V} lim_{⟵}_{n} H_{c}^{q}(V, G_{n})

on déduit que G est Γ_{c}(X, −)-acyclique.

Donc, si F est comme précédemment, C^{•}(F) ⟶ F est une résolution Γ_{c}(X/G, −)-acyclique de F. On a de plus

Γ_{c,D}(X/G, C^{•}(F)) = ⨁_{α∈G\(G/K)^{−•+1}} c−Ind_{K_{α}}^{G} lim_{⟵}_{n} Γ_{c}(U_{α}, F_{n})

où c−Ind_{K_{α}}^{G} : D(K_{α})−Mod ⟶ D_{c}(G)−Mod (cf. section 1.4).

Soit donc L un système local λ-adique comme précédemment. Il existe une résolution L ⟶ (J_{n}^{•})_{n} dans O_{λ•} −X̃_{ét}/G telle que pour tout n, J_{n}^{•} est plat sur O_{λ}/ϖ_{λ}^{n} et J_{n+1}^{•}/ϖ_{λ}^{n} = J_{n}^{•} (utiliser des résolutions de Godement-Berkovich comme dans le lemme 2.5). Alors

RΓ_{c,D}(X/G, L) ≃ Tot ⨁_{α∈G\(G/K)^{−•+1}} c−Ind_{K_{α}}^{G} lim_{⟵}_{n} Γ_{c}(U_{α}, τ_{≤2d}J_{n}^{•})

Venons en au second type de résolution canonique, F ⟶ D^{•}(Dr). Soit L ⟶ (I_{n}^{•})_{n} une résolution dans O_{λ•} − X̃_{ét}/G telle que pour tout n, L_{n} ⟶ I_{n}^{•} est une résolution injective dans O_{λ}/ϖ_{λ}^{n} − X̃_{ét}/G et ∀n, q, I_{n+1}^{q} ⟶ I_{n}^{q} est scindé. On obtient alors un isomorphisme dans 𝔻^{+}(D_{c}(G))

RΓ_{c,D}(X/G, L) ≃ Tot ⨁_{α∈G\(G/K)^{•+1}} c−Ind_{K_{α}}^{G} lim_{⟵}_{n} (Γ(U_{α}, I_{n}^{•})^{∞})

En fait, le complexe de Cech usuel

Tot ⨁_{α∈G\(G/K)^{•+1}} c−Ind_{K_{α}}^{G} lim_{⟵}_{n} Γ(U_{α}, I_{n}^{•})

est déja un complexe de D_{c}(G)-modules et on a donc dans 𝔻^{+}(O_{λ}[G]_{∞})

RΓ_{c}(X/G, L) ≃ ∞_{D_{c}(G)}(Tot ⨁_{α∈G\(G/K)^{•+1}} c−Ind_{K_{α}}^{G} lim_{⟵}_{n} Γ(U_{α}, I_{n}^{•}))

3.5. Dualité de Poincaré ℓ-adique sur un ouvert distingué. — Soit L ⟶ J^{•} = (J_{n}^{•})_{n} un résolution dans O_{λ•} −X̃_{ét}/G telle que pour tout n et q, J_{n}^{q} soit plat sur O_{λ}/ϖ_{λ}^{n} et J_{n+1}^{q}/ϖ_{λ}^{n} = J_{n}^{q}. Soit L^{∨} ⟶ I^{•} = (I_{n}^{•})_{n} une résolution dans O_{λ•} − X̃_{ét}/G telle que pour tout n, L_{n}^{∨} ⟶ I_{n}^{•} soit une résolution injective dans O_{λ}/ϖ_{λ}^{n} − X̃_{ét}/G et les applications I_{n+1}^{q} ⟶ I_{n}^{q} soient scindées. Soit enfin \underline{O_{λ•}} ⟶ K^{•} une résolution injective dans O_{λ•} − X̃_{ét}/G.

La platitude de J^{•} implique que L⊗_{O_{λ•}} L^{∨} ⟶ Tot J^{•}⊗_{O_{λ•}} I^{•} est une résolution de L⊗_{O_{λ•}} L^{∨}. Il y a donc un morphisme de résolutions

\xymatrix{L ⊗_{O_{λ•}} L^{∨} \ar[d] \ar[r] & Tot J^{•} ⊗ I^{•} \ar[d] \\ \underline{Λ} \ar[r] & K^{•}}

Fixons un tel morphisme.

Soit maintenant V un ouvert distingué dans X. Il y a un morphisme de complexes de O_{λ}- modules

lim_{⟵}_{n} Γ(V, I_{n}^{•})(d)[2d] ⟶ Hom( lim_{⟵}_{n} Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J_{n}^{•}), Tot( lim_{⟵}_{n} Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J_{n}^{•} ⊗ I_{n}^{•}))(d)[2d])

qui grâce au morphisme de résolutions précédentes fournit un morphisme de complexes

lim_{⟵}_{n} Γ(V, I_{n}^{•})(d)[2d] ⟶ Hom( lim_{⟵}_{n} Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J_{n}^{•}), lim_{⟵}_{n} Γ_{c}(V, K_{n}^{•})(d)[2d])

Composant avec le morphisme de troncation on obtient un morphisme

lim_{⟵}_{n} Γ(V, I_{n}^{•})(d)[2d] ⟶ Hom( lim_{⟵}_{n} Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J_{n}^{•}), τ_{≥0}( lim_{⟵}_{n} Γ_{c}(V, K_{n}^{•})(d)[2d]))

L’inclusion H_{c}^{2d}(V, O_{λ•})(d) ↪ τ_{≥0}( lim_{⟵}_{n} Γ_{c}(V, K_{n}^{•})(d)[2d]) est un quasi-isomorphisme. Il y a une

application trace H_{c}^{2d}(V, O_{λ•})(d) ⟶ O_{λ}. Au final on obtient un diagramme

\xymatrix{lim_{⟵}_{n} Γ(V, I_{n}^{•})(d)[2d] \ar[r] \ar[ddr]_{_{Poinc_{V}}} & Hom( lim_{⟵}_{n} Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J_{n}^{•}), τ_{≥0}( lim_{⟵}_{n} Γ_{c}(V, K_{n}^{•})(d)[2d])) \\  & Hom( lim_{⟵}_{n} Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J_{n}^{•}), H_{c}^{2d}(V, O_{λ•})(d)) \ar[u]_{quasi−iso} \ar[d] \\  & Hom( lim_{⟵}_{n} Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J_{n}^{•}), O_{λ})}

Grâce aux rappels faits sur la cohomologie λ-adique d’un ouvert distingué toutes les hypothèses du corollaire A.5 de l’appendice sont satisfaites (utiliser également le lemme 2.7). On en déduit grâce au théorème de dualité de Poincaré en cohomologie de torsion que le morphisme Poinc_{V} de 𝔻^{+}(O_{λ}) est un isomorphisme. On vérifie aisément qu’en fait Poinc_{V} est naturellement un morphisme dans 𝔻^{+}(D_{c}(G)). Toujours d’après le corollaire A.5, le morphisme composé

lim_{⟵}_{n} Γ(V, I_{n}^{•})(d)[2d] ⊗ L_{λ} ⟶^{Poinc_{V} ⊗Id} Hom( lim_{⟵}_{n} Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J_{n}^{•}), O_{λ}) ⊗ L_{λ}

⟶ Hom(( lim_{⟵}_{n} Γ_{c}(V, τ_{≤2d}J_{n}^{•})) ⊗ L_{λ}, L_{λ})

est un isomorphisme dans 𝔻^{+}(D_{c}(G) ⊗ L_{λ}).

3.6. Preuve du théorème. — On procéde de manière identique à la démonstration du cas de torsion en utilisant les résolutions canoniques ℓ-adiques et la dualité de Poincaré sur un ouvert distingué. On construit d’abord un isomorphisme dans 𝔻^{+}(D_{c}(G) ⊗ L_{λ}), puis on applique le foncteur ∞_{D_{c}(G)} pour obtenir notre isomorphisme.

4. Application à la cohomologie des tours de Drinfeld et de Lubin-Tate

4.1. Tour de Drinfeld. — Soit F |ℚ_{p} une extension de degré fini. Notons F̆ = F̂^{nr} le complété de l’extension maximale non-ramifiée de F et Ŏ son anneau des entiers. Soit n ∈ ℕ, n ≥ 1. Soit D une algébre à division d’invariant \frac{1}{n} sur F. On considére l’espace de Rapoport-Zink M̂^{Dr} des déformations par quasi-isogénies d’un O_{D}-module formel spécial de dimension n et hauteur n^{2} au sens de Drinfeld. Il s’agit d’un schéma formel GL_{n}(F)-équivariant sur Spf(Ŏ). On normalise l’action de GL_{n}(F) de manière à ce que celle-ci se fasse à droite. Plus précisément, si 𝔾 désgigne le O_{D}-module formel spécial sur le corps résiduel de F̆ que l’on déforme, GL_{n}(F) = End_{O_{D}}(𝔾)_{ℚ}^{×}.

Si (G, ρ) est une déformation de 𝔾, avec ρ une quasi-isogénie O_{D}-équivariante, ∀g ∈ GL_{n}(F), g.(G, ρ) = (G, ρ ∘ g). Il admet une décomposition en composantes connexes

M̂^{Dr} = ∐_{h∈ℤ} M̂^{Dr,[h]}

où M̂^{Dr,[h]} désigne la composante où la hauteur renormalisée de la quasi-isogénie universelle est h. Il y a une identification M̂^{Dr,[0]} = Ω̂ ˆ⊗Ŏ, le schéma formel de Deligne-Drinfeld sur Ŏ. L’action de g ∈ GL_{n}(F) envoit la composante M̂^{Dr,[h]} sur M̂^{Dr,[h+v(det g)]}. Le schéma formel M̂^{Dr} est muni d’une donnée de descente non-effective à Spf(O_{F}), α : M̂^{Dr} ⟶^{∼} (M̂^{Dr})^{(σ)}, σ ∈ Gal(F̆|F) désignant le Frobenius arithmétique, compatible à l’action de GL_{n}(F). On a α : M̂^{Dr,[h]} ⟶^{∼} (M̂^{Dr,[h−1]})^{(σ)}. Soit (M̂^{Dr})^{an} la fibre générique de M̂^{Dr} en tant qu’espace analytique de Berkovich sur F̆. Il y a une tour de revétements étales finis

(M_{K}^{Dr})_{K⊂O_{D}^{×}}

où K parcourt les sous-groupes ouverts de O_{D}^{×}, M_{O_{D}^{×}}^{Dr} = (M̂^{Dr})^{an} étant la base de la tour.

Plus précisément, si K′ ⊂ K, M_{K′}^{Dr} ⟶ M_{K}^{Dr} est étale fini. Cette tour est munie d’une action de GL_{n}(F)×D^{×} au sens où pour tout K, GL_{n}(F) agit sur M_{K}^{Dr} et si d ∈ D^{×}, d : M_{K}^{Dr} ⟶ M_{dKd^{−1}}^{Dr}, les deux actions commutant. L’action de D^{×} est une action à droite. Lorsque K′ ◁ K l’action de K sur M_{K′}^{Dr} au dessus de M_{K}^{Dr} fait de M_{K′}^{Dr} ⟶ M_{K}^{Dr} un revêtement galoisien de groupe K/K′. La décomposition de la base de la tour se propage en une décomposition de la tour

(M_{K}^{Dr})_{K} = ∐_{h∈ℤ}(M_{K}^{Dr,[h]})_{K}

où ∀(g, d) ∈ GL_{n}(F) × D^{×}, (g, d) : M_{K}^{Dr,[h]} ⟶ M_{dKd^{−1}}^{Dr,[h+v(det(g))+v(Nrd(d))]}, Nrd : D^{×} ⟶ F^{×} désignant la norme réduite. Soit F^{×} ↪ GL_{n}(F) × D^{×} le plongement central x ↦ (x, x^{−1}). Alors F^{×} ⊂ GL_{n}(F)×D^{×} agit trivialement sur la tour. La donnée de descente se propage également à la tour en une donnée de descente α : (M_{K}^{Dr})_{K} ⟶^{∼} (M_{K}^{Dr})_{K}^{(σ)} compatible à l’action de GL_{n}(F)×D^{×}

et vérifiant α : M_{K}^{Dr,[h]} ⟶^{∼} (M_{K}^{Dr,[h]})^{(σ)}.

4.2. Cohomologie de la tour de Drinfeld. — Notons

H_{c}^{•}(M_{K}^{Dr}) := H_{c}^{•}(M_{K}^{Dr} ˆ⊗ˆ\overline{F}, ℤ_{ℓ•}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} \overline{ℚ}_{ℓ}, H_{c}^{•}(M^{Dr}) := lim_{⟶}_{K} H_{c}^{•}(M_{K}^{Dr})

qui est muni d’une action lisse à gauche de GL_{n}(F) × D^{×} × W_{F} où W_{F} ⊂ Gal(\overline{F} |F) désigne le groupe de Weil. L’action du groupe d’inertie dans W_{F} est l’action usuelle sur la cohomologie étale, quant à l’action de W_{F} en entier elle se définit en utilisant la donnée de descente α. Il s’agit en fait d’une action de (GL_{n}(F) × D^{×})/F^{×} × W_{F}. On a de plus H_{c}^{•}(M_{K}^{Dr}) = H_{c}^{•}(M^{Dr})^{K}.

Soit (GL_{n}(F) × D^{×} × W_{F})^{0} le noyau du caractére surjectif

GL_{n}(F) × D^{×} × W_{F} ⟶ ℤ
(g, d, τ) ⟼ v(det g) + v(Nrd d) + v(τ)

où si τ ∈ W_{F}, v(τ) ∈ ℤ est tel que τ_{|F̆} = σ^{v(τ)}. On a alors

H_{c}^{•}(M^{Dr}) = c−Ind_{(GL_{n}(F)×D^{×}×W_{F})^{0}}^{GL_{n}(F)×D^{×}×W_{F}} H_{c}^{•}(M^{Dr,[0]})

et de même pour H_{c}^{•}(M_{K}^{Dr}) et H_{c}^{•}(M_{K}^{Dr,[0]}).

Pour tout K la représentation lisse de GL_{n}(F), H_{c}^{•}(M_{K}^{Dr}), est de type fini car |M_{K}^{Dr}|/GL_{n}(F) est compact. Le théorème qui suit est par contre nettement moins évident (et faux pour un espace de Rapoport-Zink général).

Théorème 4.1. — La représentation lisse de GL_{n}(F)^{0}, H_{c}^{•}(M^{Dr,[0]}), est admissible. Pour tout K, H_{c}^{•}(M_{K}^{Dr,[0]}) est une représentation de longueur finie de GL_{n}(F)^{0}.

Démonstration. Le second résultat est une conséquence du premier puisque être de longeur finie est équivalent à être de type fini et admissible. Le premier résultat est une conséquence de l’isomorphisme entre la cohomologie de la tour de Drinfeld et celle de Lubin-Tate, cf. section 4.5.

Proposition 4.2. — La cohomologie de la tour de Drinfeld est concentrée en degrés [n−1, 2(n− 1)], i.e. H_{c}^{q}(M^{Dr}) = 0 si q ∉ [n − 1, 2(n − 1)].

Démonstration. Le fait que la cohomologie soit en degrés ≤ 2(n−1) résulte de ce que dim M_{K}^{Dr} = n − 1. Pour l’autre inégalité, ≥ (n − 1), il suffit de la montrer pour M_{K}^{Dr,[0]} pour un K donné. Or l’espace Ω de Drinfeld (comme espace analytique de Berkovich) s’écrit comme une union croissante de domaines analytiques compacts quasi-affines sur F au sens de la définition 5.5 de [4]. D’après le corollaire 5.6 de [4] il en est donc de même de M_{K}^{Dr,[0]}. Soit M_{K}^{Dr,[0]} = ⋃_{n} W_{n} une telle décomposition avec W_{n} ⊂ W_{n+1}. Soit W_{n}^{ad} l’espace adique associé à W_{n} au sens de Huber. D’après le théorème 6.1 de [4], pour tout n, H^{•}(W_{n} ˆ⊗ˆ\overline{F}, \overline{ℚ}_{ℓ}) = H^{•}(W_{n}^{ad} ˆ⊗ˆ\overline{F}, \overline{ℚ}_{ℓ}) est concentré en degrés • ∈ [0, (n − 1)]. Par dualité de Poincaré pour les espaces adiques ([14] 7.5.3, on utilise la cas ℓ-adique qui se déduit du cas de torsion comme dans précédemment pour la cohomologie des ouverts distingués), H_{c}^{•}(W_{n}^{ad} ˆ⊗ˆ\overline{F}, \overline{ℚ}_{ℓ}) est concentré en degrés [n − 1, 2(n − 1)]. Étant donné que

H_{c}^{•}(M_{K}^{Dr} ˆ⊗ˆ\overline{F}, \overline{ℚ}_{ℓ}) = lim_{⟶}_{n} H_{c}^{•}(W_{n}^{ad} ˆ⊗ˆ\overline{F}, \overline{ℚ}_{ℓ}) on conclut.

4.3. Complexe de cohomologie équivariant lisse. — Soit maintenant H = (GL_{n}(F) × D^{×})/F^{×}. Soit K ⊂ O_{D}^{×} un sous-groupe ouvert tel que K ◁ D^{×}, on prendra par exemple K = 1 + π^{n}O_{D} avec n ≥ 1. Le groupe H agit continument sur M_{K}^{Dr}. Soit

RΓ_{c}(M_{K}^{Dr}) := RΓ_{c}(M_{K} ˆ⊗ˆ\overline{F}/H × W_{F}^{disc}, ℤ_{ℓ•}) ⊗_{ℤ_{ℓ}} \overline{ℚ}_{ℓ} ∈ 𝔻_{lf}^{b}(\overline{ℚ}_{ℓ}[H × W_{F}^{disc}]_{∞})

(on a rappelé dans la section 3.2 la définition d’un tel complexe de cohomologie équivariant lisse, cette définition d’applique à H × I_{F}^{disc}. On laisse au lecteur le soin d’étendre cela à H × W_{F}^{disc} en utilisant la donnée de descente α). On a de même RΓ_{c}(M_{K}^{Dr,[0]}) ∈ 𝔻^{b}(\overline{ℚ}_{ℓ}[(H × W_{F}^{disc})^{0}]_{∞}) et

RΓ_{c}(M_{K}^{Dr}) = c−Ind_{(H×W_{F})^{0}}^{H×W_{F}}RΓ_{c}(M_{K}^{Dr,[0]})

Le foncteur des K-invariants est exact, RΓ_{c}(M_{K}^{Dr}) = RΓ_{c}(M_{K}^{Dr})^{K} et on peut donc si l’on veut remplacer la catégorie dérivée équivariante lisse précédente par 𝔻^{b}(\overline{ℚ}_{ℓ}[(GL_{n}(F) × D^{×}/K)/F^{×} × W_{F}^{disc}]_{∞}).

On utilisera en fait dans la pratique la variante suivante. Soit χ : F^{×} ⟶ \overline{ℚ}_{ℓ}^{×} un caractére lisse. Plongeons F^{×} ↪ H via x ↦ (x, 1) ∈ GL_{n}(F) × D^{×}. Notons Z ⊂ H ce sous-groupe central. Posons alors

RΓ_{c}(M_{K}^{Dr})_{χ} := RΓ_{c}(M_{K}^{Dr}) ⊗^{𝕃}_{H(Z)} χ ∈ 𝔻_{tf}^{b}(\overline{ℚ}_{ℓ}[H × W_{F}^{disc}]_{∞,χ})

(cf. section 1.6). Il y a une égalité de foncteurs

c−Ind_{(H×W_{F}^{disc})^{0}}^{H×W_{F}^{disc}}(−) ⊗^{𝕃}_{H(Z)} χ = c−Ind_{(H×W_{F}^{disc})^{0},χ}^{H×W_{F}^{disc}}((−) ⊗_{H(Z^{0})} χ_{|Z^{0}})

de 𝔻^{b}(\overline{ℚ}_{ℓ}[(H ×W_{F}^{disc})^{0}]_{∞,χ_{|Z^{0}}} ) dans 𝔻^{b}(\overline{ℚ}_{ℓ}[H ×W_{F}^{disc}]_{∞,χ}), où Z^{0} = O_{F}^{×} (χ_{|Z^{0}} est plat sur H(Z^{0}) et il n’y a pas lieu de dériver le produit tensoriel du membre de droite). On a donc

RΓ_{c}(M_{K}^{Dr})_{χ} = c−Ind_{(H×W_{F}^{disc})^{0},χ}^{H×W_{F}^{disc}}RΓ_{c}(M_{K}^{Dr,[0]})_{χ_{|Z^{0}}}

Étant donné que RΓ_{c}(M_{K}^{Dr,[0]}) ∈ 𝔻_{lf}^{b} et que [H × W_{F} : (H × W_{F})^{0}.Z] = n < +∞ on en déduit que

RΓ_{c}(M_{K}^{Dr})_{χ} ∈ 𝔻_{lf}^{b}(\overline{ℚ}_{ℓ}[H × W_{F}^{disc}]_{∞,χ})

4.4. Le théorème de dualité. —

Théorème 4.3. — Pour tout K sous groupe ouvert dans O_{D}^{×} tel que K ◁ D^{×}, il y a un isomorphisme dans 𝔻_{tf}^{b}(\overline{ℚ}_{ℓ}[H × W_{F}^{disc}]_{∞})

RΓ_{c}(M_{K}^{Dr})(n − 1)[2(n − 1)] ≃ D(RΓ_{c}(M_{K}^{Dr}))

Démonstration. Mis à part le problème lié à la donnée de descente, que l’on laisse au lecteur, il s’agit d’une application immédiate du théorème 3.2.

Par application du lemme 1.19 on en déduit :

Corollaire 4.4. — Pour tout K comme précédemment et χ un caractére de F^{×}, il y a un isomorphisme

RΓ_{c}(M_{K}^{Dr})_{χ^{−1}}(n − 1)[2(n − 1)] ≃ D_{χ}(RΓ_{c}(M_{K}^{Dr})_{χ})

où D_{χ} : 𝔻_{lf}^{b}(\overline{ℚ}_{ℓ}[H × W_{F}^{disc}]_{∞,χ}) ⟶ 𝔻_{lf}^{b}(\overline{ℚ}_{ℓ}[H × W_{F}^{disc}]_{∞,χ^{−1}}).

Étant donné que D^{×}/K.F^{×} est un groupe fini, il y a une décomposition orthogonale

⨁_{ρ} 𝔻_{lf}^{b}(\overline{ℚ}_{ℓ}[GL_{n}(F) × W_{F}^{disc}]_{∞,χ}) ⟶^{∼} 𝔻_{lf}^{b}(\overline{ℚ}_{ℓ}[H × W_{F}^{disc}]_{∞,χ})
(π_{ρ}^{•})_{ρ} ⟼ ⨁_{ρ} π_{ρ}^{•} ⊗ ρ

où ρ parcourt les représentations irréductibles de D^{×} triviales sur K de caractére central χ. Soit pour une telle ρ, RΓ_{c}(M)_{ρ} la composante associée de RΓ_{c}(M_{K}^{Dr})_{χ}. On a les formules suivantes

RΓ_{c}(M^{Dr})_{ρ} = Hom_{D^{×}}(ρ, RΓ_{c}(M_{K}^{Dr})_{χ})
RΓ_{c}(M_{K}^{Dr})_{χ} = ⨁_{{ρ \atop χρ=χ,ρ_{|K} =1}} RΓ_{c}(M^{Dr})_{ρ} ⊗ ρ

Le corollaire précédent se récrit alors :

Corollaire 4.5. — Pour toute représentation lisse irréductible ρ de D^{×} il y a un isomorphisme

RΓ_{c}(M^{Dr})_{ρ^{∨}}(n − 1)[2(n − 1)] ≃ D_{χ_{ρ}}(RΓ_{c}(M^{Dr})_{ρ})

dans 𝔻_{lf}^{b}(\overline{ℚ}_{ℓ}[GL_{n}(F) × W_{F}^{disc}]_{∞,χ_{ρ}^{−1}}).

Passant à la cohomologie on obtient alors le théorème suivant.

Théorème 4.6. — Soit ρ une représentation lisse irréductible de D^{×}. Posons pour q ≥ 0,

H_{c}^{q}(M^{Dr})_{ρ} = Hom_{D^{×}}(ρ, H_{c}^{q}(M^{Dr}) ⊗_{H(Z)} χ_{ρ})

une représentations lisse de longeur finie de GL_{n}(F) × W_{F}. Décomposons cette représentation suivant les composantes du centre de Bernstein de GL_{n}(F)

H_{c}^{q}(M^{Dr})_{ρ} = ⨁_{𝔰∈I} H_{c}^{q}(M^{Dr})_{ρ,𝔰}

Pour 𝔰 ∈ I soit i(𝔰) ∈ ℕ la profondeur d’un sous-groupe parabolique associé à 𝔰. Alors H_{c}^{q}(M^{Dr})_{ρ,𝔰} = 0 si q ∉ [n − 1, n − 1 + i(𝔰)]. De plus pour tout q, il y a des isomorphismes de GL_{n}(F) × W_{F} -représentations lisses

H_{c}^{n−1+i(𝔰)−q}(M^{Dr})_{ρ̌,𝔰̌}(n − 1) ≃ Zel(H_{c}^{n−1+q}(M^{Dr})ρ̃,𝔰)

En particulier soit χ un caractére fixé de F^{×} et K ⊂ O_{D}^{×}, K◁D^{×}. Alors, l’involution Zel∘˜(−)(1−n) induit une bijection renversant l’ordre entre le treilli des sous-représentations de GL_{n}(F) × D^{×} × W_{F} de H_{c}^{n−1+q}(M^{Dr})_{χ,𝔰}^{K} et celui de H_{c}^{n−1+i(𝔰)−q}(M^{Dr})_{χ^{−1},𝔰̌}^{K}.

Notons JH^{0}(H_{c}^{•}(M^{Dr})_{χ,𝔰}^{K}) l’ensemble des quotients irréductibles avec multiplicité d’une suite de Jordan-Hölder de H_{c}^{•}(M)_{χ,𝔰}^{K} comme représentation de GL_{n}(F) × D^{×} × W_{F}. Alors

JH^{0}(H_{c}^{n−1+i(𝔰)−q}(M^{Dr})_{χ^{−1},𝔰̌}^{K}) = {Zel(π̃) ⊗ ρ̌ ⊗ σ̌(1 − n) | π ⊗ ρ ⊗ σ ∈ JH^{0}(H_{c}^{n−1+q}(M^{Dr})_{χ,𝔰}^{K})} avec multiplicités.

4.5. Le théorème de dualité pour la cohomologie de la tour de Lubin-Tate. — Soit (M_{U}^{LT})_{U} la tour de Lubin-Tate vue comme espace de Rapoport-Zink où U parcourt les sousgroupes ouverts de GL_{n}(O_{F}). Il s’agit d’une tour d’espace analytiques sur F̆. Chaque élément de la tour est muni d’une action à droite de D^{×} et il y a une action à droite “à la limite” de GL_{n}(F),

∀g ∈ GL_{n}(F), ∀U ⊂ GL_{n}(O_{F}), g^{−1}Ug ⊂ GL_{n}(O_{F}), g : M_{U}^{LT} ⟶^{∼} M_{g^{−1}Ug}^{LT}. Le sous-groupe

Z′ = {(x, x^{−1} | x ∈ F^{×}} ⊂ GL_{n}(F) × D^{×} agit trivialement.

Il y a une décomposition comme pour la tour de Drinfeld (M_{U}^{LT})_{U} = ∐_{h∈ℤ}(M_{U}^{LT ,[h]})_{U} et la tour (M_{U}^{LT ,[0]})_{U} est la tour de Lubin-Tate usuelle telle que définie dans [10]. Comme pour la tour de

Drinfeld, elle est munie d’une donnée de descente à F. Soit H_{c}^{•}(M^{LT}) := lim_{⟶}_{U} H_{c}^{•}(M_{U}^{LT} ˆ⊗ˆ\overline{F}, \overline{ℚ}_{ℓ}),

une représentation lisse de GL_{n}(F)×D^{×}×W_{F}. Soit (GL_{n}(F)×D^{×}×W_{F})^{1} le noyau du morphisme

GL_{n}(F) × D^{×} × W_{F} ⟶ ℤ
(g, d, τ) ⟼ v(Nrd d) − v(det g) + v(τ)

Alors H_{c}^{•}(M^{LT}) = c−Ind_{(GL_{n}(F)×D^{×}×W_{F})^{1}}^{GL_{n}(F)×D^{×}×W_{F}}H_{c}^{•}(M^{LT ,[0]}). Pour un niveau fixé U, M_{U}^{LT ,[0]} est un

ouvert distingué dans l’espace analytique associé à une variété algébrique. Donc, H_{c}^{•}(M_{U}^{LT ,[0]}) est de dimension finie et H_{c}^{•}(M^{LT}) est une représentation admissible de GL_{n}(F)^{0}. La cohomologie ℓ-adique de M_{U}^{LT} sans support a donc de plus un sens et il y a une formule de dualité de Poincaré

H^{•}(M_{U}^{LT ,[0]}) = H_{c}^{2(n−1)−•}(M_{U}^{LT ,[0]})^{∗}(1 − n)

Ainsi la représentation lisse admissible de (GL_{n}(F) × D^{×} × W_{F})^{1}, lim_{⟶}_{U} H^{•}(M_{U}^{LT ,[0]}) est la duale

lisse tordue par \overline{ℚ}_{ℓ}(1 − n) de H_{c}^{2(n−1)−•}(M^{LT ,[0]}).

Dans [13], II.2 p.86, Harris et Taylor utilisent les cycles évanescents ℓ-adiques des modèles entiers de Drinfeld de la tour de Lubin-Tate. Avec leurs notations on a

Ψ_{F,ℓ,n}^{•} = lim_{⟶}_{U} H^{•}(M_{U}^{LT ,[0]})

Si ρ est une représentation lisse irréductible de D^{×} ils posent

Ψ_{F,ℓ,n}^{•}(ρ) = Hom_{O_{D}^{×}}(ρ, Ψ_{F,ℓ,n}^{•})

comme représentation de GL_{n}(F) × W_{F}. Voici comment faire le lien avec nos espaces de cohomologie. On a

Ψ_{F,ℓ,n}^{•}(ρ) = Hom_{D^{×}}(ρ, Ind_{(GL_{n}(F)×D^{×}×W_{F})^{1}}^{GL_{n}(F)×D^{×}×W_{F}}H^{•}(M^{LT ,[0]}))
= Hom_{D^{×}}(ρ, (c−Ind_{(GL_{n}(F)×D^{×}×W_{F})^{1}}^{GL_{n}(F)×D^{×}×W_{F}}H_{c}^{2(n−1)−•}(M^{LT ,[0]})) (1 − n))
= Hom_{D^{×}}(H_{c}^{2(n−1)−•}(M^{LT}), ρ̌)(1 − n)

en utilisant la formule de dualité de Poincaré précédente.

Nous allons utiliser le théorème principal du chapitre IV de [11] (le théorème IV.13.2). Dans [11] il est démontré dans le cas des coefficients de torsion. On peut étendre cet isomorphisme au cas des coefficients ℓ-adiques.

Théorème 4.7. — Soit † l’involution de GL_{n}(F), g ↦ ^{t}g^{−1}. Il y a alors un isomorphisme de GL_{n}(F) × D^{×} × W_{F} -modules lisses

H_{c}^{•}(M^{LT}) ≃ H_{c}^{•}(M^{Dr})^{†}

En particulier pour ρ fixée Ψ_{F,ℓ,g}^{•}(ρ) est de longeur finie car de type fini et admissible.

Rappelons également ([5] 7.3) que si π est une représentation irréductible de GL_{n}(F) alors π^{†} ≃ π̃. On en déduit que si pour un caractére χ

[H_{c}^{q}(M_{c}^{Dr})_{χ}] = ∑_{π,ρ,σ} a_{q,π,ρ,σ} π ⊗ ρ ⊗ σ ∈ Groth(GL_{n}(F) × W_{F})

où π, resp. ρ, resp. σ, parcourent les classes d’isomorphismes de représentations irréductibles de GL_{n}(F) de caractére central χ, resp. de D^{×} de caractére central χ^{−1}, resp. de W_{F}, alors

[Ψ_{F,ℓ,n}^{2(n−1)−q}(ρ)] = ∑_{π,σ} a_{q,π,ρ̌,σ} π ⊗ σ̌(1 − n)

Corollaire 4.8. — Soit ρ une représentation lisse irréductible de D^{×} et pour q ≥ 0, Ψ_{F,ℓ,n}^{q}(ρ) la représentation lisse de GL_{n}(F) × W_{F} de longeure finie associée comme dans [13]. Décomposons cette représentation suivant les composantes du centre de Bernstein de GL_{n}(F)

Ψ_{F,ℓ,n}^{q}(ρ) = ⨁_{𝔰∈I} Ψ_{F,ℓ,n}^{q}(ρ)_{𝔰}

Pour 𝔰 ∈ I soit i(𝔰) la profondeur d’un sous-groupe parabolique associé à 𝔰. Alors Ψ_{F,ℓ,n}^{q}(ρ)_{𝔰} = 0 si q ∉ [n − 1 − i(𝔰), n − 1]. De plus, pour tout q il y a des isomorphismes

Ψ_{F,ℓ,n}^{n−1+q−i(𝔰)}(ρ̌)𝔰̌ ≃ Zel(Ψ_{F,ℓ,n}^{n−1−q}(ρ)𝔰̃)(1 − n)

En particulier si [Ψ_{F,ℓ,n}^{n−1−q}(ρ)_{𝔰}] = ∑_{π,σ} a_{π,σ} π ⊗ σ ∈ Groth(GL_{n}(F) × W_{F}) alors

[Ψ_{F,ℓ,n}^{n−1+q−i(𝔰)}(ρ̌)𝔰̌] = ∑_{π,σ} a_{π,σ} Zel(π̃) ⊗ σ̌(1 − n)

où Zel désigne maintenant l’involution de Zelevinsky des classes d’isomorphismes de représentations lisses irréductibles de GL_{n}(F) telle que définie dans [19].

5. Application à une conjecture de Prasad et Ramakrishnan

5.1. Le cas supercuspidal. — Reprenons le théorème 4.3. Dans la suite spectrale qui s’en déduit

E_{2}^{pq} = R^{p}D_{χ}(H_{c}^{−q}(M_{K}^{Dr})_{χ}) ⟹ H_{c}^{2(n−1)+p+q}(M_{K}^{Dr})_{χ^{−1}}(n − 1) = H^{p+q}

on vérifie que les applications de bord H^{q} ⟶ E_{2}^{oq}

H_{c}^{2(n−1)+q}(M_{K}^{Dr})_{χ^{−1}}(n − 1) ⟶ Hom_{GL_{n}(F)}(H_{c}^{−q}(M_{K}^{Dr})_{χ}, H_{χ}(GL_{n}(F)))

sont données par les coefficients matriciels de l’accouplement de dualité de Poincaré

H_{c}^{2(n−1)+q}(M_{K}^{Dr})_{χ^{−1}}(n − 1) × H_{c}^{−q}(M_{K}^{Dr})_{χ} ⟶^{∪} H_{c}^{2(n−1)}(M_{K}^{Dr}/π^{ℤ})(n − 1) ⟶^{tr} \overline{ℚ}_{ℓ}

Les deux membres de l’accouplement ne peuvent être non-nuls que si q = −(n − 1), en degrés moitiés.

Théorème 5.1. — Soit χ : F^{×} ⟶ \overline{ℚ}_{ℓ}^{×} un caractére lisse. Alors l’accouplement de dualité de Poincaré

H_{c}^{n−1}(M_{K}^{Dr})_{χ^{−1}}(n − 1) × H_{c}^{n−1}(M_{K}^{Dr})_{χ} ⟶^{∪} H_{c}^{2(n−1)}(M_{K}^{Dr}/π^{ℤ})(n − 1) ⟶^{tr} \overline{ℚ}_{ℓ}

est nul sur la partie non-supercuspidale et est parfait sur la partie supercuspidale, c’est à dire il induit un isomorphisme de représentations de GL_{n}(F) × D^{×} × W_{F}

H_{c}^{n−1}(M^{Dr})_{χ^{−1},cusp}(n − 1) ⟶^{∼} (H_{c}^{n−1}(M^{Dr})_{χ,cusp})

Démonstration.

Remarque 5.2. — ? ? ?

Notons ρ ⟼ σ(ρ) la correspondance de Langlands locale entre classes d’isomorphisme de représentations lisses irréductibles de D^{×} et classes d’isomorphisme de représentations complexes de dimension finie irréductibles de W_{F} × SL_{2}(ℂ). Notons JL la correspondance de Jacquet-Langlands locale entre classes d’isomorphisme de représentations lisses irréductibles de D^{×} et classes de représentations lisses irréductibles de carré intégrable de GL_{n}(F). Rappelons que JL(ρ) est supercuspidale ssi σ(ρ) est triviale sur le facteur SL_{2}(ℂ) i.e. correspond à une représentation irréductible de W_{F}.

Rappelons que les classes d’isomorphisme de représentations irréductibles autoduales se scindent en deux types, les orthogonales et les symplectiques.

Corollaire 5.3 ([?], [?]). — Soit ρ une représentation lisse irréductible de D^{×} autoduale, ρ̌ ≃ ρ. Supposons que JL(ρ) soit supercuspidale et soit σ(ρ) la représentation irréductible autoduale de W_{F} associée, son paramétre de Langlands. Alors,

– Si n est pair, ρ est orthogonale ssi σ(ρ) est symplectique

– Si n est impair, ρ est orthogonale.

Démonstration.

5.2. Le cas général. — Considérons l’isomorphisme

Poinc : RΓ_{c}(M_{K}^{Dr})(n − 1)[2(n − 1)] ⟶^{∼} D(RΓ_{c}(M_{K}^{Dr}))

du théorème 4.3. Considérons le diagramme

[figure: D(RΓ_{c}(M_{K}^{Dr})(n − 1))[−2(n − 1)]; D(RΓ_{c}(M_{K}^{Dr})(n − 1)[2(n − 1)]); D(Poinc); RΓ_{c}(M_{K}^{Dr})(n − 1); Poinc[−2(n−1)]; D(D(RΓ_{c}(M_{K}^{Dr})); ∼; can]

où can : Id ⟶^{∼} D ∘ D désigne l’isomorphisme de bidualité de la section 1.5. On vérifie alors directement à partir de la construction du morphisme Poinc que ce diagramme est commutatif. On

déduit qu’il en est de même en projetant via −⊗^{𝕃}_{H(Z)}χ pour un caractére central χ. L’isomorphisme can : Id ⟶^{∼} D_{χ^{−1}} ∘ D_{χ} induit can : Id ⟶^{∼} Z̃el ∘ Z̃el sur les représentations de longeur finie de caractére central fixé et de support une composante du centre de Bernstein fixée. Appliquant cela à l’isomorphisme

Poinc_{χ,𝔰}^{q} : H_{c}^{n−1+i(𝔰)−q}(M^{Dr})_{χ^{−1},𝔰̌}(n − 1) ⟶^{∼} Zel(H_{c}^{n−1+q}(M^{Dr})χ̃,𝔰)

on en déduit que le diagramme

[figure: Zel(H_{c}^{n−1+i(𝔰)−q}(M^{Dr})_{χ^{−1},𝔰̌}(n − 1)); Zel(Poinc_{χ,𝔰}^{q}); Zel(Zel(H_{c}^{n−1+q}(M^{Dr})χ̃,𝔰) ); Zel(H_{c}^{n−1+i(𝔰)−q}(M^{Dr})_{χ^{−1},𝔰̌})(1 − n); H_{c}^{n−1+q}(M^{Dr})_{χ,𝔰}; (−1)^{q+n−1}.can; Poinc_{χ^{−1},𝔰̌}^{n−1+i(𝔰)−q}(1−n)]

commute.

Rappelons maintenant le théorème suivant de Pascal Boyer ([6]) traduit du coté de la cohomologie de l’espace de Drinfeld via le théorème 4.7 (la preuve de ce théorème utilise elle même le corollaire 4.8).

Théorème 5.4 (Boyer [6]). — Soit χ un caractére central fixé. Décomposons la cohomologie de la tour de Drinfeld en caractére central χ suivant les représentations irréductibles de D^{×} de caractére central χ

H_{c}^{•}(M^{Dr})_{χ} = ⨁_{ρ∈Irr(D^{×})_{χ}} H_{c}^{•}(M^{Dr})_{ρ}

Soit ρ fixée. Supposons que JL(ρ) = Sp_{s}(π) avec s|n et π ∈ Cusp(GL\frac{n}{s} (F)) i.e. Sp_{s}(π) = Sp_{s} ⊠ π l’unique quotient irréductible de l’induite parabolique π × π(1) × ⋯ × π(s − 1). Alors ∀j ∈ [0, s − 1]

H_{c}^{n−1+j}(M^{Dr})_{ρ}^{F rob−s.s.} = (Sp_{s−j}(π) ⊞ π(s − j) ⊞ ⋯ ⊞ π(s − 1)) ⊗ σ_{ℓ}(π)( − j + \frac{1 − n}{2})

où Sp_{s−j}(π) ⊞ π(s − j) ⊞ ⋯ ⊞ π(s − 1) est l’unique sous-quotient de π × π(1) × ⋯ × π(s − 1) correspondant à l’orientation du graphe de sommets (π(i))_{0≤i≤s−1} et d’arêtes (π(i), π(i +

1)) donnée par \xymatrix{•^{π} & •^{π(1)} \ar[l] & … \ar[l] & •^{π(s−j−1)} \ar[l] \ar[r] & •^{π(s−j)} \ar[r] & … \ar[r] & •^{π(s−1)}} , ou encore l’unique

sous-représentation irréductible de Sp_{s−j}(π) × π(s − j) × ⋯ × π(s − 1).

Soit s|n et π ∈ Cusp(GL\frac{n}{s} (F)). Plutot que d’utiliser la représentation Sp_{s}(π) nous utiiserons une version tordue compatible à la contragrédiente. Soit donc St_{s}(π) = Sp_{s}(π(\frac{1−s}{2})) l’unique quotient irréductible de l’induite parabolique π(\frac{1−s}{2}) × ⋯ × π(\frac{s−1}{2}). Il s’agit d’une représentation de Steinberg généralisée, St_{s}(π) = St_{s} ⊠ π. Soit de même Speh_{s}(π) l’unique sous-représentation irréductible de l’induite parabolique précédente. La représentation Speh_{s} est la représentation triviale de GL_{s}(F) et Speh_{s}(π) = Speh_{s} ⊠ π. Alors St_{s}(π) ≃ St_{s}(π̃) et Speh_{s}(π) ≃ Speh_{s}(π̃). Plus généralement soit pour j ∈ [0, s − 1], π(j, s) le sous-quotient de π(\frac{1−s}{2}) × ⋯ × π(\frac{s−1}{2}) correspondant à l’orientation

\xymatrix{•^{π( \frac{1−s}{2} )} & •^{π( \frac{3−s}{2} )} \ar[l] & … \ar[l] & •^{π( \frac{s−1}{2} −j−1)} \ar[l] \ar[r] & •^{π( \frac{s−1}{2} −j)} \ar[r] & … \ar[r] & •^{π( \frac{s−1}{2} )}}

On a π(0, s) = St_{s}(π) et π(s − 1, s) = Speh_{s}(π). On a de plus

Zel(π(j, s)) ≃ π̃(s − 1 − j, s)

Le théorème précédent se reformule donc en ∀j ∈ [0, n − 1]

H_{c}^{n−1+j}(M^{Dr})_{χ}^{Frob−s.s.} ≃ ⨁_{{s|n, s≥j+1 \atop π∈Cusp(GL_{n/s}(F))χ}} JL^{−1}(St_{s}(π)) ⊗ π(j, s) ⊗ σ_{ℓ}(π)( − j + \frac{s − n}{2})

On vérifie aisément que cette formule est bien compatible au théorème 4.6.

Nous aurons besoin des résultats plus précis de Dat ([?]) sur la strcture du complexe de cohomologie. Rappelons d’abord

Théorème 5.5 (Dat). — Pour s|n, π ∈ Cusp(GL\frac{n}{s} (F)) et 0 ≤ j_{1}, j_{2} ≤ s − 1 on a

Ext^{i}(π(j_{1}, s), π(j_{2}, s)) = { 0 si i ≠ |j_{1} − j_{2}| ℂ.ξ_{π,j_{1},j_{2}} si i = |j_{1} − j_{2}| avec ξ_{π,j_{1},j_{2}} ≠ 0

et les formules de multiplication ξ_{π,j_{2},j_{3}} ∪ ξ_{π,j_{1},j_{2}} = ξ_{π,j_{1},j_{3}}.

Théorème 5.6 (Dat). — Pour ρ une représentation irréductible de D^{×}, le complexe RΓ_{c}(M^{Dr})_{ρ} ∈ 𝔻_{lf}^{b}(\overline{ℚ}_{ℓ}[GL_{n}(F)]_{∞,χ_{ρ}}) est scindé.

Appendice A Petit précis ℓ-adique

A.1. Quelques définitions. — Soit T le topos des systèmes projectifs d’ensembles (E_{n})_{n≥1}

E_{1} ⟵ … ⟵ E_{n} ⟵ E_{n+1} ⟵ …

Il y a un morphisme de topos π

\xymatrix{T \ar[r]^{π^{−1}} & Ens \ar[l]^{π_{∗}}}

où π_{∗}(E_{n})_{n} = lim_{⟵}_{n} E_{n} et π^{−1}E = (E)_{n}. Le foncteur π_{∗} n’est rien d’autre que le foncteur section

globale sur T .

Ce topos T est un cas particulier de topos total associé à un topos fibré (ici, le topos fibré au dessus de la petite catégorie associée à l’ensemble ordonné ℕ^{∗}, ℕ^{∗} ∋ i ↦ Ens, si i ≤ j le morphisme associé Ens ⟶ Ens étant l’identité).

Si n ∈ ℕ^{∗} il y a un morphisme de topos “n-ième étage”, i_{n} : Ens ⟶ T où i_{n}^{∗}((E_{i})_{i}) = E_{n}, et

i_{n∗}E = [ … ⟶^{Id} E ⟶^{Id} … ⟶^{Id} E → {∅} → ⋯ → {∅}]

où {∅} désigne l’ensemble à un élément et le dernier E avant {∅} est à l’étage n.

En fait il y a même un triplet de foncteurs adjoints \xymatrix{Ens \ar[r]^{i_{n!}} \ar[r]_{i_{n∗}} & T \ar[l]|{i_{n}^{∗}}} où i_{n!}E = [ ⋯ → ∅ →

⋯ → ∅ → E ⟶^{Id} E ⟶^{Id} … ⟶^{Id} E].

Le topos T est annelé par l’anneau O_{λ•} = (O_{λ}/ϖ_{λ}^{n})_{n≥1} et Ens par O_{λ}. Le morphisme π est alors un morphisme de topos annelés. On note

π^{∗} = π^{−1} ⊗_{O_{λ}} O_{λ•}, π^{∗}M = (M/ϖ_{λ}^{n}M)_{n≥1}

On note O_{λ•}−Mod les O_{λ•}-modules dans T ,

\xymatrix{O_{λ•}−Mod \ar[r]^{π^{∗}} & O_{λ}−Mod \ar[l]^{π_{∗}}}

Ces O_{λ•}-modules ne sont rien d’autre que les systèmes projectifs (M_{n})_{n≥1} de O_{λ}-modules où M_{n} est de ϖ_{λ}^{n}-torsion. La catéogrie abélienne O_{λ•}−Mod est O_{λ}-linéaire et possède suffisemment d’injectifs. Un morphisme dans cette catégorie est un épimorphisme (resp. monomorphisme) ssi il est surjectif (resp. injectif) étage par étage.

Le foncteur π^{∗} est d’amplitude cohomologique [−1 0]. Le foncteur π_{∗} est d’amplitude cohomologique [0 1]. Il y a un isomorphisme

Rπ_{∗}(M_{n})_{n} ≃ [ ∏_{n≥1} M_{n} ⟶ ∏_{m≥n} M_{n}]
(v_{n})_{n} ⟼ (φ_{mn}(v_{m}) − v_{n})_{n}

où (φ_{mn})_{m≥n} sont les applications de transition du système projectif. Il est acyclique sur les (M_{n})_{n} tels que les applications de transition M_{n+1} ⟶ M_{n} soient surjective. Tout O_{λ•}-modules possède une résolution à gauche formée de tels objets, résolutions qui permettent donc de calculer le foncteur Rπ_{∗}. Il est plus généralement acyclique sur les (M_{n})_{n} vérifiant la condition d’Artin-Rees c’est à dire ∃k, ∀n, ∀i ≥ k, Im(M_{n+k} ⟶ M_{n}) = Im(M_{n+i} ⟶ M_{n}) (par exemple pour tout n, M_{n} est de type fini).

Pour tout n ∈ ℕ^{∗} y a un triplet de foncteurs adjoints “n-ième étage”,

\xymatrix{O_{λ}/ϖ_{λ}^{n}−Mod \ar[r]^{i_{n!}} \ar[r]_{i_{n∗}} & O_{λ•}−Mod \ar[l]|{i_{n}^{∗}}}

où i_{n}^{∗}((M_{i})_{i}) = M_{n},

i_{n∗}M = [ … ⟶^{Id} M ⟶^{Id} … ⟶^{Id} M → 0 → ⋯ → 0]
i_{n!}M = [ ⋯ → 0 → ⋯ → 0 → M → M/ϖ_{λ}^{n−1} → ⋯ → M/ϖ_{λ}]

analogues annelés du triplet précédent. En particulier si I ∈ O_{λ•}−Mod est injectif alors ∀n, i_{n}^{∗}I est injectif.

La catégorie O_{λ•}−Mod possède suffisemment de projectifs, les modules de la forme i_{n!}M, avec M un O_{λ}/ϖ_{λ}^{n}-module libre et n variants, forment un système de générateurs projectifs de O_{λ•}−Mod. On prendra néanmoins garde que l’anneau structurel O_{λ•} n’est pas un O_{λ•}-module projectif. En effet, Hom(O_{λ•}, −) = π_{∗} : O_{λ•}−Mod ⟶ O_{λ}−Mod et donc RHom(O_{λ•}, −) = Rπ_{∗}.

Il y a un bifoncteur − ⊗^{𝕃}_{O_{λ•}} − : 𝔻^{−}(O_{λ•}) × 𝔻^{−}(O_{λ•}) ⟶ 𝔻^{−}(O_{λ•}). Tout objet de 𝔻^{−}(O_{λ•}) est isomorphe à un complexe (C_{n}^{•})_{n≥1} tel que ∀q, n, C_{n}^{q} soit un O_{λ}/ϖ_{λ}^{n}-module libre. Pour un tel

objet C ⊗^{𝕃}_{O_{λ•}} (−) = C ⊗_{O_{λ•}} (−).

A.2. Systèmes projectifs A.R.λ-adiques de type fini. — Un O_{λ•}-module (M_{n})_{n} est dit A.R.-nul si ∃k ≥ 1, ∀n ≥ 1 l’application M_{n+k} ⟶ M_{n} est nule. Pour un tel système (M_{n})_{n}, Rπ_{∗}(M_{n})_{n} = 0.

La catégorie des O_{λ•}-modules A.R.-nuls est une sous-catégorie épaisse de O_{λ•}−Mod. Par définition un O_{λ•}-module est A.R.-λ-adique de type fini s’il est isomorphe dans O_{λ•}−Mod/A.R.-nuls à un objet du type π^{∗}M avec M un O_{λ}-module de type fini. Un O_{λ•}-module (M_{n})_{n} est A.R.- λ-adique de type fini ssi il vérifie la condition d’Artin-Rees et son système projectif des images essentielles (M′_{n})_{n} = ( ∪_{i≥n} Im(M_{i} ⟶ M_{n}))_{n} est tel que ∀n, M′_{n} soit de type fini et M′_{n+1}/ϖ_{λ}^{n} = M′_{n}.

Il y a alors des équivalences inverses de catégories abéliennes

\xymatrix{O_{λ•}−Mod A.R.λ−adiques de t.f./A.R.-nuls \ar[r]^{π_{∗}} & O_{λ}−Mod de t.f. \ar[l]^{π^{∗}}}

A.3. Complexes λ-adiques. —

Fait 1. — Soit C ∈ 𝔻^{b}(O_{λ•}). Sont équivalents :

– Pour tout n le morphisme de 𝔻^{−}(O_{λ}/ϖ_{λ}^{n}), i_{n+1}^{∗}C ⊗^{𝕃}_{O_{λ}/ϖ_{λ}^{n+1}} O_{λ}/ϖ_{λ}^{n} ⟶ i_{n}^{∗}C est un isomorphisme

– Le morphisme d’adjonction de 𝔻^{b}(O_{λ•}), C ⟶ 𝕃π^{∗}Rπ_{∗}C est un isomorphisme

Définition A.1. — On note D la sous-catégorie triangulée de 𝔻^{b}(O_{λ•}) formée des objets vérifiant l’une des conditions équivalentes précédentes. On note D_{tf} la sous-catégorie formée des C tels que i_{1}^{∗}C ∈ 𝔻_{tf}^{b}(O_{λ}/ϖ_{λ}) i.e. soit à cohomologie de type fini.

La catégorie D est l’image essentielle du foncteur 𝕃π^{∗} : 𝔻^{b}(O_{λ}) ⟶ 𝔻^{b}(O_{λ•}). Ainsi D est la sous-catégorie de 𝔻^{b}(O_{λ•}) formée des complexes isomorphes à un complexe borné de O_{λ•}-modules libres.

Fait 2. — Le foncteur i_{1}^{∗} = Rπ_{∗}(−) ⊗^{𝕃}_{O_{λ}} O_{λ}/ϖ_{λ} : D ⟶ 𝔻^{b}(O_{λ}/ϖ_{λ}) est conservatif. De plus pour C ∈ D, C ∈ D_{tf} ssi ∀n, i_{n}^{∗}D ∈ 𝔻_{tf}^{b}(O_{λ}/ϖ_{λ}^{n}).

Voici la proposition qui permet de vérifier que les complexes de cohomologie ℓ-adiques provenant de situation géométrique ont des groupes de cohomologie A.R. ℓ-adiques de type fini.

Fait 3. — Soit C ∈ D_{tf}. Alors ∀q ∈ ℤ, H^{q}(C) est A.R.-λ-adique de type fini et H^{q}(Rπ_{∗}C) = lim_{⟵}_{n} H^{q}(C_{n}^{•}). Il y a des équivalences inverses de catégories triangulées

\xymatrix{D_{tf} \ar[r]^{Rπ_{∗}} & 𝔻_{tf}^{b}(O_{λ}) \ar[l]^{𝕃π^{∗}}}

Le diagramme suivant commute

\xymatrix{D_{tf} \ar[r]^{Rπ_{∗}} \ar[d]^{H^{0}} & 𝔻_{tf}^{b}(O_{λ}) \ar[l]^{𝕃π^{∗}} \ar[d]^{H^{0}} \\ O_{λ•}−Mod A.R. de t.f. \ar[r]^{π_{∗}} & O_{λ}−Mod_{tf} \ar[l]^{π^{∗}}}

Corollaire A.2. — La catégorie D_{tf} est la sous-catégorie de 𝔻^{b}(O_{λ•}) formée des objets isomorphes à un complexe borné de O_{λ•}-modules libres.

A.4. Dualité. — On présente ici ce dont nous aurons besoin afin de vérifier que la dualité de Poincaré en cohomologie de torsion implique la dualité en cohomologie ℓ-adique.

Comme toute catégorie de modules associée à un topos annelé, O_{λ•}−Mod possède des Hom internes. Notons les \underline{Hom}_{O_{λ•}}(−, −). Si A = (A_{i})_{i}, B = (B_{i})_{i} ∈ O_{λ•}−Mod alors

\underline{Hom}_{O_{λ•}}(A, B) = (Hom_{O_{λ}}((A_{i})_{i≤n}, (B_{i})_{i≤n}))_{n≥1}

Ce qui signifie qu’à l’étage n on prend les systèmes compatibles de morphismes A_{i} ⟶ B_{i} pour i ≤ n. On a pour A ∈ 𝔻^{−}(O_{λ•}) et B ∈ 𝔻^{+}(O_{λ•})

Rπ_{∗}R\underline{Hom}_{O_{λ•}}(A, B) = RHom(A, B) ∈ 𝔻^{+}(O_{λ})

Lemme A.3. — Soit C ∈ D et Rπ_{∗}C ∈ 𝔻^{b}(O_{λ}). Soit D = RHom(Rπ_{∗}C, O_{λ}) ∈ 𝔻^{b}(O_{λ}). Alors

∀n ≥ 1, D ⊗^{𝕃}_{O_{λ}} O_{λ}/ϖ_{λ}^{n} = RHom(i_{n}^{∗}C, O_{λ}/ϖ_{λ}^{n})

Si de plus C ∈ D_{tf}

D ⊗_{O_{λ}} L_{λ} = Hom(Rπ_{∗}C ⊗ L_{λ}, L_{λ})

Démonstration. Le complexe Rπ_{∗}C est isomorphe à un complexe borné E de O_{λ}-modules libres. On a alors i_{n}^{∗}C ≃ E/ϖ_{λ}^{n}. De plus si M est un O_{λ}-module libre il est Hom(−, O_{λ})-acyclique, Hom(M, O_{λ}) est (−)⊗_{O_{λ}}O_{λ}/ϖ_{λ}^{n}-acyclique et Hom(M, O_{λ})⊗_{O_{λ}}O_{λ}/ϖ_{λ}^{n} = Hom(M/ϖ_{λ}^{n}, O_{λ}/ϖ_{λ}^{n}) = RHom(M/ϖ_{λ}^{n}, O_{λ}/ϖ_{λ}^{n}). La deuxième assertion se démontre de même en prenant des modules libres de type fini.

Soient maintenant A, B ∈ D et Rπ_{∗}A, Rπ_{∗}B ∈ 𝔻^{b}(O_{λ}). Supposons-nous donné un morphisme dans 𝔻^{b}(O_{λ•})

A ⟶ R\underline{Hom}_{O_{λ•}}(B, O_{λ•})

Il induit un morphisme

Rπ_{∗}A ⟶ Rπ_{∗}R\underline{Hom}_{O_{λ•}}(B, O_{λ•}) = RHom(B, O_{λ•})
= RHom(𝕃π^{∗}Rπ_{∗}B, O_{λ•})
= RHom_{O_{λ}}(Rπ_{∗}B, O_{λ})

Corollaire A.4. — Soient A = (A_{n})_{n}, B = (B_{n})_{n} ∈ D et A ⟶ R\underline{Hom}_{O_{λ•}}(B, O_{λ•}) un morphisme induisant au premier étage un isomorphisme

A_{1} ⟶ R\underline{Hom}_{O_{λ}/ϖ_{λ}}(B_{1}, O_{λ}/ϖ_{λ})

Il induit alors un isomorphisme dans 𝔻^{b}(O_{λ})

Rπ_{∗}A ⟶^{∼} RHom_{O_{λ}}(Rπ_{∗}B, O_{λ})

Dans la pratique on utilisera le corollaire suivant.

Corollaire A.5. — Soit A^{•} = (A_{n}^{•})_{n} un complexe de O_{λ•}-modules dans D tel que ∀n, q, A_{n+1}^{q} ⟶ A_{n}^{q} soit surjectif. Soit B^{•} = (B_{n}^{•})_{n} un complexe borné de O_{λ•}-modules libres. Supposons nous donné un morphisme dans 𝔻^{b}(O_{λ•})

A^{•} ⟶ \underline{Hom}_{O_{λ•}}(B^{•}, O_{λ•}) = (Hom_{O_{λ}/ϖ_{λ}^{n}}(B_{n}^{−•}, O_{λ}/ϖ_{λ}^{n}))_{n}

induisant un isomorphisme dans 𝔻^{b}(O_{λ}.ϖ_{λ})

A_{1} ⟶^{∼} Hom_{O_{λ}/ϖ_{λ}}(B_{1}^{•}, O_{λ}/ϖ_{λ})

Il induit alors un isomorphisme dans 𝔻^{b}(O_{λ})

lim_{⟵}_{n} A_{n}^{•} ⟶ Hom_{O_{λ}}( lim_{⟵}_{n} B_{n}^{•}, O_{λ})

Si de plus B ∈ D_{tf} ce dernier morphisme induit par application de − ⊗_{O_{λ}} L_{λ} un isomorphisme dans 𝔻^{b}(L_{λ})

( lim_{⟵}_{n} A_{n}^{•}) ⊗ L_{λ} ⟶ Hom_{L_{λ}}(( lim_{⟵}_{n} B_{n}^{•}) ⊗ L_{λ}, L_{λ})

Références

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Laurent Fargues, CNRS-université Paris-Sud Orsay • E-mail : laurent.fargues@math.u-psud.fr