THÉORIE DE LA RÉDUCTION POUR LES GROUPES p-DIVISIBLES

LAURENT FARGUES

Table des matières

1. Introduction 1 2. Rappels sur la filtration de Harder-Narasimhan des schémas en groupes finis et plats

([4]) 10 3. Quelques rappels sur les groupes p-divisibles 13 4. Le polygone de Harder-Narasimhan renormalisé d’un groupe p-divisible 15 5. Groupes p-divisibles semi-stables et de type HN sur O_{K} 19 6. L’algorithme de descente vers un groupe semi-stable 21 7. Polygone de Harder-Narasimhan non renormalisé 23 8. Étude dans le cas de valuation discrète 24 9. La filtration des représentations cristallines 26 10. Filtration des modules de Hodge-Tate 32 11. Lien avec les espaces de Banach analytiques au sens de Colmez et Fontaine ([2], [9],

[6]) 40 12. Les théorèmes fondamentaux concernant le polygone de Harder-Narasimhan

renormalisé d’un groupe p-divisible en valuation quelconque 47 13. Stratifications des espaces de modules de variétés abéliennes et de groupes p-divisibles 48 14. Stratification de Harder-Narasimhan et stratification des Grassmaniennes p-adiques 55 15. Déstabilisation par isogénies des groupes p-divisibles semi-stables 56 16. Étude fine des strates semi-stables lorsque la dimension et la hauteur sont premières

entre elles 57 17. Application aux espaces des déformations d’un groupe p-divisible simple à isogénie

près 60 Références 61

1. Introduction

Soit K|ℚ_{p} une extension valuée complète pour une valuation à valeurs dans ℝ étendant la valuation p-adique. On a défini dans [4] une filtration de type Harder-Narasimhan des schémas en groupes commutatifs finis et plats sur O_{K}. Dans cet article nous nous proposons d’appliquer cette théorie aux groupes p-divisibles sur de tels anneaux d’entiers O_{K}, aux espaces de modules de groupes p-divisibles tels que définis par Rapoport et Zink dans [20] ainsi qu’aux espaces rigides analytiques p-adiques associés à certaines variétés de Shimura de type PEL. Les filtrations de Harder-Narasimhan des fibrés vectoriels hermitiens permettent de développer une théorie de la réduction sur les espaces symétriques réels ([10] et [11]). La théorie de la réduction sur l’espace symétrique SL_{n}(ℝ)/SO_{n}(ℝ) pour l’action du groupe arithmétique SL_{n}(ℤ) revient à étudier la réduction des formes quadratiques définies positives en n variables. On veut faire de même pour les espaces analytiques rigides associés aux espaces de modules de groupes p-divisibles ainsi qu’aux variétés de Shimura de type PEL munis de l’action des opérateurs de Hecke en p en développant une théorie de la réduction pour les groupes p-divisibles. On a déjà montré dans [7] comment paramétrer les espaces de Lubin-Tate par des immeubles de Bruhat-Tits, paramétrisation qui fournit une décomposition cellulaire Hecke équivariante de ces espaces. On s’intéresse dans cet article à des espaces plus généraux.

1.1. Polygone de Harder-Narasimhan renormalisé d’un groupe p-divisible. Commençons par rappeler ([4]) que si G est un schéma en groupes commutatif fini et plat d’ordre une puissance de p sur O_{K} on pose ht G = log_{p} |G| et deg G = ∑_{i∈I} v(a_{i}) si ω_{G} ≃ ⨁_{i∈I} O_{K}/a_{i}O_{K}. On pose pour un

tel G ≠ 0, μ(G) = \frac{deg G}{ht G} ∈ [0, 1]. On a alors une notion de groupe semi-stable et de filtration de Harder-Narasimhan relativement à la fonction pente μ. Le polygone associé, noté HN(G), est un polygone concave à abscisses de rupture entières d’origine (0, 0) et de point terminal (ht G, deg G).

Soit maintenant H un groupe p-divisible non nul sur O_{K}. On commence par construire dans le chapitre 4 une fonction concave qui rassemble tous les polygones de Harder-Narasimhan des points de p^{n}-torsion de H pour tout entier n ≥ 1. Soient ht H et dim H la hauteur et la dimension de H. Le point terminal du polygone HN(H[p^{n}]) est (nht H, dim H). On définit alors le polygone de Harder-Narasimhan renormalisé de H (il faudrait plutôt parler de fonction que de polygone à ce stade) par la formule

HN(H) : [0, ht H] ⟶ [0, dim H]
x ⟼ lim_{n→+∞} \frac{1}{n}HN(H[p^{n}])(nx)

(d’après le théorème 2 du chapitre 4 cette limite existe). De plus la fonction HN(H) ne dépend que de la classe d’isogénie de H (proposition 3).

1.2. Un théorème à la Dieudonné-Manin en inégales caractéristiques. Notons μ_{H} = \frac{dim H}{ht H}. On a que pour tout entier n ≥ 1, μ(H[p^{n}]) = μ_{H}. On définit ensuite une notion de groupe p-divisible semi-stable en posant que H est semi-stable s’il vérifie les conditions équivalentes suivantes (cf. le lemme 2 du chapitre 5) :

– H[p] est semi-stable

– Pour tout entier n ≥ 1, H[p^{n}] est semi-stable

– Pour tout sous-schéma en groupes fini et plat G de H, μ(G) ≤ μ_{H}

Le premier résultat important est alors un énoncé du type Dieudonné-Manin. Voici un morceaux des théorèmes 5 et 6 du chapitre 8.

Théorème. Supposons la valuation de K discrète. Soit H un groupe p-divisible sur O_{K}. Il existe alors un groupe p-divisible H′ sur O_{K} isogène à H muni d’une filtration par des sous-groupes p-divisibles

0 = H′_{0} ⊊ H′_{1} ⊊ ⋯ ⊊ H′_{r} = H′

telle que – pour 1 ≤ i ≤ r le groupe p-divisible H′_{i}/H′_{i−1} est semi-stable

– la suite (μ_{H′_{i}/H′_{i−1}})_{1≤i≤r} est strictement décroissante Cette filtration est déterminée de façon unique dans la catégorie des groupes p-divisibles à isogénie près sur O_{K}. De plus le polygone de Harder-Narasimhan renormalisé de H, HN(H), est le polygone à points de ruptures de coordonnées entières de pentes (μ_{H′_{i}/H′_{i−1}})_{1≤i≤r} avec multiplicités (ht (H′_{i}/H′_{i−1}))_{1≤i≤r}.

Théorie de la réduction pour les groupes p-divisibles et applications 3

En fait dans le théorème précédent, puisque la valuation de K est discrète, la catégorie des groupes p-divisibles à isogénie près sur O_{K} est abélienne et la filtration précédente à isogénie près est une filtration de Harder-Narasimhan associée à la fonction pente H ↦ μ_{H} sur cette catégorie. La démonstration du théorème précédent repose sur un algorithme de descente construit grâce aux filtrations de Harder-Narasimhan des schémas en groupes finis et plats dans le chapitre 6. Plutôt que d’expliquer cet algorithme expliquons un algorithme analogue sur les corps de nombres où il apparaît clairement qu’il s’agit d’un algorithme de descente au sens de la géométrie diophantienne. Soit donc K un corps de nombres. On peut définir (cf. le chapitre ? ? ? de [4]) des filtrations de Harder-Narasimhan des schémas en groupes commutatifs finis et plats d’ordre une puissance de p sur O_{K}. Elles sont associées à la fonction hauteur précédente et la fonction degré définie par deg G = long_{O_{K}} ω_{G}. On a de même que précédemment une notion de groupe p-divisible semi-stable sur O_{K}. Soit maintenant A une variété abélienne sur O_{K}. Si h(A) désigne la hauteur de Faltings de A on vérifie que

A[p^{∞}] est semi-stable ⟺ h(A) est minimale dans la classe de p-isogénie de A

Maintenant si la variété abélienne A est telle que A ⊗ K soit simple à isogénie près, l’algorithme produit une suite d’isogénies

A = A_{1} ↠ A_{2} ↠ ⋯ ↠ A_{i} ↠ …

telle que la suite (h(A_{i}))_{i} soit strictement décroissante. Par construction le noyau de A_{i} ↠ A_{i+1} est le premier cran de la filtration de Harder-Narasimhan de A_{i}[p^{N}] pour N ≫ 0. Alors d’après Faltings l’algorithme s’arrête nécessairement en temps fini et fournit une variété abélienne isogène à A de hauteur minimale et donc telle que le groupe p-divisible associé soit semi-stable. Pour démontrer le théorème précédent on définit de même un algorithme qui fait chuter strictement un invariant, la première pente des points de p-torsion de notre groupe p-divisible. Utilisant le fait que la valuation de K est discrète on vérifie que cet invariant varie dans un ensemble fini et l’algorithme se termine donc en temps fini.

1.3. Inégalité de spécialisation à la Grothendieck. Notons k_{K} le corps résiduel de K et H_{k_{K}} la réduction de H. Soit Newt(H_{k_{K}})^{♢} le polygone de Newton renversé de H_{k_{K}} c’est à dire le polygone concave de pentes λ_{1} > ⋯ > λ_{r} avec multiplicités m_{1}, …, m_{r} si les pentes de Dieudonné-Manin de H_{k_{K}} ⊗ \overline{k_{K}} sont les (λ_{i})_{1≤i≤r} avec multiplicités (m_{i})_{1≤i≤r}. Le théorème 6 du chapitre 8 contient alors l’énoncé suivant. Il s’agit d’un analogue du théorème de spécialisation du polygone de Newton de Grothendieck qui dit que le polygone de Newton croit par spécialisations sur une base de caractéristique p. Cependant dans notre cas il s’agit d’une spécialisation de l’inégale caractéristique vers la caractéristique p.

Théorème. Supposons la valuation de K discrète. Il y a alors une inégalité de polygones

HN(H) ≤ Newt(H_{k_{K}})^{♢}

Il pourrait sembler au lecteur que l’inégalité va dans le mauvais sens en comparaison du théorème de Grothendieck. Néanmoins si l’on pense en termes d’espaces analytiques au sens de Berkovich, dans cette théorie l’image réciproque par l’application de spécialisation d’un fermé est un ouvert et la réduction modulo p serait donc plutôt une généralisation qu’une spécialisation. L’inégalité du théorème précédent est un outil important pour les applications que nous avons en vue. Notons par exemple le corollaire suivant des deux théorèmes précédents.

Corollaire. Supposons la valuation de K discrète. Soit H un groupe p-divisible sur O_{K} dont la réduction sur son corps résiduel est isocline. Il est alors isogène à un groupe p-divisible semi-stable.

On a donc une théorie de la réduction pour les points dont la valuation est discrète des espaces analytiques au sens de Berkovich qui sont les tubes au dessus de la strate basique de certaines variété de Shimura de type PEL, ainsi que pour les espaces de Rapoport-Zink des déformations d’un groupe p-divisible isocline.

1.4. Le cas de valuation non discrète : énoncé du problème.

1.4.1. Un point de vue dynamique. On s’intéresse maintenant au cas où la valuation de K n’est plus discrète. L’étude de ce cas est fondamental pour les applications que nous avons en vue. Nous voulons en effet montrer que les itérées sous des correspondances de Hecke de certains domaines fondamentaux qui sont des ouverts admissibles dans des espaces rigides forment un recouvrement admissible de nos espaces. Pour cela nous adoptons le point de vue des espaces analytiques de Berkovich et on doit montrer que les itérés de certains domaines analytiques recouvrent l’espace analytique associé au sens de Berkovich. Rappelons que si X est un espace analytique de Berkovich sur un corps valué complet pour une valuation discrète alors l’ensemble des points de X où la valuation est discrète est dense dans X. Ainsi un point x ∈ X dont la valuation associée n’est pas discrète s’écrit comme une limite x = lim_{n→+∞}x_{n} telle que les valuations associées aux (x_{n})_{n} soient discrètes et lim_{n→+∞}e_{K(x_{n})/ℚ_{p}} = +∞. Afin d’expliquer le problème que l’on rencontre supposons

que l’espace X soit la fibre générique de l’espace de Rapoport-Zink des déformations d’un groupe p-divisible isocline sur \overline{𝔽}_{p} de pente λ. Soit X^{ss} le lieu semi-stable de X, un domaine analytique fermé. Il y a une fonction continue

μ_{max} : X ⟶ [λ, 1]

qui à un point x ∈ X associe la plus grande pente du polygone de H_{x}[p]. On a alors X^{ss} = {μ_{max} = λ}. L’algorithme dont on a parlé précédemment définit un système dynamique

T : |X| ⟶ |X|

et pour tout x ∈ X, une isogénie H_{x} ⟶ H_{T (x)} ⊗_{K(T (x))} K(x) telle que si T (x) ≠ x alors

μ_{max}(T (x)) < μ_{max}(x) et X^{ss} = {x | T (x) = x}, le lieu des points fixes. Si x est tel que K(x) soit de valuation discrète il existe un plus petit entier n(x) tel que T^{n(x)}(x) ∈ X^{ss}. Maintenant si la valuation de K(x) n’est pas discrète soit x_{n} ⟶_{n→+∞} x avec pour tout n, K(x_{n}) de valuation discrète.

La borne donnée naturellement par l’algorithme de descente montre que n(x_{n}) ≪ e_{K(x_{n})|ℚ_{p}}. Il se pourrait donc que n(x_{n}) ⟶_{n→+∞} +∞ et que l’algorithme de descente explose lorsque la ramification

explose et qu’alors ∀n ≥ 1, T^{n}(x) ∉ X^{ss}. En d’autres termes il se pourrait qu’il existe des points de valuation non discrète qui soient des points de bifurcation de notre système dynamique.

L’analyse précédente amène la question suivante. Soit x ∈ X comme précédemment. Il lui est associé une suite décroissante (μ_{max}(T^{n}(x)))_{n≥1} qui est stationnaire de valeur λ pour n grand si K(x) est de valuation discrète. Se pose alors la question suivante en général.

Question : que vaut lim_{n→+∞} μ_{max}(T^{n}(x)) ?

Bien sûr si l’on choisit une suite x_{k} ⟶_{k→+∞} x comme précédemment avec pour tout k, K(x_{k}) de

valuation discrète, on aimerait pouvoir écrire

lim_{n→+∞} μ_{max}(T^{n}(x)) = lim_{n→+∞} lim_{k→+∞} μ_{max}(T^{n}(x_{k}))
=^{?} lim_{k→+∞} \underbrace{lim_{n→+∞} μ_{max}(T^{n}(x_{k}))}_{λ}

= λ

Néanmoins il n’y a aucune raison pour que l’on puisse intervertir les deux limites.

1.4.2. Le point de vue du polygone de Harder-Narasimhan non renormalisé. Afin de comprendre le problème de limite précédente on est amené à introduire ce qu’on appelle le polygone de Harder-Narasimhan non-renormalisé dans le chapitre 7. Si H est un groupe p-divisible sur O_{K} comme précédemment il s’agit de l’enveloppe concave des points (ht G, deg G) lorsque G parcourt les sousgroupes finis et plats de H. Contrairement au polygone renormalisé il s’agit d’un polygone infini défini sur le segment [0, +∞[, à abscisses de ruptures entières. Si pour i ∈ ℕ, μ_{i} désigne la pente de ce polygone sur le segment [i, i + 1] la suite (μ_{i})_{i≥0} est décroissante et on peut donc parler de pente limite lim_{i→+∞}μ_{i} de ce polygone.

La proposition qui suit relie la pente limite du polygone non renormalisé au polygone renormalisé (cf. le corollaire 2 du chapitre 7).

Proposition. Soit K quelconque et H un groupe p-divisible sur O_{K}. Soit μ_{∞}(H) la pente limite du polygone de Harder-Narasimhan non renormalisé de H. Alors HN(H)_{|[0,1]} est la droite de pente μ_{∞}(H).

Dans le cadre de l’espace de Rapoport-Zink précédent X cela définit une fonction

NH^{nr} : |X| ⟶ {polygones concaves : [0, +∞[⟶ [0, +∞[}

La limite lim_{n→+∞}μ_{max}(T^{n}(x)) est alors la pente limite du polygone NH^{nr}(x). Le problème est que

la fonction HN^{nr} définie sur |X| n’est continue à priori que si l’on munit l’espaces des polygones concaves sur [0, +∞[ de la topologie de la convergence uniforme sur tous les segments compacts et non de la topologie de la convergence uniforme sur tout [0, +∞[. Cela provient du fait que pour calculer HN^{nr}(x) il faut regarder simultanément tous les sous-schémas en groupes finis et plats de H_{x} ce qui fait une infinité de conditions.

1.5. Retour au cas de valuation discrète : une interprétation du polygone renormalisé en termes de théorie de Hodge p-adique. Afin de résoudre le problème précédent de pente limite on est donc amené d’après la proposition énoncée précédemment à s’intéresser au polygone renormalisé d’un groupe p-divisible sur O_{K} avec K pas forcément de valuation discrète. On va pour cela trouver une interprétation en termes de théorie de Hodge p-adique de ce polygone renormalisé (chapitre 9).

Supposons maintenant que la valuation de K est discrète et son corps résiduel parfait. Soit \overline{K} une clôture algébrique de K, G_{K} = Gal(\overline{K}|K) et C = ˆ \overline{K}. Soient pdiv_{O_{K}} ⊗ℚ la catégorie abélienne des groupes p-divisibles à isogénie près sur O_{K}, Rep^{cris}(G_{K}) la catégorie des représentations padiques cristallines de G_{K} et Rep^{HT} (G_{K}) celle des représentations de Hodge-Tate. On sait que pour H ∈ pdiv_{O_{K}} ⊗ℚ, HN(H) est égale au polygone de Harder-Narasimhan de H dans pdiv_{O_{K}} ⊗ℚ relativement à la fonction pente H ↦ μ_{H}. Il y a de plus un foncteur pleinement fidèle

pdiv_{O_{K}} ⊗ ℚ ⟶ Rep^{cris}(G_{K})
H ⟼ V_{p}(H)

d’image essentielle les représentations à poids de Hodge-Tate dans {0, 1}.

Il y a deux fonctions additives rang et degré sur cette catégorie abélienne. Si V ∈ Rep^{HT} (G_{K}) alors rg(V) = dim_{ℚ_{p}} V et deg(V) = d si

det(V) ⊗ C ≃ C(d)

On a donc des filtrations de Harder-Narasimhan dans Rep^{HT} (G_{K}) et par conséquent dans Rep_{cris}(G_{K}). Via le foncteur exacte pleinement fidèle pdiv_{O_{K}} ⊗ ℚ ⟶ Rep^{HT} (G_{K}) qui à H associe V_{p}(H), la fonction rang correspond à la hauteur et la fonction degré à la dimension. On peut ainsi calculer la filtration de Harder-Narasimhan d’un H ∈ pdiv_{O_{K}} ⊗ ℚ en calculant la filtration de V_{p}(H) dans Rep^{cris}(G_{K}) ou bien Rep^{HT} (G_{K}).

Soit VectFil_{C/ℚ_{p}} la catégorie des couples (V, Fil^{•}V_{C}) où V est un ℚ_{p}-espaces vectoriels de dimension finie et Fil^{•}V_{C} une filtration finie de V_{C}. Il s’agit d’une catégorie exacte. Elle est munie de deux fonctions additives rang et degré où rg(V, Fil^{•}V_{C}) = dim_{ℚ_{p}} V et

deg(V, Fil^{•}V_{C}) = ∑_{i∈ℤ} i. dim_{C} Gr^{i}V_{C}

Les objets de VectFil_{C/ℚ_{p}} admettent alors des filtrations de Harder-Narasimhan relativement à la fonction pente deg /rg. Il y a un foncteur fidèle Rep^{HT} (G_{K}) ⟶ VectFil_{C/ℚ_{p}} qui à V associe

(V, Fil^{•}V_{C}) avec Fil^{i}V_{C} = u^{−1}( ⨁_{j≤i} C(j)^{a_{j}}) si

u : V_{C} ⟶^{∼} ⨁_{j∈ℤ} C(j)^{a_{j}}

Le foncteur composé

pdiv_{O_{K}} ⊗ ℚ ⟶ Rep^{HT} (G_{K}) ⟶ VecFil_{C/ℚ_{p}}

associe à un groupe p-divisible H son module de Tate V_{p}(H) muni de sa filtration de Hodge-Tate fournie par la suite de Hodge-Tate

0 ⟶ ω_{H}^{∗} ⊗ C(1) ⟶ V_{p}(H) ⊗ C ⟶ ω_{H^{D}} ⊗ C ⟶ 0

La proposition clef est alors la suivante (cf. proposition 13 du chapitre 9).

Proposition. Si V ∈ Rep^{HT} (G_{K}), après oubli de l’action de Galois, la filtration de Harder-Narasimhan de V est donnée par la filtration de Harder-Narasimhan de l’objet associé de VectFil_{C/ℚ_{p}}.

En particulier si H est un groupe p-divisible sur O_{K} alors le polygone renormalisé HN(H) est l’enveloppe concave des points ( dim_{ℚ_{p}} W, dim_{ℚ_{p}} W − dim_{C}(C.α_{H}(W)) lorsque W parcourt les sous-ℚ_{p}-espaces vectoriels de V_{p}(H) et α_{H} : V_{p}(H) ⟶ ω_{H^{D}} ⊗ C est l’application de Hodge-Tate de H.

Cette proposition nous dit que lorsque la valuation de K est discrète et le corps résiduel de K parfait on peut calculer le polygone de Harder-Narasimhan renormalisé d’un groupe p-divisible en termes d’un objet d’algèbre linéaire ne faisant plus intervenir la représentation galoisienne associée. En effet, le foncteur pdiv_{O_{K}} ⊗ℚ ⟶ VectFil_{C/ℚ_{p}} se factorise via l’extension des scalaires pdiv_{O_{K}} ⊗ ℚ ⟶ pdiv_{O_{C}} ⊗ ℚ.

1.6. Calcul du polygone de Harder-Narasimhan renormalisé en termes de théorie de Hodge p-adique : le cas général. Motivé par la proposition précédente on démontre le théorème général suivant (cf. théorème 20).

Théorème. Soit K|ℚ_{p} valué complet et H un groupe p-divisible sur O_{K}. La fonction HN(H) est alors un polygone à points de rupture de coordonnées entières égale au polygone de Harder-Narasimhan associé à l’application de Hodge-Tate de H.

La preuve du théorème précédent repose sur une étude fine de l’application de Hodge-Tate entière des groupes p-divisibles faite au chapitre 10 couplée à une borne indépendante de la ramification pour l’annulateur du conoyau de l’application de Hodge-Tate d’un schéma en groupes fini et plat. Il s’agit là du coeur de cet article. L’idée consiste à remplacer les groupes finis et plats et les groupes p-divisibles par des objets d’algèbre linéaire plus faciles à manipuler.

Citons par exemple immédiatement un corollaire absolument pas évident à priori si la valuation de K n’est pas discrète.

Corollaire 1. La pente limite du polygone de Harder-Narasimhan non-renormalisé d’un groupe p-divisible sur O_{K} est un nombre rationnel.

Ainsi dans le cas de l’espace du système dynamique (X, T) introduit précédemment associé à un espace de Rapoport-Zink des déformations d’un groupe p-divisible isocline sur \overline{𝔽}_{p}, on obtient que pour tout x ∈ X

lim_{n→+∞} μ_{max}(T^{n}(x)) ∈ ℚ ∩ [λ, 1]

1.7. Inégalité de spécialisation à la Grothendieck : le cas général. Avant d’aller plus loin on a besoin d’introduire une notion de groupes p-divisibles raisonnables sur les anneaux d’entiers qui ne sont pas de valuation discrète.

Définition. Soit \overline{K} une clôture algébrique de K de corps résiduel \overline{k}_{K}. Soit α : W (\overline{k}_{K}) ↪ O ˆ\overline{K} associé au relèvement de Teichmüller. Un groupe p-divisible H sur O_{K} est dit modulaire si l’identité de H ⊗ \overline{k}_{K} se relève en une quasi-isogénie

(H ⊗ \overline{k}_{K}) ⊗_{α} O\overline{K}/pO\overline{K} ⟶ H ⊗_{O_{K}} O\overline{K}/pO\overline{K}

Bien sûr si la valuation de K est discrète tout groupe p-divisible sur O_{K} est modulaire. La terminologie modulaire provient de ce que l’on peut vérifier que H est modulaire si et seulement si il existe un schéma formel localement formellement de type fini 𝔛 sur Spf(O_{F}), avec F |ℚ_{p} valué complet pour une valuation discrète, un groupe p-divisible H sur 𝔛, un plongement isométrique F ⊂ ˆ \overline{K} et un point x ∈ 𝔛^{an}( ˆ\overline{K}) tels que H ⊗_{O_{K}} O ˆ\overline{K} ≃ H_{x}. Les groupes p-divisibles non modulaires sont plutôt des objets pathologiques que l’auteur n’a jamais rencontrés. Voici maintenant le théorème principal (cf. théorème 21 du chapitre 12).

Théorème. Soit H un groupe p-divisible modulaire sur O_{K}. Il y a alors une inégalité de polygones

HN(H) ≤ Newt(H_{k_{K}})^{♢}

La preuve du théorème précédent requiert des outils de théorie de Hodge p-adique permettant de se débarrasser de l’action de Galois (puisque l’on suppose K quelconque on considère en particulier le cas où K = ˆ \overline{K}). Si on suppose K de valuation discrète à corps résiduel parfait il est immédiat de vérifier que le polygone de Harder-Narasimhan d’une représentation cristalline V dans Rep^{cris}(G_{K}) est en dessous du polygone de Newton renversé de l’isocristal associé D_{cris}(V), il suffit d’appliquer le foncteur exact D_{cris} aux sous-représentations de V. L’action du groupe de Galois rigidifie en quelque sorte la situation. Mais lorsqu’on n’a plus de représentation galoisienne sur V_{p}(H) il faut trouver un substitut à l’action galoisienne. Ce substitut est donné par les structures analytiques au sens de Fontaine ([9]). Plus précisément on utilise les résultats de l’article [6] dans lequel on développe une version géométrique de la théorie des espaces de Banach de dimension finie au sens de Colmez ([2]) et on construit des filtrations de Harder-Narasimhan de tels espaces (l’article [6] a été influencé par les résultats de cet article et réciproquement). Le théorème précédent découle de l’énoncé suivant.

Théorème ([6]). Pour deux entiers d, h ∈ ℕ avec d ≤ h ≠ 0 l’espace de Banach de dimension

finie effectif au sens de Colmez (𝔹_{cris}^{+})^{φ^{h}=p^{d}} est semi-stable de pente \frac{d}{h}.

On montre plus précisément dans [6] que les objets stables dans une certaine sous-catégorie exacte de la catégorie des espaces de Banach de dimension finie au sens de Colmez sont exactement les (𝔹_{cris}^{+})^{φ^{h}=p^{d}} avec (d, h) = 1 ou bien d = 0 et h = 1. Cet énoncé peut être relié au travaux de Kedlaya ([15]).

Corollaire. La pente limite du polygone de Harder-Narasimhan non renormalisé d’un groupe pdivisible modulaire H sur O_{K} est un nombre rationnel inférieur à la première pente du polygone de Newton de sa fibre spéciale. En particulier si sa fibre spéciale est isocline alors la pente limite est égale à μ_{H}.

On a donc la réponse à notre question : pour (X, T) comme précédemment

lim_{n→+∞} μ_{max}(T^{n}(x)) = λ

1.8. Applications aux espaces de modules.

1.8.1. Stratifications. Si F |ℚ_{p} est une extension valuée de ℚ_{p} pour une valuation discrète, 𝔛 un Spf(O_{F})-schéma formel localement formellement de type fini et H un groupe p-divisible sur 𝔛 les différents polygones introduits précédemment permettent de stratifier la fibre générique 𝔛^{an} de 𝔛 comme espace analytique de Berkovich.

Soient d et h deux entiers avec h ≥ 1 et d ≤ h. On s’intéresse aux deux cas suivants (chapitre 13).

– Le premier cas est celui où 𝔛 = M̂ est l’espace des déformations par quasi-isogénies d’un groupe p-divisible de dimension d et hauteur h sur \overline{𝔽}_{p} défini par Rapoport et Zink ([20]).

– Le second cas est celui où 𝔛 = Ŝ_{K^{p}} avec

• S_{K^{p}} est le modèle entier lisse associé à une variété de Shimura de type PEL unitaire en un premier p non ramifié et en niveau compact hyperspécial en p ([17])

• Si G est le groupe de similitudes unitaires sur ℚ associé K^{p} ⊂ G(A_{f}^{p}) est un sous-groupe compact ouvert, le niveau hors p, qui est fixé

• On suppose que G_{ℚ_{p}} possède un facteur direct isomorphe à GL_{hℚ_{p}}

• La projection du cocaractère de Hodge associé au facteur linéaire précédent est conjugué au cocaractère z ↦ diag(\underbrace{z, …, z}_{d}, 1, …, 1) (et donc le groupe de similitudes unitaires

associé à la place archimédienne possède une signature de la forme (d, h) × …)

• Ŝ_{K^{p}} désigne le complété p-adique de S_{K^{p}}

• Si A désigne le schéma abélien universel sur Ŝ_{K^{p}} le groupe p-divisible H est le facteur direct direct de A[p^{∞}] associé au facteur G_{ℚ_{p}} ↠ GL_{hℚ_{p}} que l’on a fixé (il est alors de hauteur h et de dimension d). Le groupe p-divisible principalement polarisé A[p^{∞}] est alors isomorphe à un groupe de la forme H ⊕H^{D} ⊕H′ où H′ est principalement polarisé et la polarisation sur H ⊕ H^{D} est la polarisation canonique.

Dans les deux cas si X = 𝔛^{an} il y a une tour GL_{h}(ℚ_{p})-équivariante d’espaces analytiques (X_{K})_{K⊂GL_{h}(ℤ_{p})}, indexée par les sous-groupes ouverts de GL_{h}(ℤ_{p}) et définie comme espace de modules des trivialisations partielles de la monodromie du groupe p-divisible sur 𝔛^{an}. En particulier l’espace X est muni de correspondances de Hecke étales finies indexées par l’ensemble GL_{h}(ℤ_{p})\GL_{h}(ℚ_{p})/GL_{h}(ℤ_{p}) et on peut parler d’orbites de Hecke d’un point de X.

Il y a alors des stratifications Hecke invariantes de X :

– La stratification de Newton obtenue en prenant les tubes au dessus de la stratification de Newton de la fibre spéciale (dans le cas de l’espace de Rapoport-Zink il y a donc une seule strate déterminée par le polygone de Newton du groupe que l’on déforme)

– La stratification définie par le polygone de Harder-Narasimhan renormalisé Ces deux stratifications sont reliées via l’inégalité HN ≤ Newt^{♢}. Intéressons nous au cas des strates ouvertes.

1.8.2. Réduction dans le cas des strates semi-stables ou supersingulières : points de valuation discrète. Concentrons nous sur le cas des strates minimales (on renvoie au chapitre 13 pour plus de détails sur les autres strates). Soit P_{ss} le polygone qui est la droite de pente d/h. On montre alors qu’il y a une inclusion d’ouverts de X invariants sous les correspondances de Hecke

X^{Newt^{♢}=P_{ss}} ⊂ X^{HN=P_{ss}}

où le lieu X^{Newt^{♢}=P_{ss}} est la strate supersingulière . Considérons de plus le lieu semi-stable

X^{ss}

qui est un domaine analytique fermé dans X (et donc compact dans le cas de la variété de Shimura). Le théorème à la Dieudonné-Manin précédent montre alors que

⋃_{T ∈GL_{h}(ℤ_{p})\GL_{h}(ℚ_{p})/GL_{h}(ℤ_{p})} T.𝔛^{ss}

est un sous-ensemble dense de X^{HN=P_{ss}} contenant tous les points de X dont la valuation associée est discrète. En particulier si X = M̂^{an} avec M̂ l’espace de Rapoport-Zink des déformations d’un groupe p-divisible isocline sur \overline{𝔽}_{p} alors les orbites de Hecke de X^{ss} sont un sous-ensemble dense de X contenant tous les points de valuation discrète.

1.8.3. Réduction et décomposition cellulaire dans le cas où la dimension et la hauteur sont premières entre elles. Si k et r sont deux entiers avec r ≥ 1 l’espace de modules des fibrés stables de rang r et de degré k sur une courbe projective lisse est une variété quasi-projective lisse. Lorsque de plus (k, r) = 1 cet espace de modules est projectif ([19]). Motivé par ce fait, faisons l’hypothèse supplémentaire (d, h) = 1. Voici alors les théorèmes principaux du chapitre 16 (et les théorèmes principaux de cet article).

Théorème. Soit X l’espace analytique associé à une variété de Shimura de type PEL comme précédemment. Supposons (d, h) = 1. Alors les orbites de Hecke du domaine analytique compact X^{ss} recouvrent la strate ouverte Hecke invariante X^{HN=P_{ss}} et donc en particulier la strate supersingulière .

Théorème. Soit M la fibre générique comme espace analytique de Berkovich de l’espace de Rapoport-Zink des déformations d’un groupe p-divisible simple à isogénies près sur \overline{𝔽}_{p} de dimension d et hauteur h. Soit M^{[0]} l’ouvert fermé de M où la quasi-isogénie universelle est de hauteur 0. Soit D l’algèbre à division centrale sur ℚ_{p} d’invariant d/h et Π une uniformisante de D. Soit

D = M^{[0],ss}

un domaine analytique fermé dans M^{[0]}. Il y a alors un recouvrement localement fini dans lequel chacun des itérés de D ne rencontre qu’un nombre fini des autres itérés

M = ⋃_{{T ∈GL_{h}(ℤp)\GL_{h}(ℚp)/GL_{h}(ℤp) \atop 0≤i≤h−1}} Π^{i}.T.D

associé à un recouvrement admissible de l’espace rigide associé. Si D̊ ⊂ D désigne le lieu où les points de p-torsion de la déformation universelle forme un groupe stable, un ouvert, alors les (Π^{i}.T.D̊)_{i,T} sont disjoints et dans le recouvrement précédent les itérés de D se recollent donc le long des itérés de D \ D̊.

Théorème. Soit K|ℚ_{p} une extension valuée complète pour une valuation à valeurs dans ℝ. Soit H un groupe p-divisible modulaire sur O_{K} dont la fibre spéciale est simple à isogénie près. Alors H est isogène à un groupe p-divisible semi-stable.

La preuve des théorèmes précédents se fait dans l’ordre énoncé. Le premier théorème entraîne le second (mis à part l’assertion concernant le fait que le recouvrement est localement fini, mais ce type d’assertion intervient déjà dans la preuve du premier théorème) en utilisant l’uniformisation p-adique du lieu basique d’une variété de Shimura ([20]). Le deuxième entraîne le troisième par définition d’un groupe p-divisible modulaire.

L’auteur ne connaît pas de preuve du second théorème énoncé ne passant pas par le premier i.e. le cas des variétés de Shimura. La raison est que le lieu semi-stable est seulement fermé dans le cas des espaces de Rapoport-Zink alors que pour les variétés de Shimura, le cadre du premier théorème, il est de plus compact. Le point principal dans la démonstration du premier théorème est le suivant. On a une inclusion d’un compact dans un ouvert X^{ss} ⊂ X^{HN=P_{ss}}. Comme on l’a déjà vu précédemment il y a un système dynamique (|X^{HN=P_{ss}}|, T) de points fixes X^{ss}. On sait de plus que pour x ∈ X^{HN=P_{ss}} de valuation discrète T^{n}(x) ∈ X^{ss} pour n ≫ 0 et que pour

tout x ∈ X^{HN=P_{ss}}, lim_{n→+∞} μ_{max}(T^{n}(x)) = \frac{d}{h}. Il suffit alors de montrer qu’il existe un entier n_{0}

et un nombre β > \frac{d}{h} tels que si μ_{max}(x) < β alors T^{n_{0}}(x) ∈ X^{ss}. En fait il suffit de vérifier ce type d’assertion pour les points x de valuation discrète (ce n’est pas tout à fait exact mais c’est l’idée) le point étant que l’uniformité de n_{0} en les x de valuation discrète tels que μ_{max}(x) < β va permettre de passer à la limite des points de valuation discrète vers les points quelconques. Le point crucial est alors la proposition 24 du chapitre 15 qui, utilisant le fait que (d, h) = 1, implique que X^{ss} ne rencontre qu’un nombre fini de ses itérés sous les correspondances de Hecke, couplé à la compacité de X^{ss}.

1.8.4. Application au morphisme des périodes. Comme application des résultats précédents nous prouvons le théorème suivant.

Théorème. Soit M la fibre générique de l’espace des déformations de Rapoport-Zink d’un groupe p-divisible simple à isogénies près sur \overline{𝔽}_{p}. Soit π : M ⟶ F le morphisme des périodes ([20], chapitre 5) d’image l’ouvert F^{a} de la Grassmanienne. Alors

F^{a} = ⋃_{0≤i≤h−1} Π^{i}.π(D)

et en restriction au lieu stable il y a un isomorphisme

π_{|D̊} : D̊ ⟶^{∼} π(D̊)

1.9. Perspectives.

1.9.1. Filtration des φ-modules. On peut vérifier que les φ-modules de torsion de [16] possèdent des filtrations de Harder-Narasimhan de telle manière que lorsque K|ℚ_{p} est de valuation discrète à corps résiduel parfait ces filtrations correspondent à celles définies pour les schémas en groupes finis et plats dans [4]. Il est alors probable que l’on puisse adapter le théorème à la Dieudonné Manin expliqué précédemment pour les groupes p-divisibles aux φ-modules sans torsion. Ce théorème fournirait donc des filtrations des représentations p-adiques cristallines des corps locaux qu’il serait sûrement intéressant d’investiguer. Par exemple si V est une représentations cristalline telle que l’isocristal associé D_{cris}(V) soit isocline cela impliquerait l’existence de réseaux Galois invariants meilleurs que les autres dans V, les réseaux semi-stables.

1.9.2. Calculs explicites. Vasiu et Zink ([23]) ont donné une classifications généralisant celle de Kisin des groupes p-divisibles sur un anneau local régulier complet. En particulier soit R l’anneau des déformations d’un groupe p-divisible sur \overline{𝔽}_{p} (il s’agit du complété formel en un point fermé de la fibre spéciale des espaces de Rapoport-Zink étudiés précédemment). L’anneau R est un anneau de séries formelles sur W (\overline{𝔽}_{p}) et il est probable que l’on puisse calculer le φ-module universel associé en termes du cristal du groupe p-divisible que l’on déforme. Partant de là on peut espérer pouvoir étudier les stratifications précédentes de la boule ouvert Spf(R)^{an} en utilisant les filtrations de ce φ-module universel spécialisé en un point de la boule.

1.9.3. Structures additionnelles. Dans cet article nous nous sommes limités au cas où le groupe p-divisible ne possède pas de structures additionnelles de type polarisation et endomorphisme. Néanmoins les résultats précédents s’adaptent à ce cas là puisqu’on connaît bien le comportement de la filtration de Harder-Narasimhan des schémas en groupes finis et plats vis à vis de celles-ci ([4]. Dans certains cas on espère même que les structures additionnelles contraignent suffisamment les filtrations de Harder-Narasimhan de telle manière que l’on ait des résultats plus précis que ceux de cet article.

1.9.4. Strates plus générales. Déjà dans le cas isocline lorsque la pente du polygone de Newton est de multiplicité strictement plus grande que 1 on ne sait pas si l’on a une décomposition cellulaire du type précédente pour les espaces de modules de groupes p-divisibles (i.e. si tout groupe pdivisible modulaire de fibre spéciale isocline est isogène à un groupe semi-stable) bien que ce soit le cas pour les points de valuation discrète. Cela provient du phénomène suivant : si H_{1} et H_{2} sont deux groupes p-divisibles semi-stables de pente λ alors toute extension de H_{1} par H_{2}, par exemple H_{1} ⊕ H_{2}, est semi-stable de pente λ. En particulier pour deux tels groupes il y a une infinité d’isogénies vers un groupe semi-stable H_{1} ⊕ H_{2} ↠ (H_{1}/H_{1}[p^{k}]) ⊕ H_{2}, k ≥ 1, ne se factorisant pas par la multiplication par p. Le domaine fondamental défini précédemment rencontre donc un nombre infini de ses itérés sous les correspondances de Hecke. Peut être faut il enlever le lieu (ou bien son adhérence) de l’espace de modules où le groupe p-divisible est une telle extension dans ce cas là ? On peut bien sûr s’intéresser à des polygones de Newton encore plus généraux. Peut être la situation est-elle plus favorable lorsqu’il n’y a pas de multiplicités dans le polygone de Newton.

2. Rappels sur la filtration de Harder-Narasimhan des schémas en groupes finis et plats ([4])

2.1. Les fonctions degré hauteur et pente. Soit K|ℚ_{p} une extension valuée complète pour une valuation v : K ⟶ ℝ∪{+∞} étendant la valuation p-adique de ℚ_{p}. Soit C la catégorie exacte des schémas en groupes finis et plats sur Spec(O_{K}) commutatifs d’ordre une puissance de p. Il y a deux fonctions additives

deg : C ⟶ ℝ_{≥0}
ht : C ⟶ ℕ

où ht désigne la hauteur de G ∈ C, |G| = p^{ht G}, et deg la valuation du discriminant de G (on renvoie à [4] pour plus de détails). On pose alors pour un tel G ≠ 0

μ(G) = \frac{deg G}{ht G}

On a en fait

μ(G) ∈ [0, 1]

et de plus

μ(G) = 0 ⟺ G est étale
μ(G) = 1 ⟺ G est de type multiplicatif

Si G ↦ G^{D} désigne l’involution de C dans elle même donnée par la dualité de Cartier alors

μ(G^{D}) = 1 − μ(G)

Si H est un groupe p-divisible de dimension d et de hauteur h sur O_{K} alors pour tout entier n ≥ 1

μ(H[p^{n}]) = \frac{d}{h}

2.2. Propriétés relativement aux morphismes et aux suites exactes. Pour deux nombres réels a et b notons [a, b] pour le segment [a, b] si a ≤ b et le segment noté d’habitude [b, a] si a > b. On utilise le même type de notations pour des segments ouverts. Si l’on a une suite exacte dans C

0 ⟶ G′ ⟶ G ⟶ G′′ ⟶ 0

avec G′ ≠ 0 et G′′ ≠ 0, la fonction pente μ satisfait alors – μ(G) ∈ [μ(G′), μ(G′′)]

– si μ(G′) ≠ μ(G′′) alors μ(G) ∈]μ(G′), μ(G′′)[

Si l’on a un morphisme

f : G ⟶ G′

qui induit un isomorphisme en fibres génériques alors

μ(G) ≤ μ(G′) avec égalité si et seulement si f est un isomorphisme

Si

G′ ⟶^{u} G ⟶^{v} G′′

est une suite de groupes non nuls telle que u soit une immersion fermée, u ∘ v = 0 et le morphisme induit par v

G/G′ ⟶ G′′

soit un isomorphisme en fibre générique alors – μ(G) ≤ sup{μ(G′), μ(G′′)}

– si μ(G′) ≠ μ(G′′) alors μ(G) < sup{μ(G′), μ(G′′)}

– si μ(G) = sup{μ(G′), μ(G′′)} alors μ(G′) = μ(G) = μ(G′′) et la suite 0 → G′ → G → G′′ → 0 est exacte i.e. le morphisme v est plat de noyau G′

2.3. Groupes semi-stables et filtrations de Harder-Narasimhan. A partir de là on définit une notion d’objet semi-stable dans C en posant pour G ≠ 0

G est semi-stable ⟺ ∀G′, 0 ⊊ G′ ⊂ G, μ(G′) ≤ μ(G)

On démontre alors l’existence d’une filtration de type Harder-Narasimhan pour un G ≠ 0,

0 = G_{0} ⊊ G_{1} ⊊ ⋯ ⊊ G_{r} = G

caractérisée par les deux propriétés suivantes :

– pour tout i, le schéma en groupes G_{i+1}/G_{i} est semi-stable.

– μ(G_{1}/G_{0}) > μ(G_{2}/G_{1}) > ⋯ > μ(G_{r}/G_{r−1}) Ainsi G est semi-stable si et seulement si sa filtration de Harder-Narasimhan est la filtration tautologique (0) ⊊ G.

On retiendra la propriété importante suivante des groupes semi-stables : la catégorie des groupes semi-stables de pente λ fixée est une catégorie abélienne stable par extensions. Plus précisément, si G et G′ sont deux groupes semi-stables de pente λ et f : G ⟶ G′ est un morphisme alors ker f est plat sur O_{K}, ker f et Im f sont semi-stables de pente λ. De plus si 0 → G′ → G → G′′ → 0 est exacte avec G′ et G′′ semi-stables de pente λ alors G l’est également.

En particulier pour G semi-stable :

– le noyau de la multiplication par p^{n} sur G est plat sur Spec(O_{K})

– les groupes G[p^{n}] et p^{n}G (s’il est non nul) sont semi-stables de pente μ(G)

2.4. Polygone de Harder-Narasimhan. On définit alors le polygone

HN(G) : [0, ht G] ⟶ [0, deg G]

qui est le polygone concave continu à abscisses de rupture entières tel que HN(G)(0) = 0 et sa pente sur le segment [ht(G_{i}), ht(G_{i+1})] est μ(G_{i+1}/G_{i}). Plus précisément, pour x ∈ [ht(G_{i}), ht(G_{i+1})]

HN(G)(x) = deg G_{i} + μ(G_{i+1}/G_{i})(x − ht(G_{i}))

Son point terminal est donc (ht G, deg G). Il vérifie la propriété important suivante : si G′ est un sous-groupe fini et plat de G alors le point (ht(G′), deg(G′)) est en dessous du polygone HN(G). Donc,

HN(G) = enveloppe concave des points (ht(G′), deg(G′)) pour G′ ⊂ G

La multiplicité de la pente 1 est égale à la hauteur de la partie multiplicative de G et celle de la pente 0 à la hauteur du plus grand quotient étale de G.

Si G est un schéma en groupes fini et plat sur O_{K} nous poserons

μ_{max}(G) = la plus grande pente de HN(G)
μ_{min}(G) = la plus petite pente de HN(G)

On a donc μ_{min}(G) = 1 − μ_{max}(G^{D}).

Via le foncteur fibre générique les sous-groupes de G s’identifient aux sous-groupes G_{η} c’est à dire, si \overline{K} désigne une clôture algébrique de K, aux sous-groupes Gal(\overline{K}|K)-invariants du module galoisien G(\overline{K}). Cet ensemble ordonné par l’inclusion forme un treillis T en posant pour M′, M′′ ⊂ G_{η}, M′ ∧ M′′ = M′ ∩ M′′ et M′ ∨ M′′ = M′ + M′′. Les fonctions degré et hauteur définissent des fonctions croissantes deg : T ⟶ ℝ_{≥0}, ht : T ⟶ ℕ telles que

ht(M′ ∨ M′′) + ht(M′ ∧ M′′) = ht(M′) + ht(M′′)
deg(M′ ∨ M′′) + deg(M′ ∧ M′′) ≥ deg(M′) + deg(M′′)

ainsi qu’une fonction μ : T \ {(0)} ⟶ [0, 1] qui déterminent complètement la filtration de Harder-Narasimhan de G ainsi que son polygone.

2.5. Réindexation de la filtration de Harder-Narasimhan. Soit G un schéma en groupes fini et plat sur O_{K} de filtration de Harder-Narasimhan 0 = G_{0} ⊊ G_{1} ⊊ ⋯ ⊊ G_{r} = G et de pentes μ_{1} > ⋯ > μ_{r}. Posons pour λ ∈ [0, 1]

i(λ) = sup{1 ≤ i ≤ r | μ_{i} ≥ λ}

si μ_{1} ≥ λ et i(λ) = 0 sinon. Définissons alors la filtration décroissante (G_{λ}^{HN})_{λ∈[0,1]} de G en posant

G_{λ}^{HN} = G_{i(λ)}

Alors d’après la proposition 10 de [4], cette filtration est fonctorielle : un morphisme de schémas en groupes finis et plats sur O_{K}, f : G ⟶ G′, induit un morphisme de groupes filtrés

f : (G_{λ}^{HN})_{λ} ⟶ (G_{λ}^{′HN})_{λ}

On en déduit en particulier que si HN(G) = HN(G′), (G_{k})_{0≤i≤r} et (G′_{i})_{0≤i≤r} sont les filtrations de Harder-Narasimhan de G et G′ alors pour 0 ≤ i ≤ r, f_{|G_{i}} : G_{i} ⟶ G′_{i}. Cela s’applique en particulier au cas où G = G′ et aux endomorphisme de G qui stabilisent donc la filtration de Harder-Narasimhan.

2.6. Sur le formalisme de Harder-Narasimhan utilisé. Puisque nous l’utiliserons dans d’autres contextes rappelons le formalisme utilisé dans [4] afin de définir des filtrations de Harder-Narasimhan.

Soit C une catégorie exacte. On suppose donnée une catégorie abélienne D ainsi qu’un foncteur que l’on appellera foncteur fibre générique

F : C ⟶ D

qui est exact fidèle et tel que si X ∈ C alors F induise une bijection

F : {sous-objets de X} ⟶^{∼} {sous-objets de F (X)}

(où par sous objet dans la catégorie exacte C on entend ceux qui s’insèrent dans une suite exacte). L’inverse de cette bijection sera souvent appelé l’adhérence schématique d’un sous objet de F (X) dans X. On suppose également donné une fonction additive

rg : D ⟶ ℕ

telle que rg(Y) = 0 si et seulement si Y = 0. Elle fournit donc par composition avec F une fonction additive rg : C ⟶ ℕ. On suppose également donné une fonction additive

deg : C ⟶ ℝ

vérifiant les propriétés suivantes :

– si X est un objet de C alors {deg(Z) | Z sous-objet de X} est borné supérieurement

– si X ⟶ X′ est un morphisme dans C tel que le morphisme induit F (X) ⟶ F (X′) soit un isomorphisme alors deg X ≤ deg X′ avec égalité si et seulement si X ⟶ X′ est un isomorphisme.

Sous les conditions précédentes en posant pour X ∈ C, X ≠ 0,

μ(X) = \frac{deg X}{rgX}

on a une notion d’objet semi-stable dans C relativement à la fonction pente μ et tout objet de C possède une unique filtration de Harder-Narsimhan. On a également une notion de polygone de Harder-Narasimhan et les résultats usuels le concernant sont vérifiés. De plus si λ est fixé, la catégorie des objets semi-stables de pente λ est abélienne.

3. Quelques rappels sur les groupes p-divisibles

Cette section ne contient rien d’original, mais on préfère mettre au clair certains points.

3.1. Généralités.

Définition 1. Si S est un schéma quasicompact on note pdiv_{S} la catégorie des groupes p-divisibles sur S et pdiv_{S} ⊗ ℚ la catégorie dont les objets sous-jacents sont les objets de pdiv_{S} et dont les morphismes sont

Hom_{pdiv_{S}⊗ℚ}(X, Y) = Hom_{pdiv_{S}}(X, Y) ⊗ ℚ

La catégorie pdiv_{S} est une catégorie exacte ℤ_{p}-linéaire Karoubienne. La structure de catégorie exacte est celle induite par le plongement de pdiv_{S} dans la catégorie abélienne des faisceaux fppf de groupes abéliens sur S. On vérifie en effet que si F est un faisceau fppf extension de deux groupes p-divisibles alors F est un groupe p-divisible. Un morphisme H ⟶ H′ fait de H un sous-objet de H′ dans cette catégorie exacte si et seulement si c’est un monomorphisme de faisceaux fppf si et seulement si pour tout n ≥ 1 le morphisme H[p^{n}] ⟶ H′[p^{n}] est une immersion fermée. Un morphisme H → H′ fait de H′ un quotient de H dans cette catégorie exacte si et seulement si pour tout n ≥ 1 le morphisme H[p^{n}] ⟶ H′[p^{n}] est un épimorphisme i.e. est fidèlement plat. Cette catégorie exacte est munie d’une involution exacte donnée par la dualité de Cartier. Un morphisme H ⟶ H′ dans pdiv_{S} fait de H un sous-objet de H′ si et seulement si le morphisme associé H′^{D} ⟶ H^{D} fait de H^{D} un objet quotient de H′^{D}.

La catégorie pdiv_{S} ⊗ ℚ est la catégorie associée des groupes p-divisibles à isogénie près au sens où il s’agit du localisé (à droite ou à gauche) de la catégorie pdiv_{S} relativement au flèches qui sont des isogénies. Un morphisme dans pdiv_{S} devient un isomorphisme dans pdiv_{S} ⊗ ℚ si et seulement si c’est une isogénie. Un isomorphisme dans pdiv_{S} ⊗ ℚ est appelé une quasi-isogénie. La catégorie pdiv_{S} ⊗ ℚ est ℚ_{p}-linéaire. Elle est également munie d’une structure de catégorie exacte via son plongement dans la catégorie abélienne (ℤ − ModS̃_{fppf}) ⊗ ℚ qui est la catégorie des faisceaux de groupes abéliens sur S_{fppf} quotientée par la sous-catégorie épaisse des faisceaux F tels qu’il existe un entier non nul n vérifiant n.F = 0. Le foncteur naturel pdiv_{S} ⟶ pdiv_{S} ⊗ ℚ est exact. Néanmoins une suite exacte dans pdiv_{S} ⊗ ℚ n’est pas à priori isomorphe à une suite exacte provenant de pdiv_{S}.

On remarquera également que si l’on a un diagramme

[figure: 0; X; Y′; α; Z′; g; 0; 0; X; f; Y; β; Z; 0; 0; X′′; Y′′; Z; 0]

où la suite du milieu est exacte dans pdiv_{S}, f et g sont des isogénies, la suite du haut est obtenue par image réciproque à partir de celle du milieu via g (i.e. Y′ = Y ×_{Z} Z′) et la suite du bas par image directe de celle du milieu via f (i.e. Y′′ = X′′ ⊕_{X} Y) alors α et β sont des isogénies. On peut ainsi modifier par isogénies un objet de pdiv_{S} en modifiant par isogénies un sous-objet ou bien un objet quotient.

Lemme 1. Soit H un groupe p-divisible sur un schéma S. Soient r ≥ 2 un entier, (H_{i})_{1≤i≤r}, (H′_{i})_{1≤i≤r−1} et (K_{i})_{1≤i≤r−1} des familles de groupes p-divisibles sur S telles que

– H_{1} = H

– si 1 ≤ i ≤ r − 1 alors H′_{i} est isogène à H_{i}

– pour 1 ≤ i ≤ r − 1 il y a des suites exactes

0 ⟶ K_{i} ⟶ H′_{i} ⟶ H_{i+1} ⟶ 0

Alors H est isogène à un groupe p-divisible X muni d’une filtration croissante (Fil_{i} X)_{0≤i≤r} dans la catégorie exacte pdiv_{S} avec Fil_{0} X = 0, Fil_{r} X = X et des isomorphismes pour 1 ≤ i ≤ r − 1

Fil_{i} X/Fil_{i−1} X ≃ K_{i}

et

Fil_{r} X/Fil_{r−1} X ≃ H_{r}

Démonstration. On procède par récurrence sur r. L’hypothèse de récurrence appliquée à H_{2} fournit une isogénie

f : Y ⟶ H_{2}

où Y est muni d’une filtration (Fil_{i} Y)_{1≤i≤r} telle que Fil_{1} Y = 0, Fil_{r} Y = Y, pour 2 ≤ i ≤ r − 1 Fil_{i} Y/Fil_{i−1} Y ≃ K_{i} et Fil_{r} Y/Fil_{r−1} Y ≃ H_{r}. On considère maintenant le diagramme

[figure: 0; K_{1}; X; Y; f; 0; 0; K_{1}; H′_{1}; H_{2}; 0]

où la suite exacte du haut est obtenue par image réciproque de celle du bas via f i.e. X = H′_{1}×_{H_{2}} Y. Le groupe p-divisible X est isogène à H′_{1} donc à H. Si ψ : X ⟶ Y, posons Fil_{0} X = 0, Fil_{1} X = K_{1} et pour 2 ≤ i ≤ r Fil_{i} X = ψ^{−1}(Fil_{i} Y). L’objet filtré X ainsi construit convient. □

3.2. Le cas des groupes p-divisibles sur un anneau de valuation discrète. Le théorème qui suit est bien connue, il se déduit des résultats de la section 4.2 de [21].

Théorème 1 (Tate). Soit S un schéma intègre noethérien régulier de dimension inférieure ou égale à 1 dont le point générique est de caractéristique 0. La catégorie pdiv_{S} ⊗ℚ est alors abélienne ℚ_{p}-linéaires. De plus la structure de catégorie exacte décrite précédemment sur cette catégorie coïncide avec celle donnée par la structure de catégorie abélienne et une suite dans pdiv_{S} ⊗ ℚ est exacte si et seulement si elle est isomorphe à une suite exacte de pdiv_{S}. Si η désigne le point générique de S alors le foncteur pdiv_{S} ⊗ ℚ ⟶ pdiv_{η} ⊗ ℚ est pleinement fidèle.

Soit maintenant K|ℚ_{p} une extension valuée complète pour une valuation discrète de corps résiduel parfait k_{K}. Fixons une clôture algébrique \overline{K} de K et soit G_{K} = Gal(\overline{K}|K). Le choix d’une telle clôture algébrique induit une équivalence de catégories

pdiv_{K} ⟶^{∼} Rep_{ℤ_{p}}(G_{K})
H ⟼ V_{p}(H)

Soit F − Isoc^{[0,1]} la catégorie des F -isocristaux sur Spec(k_{K}) à pentes de Dieudonné-Manin comprises entre 0 et 1. Soit F − Isoc^{[0,1]}Fil^{fa} la même catégorie d’isocristaux munis d’une filtration de leur évaluation sur Spec(O_{K}) vérifiant la condition de faible admissibilité de Fontaine. Soit Rep_{ℚ_{p}}^{cris}(G_{K})^{{0,1}} la catégorie des représentations cristallines de G_{K} à poids de Hodge-Tate dans {0, 1}. Il y a alors un diagramme commutatif

\xymatrix{pdiv_{k_{K}} ⊗ ℚ \ar[r]^{𝔻}_{≃} & F − Isoc^{[0,1]} \\ pdiv_{O_{K}} ⊗ ℚ \ar[r]^{𝔻}_{≃} \ar[u]_{Red} \ar[dr]_{V_{p}}^{≃} & _{F − Isoc_{[0,1]} Fil_{fa}} \ar[u]_{_{oubli de Fil}} \ar[d]^{V_{cris}} \\  & Rep_{ℚ_{p}}^{cris}(G_{K})^{\{0,1\}} \ar[u]^{D_{cris}}}

Remarque 1. On prendra garde que si k_{K} est parfait une suite de groupes p-divisibles est exacte si et seulement si la suite associée de modules de Dieudonné associée l’est mais que cela est faux si l’on remplace k_{K} par O_{K} et le module de Dieudonné par le module de Tate entier : le foncteur fibre générique pdiv_{O_{K}} ⟶ pdiv_{K} est exacte mais une suite qui devient exacte en fibre générique ne l’est pas forcément (cf. l’exemple de Serre page 182 de [21]).

4. Le polygone de Harder-Narasimhan renormalisé d’un groupe p-divisible

4.1. Un résultat de convergence.

Définition 2. Soient h, h′ ≥ 0 deux nombres réels. Soit f, resp. g, une fonction bornée de l’intervalle [0, h], resp. [0, h′], à valeurs dans ℝ. On pose

f ∗_{t} g : [0, h + h′] ⟶ ℝ
x ⟼ sup_{a+b=x ; a,b∈ℝ ; {0≤a≤h \atop 0≤b≤h′}} f(a) + g(b)

On peut vérifier que la convolée au sens précédent de deux fonctions concaves est concave. Voici une variante de la proposition 8 de [4].

Proposition 1. Soit 0 ⟶ G′ ⟶ G ⟶ G′′ ⟶ 0 une suite exacte de schémas en groupes finis et plats sur Spec(O_{K}). L’inégalité suivante est alors vérifiée

HN(G) ≤ HN(G′) ∗_{t} HN(G′′)

Démonstration. Il faut montrer que pour tout x ∈ [0, ht G]

HN(G)(x) ≤ \begin{aligned}& sup \\ \{ & a+b=x ; {0≤a≤ht G′ \atop 0≤b≤ht G′′} \end{aligned} HN(G′)(a) + HN(G′′)(b)

Soit donc x ∈ [0, ht G]. Soient i, j ∈ ℕ ∩ [0, ht G] tels que i ≤ x ≤ j, i soit la plus grande abscisse inférieure ou égale à x d’un point de rupture de HN(G) et j la plus petite abscisse supérieure ou égale à x d’un point de rupture de HN(G). En particulier la fonction HN(G) est affine sur le segment [i, j]. Il existe alors deux sous-groupes K, L ⊂ G, des crans de la filtration de Harder-Narasimhan de G, tels que ht(K) = i, ht(L) = j, deg(K) = HN(G)(i) et HN(G)(j) = deg(L).

Notons u : G′ ⟶ G et v : G ⟶ G′′. Si N ⊂ G est un sous-groupe de G on note de façon abusive u^{−1}(N), resp. v(N), pour l’adhérence schématique de u^{−1}(N_{η}) dans G′, resp. l’adhérence schématique de v(N_{η}) dans G′′.

Soient

a = ht(u^{−1}(K)), b = ht(v(K)), c = ht(u^{−1}(L)), d = ht(v(L))

On a donc a + b = i et c + d = j. Les inégalités suivantes sont vérifiées

deg(K) = HN(G)(i) ≤ deg (u^{−1}(K)) + deg (v(K)) ≤ HN(G′)(a) + HN(G′′)(b)
deg(L) = HN(G)(j) ≤ deg (u^{−1}(L)) + deg (v(L)) ≤ HN(G′)(c) + HN(G′′)(d)

Soit maintenant t ∈ [0, 1] tel que x = ti + (1 − t)j. Puisque HN(G) est affine sur le segment [i, j]

HN(G)(x) = tHN(G)(i) + (1 − t)HN(G)(j)
≤ (tHN(G′)(a) + (1 − t)HN(G′)(c)) + (tHN(G′′)(b) + (1 − t)HN(G′′)(d))
≤ HN(G′)(ta + (1 − t)c) + HN(G′′)(tb + (1 − t)d)

la dernière inégalité résultant de la concavité des polygones HN(G′) et HN(G′′). On en déduit le résultat. □

Proposition 2. Soit h un nombre réel strictement positif et φ_{n} : [0, nh] ⟶ ℝ_{+}, n ≥ 1, une suite de fonctions bornées concaves telles que pour tous n, m ≥ 1

φ_{n+m} ≤ φ_{n} ∗_{t} φ_{m}

Alors la suite de fonction

[0, h] ⟶ ℝ
x ⟼ \frac{1}{n} φ_{n}(nx)

converge uniformément vers une fonction concave sur l’intervalle [0, h] égale à la borne inférieure de cette suite.

Démonstration. Commençons par montrer que pour tout k ≥ 1, tout x ∈ [0, kh] et tout n ≥ 1

φ_{kn}(nx) ≤ nφ_{k}(x)

Fixons k. On procède par récurrence sur n, le cas n = 1 étant immédiat. Utilisant l’inégalité

φ_{k(n+1)} ≤ φ_{kn} ∗_{t} φ_{k}

on obtient

φ_{k(n+1)}((n + 1)x) ≤ sup_{a+b=(n+1)x ; {0≤a≤nkh \atop 0≤b≤kh}} φ_{kn}(a) + φ_{k}(b)

Soient donc a et b tels que dans la borne supérieure précédente. Par hypothèse de récurrence

φ_{kn}(a) ≤ nφ_{k} (\frac{a}{n})

De plus, en écrivant

x = \frac{n}{n + 1}.\frac{a}{n} + \frac{1}{n + 1}.b

et en utilisant la concavité de φ_{k}, on obtient

\frac{n}{n + 1} φ_{k} (\frac{a}{n}) + \frac{1}{n + 1} φ_{k}(b) ≤ φ_{k}(x)

Combinant les deux inégalités précédentes on obtient

φ_{kn}(a) + φ_{k}(b) ≤ (n + 1)φ_{k}(x)

qui est l’hypothèse de récurrence au cran n + 1.

Soit maintenant n_{0} ≥ 1 un entier fixé. Pour n ∈ ℕ écrivons n = q(n)n_{0} + r(n) la division euclidienne de n par n_{0}. De l’inégalité

φ_{n} ≤ φ_{q(n)n_{0}} ∗_{t} φ_{r(n)}

on tire que pour x ∈ [0, h]

φ_{n}(nx) ≤ sup_{a+b=nx ; {0≤a≤q(n)n_{0}h \atop 0≤b≤r(n)h}} φ_{q(n)n_{0}}(a) + φ_{r(n)}(b)

Pour des nombres a, b comme dans la borne supérieure précédente on peut écrire

q(n)n_{0}x = \frac{q(n)n_{0}}{n} .a + \frac{r(n)}{n}. (\frac{q(n)n_{0}}{r(n)} b)

Utilisant la concavité de φ_{q(n)n_{0}} on obtient

φ_{q(n)n_{0}}(q(n)n_{0}x) ≥ \frac{q(n)n_{0}}{n} φ_{q(n)n_{0}}(a) + \frac{r(n)}{n}φ_{q(n)n_{0}} (\frac{q(n)n_{0}}{r(n)} b)
≥ \frac{q(n)n_{0}}{n} φ_{q(n)n_{0}}(a)

De plus les fonctions φ_{r(n)} sont bornées par une constante C indépendante de n. On a donc pour a, b comme précédemment

φ_{q(n)n_{0}}(a) + φ_{r(n)}(b) ≤ \frac{n}{q(n)n_{0}} φ_{q(n)n_{0}}(q(n)n_{0}x) + C
≤ \frac{n}{n_{0}} φ_{n_{0}}(n_{0}x) + C

la deuxième inégalité résultant de l’inégalité prouvée au début de cette démonstration. Au final on obtient qu’il existe une constante C telle que pour tout n ≥ 1

\frac{φ_{n}(nx)}{n} ≤ \frac{φ_{n_{0}}(n_{0}x)}{n_{0}} + \frac{C}{n}

On en déduit que

lim sup_{n→+∞} \frac{φ_{n}(nx)}{n} ≤ \frac{φ_{n_{0}}(n_{0}x)}{n_{0}}

Cela étant vrai pour tout entier n_{0} on a donc

lim sup_{n→+∞} \frac{φ_{n}(nx)}{n} = lim inf_{n→+∞} \frac{φ_{n}(nx)}{n}

et la convergence simple s’en déduit. La convergence uniforme se vérifie en utilisant que la constante C précédente ne dépend pas de x. □

4.2. Le polygone renormalisé d’un groupe p-divisible. Soit K|ℚ_{p} une extension valuée complète pour une valuation à valeurs dans ℝ étendant la valuation p-adique. Soit H un groupe pdivisible sur Spec(O_{K}). Notons d sa dimension et h sa hauteur. Pour tout entier n ≥ 1 le polygone HN(H[p^{n}]) a pour point extrémal (nh, nd).

Théorème 2. La suite de fonctions

[0, h] ⟶ [0, d]
x ⟼ \frac{1}{n} HN(H[p^{n}])(nx)

converge uniformément lorsque n ⟶ +∞ vers une fonction continue concave croissante

HN(H) : [0, h] ⟶ [0, d]

égale à la borne inférieure des fonctions précédentes et vérifiant HN(H)(0) = 0 et HN(H) = d.

Démonstration. Pour des entiers n, m ≥ 1 on applique la proposition 1 aux suites exactes

0 ⟶ H[p^{n}] ⟶ H[p^{n+m}] ⟶^{p^{n}} H[p^{m}] ⟶ 0

On obtient alors que la suite de fonctions (HN[p^{n}])_{n≥1} satisfait aux hypothèses de la proposition 2. D’où le résultat. □

Pour un sous-schéma en groupes fini et plat G ⊂ H notons

n(G) = inf{n ≥ 1 | G ⊂ H[p^{n}]}

Alors la fonction HN(H) est l’enveloppe concave des points

(\frac{ht G}{n(G)h}, \frac{deg G}{n(G)d})

lorsque G parcourt les sous-groupes finis et plats de H.

Remarque 2. Ce résultat est à comparer avec le théorème 4.1.14 de [1] sur les polygones de Harder-Narasimhan limites associées aux puissances tensorielles d’un fibré hermitien ample.

On remarquera que pour x ∈ [0, ht H]

HN(H^{D})(x) = HN(H)(ht H − x) − dim H + x

4.3. Invariance par isogénie.

Proposition 3. Soient H_{1} et H_{2} deux groupes p-divisibles isogènes sur O_{K}. Alors

HN(H_{1}) = HN(H_{2})

Démonstration. L’idée est que le polygone du noyau d’une isogénie entre nos deux groupes p-divisibles se fait manger par le processus de renormalisation. Soit f : H_{1} ⟶ H_{2} une isogénie de noyau G. On a deux suites exactes pour les entiers n ≥ 1

0 ⟶ G ⟶ p^{−n}G ⟶ H_{2}[p^{n}] ⟶ 0
0 ⟶ H_{1}[p^{n}] ⟶ p^{−n}G ⟶ G ⟶ 0

La première suite exacte implique que

HN(p^{−n}G) ≤ HN(G) ∗_{t} HN(H_{2}[p^{n}])

Soit C une constante telle que ∀x ∈ [0, ht G], HN(G)(x) ≤ C. On a donc pour tout x ∈ [0, ht H_{2}]

HN(p^{−n}G)(nx) ≤ sup_{a+b=nx ; {0≤a≤ht G \atop 0≤b≤ nht H_{2}}} HN(G)(a) + HN(H_{2}[p^{n}])(b)

≤ C + sup_{0≤b≤nx}HN(H_{2}[p^{n}])(b)
= C + HN(H_{2}[p^{n}])(nx)

Donc, pour tout x ∈ [0, ht H_{2}]

\frac{1}{n}HN(p^{−n}G)(nx) ≤ \frac{C}{n} + \frac{1}{n}HN(H_{2}[p^{n}])(nx)

La partie gauche de la seconde suite exacte, l’inclusion H_{1}[p^{n}] ↪ p^{−n}G implique que pour x ∈ [0, ht H_{1}]

HN(H_{1}[p^{n}])(nx) ≤ HN(p^{−n}G)(nx)

Donc si h = ht H_{1} = ht H_{2}, pour x ∈ [0, h] on a

\frac{1}{n}HN(H_{1}[p^{n}])(nx) ≤ \frac{1}{n}HN(H_{2}[p^{n}])(nx) + \frac{C}{n}

d’où

HN(H_{1}) ≤ HN(H_{2})

Par réflexivité de la relation d’isogénie on en déduit le résultat. □

4.4. Semi-continuité.

Proposition 4. Soit F |ℚ_{p} une extension valuée complète pour une valuation discrète et 𝔛 un schéma formel localement formellement de type fini sur Spf(O_{F}). Soit H un groupe p-divisible sur 𝔛 de dimension d et de hauteur h constantes. Alors si P : [0, h] ⟶ [0, d] est une fonction concave telle que P(0) = 0 et P(h) = d,

{x ∈ |𝔛^{an}| | HN(H_{x}) ≥ P}

est un fermé de |𝔛^{an}|.

Démonstration. Si l’on note pour un entier n ≥ 1, h_{1/n} la fonction x ↦ \frac{x}{n}, cet ensemble se récrit

⋂_{n≥1}{x ∈ 𝔛^{an} | HN(H[p^{n}]_{x}) ≥ nP ∘ h_{1/n}}

qui est donc fermé d’après le théorème 3 de [4]. □

En général l’ensemble précédent n’a aucune raison d’être le fermé sous-jacent à un domaine analytique fermé dans 𝔛^{an} et n’est donc pas à priori associé à un ouvert admissible de 𝔛^{rig}.

5. Groupes p-divisibles semi-stables et de type HN sur O_{K}

Dans cette section K|ℚ_{p} est un corps valué complet pour une valuation à valeurs dans ℝ étendant celle de ℚ_{p}.

5.1. Groupes p-divisibles semi-stables.

Définition 3. Soit H un groupe p-divisible non nul de hauteur et de dimension constantes sur un schéma sur lequel p est nilpotent ou bien un schéma formel p-adique. On pose alors

μ_{H} = \frac{dim H}{ht H}

On remarquera que l’invariant μ_{H} ne dépend que de la classe d’isogénie de H. Si H est un groupe p-divisible sur O_{K} on a que pour tout entier n ≥ 1

μ(H[p^{n}]) = μ_{H}

Lemme 2. Soit H un groupe p-divisible non nul sur O_{K}. Sont équivalents :

– H[p] est semi-stable

– pour tout entier n ≥ 1, H[p^{n}] est semi-stable

– pour tout sous-schéma en groupes fini et plat G de H, μ(G) ≤ μ_{H}

Démonstration. Seul le fait que le premier point implique le second n’est pas évident. Mais cela résulte par récurrence sur n de ce que la catégorie des groupes finis et plats semi-stables de pente fixée est stable par extension et des suites exactes

0 ⟶ H[p] ⟶ H[p^{n}] ⟶^{×p} H[p^{n−1}] ⟶ 0

□

Définition 4. On appelle groupe p-divisible semi-stable tout groupe p-divisible sur O_{K} satisfaisant aux conditions équivalentes du lemme précédent.

On a donc que H est semi-stable si et seulement si il vérifie l’une des conditions équivalentes suivantes :

– μ_{max}(H[p]) = μ_{H}

– pour tout n ≥ 1, μ_{max}(H[p^{n}]) = μ_{H}

On notera de plus que via la dualité de Cartier H est semi-stable si et seulement si H^{D} l’est. La proposition qui suit dit que la classe d’isogénie d’un groupe p-divisible semi-stable vérifie une condition de semi-stabilité.

Proposition 5. Soit H un groupe p-divisible semi-stable. Soit H′ un groupe p-divisible isogène à H et muni d’une filtration par des groupes p-divisibles

0 ⟶ X ⟶ H′ ⟶ Y ⟶ 0

avec X ≠ 0. Alors μ_{X} ≤ μ_{H}.

Démonstration. Il faut montrer qu’il n’existe pas de sous-groupe fini et plat G de H ainsi qu’un sous-groupe p-divisible X ⊂ H/G tel que μ_{X} > μ_{H}. Mais si c’était le cas soit pour tout n ≥ 1, K_{n} ⊂ H le sous-groupe plat fini tel que G ⊂ K_{n} et K_{n}/G = X[p^{n}]. La suite exacte

0 ⟶ G ⟶ K_{n} ⟶ X[p^{n}] ⟶ 0

montre que deg K_{n} = deg G + n dim X et ht K_{n} = ht G + n ht X. On a donc

lim_{n→+∞}μ(K_{n}) = μ_{X}

et donc pour n grand μ(K_{n}) > μ_{H} ce qui est impossible puisque H est semi-stable. □

5.2. La catégorie des groupes p-divisibles isogènes à un groupe semi-stable de pente donnée à isogénie près.

Définition 5. Soit λ ∈ [0, 1] ∩ ℚ. On note pdiv_{O_{K}}^{ss,λ} ⊗ ℚ la sous-catégorie pleine de pdiv_{O_{K}} ⊗ ℚ formée des groupes p-divisibles isogènes à un groupe semi-stable de pente λ.

Rappelons que l’on note ℤ − Mod_{Spec(O_{K})f̃ppf} pour la catégorie abélienne des faisceaux fppf de groupes abéliens sur Spec(O_{K}) et ℤ − Mod_{Spec(O_{K})f̃ppf} ⊗ ℚ pour le quotient de cette catégorie par la sous-catégorie épaisse des faisceaux annulés par un entier non nul.

Théorème 3. Pour λ ∈ [0, 1] ∩ ℚ la catégorie pdiv_{O_{K}}^{ss,λ} ⊗ ℚ est une sous-catégorie abélienne de ℤ − Mod_{Spec(O_{K})f̃ppf} ⊗ ℚ. De plus une suite 0 → X → Y → Z → 0 dans pdiv_{O_{K}}^{ss,λ} ⊗ ℚ est exacte si et seulement si elle est isomorphe à une suite exacte de la catégorie exacte pdiv_{O_{K}}.

Démonstration. Soient X et Y deux groupes p-divisibles semi-stables tels que μ_{X} = μ_{Y} = λ et f : X ⟶ Y un morphisme. Rappelons que la catégorie des groupes finis et plats sur O_{K} semistables de pente λ est une sous-catégorie abélienne de la catégorie ℤ − Mod_{Spec(O_{K})f̃ppf}. Notons pour tout n ≥ 1

G_{n} = ker f_{|X[p^{n}]} ⊂ X[p^{n}]

qui est un groupe plat fini semi-stable de pente λ. Le noyau de f dans ℤ − Mod_{Spec(O_{K})f̃ppf} est ker f = lim_{⟶}_{n≥1} G_{n}. Posons pour n ≥ 1

a_{n} = ht (G_{n}/G_{n−1})

où l’on a posé G_{0} = 0. Étant donné que pour i ≥ j ≥ 1, G_{i}[p^{j}] = G_{j}, si i ≥ j ≥ 1 le morphisme

G_{i}/G_{i−1} ⟶^{×p^{i−j}} G_{j}/G_{j−1}

est un monomorphisme. La suite (a_{n})_{n≥1} est donc décroissante. Soit n_{0} ∈ ℕ tel que pour n ≥ n_{0} on ait a_{n} = a_{n_{0}}. Alors pour i ≥ j ≥ n_{0},

×p^{i−j} : G_{i}/G_{i−1} ⟶^{∼} G_{j}/G_{j−1}

est un isomorphisme. On vérifie alors que

ker f/G_{n_{0}} = lim_{⟶}_{n≥n_{0}} G_{n}/G_{n_{0}} ⊂ X/G_{n_{0}}

est soit nul (si a_{n_{0}} = 0) soit un sous-groupe p-divisible semi-stable de pente λ de X/G_{n_{0}}. La suite exacte associée dans pdiv_{O_{K}}

0 ⟶ ker f/G_{n_{0}} ⟶ X/G_{n_{0}} ⟶ Z ⟶ 0

est telle que Z = Im f ⊂ Y soit un sous-groupe p-divisible semi-stable de pente λ de Y et coker f = Y/Z.

On a donc vérifié que le noyau et le conoyau de f dans ℤ − Mod_{Spec(O_{K})f̃ppf} ⊗ ℚ étaient des groupes p-divisibles semi-stables de pente λ. □

5.3. La catégorie des groupes de type HN.

Définition 6. Un groupe p-divisible X sur O_{K} est de type HN s’il possède une filtration croissante (X_{i})_{0≤i≤r} dans pdiv_{O_{K}} telle que X_{0} = 0, X_{r} = X, pour 1 ≤ i ≤ r le groupe p-divisible X_{i}/X_{i−1} est semi-stable et

μ_{X_{1}/X_{0}} > μ_{X_{2}/X_{1}} > ⋯ > μ_{X_{r}/X_{r−1}}

Remarquons que si X est de type HN alors la filtration précédente est déterminée de façon unique puisqu’alors pour tout entier n ≥ 1, la filtration (X_{i}[p^{n}])_{0≤i≤r} de X[p^{n}] est la filtration de Harder-Narasimhan de X[p^{n}]. Ainsi X est de type HN si et seulement si les filtrations de Harder-Narasimhan des X[p^{n}] lorsque n varie forment une filtration par des sous-groupes p-divisibles. On appellera la filtration précédente d’un groupe de type HN la filtration de Harder-Narasimhan.

Remarquons également que d’après la proposition 3 si un groupe p-divisible X′ est isogène à un groupe de type HN X tel que dans la définition précédente alors son polygone de Harder-Narasimhan renormalisé HN(X′) est le polygone concave de pentes μ_{X_{1}/X_{0}} > μ_{X_{2}/X_{1}} > ⋯ > μ_{X_{r}/X_{r−1}} avec multiplicités ht(X_{1}/X_{0}), …, ht(X_{r}/X_{r−1}). Réciproquement,

Proposition 6. Soit X un groupe p-divisible sur O_{K}. Il est de type HN si et seulement si HN(X[p]) = HN(X).

Démonstration. On vérifie que X est de type HN si et seulement si ∀n ≥ 1, HN(X[p^{n}]) = HN(X[p]). La proposition résulte alors des inégalités valables pour tout X

HN(X[p]) ≥ \frac{1}{n}HN(X[p^{n}]) ∘ (n Id) ≥ HN(X)
□

Proposition 7. Soient X et Y deux groupes p-divisibles de type HN sur O_{K} et (X_{i})_{0≤i≤r} et (Y_{j})_{0≤j≤s} leurs filtrations de Harder-Narasimhan. Soit f : X ⟶ Y une isogénie. Alors r = s et f induit pour 0 ≤ i ≤ r des isogénies

f_{|X_{i}} : X_{i} ⟶ Y_{i}

et pour 1 ≤ i ≤ r

X_{i}/X_{i−1} ⟶ Y_{i}/Y_{i−1}

Démonstration. Puisque X et Y sont isogènes d’après la proposition on a l’égalité 3 HN(X) = HN(Y). Celle-ci implique r = s, si 1 ≤ i ≤ r μ_{X_{i}/X_{i−1}} = μ_{Y_{i}/Y_{i−1}} et ht(X_{i}/X_{i−1}) = ht(Y_{i}/Y_{i−1}).

On a donc que pour tout entier n ≥ 1 les polygones de Harder-Narasimhan de X[p^{n}] et celui de Y [p^{n}] coïncident. D’après la proposition 10 de [4] cela implique que pour 0 ≤ i ≤ r, f_{|X_{i}[p^{n}]} : X_{i}[p^{n}] ⟶ Y_{i}[p^{n}]. Cela étant vrai pour tout n, f_{|X_{i}} : X_{i} ⟶ Y_{i}. Reste à vérifier que f_{|X_{i}} est une isogénie. Mais si N ∈ ℕ et g : Y ⟶ X sont tels que f ∘ g = p^{N} alors g vérifie la même propriété que f, g_{|Y_{i}} : Y_{i} ⟶ X_{i}. Donc f_{|X_{i}} ∘ g_{|Y_{i}} = p^{N}. □

Définition 7. On note pdiv_{O_{K}}^{HN} ⊗ ℚ la sous-catégorie pleine de pdiv_{O_{K}} ⊗ ℚ formée des groupes p-divisibles isogènes à un groupe de type HN.

Théorème 4. Tout groupe p-divisible X dans pdiv_{O_{K}}^{HN} ⊗ ℚ possède une unique filtration dans la catégorie exacte pdiv_{O_{K}} ⊗ ℚ, (X_{i})_{0≤i≤r} telle que pour 1 ≤ i ≤ r, si μ_{i} = μ_{X_{i}/X_{i−1}} alors X_{i}/X_{i−1} ∈ pdiv_{O_{K}}^{ss,μ_{i}} ⊗ ℚ et μ_{1} > ⋯ > μ_{r}.

Démonstration. L’existence de la filtration provient de la définition même de pdiv_{O_{K}}^{HN} ⊗ ℚ. Quant-à l’unicité elle résulte de la proposition 7. □

6. L’algorithme de descente vers un groupe semi-stable

Dans cette section K|ℚ_{p} est un corps valué complet pour une valuation à valeurs dans ℝ étendant celle de ℚ_{p}.

6.1. Première étape de l’algorithme. Soit H un groupe p-divisible non nul sur Spec(O_{K}). On pose pour un entier k ≥ 1

G_{k} = le premier cran de la filtration de Harder-Narasimhan de H[p^{k}]

Lemme 3. La suite (G_{k})_{k≥1} forme une suite croissante de groupes semi-stables de même pente. De plus pour tous i ≥ j ≥ 1 la multiplication par p^{j} sur G_{i} à un noyau plat et

G_{i}[p^{j}] = G_{j}

Démonstration. Soient donc i ≥ j ≥ 1. La multiplication par p^{j} sur G_{i} a un noyau plat et de plus G_{i}[p^{j}] est semi-stable avec

μ(G_{i}[p^{j}]) = μ(G_{i})

Étant donné que G_{i} est le premier cran de la filtration de Harder-Narasimhan de H[p^{i}] et que G_{j} ⊂ H[p^{i}]

μ(G_{j}) ≤ μ(G_{i})

Étant donné que G_{j} est le premier cran de la filtration de H[p^{j}] et que G_{i}[p^{j}] ⊂ H[p^{j}]

μ(G_{i}[p^{j}]) ≤ μ(G_{j})

De l’égalité et des deux inégalités précédentes on tire

μ(G_{i}) = μ(G_{i}[p^{j}]) = μ(G_{j})

De cela on déduit que G_{i}[p^{j}] ⊂ G_{j} (cf. le lemme 7 de [4]). L’autre inclusion s’en déduit de même. □

On remarquera qu’en particulier on a pour k ≥ 1

pG_{k+1} ⊂ G_{k}

Définition 8. On note μ_{max}(H) = μ_{max}(H[p]).

On a donc pour tout k ≥ 1, μ_{max}(H) = μ(G_{k}) = μ_{max}(H[p^{k}]) et

μ_{max}(H) = sup{μ(G) | G ⊂ H} = sup{μ(G) | G ⊂ H[p]}

On a toujours

μ_{max}(H) ≥ μ_{H}

avec égalité si et seulement si H est semi-stable.

Définition 9. On pose

F_{H} = lim_{⟶}_{k≥1} G_{k} ⊂ H

un sous-faisceau fppf de H.

Il résulte du lemme précédent que pour tout k ≥ 1, F_{H}[p^{k}] = G_{k} est un schéma en groupes fini et plats sur Spec(O_{K}). On a F_{H} = H si et seulement si H est semi-stable.

Lemme 4. Supposons H non semi-stable. Deux possibilités se présentent alors :

– soit F_{H} est un schéma en groupe fini et plat sur O_{K} c’est à dire il existe k_{0} ≥ 1 tel que F_{H} = F_{H}[p^{k_{0}}]

– soit il existe un entier k_{0} ≥ 0 tel F_{H}/F_{H}[p^{k_{0}}] soit un sous-groupe p-divisible non nul de H/F_{H}[p^{k_{0}}], semi-stable et vérifiant μ_{F_{H}/F_{H}[p^{k_{0}} ]} = μ_{max}(H) > μ_{H}

Démonstration. Posons pour un entier k ≥ 1

a_{k} = ht (G_{k}/G_{k−1})

Si i ≥ j ≥ 1 il y a un monomorphisme

×p^{i−j} : G_{i}/G_{i−1} ↪ G_{j}/G_{j−1}

La suite (a_{k})_{k} est donc décroissante. Il existe donc k_{0} ≥ 1 tel que pour k ≥ k_{0} on ait a_{k} = a_{k_{0}}. Si a_{k_{0}} = 0 alors pour k ≥ k_{0}, G_{k} = G_{k_{0}}.

Si a_{k_{0}} > 0, pour i > j ≥ k_{0}

p^{i−j} : G_{i}/G_{i−1} ⟶^{∼} G_{j}/G_{j−1}

est un isomorphisme. Posons pour i ≥ 0, K_{i} = G_{k_{0}+i}/G_{k_{0}} ⊂ F_{H}/G_{k_{0}}. La suite (K_{i})_{i≥1} est une suite croissante de sous-groupes finis et plats de F_{H}/G_{k_{0}}, semi-stables de pente μ_{max}(H), telle que

F_{H}/G_{k_{0}} = lim_{⟶}_{i≥1} K_{i}
K_{i} ⊂ (F_{H}/G_{k_{0}})[p^{i}]
∀i ≥ j ≥ 1, p^{i−j}K_{i} ⊂ K_{j}
p^{i−j} : K_{i}/K_{i−1} ⟶^{∼} K_{j}/K_{j−1}

On en déduit que F_{H}/G_{k_{0}} est un groupe p-divisible tel que pour i ≥ 1, (F_{H}/G_{k_{0}})[p^{i}] = K_{i}. D’où le résultat. □

6.2. Deuxième étape. Soit H un groupe p-divisible non nul sur O_{K}. On définit par récurrence une suite de groupes p-divisibles (H_{i})_{i≥1} munie de morphismes

φ_{i} : H_{i} ⟶ H_{i+1}

On pose pour cela H_{1} = H et si H_{i} ≠ 0,

H_{i+1} = H_{i}/F_{H_{i}}

avec pour morphisme φ_{i} la projection. Si H_{i} = 0 on pose H_{i+1} = 0. On a donc pour i ≥ 1 : – soit φ_{i} est une isogénie de noyau un groupe semi-stable vérifiant

μ(ker φ_{i}) = μ_{max}(H_{i})
μ_{max}(H_{i+1}) < μ_{max}(H_{i})

– soit φ_{i} est la composée d’une isogénie ψ : H_{i} ⟶ H′_{i} telle que ker ψ soit semi-stable de pente μ(ker ψ) = μ_{max}(H) avec un morphisme H′_{i} ⟶ H_{i+1} qui fait de H_{i+1} un quotient de H′_{i} dans la catégorie exacte pdiv_{O_{K}} et tel que

μ_{H_{i+1}} < μ_{H_{i}}

6.3. Lorsque l’algorithme s’arrête en temps fini.

Proposition 8. Soit H un groupe p-divisible sur O_{K}. Supposons que dans la suite de groupes p-divisibles construite précédemment (H_{i})_{i≥1} on ait H_{i} = 0 pour i ≫ 0. Alors H est isogène à un groupe de type HN.

Démonstration. C’est une conséquence du lemme 1. □

7. Polygone de Harder-Narasimhan non renormalisé

Soit K|ℚ_{p} une extension valuée complète pour une valuation à valeurs dans ℝ et H un groupe p-divisible non nul sur O_{K}. Si n_{0} ≥ 1 est un entier la suite de polygones (HN(H[p^{n}])_{|[0,n_{0}ht H]})_{n≥n_{0}} est croissante. On peut donc poser la définition suivante.

Définition 10. On appelle polygone de Harder-Narasimhan non renormalisé de H la fonction concave

HN(H)^{nr} : [0, +∞[ ⟶ [0, +∞]
x ⟼ lim_{{n→+∞ \atop nht H≥x}}HN(H[p^{n}])(x)

Analysons cette fonction en termes de l’algorithme de la section 6. Soit

H_{1} ↠ ⋯ ↠ H_{i} ↠ H_{i+1} ↠ …

la suite de groupes p-divisibles construite dans la section 6 où si H_{i} ≠ 0 alors H_{i+1} = H_{i}/F_{H_{i}} (confère la définition 9). Soit i_{0} ∈ [1, +∞] tel que

– i_{0} = +∞ si ∀i ≥ 1, F_{H_{i}} est un schéma en groupes fini et plat i.e. pour tout i ≥ 1 le morphisme H_{i} ↠ H_{i+1} est une isogénie

– sinon, i_{0} = inf{i ≥ 1 | F_{H_{i}} n’est pas un schéma en groupes fini et plat}

Si i_{0} = +∞ soit la suite strictement décroissante (μ_{i})_{i≥1} = (μ_{max}(H_{i}))_{i≥1}. On pose alors

μ_{∞}(H) = lim_{i→+∞}μ_{i}

Si i_{0} ≠ +∞ soit la suite décroissante (μ_{i})_{1≤i≤i_{0}} = (μ_{max}(H_{i}))_{1≤i≤i_{0}}. On pose alors

μ_{∞}(H) = μ_{i_{0}}

Lemme 5. Soit P : [0, +∞[⟶ [0, +∞[ le polygone concave défini par – si i_{0} = +∞ les pentes de P sont les (μ_{i})_{i≥1} avec multiplicités (ht ker(H_{i} ↠ H_{i+1}))_{i≥1}

– si i_{0} ≠ +∞ les pentes de P sont les (μ_{i})_{1≤i≤i_{0}} avec multiplicités (ht ker(H_{1} ↠ H_{2}), …, ht ker(H_{i_{0}−1} ↠

H_{i_{0}}), ∞) Alors pour tout entier n ≥ 1

HN(H[p^{n}])_{|[0,n]} = P_{|[0,n]}

Corollaire 2. Le polygone P défini dans le lemme précédent coïncide avec HN(H)^{nr}. Sur le segment [0, 1] la fonction de Harder-Narasimhan renormalisée est une droite de pente μ_{∞}(H) =

lim_{x→+∞}HN(H)_{g}^{nr}′(x).

Corollaire 3. Soit F |ℚ_{p} valué complet pour une valuation discrète. Soit 𝔛 un Spf(O_{F})-schéma formel localement formellement de type fini et H un groupe p-divisible sur 𝔛. Alors la fonction

|𝔛^{an}| ⟶ {polygones : [0, +∞[⟶ [0, +∞[}
x ⟼ HN(H_{x})^{nr}

est continue lorsqu’on munit l’espace des polygones définis sur [0, +∞[ de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts de [0, +∞[.

8. Étude dans le cas de valuation discrète

Dans toute cette section K|ℚ_{p} sera une extension valuée complète pour une valuation v : K ⟶ ℝ ∪ {+∞} discrète. On note Γ = v(K^{×}) le sous-groupe discret de ℝ associé. On note k_{K} le corps résiduel de K. On ne fait aucune hypothèse sur k_{K}.

8.1. La filtration de Harder-Narasimhan dans les catégories de groupes p-divisibles à isogénie près. Sur nos deux catégories abéliennes pdiv_{k_{K}} ⊗ℚ et pdiv_{O_{K}} ⊗ℚ on a deux fonctions additives dimension et hauteur

dim, ht : pdiv_{∗} ⊗ ℚ ⟶ ℕ

telles que H = 0 ⇔ ht(H) = 0. De plus tout objet de cette catégorie est de longueur finie. Elles possèdent donc tautologiquement des filtrations de Harder-Narasimhan, ce que l’on résume dans la définition et la proposition suivante.

Définition 11. Soit ∗ ∈ {k_{K}, O_{K}} et H ∈ pdiv_{∗} ⊗ ℚ non nul. On dit que H est semi-stable dans pdiv_{∗} ⊗ ℚ si pour tout sous-objet non nul H′ de H on a

μ_{H′} ≤ μ_{H}

Proposition 9. Soient ∗ ∈ {k_{K}, O_{K}} et H ∈ pdiv_{∗} ⊗ ℚ. Il existe alors une unique filtration de H dans pdiv_{∗} ⊗ ℚ

0 = H_{0} ⊊ H_{1} ⊊ ⋯ ⊊ H_{r} = H

telle que – pour tout i, H_{i+1}/H_{i} soit semi-stable dans pdiv_{∗} ⊗ ℚ

– μ_{H_{1}/H_{0}} > μ_{H_{2}/H_{1}} > ⋯ > μ_{H_{r}/H_{r−1}}

Définition 12. Pour ∗ ∈ {k_{K}, O_{K}} et H ∈ pdiv_{∗} ⊗ ℚ on note HN_{pdiv_{∗}⊗ℚ}(H) le polygone de Harder-Narasimhan associé à la filtration précédente.

8.2. Le cas du corps résiduel. Dans cette sous-section on étudie les filtrations de Harder-Narasimhan dans pdiv_{k_{K}} ⊗ ℚ. On note k = k_{K} qui peut être un corps de caractéristique p quelconque.

La proposition qui suit résulte de la classification de Dieudonné-Manin lorsque k est parfait.

Proposition 10 (Zink, [24]). Soit H un groupe p-divisible sur k et λ_{1} > ⋯ > λ_{r} les pentes de son polygone de Newton. Alors H est isogène à un groupe p-divisible H′ possédant une filtration croissante (Fil_{i} H′)_{0≤i≤r}, Fil_{0} H′ = (0), Fil_{r} H′ = H′, telle que pour 1 ≤ i ≤ r le groupe p-divisible Fil_{i} H′/Fil_{i−1}H′ soit isocline de pente λ.

Remarquons que si H est isocline de pente λ alors μ_{H} = λ.

Définition 13. Soient h et d deux entiers. Soit P : [0, h] ⟶ [0, d] un polygone convexe tel que P(0) = 0 et P(h) = d. On note P^{♢} : [0, h] ⟶ [0, d] le polygone concave défini par

P^{♢}(x) = d − P(h − x)

Proposition 11. La filtration par les pentes d’un groupe p-divisible H sur Spec(k) coïncide avec la filtration de Harder-Narasimhan de H dans pdiv_{k} ⊗ℚ. Si Newt(H) désigne le polygone de Newton de H on a pour x ∈ [0, ht H]

HN_{pdiv_{k}⊗ℚ}(H) = Newt(H)^{♢}

Démonstration. Cela résulte de ce que tout sous-groupe p-divisible d’un groupe isocline de pente λ est isocline de pente λ et donc ceux-ci sont des objets semi-stables de pdiv_{k} ⊗ ℚ. □

Remarque 3. Si l’on remplace la fonction additive dim par − dim on obtient également une filtration de Harder-Narasimhan dans pdiv_{k} ⊗ ℚ. Si k est parfait il s’agit de la filtration opposée à la filtration précédente relativement à la décomposition de Dieudonné-Manin en somme directe d’objets isoclines. Mais sur un corps k quelconque la filtration par les pentes n’est pas scindée et cette autre filtration ne semble pas avoir d’interprétation intéressante.

8.3. Le théorème principal de structure des groupes p-divisibles sur O_{K}.

8.3.1. Le théorème de structure.

Théorème 5. Tout groupe p-divisible sur O_{K} est isogène à un groupe de type HN. On a donc pdiv_{O_{K}} ⊗ ℚ = pdiv_{O_{K}}^{HN} ⊗ ℚ.

Démonstration. D’après la proposition 8 il suffit de vérifier que l’algorithme de la section 6

H = H_{1} ⟶^{φ_{1}} H_{2} ⟶^{φ_{2}} … ⟶^{φ_{i−1}} H_{i} ⟶^{φ_{i}} …

s’arrête en un temps fini i.e. H_{i} = 0 pour i grand. Remarquons pour cela qu’étant donné que, si H_{i} ≠ 0, μ_{max}(H_{i}) est la plus grande pente de HN(H_{i}[p]), et que ht(H_{i}) ≤ ht(H) on a que pour tout i ≥ 1 si H_{i} ≠ 0

μ_{max}(H_{i}) ∈ \{\frac{γ}{h} | γ ∈ Γ et 1 ≤ h ≤ ht(H)\}

qui est un sous-ensemble discret de ℝ. Donc

μ_{max}(H_{i}) ∈ X = \{\frac{γ}{h} | γ ∈ Γ et 0 ≤ h ≤ ht(H)\} ∩ [0, 1]

qui est un ensemble fini. On en déduit que la fonction

{i ≥ 1 | H_{i} ≠ 0} ⟶ ([0, ht(H)] ∩ ℕ) × X
i ⟼ (ht(H_{i}), μ_{max}(H_{i}))

prend ses valeurs dans un ensemble fini et décroît strictement en les points d’images non nulle, lorsque l’on munit l’ensemble produit de droite de l’ordre lexicographique. De cela on déduit que pour i grand H_{i} = 0. □

8.3.2. Reformulation en termes de la filtration de Harder-Narasimhan sur la catégorie des groupes p-divisibles à isogénie près.

Théorème 6. Soit H un groupe p-divisible sur O_{K}. Sont équivalents – H est isogène à un groupe semi-stable

– H est semi-stable dans la catégorie pdiv_{O_{K}} ⊗ ℚ La filtration de Harder-Narasimhan de H dans pdiv_{O_{K}} ⊗ℚ est donnée par la filtration du théorème 5.

Le polygone de Harder-Narasimhan de H dans la catégorie pdiv_{O_{K}} ⊗ ℚ est égal à la fonction de Harder-Narasimhan renormalisée de H, HN(H), qui est donc un polygone concave à points de rupture à coordonnées entières. Celui-ci est en dessous du polygone de Newton renversé de la fibre spéciale de H :

HN(H) ≤ Newt(H_{k_{K}})^{♢}

Démonstration. L’équivalence entre les deux notions de semi-stabilité résulte du théorème 5 ainsi que de la proposition 5. L’assertion concernant l’égalité des filtration de Harder-Narasimhan s’en suit.

Le fait que la fonction de Harder-Narasimhan de H coïncide avec le polygone de Harder-Narasimhan est une conséquence de la proposition 3. Le fait que le polygone de Harder-Narasimhan soit en dessous du polygone de Newton renversé est une conséquence du fait que le foncteur de réduction

pdiv_{O_{K}} ⊗ ℚ ⟶ pdiv_{k_{K}} ⊗ ℚ

est exacte, compatible aux fonctions hauteur et dimension et donc envoie la filtration de Harder-Narasimhan de H ∈ pdiv_{O_{K}} ⊗ ℚ sur une filtration de H_{k_{K}} dont le polygone est en dessous de son polygone de Harder-Narasimhan dans pdiv_{k_{K}} ⊗ ℚ. □

Corollaire 4. Soit L|K une extension valuée complète telle que la valuation de L soit discrète. Soit H ∈ pdiv_{O_{K}} ⊗ ℚ et H ⊗ O_{L} ∈ pdiv_{O_{L}} ⊗ ℚ. Alors la filtration de Harder-Narasimhan de H ⊗ O_{L} dans pdiv_{O_{L}} ⊗ ℚ est obtenue par extension des scalaires de O_{K} à O_{L} à partir de celle de H.

Corollaire 5. Le polygone de Harder-Narasimhan de H ∈ pdiv_{O_{K}} ⊗ ℚ est au dessus d’un polygone donné P : [0, ht H] ⟶ [0, dim H] si et seulement si pour tout entier n le polygone

x ↦ \frac{1}{n}HN(H[p^{n}])(nx) est au dessus de P.

9. La filtration des représentations cristallines

Ce chapitre ne contient que des tautologies, mais il est utile car il sert de motivation pour ce que l’on va faire dans les chapitres suivant dans le cas de valuation non discrète. Le point principal est la proposition 13 qui donne une interprétation géométrique du polygone de Harder-Narasimhan renormalisé d’un groupe p-divisible. Dans cette section la valuation de K est supposée discrète et le corps résiduel de K, k_{K}, parfait. On fixe une clôture algébrique \overline{K} de K et on note G_{K} = Gal(\overline{K}|K). On note C = ˆ \overline{K}.

9.1. Rappels sur la filtration de Harder-Narasimhan d’un espace vectoriel filtré. Soit L|E une extension de corps. Soit VectFil_{L/E} la catégorie formée des couples (V, Fil^{•}V_{L}) où

– V est un E-espace vectoriel de dimension finie.

– Fil^{•}V_{L} est une filtration décroissante de V_{L} := V ⊗_{E} L telle que Fil^{i}V_{L} = V_{L} pour i ≪ 0 et Fil^{i}V_{L} = 0 pour i ≫ 0.

Il s’agit d’une catégorie exacte E-linéaire, les suites exactes étant celles strictement compatibles aux filtrations. Appliquons maintenant le formalisme rappelé dans le chapitre 2.6. Soit Vect_{E} la catégorie abélienne des E-espaces vectoriels de dimension finie. Il y a un foncteur fibre générique

F : VectFil_{L/E} ⟶ Vect_{E}
(V, Fil^{•}V_{L}) ⟼ V

qui est exacte fidèle et tel que ∀X ∈ VectFil_{L/E}, F induise une bijection

F : {sous-objets de X} ⟶^{∼} {sous-objets de F(X)}

Si X = (V, Fil^{•}V_{L}) l’inverse de la bijection précédente associe à un sous-espace V′ ⊂ V le sous-objet (V′, V′_{L} ∩ Fil^{•}V_{L}) de X.

Il y a une fonction additive

rg : Vect_{E} ⟶ ℕ
V ⟼ dim_{E} V

vérifiant rgV = 0 ⇔ V = 0. On a une deuxième fonction additive

deg : VectFil_{L/E} ⟶ ℕ
(V, Fil^{•}V_{L}) ⟼ ∑_{i∈ℤ} i. dim_{L} (gr_{Fil^{•}}^{i}V_{L})

ou encore

deg(V, Fil^{•}V_{L}) = i_{0} dim_{E} V + ∑_{i<i_{0}} dim_{L} Fil^{i}V_{L}

pour i_{0} ≪ 0.

La deuxième formule ci-dessus pour le degré montre que si X ⟶ X′ est un morphisme de VectFil_{L/E} tel que F(X) ⟶ F(X′) soit un isomorphisme alors

deg X ≤ deg X′

avec égalité si et seulement si X ⟶ X′ est un isomorphisme.

De cela on déduit que les objets de VectFil_{L/E} possèdent des filtrations de Harder-Narasimhan

pour la fonction pente μ = \frac{deg}{rg} . On retiendra de plus le théorème suivant.

Théorème 7 ([22]). Supposons le corps E de caractéristique 0. Le produit tensoriel de deux objets semi-stables de VectFil_{L/E} est alors semi-stable.

9.2. La filtration des représentations de Hodge-Tate.

Définition 14. On note Rep_{ℚ_{p}}^{HT}(G_{K}) la catégorie abélienne ℚ_{p}-linéaire des représentations padiques de Hodge-Tate de G_{K}.

On définit deux fonctions additives

rg, deg : Rep_{ℚ_{p}}^{HT}(G_{K}) ⟶ ℕ

en posant

rg(V) = dim_{ℚ_{p}} V
deg V = d

où d est l’entier tel que

⋀^{rg V} V_{C} ≃ C(d)

c’est à dire si V_{C} ≃ ⨁_{i∈ℤ} C(i)^{⊕a_{i}} alors d = ∑_{i} ia_{i}.

Posons pour V ∈ Rep_{ℚ_{p}}^{HT}(G_{K}), V ≠ 0,

μ(V) = \frac{deg V}{rg V}

Puisque la catégorie Rep_{ℚ_{p}}^{HT}(G_{K}) est abélienne on a un formalisme de Harder-Narasimhan pour les représentations de Hodge-Tate ce que l’on résume dans la proposition suivante.

Proposition 12. Soit V une représentation de Hodge-Tate. On dit qu’elle est semi-stable dans Rep_{ℚ_{p}}^{HT}(G_{K}) si pour toute sous-représentation non nulle W de de V on a μ(W) ≤ μ(V). Il existe alors une unique filtration de V

0 = V_{0} ⊊ V_{1} ⊊ ⋯ ⊊ V_{r} = V

telle que – pour 1 ≤ i ≤ r, V_{i}/V_{i−1} soit semi-stable dans Rep_{ℚ_{p}}^{HT}(G_{K})

– μ(V_{1}/V_{0}) > μ(V_{2}/V_{1}) > ⋯ > μ(V_{r}/V_{r−1})

On va maintenant voir que l’on peut retrouver cette filtration de Harder-Narasimhan en oubliant l’action de G_{K} quitte à se souvenir de la filtration de Hodge . Cela donne une description plus géométrique (définie à partir de la filtration de Hodge) que la définition arithmétique précédente (définie à partir de l’action de G_{K}) de cette filtration de Harder-Narasimhan.

Soit l’anneau de Fontaine B_{HT} = gr^{•}B_{dR},

B_{HT} = ⨁_{i∈ℤ} C.t^{i}

Il est muni d’une action de G_{K}, gradué par deg(t^{i}) = i et donc en particulier filtré par

Fil^{i}B_{HT} = ⨁_{j≥i} C.t^{j} = t^{i}B_{HT}^{+}

Il y a un foncteur exact

D_{HT} : Rep_{ℚ_{p}}^{HT} (G_{K}) ⟶ K-e.v. gradués
V ⟼ (V ⊗_{ℚ_{p}} B_{HT} )^{G_{K}}

En particulier via l’oubli du scindage de la filtration

D_{HT} : Rep_{ℚ_{p}}^{HT} (G_{K}) ⟶ VectFil_{K}

où VectFil_{K} := VectFil_{K/K}. Alors pour V de Hodge-Tate

deg(V) = − deg (D_{HT} (V))

(si l’on prend la version contravariante du foncteur D_{HT} le signe − disparaît). Il y a un isomorphisme naturel en V ∈ Rep_{ℚ_{p}}^{HT} (G_{K}) de modules gradués (et donc en particulier filtrés) munis d’une action de G_{K}

D_{HT} (V) ⊗_{K} B_{HT} ⟶^{∼} V ⊗_{ℚ_{p}} B_{HT}

La graduation sur D_{HT} (V) ⊗_{K} B_{HT} est obtenue à partir de la bigraduation

(D_{HT} (V)^{i} ⊗_{K} (B_{HT})^{j})_{(i,j)∈ℕ^{2}}

Donc, V_{C} = gr^{0}(V ⊗_{ℚ_{p}} B_{HT}) est naturellement un module gradué. Concrètement cette graduation est fournie par l’isomorphisme naturel

⨁_{i∈ℤ} Hom_{G_{K}} (C(i), V_{C}) ⊗_{K} C(i) ⟶^{∼} V_{C}

c’est à dire est donnée par la décomposition en somme directe de V_{C} selon les espaces propres de l’opérateur de Sen. Elle fournit en particulier une filtration de V_{C}

Fil^{i} V_{C} = ⨁_{j≥i} Hom_{G_{K}} (C(j), V_{C}) ⊗_{K} C(j)

Il y a donc un foncteur exact fidèle

G : Rep_{ℚ_{p}}^{HT} (G_{K}) ⟶ VectFil_{C/ℚ_{p}}
V ⟼ (V, Fil^{•}V_{C})

vérifiant deg(V) = deg(G(V)) et rg(V) = rg(G(V)) et donc pour V ≠ 0, μ(V) = μ(G(V)).

Proposition 13. Après oubli de l’action du groupe de Galois G_{K} la filtration de Harder-Narsimhan de V ∈ Rep_{ℚ_{p}}^{HT} (G_{K}) s’obtient par application du foncteur fibre générique VectFil_{C/ℚ_{p}} → Vect_{ℚ_{p}} appliqué à la filtration de Harder-Narasimhan de G(V) ∈ VectFil_{C/ℚ_{p}}. De plus les polygones de Harder-Narasimhan associés coïncident.

Démonstration. Soit V ∈ Rep_{ℚ_{p}}^{HT}(G_{K}) et Fil^{•}V_{C} la filtration de Hodge associée. Soit V′ ⊂ V un sous-ℚ_{p}-espace vectoriel de V qui définit donc un sous-objet X′ = (V′, V′_{C} ∩Fil^{•}V_{C}) de X = G(V). Soit σ ∈ G_{K} et σ(V′) ⊂ V qui définit un sous-objet X′′ = (σ(V′), (σ(V′) ⊗_{ℚ_{p}} C) ∩ Fil^{•}V_{C}) de X. Il est clair que rg(X′) = rg(X′′). De plus, puisque la filtration Fil^{•}V_{C} est invariante sous l’action semi-linéaire de G_{K},

(σ(V′) ⊗_{ℚ_{p}} C) ∩ Fil^{•}V_{C} = (σ ⊗ σ)(V′ ⊗_{ℚ_{p}} C) ∩ Fil^{•}V_{C}
= (σ ⊗ σ)(V′ ⊗_{ℚ_{p}} C) ∩ (σ ⊗ σ) (Fil^{•}V_{C})
= (σ ⊗ σ)(V′_{C} ∩ Fil^{•}V_{C})

Or si W ⊂ V ⊗_{ℚ_{p}} C est un sous-C-espace vectoriel il y a un isomorphisme canonique de C-espaces vectoriels W ⊗_{C,σ} C ⟶^{∼} (σ ⊗ σ)(W) et donc dim_{C} W = dim_{C} ((σ ⊗ σ)(W)). De cela on déduit que

deg X′′ = deg X′

Puisque le foncteur G est exacte on vérifie que pour montrer la proposition il suffit de vérifier que si V est semi-stable alors G(V) l’est. Soit donc V semi-stable. Si X′ est le premier cran de la filtration de Harder-Narasimhan de X alors puisque rg(X′′) = rg(X′) et μ(X′′) = μ(X′) on a X′ = X′′. Cela étant vrai pour tout σ ∈ G_{K} le sous-espace V′ de V est stable sous l’action de G_{K} et défini donc un sous-objet V′ de V dans Rep_{ℚ_{p}}^{HT} (G_{K}) tel que μ(V′) = μ(X′). Donc, V′ = V et X′ = X. □

On notera le corollaire suivant conséquence de la proposition précédente et du théorème principal de [22]. Il illustre l’utilité du point de vue précédent (l’auteur n’a aucune idée de comment montrer un tel théorème sans passer par la proposition précédente).

Corollaire 6. Le produit tensoriel de deux représentations de Hodge-Tate semi-stables dans Rep_{ℚ_{p}}^{HT}(G_{K}) est semi-stable dans Rep_{ℚ_{p}}^{HT}(G_{K}).

9.3. La bifiltration des φ-modules filtrés. Soient K_{0} = W (k_{K})_{ℚ} et σ le Frobenius de K_{0}. Soit Isoc_{K_{0}} la catégorie des couples (N, φ) où N est un K_{0}-espace vectoriel de dimension finie et φ un isomorphisme σ-linéaire de N dans lui-même. Elle est abélienne. Il y a de plus deux fonctions additives Isoc_{K_{0}}

ht, t_{N} : Isoc_{K_{0}} ⟶ ℤ

où ht(N, φ) = dim_{K_{0}} N et t_{N}(N, φ) est le point terminal du polygone de Newton de (N, φ). La fil-

tration de Harder-Narasimhan associée à la fonction pente μ = \frac{t_{N}}{ht} est la filtration par les pentes de Dieudonné-Manin. Le polygone de Harder-Narasimhan associé est le polygone de Newton renversé.

Soit MF_{K/K_{0}}(φ) la catégorie des φ-modules filtrés dont les objets sont les triplets (N, φ, Fil^{•}N_{K}) où

– (N, φ) est un objet de Isoc_{K_{0}}

– Fil^{•}N_{K} est une filtration décroissante de N ⊗_{K_{0}} K telle que Fil^{i}N_{K} = 0 pour i ≫ 0 et

Fil^{i}N_{K} = N_{K} pour i ≪ 0. Il s’agit d’une catégorie exacte. Il y a un foncteur fibre générique exacte fidèle

F : MF_{K/K_{0}}(φ) ⟶ Isoc_{K_{0}}
(N, φ, Fil^{•}N_{K}) ⟼ (N, φ)

tel que si X ∈ MF_{K/K_{0}}(φ)

F : {sous-objets de X} ⟶^{∼} {sous-objets de F(X)}

Il y a de plus un foncteur exact entre catégories exactes

MF_{K/K_{0}}(φ) ⟶ VectFil_{K/K_{0}}
(N, φ, Fil^{•}N_{K}) ⟼ (N, Fil^{•}N_{K})

Composé avec la fonction degré sur VectFil_{K/K_{0}} de la section 9.1 cela définit une fonction additive point terminal du polygone de Hodge

t_{H} : MF_{K/K_{0}}(φ) ⟶ ℤ

qui est telle que si X ⟶ X′ est un morphisme dans MF_{K/K_{0}}(φ) qui est un isomorphisme en fibre générique alors deg X ≤ deg X′ avec égalité si et seulement si c’est un isomorphisme. En résumé on a un diagramme

\xymatrix{MF_{K/K_{0}}(φ) \ar@{.>}[ddrr] \ar[rr]^{t_{H}} \ar[dd]_{t_{N}} \ar[r] \ar[d]^{_{fibre gen.}} & VectFil_{K/K_{0}} \ar[d]|{_{fibre gen.}} \ar[r]^{deg} \ar[ddr]^{rg} & ℤ \\ _{Isoc_{K_{0}}} \ar[d]^{t_{N}} \ar[r] \ar[drr]_{ht} & _{Vect_{K_{0}}} \ar[dr]^{rg} \\ ℤ &  & ℕ}

où les deux catégories du haut sont exactes, les deux du bas sont abéliennes et les foncteurs verticaux sont des foncteurs fibre générique . Il y a donc trois fonctions additives

ht, t_{N}, t_{H} : MF_{K/K_{0}}(φ) ⟶ ℤ

Considérons la fonction additive

deg_{1} = t_{H} − t_{N} : MF_{K/K_{0}}(φ) ⟶ ℤ

et pour X ∈ MF_{K/K_{0}}(φ), X ≠ 0,

μ_{1}(X) = \frac{deg_{1}(X)}{ht(X)}

Alors les objets de MF_{K/K_{0}}(φ) possèdent des filtrations de Harder-Narasimhan relativement à la fonction pente μ_{1}. Cette filtration apparaît dans [22]. De plus pour cette fonction pente μ_{1} la catégorie abélienne des objets semi-stables de pente 0 est la catégorie abélienne des φ-modules filtrés faiblement admissibles au sens de Fontaine ce que l’on écrira sous la forme

MF_{K/K_{0}}(φ)^{fa} = MF_{K/K_{0}}(φ)^{μ_{1}−ss,0}

Cependant on n’a pas encore tiré profit du fait que contrairement au cadre classique des filtrations de Harder-Narasimhan on ne dispose pas seulement de deux fonctions additives sur MF_{K/K_{0}}(φ) mais de trois. Soit le groupe abélien totalement ordonné ℚ^{2} muni de l’ordre lexicographique. Posons deg_{2} = −t_{N},

d̃eg = (deg_{1}, deg_{2}) : MF_{K/K_{0}}(φ) ⟶ ℤ^{2}

et pour X ≠ 0

μ̃(X) = \frac{d̃eg(X)}{ht(X)} ∈ ℚ^{2}

Alors la fonction d̃eg vérifie que si X ⟶ X′ est un morphisme qui est un isomorphisme en fibre générique alors d̃eg(X) ≤ d̃eg(X′) avec égalité si et seulement si c’est un isomorphisme. Or le formalisme de Harder-Narasimhan fonctionne mot pour mot dans ce cadre là c’est à dire lorsque la fonction degré prend ses valeurs non plus dans ℝ mais dans un groupe abélien totalement ordonné. On obtient alors :

Proposition 14. Pour un objet X de MF_{K/K_{0}}(φ) on dit que X est μ̃-semi-stable si pour tout sous-objet non nul X′ de X, μ̃(X′) ≤ μ̃(X). Alors tout φ-module filtré X possède une unique filtration

0 = X_{0} ⊊ X_{1} ⊊ ⋯ ⊊ X_{r} = X

telle que pour tout i, X_{i+1}/X_{i} soit semi-stable et μ̃(X_{1}/X_{0}) > ⋯ > μ̃(X_{r}/X_{r−1}).

On peut réindexer la filtration précédente par les éléments de ℚ^{2} pour obtenir une filtration décroissante (X_{λ})_{λ∈ℚ^{2}}.

Remarquons maintenant qu’on a l’implication X est μ̃-semi-stable de pente (λ_{1}, λ_{2}) ⟹ X est μ_{1}-semi-stable de pente λ_{1}. À partir de cette observation on remarque que la filtration précédente se construit en deux étapes. Tout d’abord pour tout λ ∈ ℚ, la fonction

(t_{H})_{|MF_{K/K_{0}} (φ)^{μ_{1}−ss,λ}} : MF_{K/K_{0}}(φ)^{μ_{1}−ss,λ} ⟶ ℤ

est additive sur la catégorie abélienne des φ-modules filtrés μ_{1}-semi-stables de pente λ. Les objets de MF_{K/K_{0}}(φ)^{μ_{1}−ss,λ} possèdent donc des filtrations de Harder-Narasimhan pour la fonction pente μ_{2} restreinte à cette catégorie. Soit maintenant X ≠ 0 un φ-module filtré. Soit

0 = X_{0} ⊊ X_{1} ⊊ ⋯ ⊊ X_{r′} = X

la filtration de Harder-Narasimhan de X relativement à la fonction pente μ_{1}. La filtration de X relativement à la fonction pente μ̃ s’obtient alors en raffinant la filtration précédente en intercalant entre X_{i} et X_{i+1} la filtration de X_{i+1}/X_{i} relativement à la fonction pente μ_{2} sur MF_{K/K_{0}}(φ)^{μ_{1}−ss,μ_{1}(X_{i+1}/X_{i})}.

9.4. La filtration des représentations cristallines.

Définition 15. On note Rep_{ℚ_{p}}^{cris}(G_{K}) la catégorie abélienne ℚ_{p}-linéaire des représentations padiques cristallines de G_{K}.

Comme précédemment les fonctions rang et degré définies sur Rep_{ℚ_{p}}^{cris}(G_{K}) via le foncteur Rep_{ℚ_{p}}^{cris}(G_{K}) ⟶ Rep_{ℚ_{p}}^{HT}(G_{K}) définissent des filtration de Harder-Narasimhan sur les représentations cristallines.

Puisque toute sous-représentation d’une représentation cristalline est cristalline la filtration de Harder-Narasimhan d’une représentations cristalline dans Rep_{ℚ_{p}}^{HT}(G_{K}) est égale à sa filtration de Harder-Narasimhan dans Rep_{ℚ_{p}}^{HT}(G_{K}).

Il y a des équivalences de catégories abéliennes

\xymatrix{MF_{K/K_{0}}^{μ_{1}−ss,0} = MF_{K/K_{0}}^{fa}(φ) \ar[r]^{V_{cris}} & Rep_{ℚ_{p}}^{cris}(G_{K}) \ar[l]^{D_{cris}}}

définies par

V_{cris}(N, φ, Fil^{•}N_{K}) = Fil^{0} (N ⊗_{K_{0}} B_{cris})^{φ=id}

et

D_{cris}(V) = (V ⊗_{ℚ_{p}} B_{cris})^{G_{K}}

Le diagramme suivant est commutatif

\xymatrix{Rep_{ℚ_{p}}^{cris}(G_{K}) \ar[rr] \ar[d]^{D_{cris}} &  & Rep_{ℚ_{p}}^{HT}(G_{K}) \ar[d]^{D_{HT}} \ar[dr]^{deg} \\ MF_{K/K_{0}}(φ) \ar[r] & _{VectFil_{K/K_{0}}} \ar[r]^{gr^{•}(−⊗_{K_{0}} K)} & K-e.v. gradués \ar[r]^{− deg} & ℤ}

De cela on déduit que via les équivalences D_{cris} et V_{cris} les filtrations de Harder-Narasimhan dans Rep_{ℚ_{p}}^{cris}(G_{K}) et dans MF_{K/K_{0}}^{fa}(φ) pour la fonction pente μ_{2} coïncident.

Via le foncteur pleinement fidèle

pdiv_{O_{K}} ⊗ ℚ ⟶ Rep_{ℚ_{p}}^{cris}(G_{K})
H ⟼ V_{p}(H)

la filtration d’un groupes p-divisible H dans pdiv_{O_{K}} ⊗ ℚ coïncide avec celle de V_{p}(H).

Remarque 4. On espère pouvoir faire le lien entre la filtration de Harder-Narasimhan d’une représentation cristalline et la théorie des (φ, Γ)-modules ([8]) (ou bien des φ-modules au sens de Kisin, [16]) c’est à dire obtenir un équivalent du théorème 5 dans un cadre plus général en définissant une notion de (φ, Γ)-module semi-stable.

10. Filtration des modules de Hodge-Tate

Dans cette section la valuation et le corps résiduel de K sont quelconques. On note \overline{K} une clôture algébrique de K, G_{K} = Gal(\overline{K}|K) et C = ˆ \overline{K}.

10.1. Définitions.

Définition 16. (1) On appelle module de Hodge-Tate de torsion un triplet X = (M(X), ω_{X}, α_{X}) où M(X) est un ℤ_{p}-module de type fini de torsion muni d’une action linéaire discrète de G_{K}, ω_{X} est un O_{C}-module de présentation finie de torsion muni d’une action semi-linéaire de G_{K} et

α_{X} : M(X) ⟶ ω_{X}

est un morphisme G_{K}-équivariant de ℤ_{p}-modules tel que

O_{C}.α_{X} (M(X)) = ω_{X}

On note M_{tor}^{HT} la catégorie associée.

(2) On appelle module de Hodge-Tate entier un triplet X = (T (X), ω_{X}, α_{X}) où T (X) est un ℤ_{p}-module de type fini sans torsion muni d’une action linéaire continue de G_{K}, ω_{X} est un O_{C}-module libre muni d’une action semi-linéaire de G_{K} et

α_{X} : T (X) ⟶ ω_{X}

est un morphisme G_{K}-équivariant de ℤ_{p}-modules tel que

O_{C}.α_{X} (T (X)) = ω_{X}

On note M_{ℤ_{p}}^{HT} la catégorie associée.

(3) On appelle module de Hodge-Tate rationnel un triplet X = (V (X), ω_{X}, α_{X}) où V est une représentation linéaire continue de G_{K} dans ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie, ω_{X} est C-espace vectoriel de dimension finie muni d’une action semi-linéaire de G_{K} et

α_{X} : V (X) ⟶ ω_{X}

est un morphisme G_{K}-équivariant de ℚ_{p}-linéaire vérifiant

C.α_{X} (V (X)) = ω_{X}

On note M_{ℚ_{p}}^{HT} la catégorie associée.

La première catégorie M_{tor}^{HT} est exacte ℤ_{p}-linéaire. La structure de catégorie exacte sur M_{tor}^{HT} est déduite de son plongement dans la catégorie abélienne des triplets (M, ω, α) vérifiant les conditions de la définition hormis la dernière O_{C}.α(M) = ω. Ainsi une suite exacte dans M_{tor}^{HT} est un diagramme dans M_{tor}^{HT}

\xymatrix{0 \ar[r] & M′ \ar[d]^{α′} \ar[r] & M \ar[d]^{α} \ar[r] & M′′ \ar[d]^{α′′} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & ω′ \ar[r] & ω \ar[r] & ω′′ \ar[r] & 0}

tel que les deux lignes soient exactes.

De même M_{ℚ_{p}}^{HT} est une catégorie exacte ℚ_{p}-linéaire. En enlevant la condition O_{C}.α(V) = ω on obtient une catégorie abéliennes dans lesquelles se plonge M_{ℚ_{p}}^{HT} et qui définit une structure de catégorie exacte.

Théorie de la réduction pour les groupes p-divisibles et applications 33

On vérifie que le foncteur

M_{ℤ_{p}}^{HT} ⟶ M_{ℚ_{p}}^{HT}
X ⟼ X ⊗ ℚ_{p} = (T (X) ⊗ ℚ_{p}, ω_{X} ⊗ C, α_{X} ⊗ 1)

induit une équivalence de catégories

M_{ℤ_{p}}^{HT} ⊗ ℚ ⟶^{∼} M_{ℚ_{p}}^{HT}

Définition 17. Un morphisme dans M_{ℤ_{p}}^{HT} est une isogénie si le morphisme induit dans M_{ℚ_{p}}^{HT} est un isomorphisme.

Ainsi, un morphisme f : X ⟶ X′ est une isogénie si et seulement si les morphismes induits T (X) ⟶ T (X′) et ω_{X} ⟶ ω_{X′} sont injectifs avec un conoyau de torsion. Définition 18. Soit f : X ⟶ X′ une isogénie entre deux objets de M_{ℤ_{p}}^{HT}. On pose alors

ker f = (T (X′)/T (X), ω_{X′}/ω_{X}, ᾱ_{X′}) ∈ M_{tor}^{HT}

Pour un objet X dans M_{ℤ_{p}}^{HT} et un entier n ≥ 1 on pose

X[p^{n}] = (p^{−n}T (X)/T (X), p^{−n}ω_{X}/ω_{X}, ᾱ_{X}) = ker(X ⟶^{×p^{n}} X)

Pour X ∈ M_{ℤ_{p}}^{HT} l’application fibre générique induit une bijection {Classes d’isomorphismes d’isogénies X ⟶ X′} ⟶^{∼} {réseaux G_{K} stables T (X) ⊂ T′ ⊂ T (X)⊗ℚ_{p}} Définition 19. (1) Pour X dans M_{tor}^{HT} on note

rg X = long_{ℤ_{p}}M(X)
deg X = long_{ℤ_{p}}M(X) − v (Fitt_{0} ω_{X})

(2) Pour X dans M_{ℚ_{p}}^{HT} on note

rg X = dim_{ℚ_{p}} V (X)
deg X = dim_{ℚ_{p}} V (X) − dim_{C} ω_{X}

Dans ces deux catégories on note pour un objet X ≠ 0

μ(X) = \frac{deg X}{rg X} ∈ [0, 1]

Dans la définition précédente, Fitt_{0} désigne le 0-ième idéale de Fittings. Concrètement si

ω ≃ ⨁_{i∈I} O_{C}/a_{i}O_{C} alors v (Fitt_{0} ω) = ∑_{i∈I} v(a_{i}).

Remarque 5. Supposons que K = C c’est à dire nos triplets n’ont pas d’action de Galois. Soit VectFil_{C/ℚ_{p}}^{[0,1]} la sous-catégorie pleine de VectFil_{C/ℚ_{p}} (confère section 9.1) formée des (V, Fil^{•}V_{C}) tels que Fil^{i}V_{C} = V_{C} si i ≤ 0 et F il^{i}V_{C} = 0 si i ≥ 2. Alors le foncteur

M_{ℚ_{p}}^{HT} ⟶ VectFil_{C/ℚ_{p}}^{[0,1]}
X ⟼ (V (X), Fil^{•}V (X)_{C})

avec Fil^{0}V (X)_{C} = V (X)_{C}, Fil^{1}V (X)_{C} = ker α_{X} ⊗ 1 et Fil^{2}V (X)_{C} = 0 induit une équivalence de catégories exactes. Dans cette équivalence les fonctions degré et rang se correspondent.

Il y a des foncteurs fibre générique vers des catégories abéliennes

M_{tor}^{HT} ⟶ Rep_{tor}(G_{K})
X ⟼ M(X)
M_{ℚ_{p}}^{HT} ⟶ Rep_{ℚ_{p}}(G_{K})
X ⟼ V (X)

qui sont exactes fidèles et tels que si F est l’un de ces deux foncteurs pour tout objet X on ait

F : {sous-objets de X} ⟶^{∼} {sous-objets de F (X)}

Définition 20. Si X ∈ M_{tor}^{HT} on notera

{sous-G_{K}-modules de M(X)} ⟶^{∼} {sous-objets de X}
N ⟼ \overline{N}^{X} = (N, O_{C}.α_{X}(N), α_{X|N})

l’application inverse de la bijection précédente que l’on appellera l’adhérence schématique de N dans X. Si X ∈ M_{ℤ_{p}}^{HT} notons

X_{η}[p^{∞}] = T (X) ⊗ ℚ_{p}/T (X)

Si N ⊂ X_{η}[p^{∞}] est un sous-groupe fini G_{K}-invariant alors on notera \overline{N}^{X} pour \overline{N}^{X[p^{n}]} avec n ≫ 0 (un objet qui ne dépend pas du choix de n ≥ 1 tel que N ⊂ p^{−n}T (X)/T (X)).

Constatons maintenant que X = 0 si et seulement si rg(X) = 0 et on a la propriété suivante : si

f : X ⟶ X′

est un morphisme qui induit un isomorphisme en fibre générique alors

deg X ≤ deg X′

avec égalité si et seulement si f est un isomorphisme. De cela on déduit l’existence d’un formalisme de Harder-Narasimhan pour ces objets.

Proposition 15. Si X est un objet non nul de M_{tor}^{HT} ou bien de M_{ℚ_{p}}^{HT} il sera dit semi-stable si pour tout sous-objet non nul X′ de X, μ(X′) ≤ μ(X). Tout objet X dans l’une de ces deux catégories possède une unique filtration

0 = X_{0} ⊊ X_{1} ⊊ ⋯ ⊊ X_{r} = X

telle que – pour 1 ≤ i ≤ r, X_{i}/X_{i−1} est semi-stable

– μ(X_{1}/X_{0}) > μ(X_{2}/X_{1}) > ⋯ > μ(X_{r}/X_{r−1}) Dans cette filtration la partie de pente 1 correspond à l’adhérence schématique du noyau de l’application de Hodge-Tate α_{X}.

Le lemme qui suit dit que l’on peut se débarrasser de l’action de Galois pour calculer la filtration de Harder-Narasimhan.

Lemme 6. Pour ∗ ∈ {tor, ℚ_{p}} soit _{C}M_{∗}^{HT} la catégorie analogue à M_{∗}^{HT} pour K = C c’est à dire celle des triplets comme précédemment mais sans action de G_{K}. Alors le foncteur d’oubli de l’action de G_{K}

M_{∗}^{HT} ⟶ _{C}M_{∗}^{HT}

envoie la filtration de Harder-Narasimhan dans M_{∗}^{HT} sur la filtration de Harder-Narsimhan dans CM_{∗}^{HT}. En particulier un objet dans M_{∗}^{HT} est semi-stable si et seulement si l’objet associé dans CM_{∗}^{HT} l’est après oubli de l’action de G_{K}. De plus les polygones de Harder-Narasimhan associés coïncident.

Démonstration. La démonstration est identique à celle de la proposition 13. □

Ainsi pour X ∈ M_{tor}^{HT} le polygone HN(X) est l’enveloppe concave des points

(long M′, long M′ − v (Fitt_{0} (O_{C}.α_{X}(M′))))

lorsque M′ parcourt les sous-groupes de M(X). Pour X ∈ M_{ℚ_{p}}^{HT} le polygone HN(X) est l’enveloppe concave des points

(dim V′, dim V′ − dim(C.α(V′)))

lorsque V′ parcourt les sous-espaces de V (X).

Comme dans le cas des schémas en groupes finis et plats on a la proposition suivante.

Théorie de la réduction pour les groupes p-divisibles et applications 35

Proposition 16. Soit λ ∈ [0, 1] et ∗ ∈ {tor, ℚ_{p}}. La catégorie des objets semi-stables de pente λ dans M_{∗}^{HT} est abélienne. Si

\xymatrix{M \ar[r]^{α} \ar[d]^{f} & ω \ar[d]^{g} \\ M′ \ar[r]^{α′} & ω′}

est un morphisme entre deux tels objets alors

(ker f, ker g, α_{| ker f}) et (Im f, Im g, α′_{|Im f})

sont dans M_{∗}^{HT}, semi-stables de pente λ.

Notons enfin que l’on a une notion de dualité de Cartier pour nos objets. Par exemple dans M_{tor}^{HT}, si X ∈ M_{tor}^{HT} on pose X^{D} ∈ M_{tor}^{HT} tel que

M(X^{D}) = Hom_{ℤ_{p}}(M(X), ℚ_{p}/ℤ_{p}(1))

où ℚ_{p}/ℤ_{p}(1) = μ_{p^{∞}}(\overline{K}),

ω_{X^{D}} = Hom_{O_{C}} (ω_{X}, C/O_{C}(1))

et

α_{X^{D}} = ^{t}α_{X}

Cela induit une involution contravariante de M_{tor}^{HT} dans elle même. On a alors pour X ≠ 0

μ(X^{D}) = 1 − μ(X)

et si 0 = X_{0} ⊊ X_{1} ⊊ ⋯ ⊊ X_{r} = X est la filtration de Harder-Narasimhan de X alors 0 = (X/X_{r})^{D} ⊊ (X/X_{r−1})^{D} ⊊ ⋯ ⊊ (X/X_{0})^{D} = X^{D} est celle de X^{D}. 10.2. Polygone renormalisé d’un module de Hodge-Tate entier. Proposition 17. Soit une suite exacte dans M_{tor}^{HT}

0 ⟶ X′ ⟶ X ⟶ X′′ ⟶ 0

Alors,

HN(X) ≤ HN(X′) ∗_{t} HN(X′′)

Démonstration. La démonstration est strictement identique à celle de la proposition 1. □

Si X ∈ M_{ℤ_{p}}^{HT} et n ≥ 1 alors rg X[p^{n}] = n rg X ⊗ ℚ_{p} et deg X[p^{n}] = n deg X ⊗ ℚ_{p}. On a alors le théorème suivant. Théorème 8. Soit X ∈ M_{ℤ_{p}}^{HT}. Soient r = rg X ⊗ ℚ_{p} et d = deg X ⊗ ℚ_{p}. La suite de fonctions

[0, r] ⟶ [0, d]
x ⟼ \frac{1}{n}HN(X[p^{n}])

converge uniformément lorsque n ⟶ +∞ vers une fonction continue concave

HN(X) : [0, r] ⟶ [0, d]

égale à la borne inférieure des fonctions précédentes et vérifiant HN(0) = 0 et HN(r) = d.

Démonstration. Pour des entiers n, m ≥ 1 on applique la proposition 17 précédente aux suites exactes

0 ⟶ X[p^{n}] ⟶ X[p^{n+m}] ⟶^{p^{m}} X[p^{m}] ⟶ 0

La suite de fonctions (HN(X[p^{n}]))_{n≥1} satisfait aux hypothèses de la proposition 2. D’où le résultat.

□

Proposition 18. Soient X et X′ des modules de Hodge-Tate entiers isogènes. Alors

HN(X) = HN(X′)

Démonstration. Elle est strictement analogue à celle de la proposition 3. □

36 LAURENT FARGUES

10.3. Un lemme utile. Lemme 7. Soit f : X′ ⟶ X un morphisme dans M_{ℤ_{p}}^{HT} qui induit un sous-objet X′ ⊗ ℚ_{p} ↪ X ⊗ ℚ_{p} dans M_{ℚ_{p}}^{HT} et tel que f : T (X′) ↪ T (X) fasse de T (X′) un ℤ_{p}-module facteur direct dans T (X). Il induit donc une injection

X′_{η}[p^{∞}] ↪ X_{η}[p^{∞}]

et donc une injection

{sous-modules finis de X′_{η}[p^{∞}]} ↪ {sous-modules finis de X_{η}[p^{∞}]}

Il existe alors une constante C telle que pour tout sous-module fini N de X′[p^{∞}] on ait

deg (\overline{N}^{X}) − C ≤ deg (\overline{N}^{X′}) ≤ deg (\overline{N}^{X})

Démonstration. Notons X = (T, ω, α) et X′ = (T′, ω′, α′). Il y a un diagramme

\xymatrix{T′ \ar@{^{(}->}[r] \ar[d]_{α′} & T \ar[d]^{α} \\ ω′ \ar@{^{(}->}[r] & ω}

Notons ω′′ = ω ∩ (ω′ ⊗ C), d’où une factorisation

ω′ ↪ ω′′ ↪ ω

avec ω′′ facteur direct dans ω. Soit c un entier tel que ω′′/ω′ soit annulé par p^{c}. Pour un entier n ≥ c il y a une suite exacte

0 ⟶ ω′′/ω′ ⟶ p^{−n}ω′/ω′ ⟶^{u_{n}} p^{−n}ω′′/ω′′ ⟶ ω′′/ω′ ⟶ 0

et une inclusion

i_{n} : p^{−n}ω′′/ω′′ ↪ p^{−n}ω/ω

Maintenant si N = L/T′ avec T′ ⊂ L ⊂ p^{−n}T′ et n ≥ c, \overline{N}^{X′[p^{n}]} est donné par le diagramme

L/T′ ⟶^{α′} O_{C}.α′(L)/ω′

tandis que \overline{N}^{X[p^{n}]} est donné par le composé

L/T′ ⟶^{α′} O_{C}.α′(L)/ω′ ⟶^{u_{n}} u_{n} (O_{C}.α′(L)/ω′) ⟶^{≃} i_{n} ∘ u_{n} (O_{C}.α′(L)/ω′)

Or il y a une suite exacte

0 ⟶ ker u_{n} ∩ (O_{C}.α′(L)/ω′) ⟶ O_{C}.α′(L)/ω′ ⟶ u_{n} (O_{C}.α′(L)/ω′) ⟶ 0

avec ker u_{n} ∩ (O_{C}.α′(L)/ω′) ⊂ ω′′/ω′. Si C = v(Fitt_{0}ω′′/ω′) on a donc

v (Fitt_{0}O_{C}.α′(L)/ω′) − C ≤ v (Fitt_{0}u_{n} (O_{C}.α′(L)/ω′)) ≤ v (Fitt_{0}O_{C}.α′(L)/ω′)

d’où l’inégalité annoncée. □ 10.4. Modules de Hodge-Tate entiers semi-stables. Si X ∈ M_{ℤ_{p}}^{HT} alors pour tout entier n ≥ 1,

μ(X[p^{n}]) = μ(X ⊗ ℚ_{p})

Lemme 8. Soit X ∈ M_{ℤ_{p}}^{HT}. Sont équivalents :

– X[p] est semi-stable

– pour tout entier n ≥ 1, X[p^{n}] est semi-stable

Démonstration. La démonstration est identique à celle du lemme 2. □ Définition 21. Soit X ∈ M_{ℤ_{p}}^{HT}. Il est dit semi-stable s’il satisfait à l’une des conditions équivalentes du lemme précédent. Proposition 19. Soit X ∈ M_{ℤ_{p}}^{HT} qui est isogène à un module semi-stable. Alors X ⊗ ℚ_{p} ∈ M_{ℚ_{p}}^{HT} est semi-stable.

Démonstration. On peut supposer X semi-stable ce que l’on fait. Soit Y ⊂ X ⊗ℚ_{p} un sous-objet non nul. Notons

Z = (V (Y) ∩ T (X), O_{C}.α_{X} (V (Y) ∩ T (X)) , α_{X|V (Y)∩T (X)}) ∈ M_{ℤ_{p}}^{HT}

Il y a donc un morphisme naturel Z ⟶ X qui induit l’inclusion Y ⊂ X après tensorisation par ℚ_{p} et tel que T (Z) soit facteur direct dans T (X). On va maintenant appliquer le lemme 7. Soit pour tout entier n ≥ 1, N_{n} = p^{−n}T (Z)/T (Z) ⊂ Z_{η}[p^{∞}]. On a \overline{N_{n}}^{Z} = Z[p^{n}] et μ(Z[p^{n}]) = μ(Y). D’après le lemme 7 il existe une constante C telle que pour tout entier n ≥ 1

|deg(Z[p^{n}]) − deg(\overline{N_{n}}^{X})| ≤ C

On en déduit que

lim_{n→+∞}μ(\overline{N_{n}}^{X}) = μ(Y)

Si l’on avait μ(Y) > μ(X ⊗ ℚ_{p}) cela impliquerait donc que pour n ≫ 0 on ait μ(\overline{N_{n}}^{X}) > μ(X ⊗ ℚ_{p}) = μ(X[p^{n}]) ce qui serait en contradiction avec la semi-stabilité de X. Donc μ(Y) ≤ μ(X ⊗ℚ_{p}) et X ⊗ ℚ_{p} est semi-stable. □

10.5. L’algorithme de descente. Soit X = (T, ω, α) un module de Hodge-Tate entier. Soit pour tout entier k ≥ 1

Y_{k} = le premier cran de la filtration de Harder-Narasimhan de X[p^{k}]

Comme dans le lemme 3 on a :

Lemme 9. La suite (Y_{k})_{k≥1} forme une suite croissante de modules de Hodge-Tate de torsion semi-stables de même pente. De plus, pour tous i ≥ j ≥ 1 le noyau de la multiplication par p^{j} sur Y_{i} est dans M_{tor}^{HT} et

Y_{i}[p^{j}] ⊂ Y_{j}

Notons

μ_{max}(X)

la pente commune des (Y_{k})_{k}. Pour k ≥ 1 notons Λ_{k} le réseau associé à Y_{k}, T ⊂ Λ_{k} ⊂ T ⊗ ℚ_{p}. Ils forment une suite croissante de réseaux

T ⊂ Λ_{1} ⊂ ⋯ ⊂ Λ_{k} ⊂ Λ_{k+1} ⊂ …

telle que

Λ_{k} ⊂ p^{−k}Λ, Λ_{k+1} ∩ p^{−k}Λ ⊂ Λ_{k} et pΛ_{k+1} ⊂ Λ_{k}

On pose alors

Λ_{∞} = ⋃_{k≥1} Λ_{k}

qui est donc un sous-groupe de Λ⊗ℚ_{p} tel que Λ_{∞} ∩p^{−k}T = Λ_{k}. On a Λ_{∞} = T ⊗ℚ_{p} si et seulement μ_{max}(X) = μ(X ⊗ ℚ_{p}) si et seulement si X est semi-stable.

Lemme 10. Supposons X non semi-stable c’est à dire μ_{max}(X) > μ(X ⊗ ℚ_{p}). Deux possibilités s’offrent alors :

– soit Λ_{∞}/T est de torsion c’est à dire il existe k_{0} ≥ 1 tel que pour k ≥ k_{0} on ait Λ_{k} = Λ_{k_{0}} – soit Λ_{∞}/T est infini auquel cas X ⊗ ℚ_{p} possède un sous-objet non nul strict dans M_{ℚ_{p}}^{HT}

A ⊗ ℚ_{p} ⊊ X ⊗ ℚ_{p}

avec A ∈ M_{ℤ_{p}}^{HT} semi-stable et μ(A ⊗ ℚ_{p}) = μ_{max}(X) > μ(X ⊗ ℚ_{p}).

Démonstration. Elle est identique à celle du lemme 4. □

Supposons donc maintenant que X ⊗ ℚ_{p} est semi-stable dans M_{ℚ_{p}}^{HT} mais que X n’est pas isogène à un module semi-stable. D’après le lemme précédent, il existe une suite infinie d’isogénies

X = X_{0} ⟶^{f_{0}} X_{1} ⟶^{f_{1}} … ⟶^{f_{i−1}} X_{i} ⟶^{f_{i}} X_{i+1} ⟶^{f_{i+1}} …

telle que pour tout i, ker f_{i} ≠ 0,

μ(ker f_{i}) = μ_{max}(X_{i})

et

μ_{max}(X_{0}) > μ_{max}(X_{1}) > ⋯ > μ_{max}(X_{i}) > μ_{max}(X_{i+1}) > …

Notons μ_{i} = μ_{max}(X_{i}) et

μ_{∞} = lim_{i→+∞} μ_{i}

On a donc μ_{∞} ≥ μ(X ⊗ ℚ_{p}). On se propose maintenant de calculer μ_{∞}. À la suite d’isogénies précédentes est associée une suite strictement croissante de réseaux

T = L_{0} ⊊ L_{1} ⊊ ⋯ ⊊ L_{i} ⊊ L_{i+1} ⊊ …

Soient

L_{∞} = ⋃_{i≥0} L_{i}

et

(L_{∞})_{div}

sa partie divisible, un sous-ℚ_{p}-espace vectoriel de T ⊗ ℚ_{p}. Le ℤ_{p}-module (L_{∞})/(L_{∞})_{div} est de type fini. Or

L_{∞}/(L_{∞})_{div} = ⋃_{i≥0} L_{i} + (L_{∞})_{div}/(L_{∞})_{div}

et par noethérianité de L_{∞}/(L_{∞})_{div} on en déduit qu’il existe i_{0} ≥ 0 tel que pour i ≥ i_{0} on ait

L_{i} + (L_{∞})_{div} = L_{∞}

Quitte à remplacer X par l’objet isogène X_{i} tel que ker(X ⟶ X_{i}) soit l’adhérence schématique de L_{i}/Λ ⊂ X[p^{∞}] dans X, on peut supposer que pour i ≥ 0 l’égalité précédente est vérifiée.

Notons maintenant

X′ = ((L_{∞})_{div} ∩ T, O_{C}.α((L_{∞})_{div} ∩ T), α) ∈ M_{ℤ_{p}}^{HT}

et pour i ≥ 0,

N_{i} = ((L_{∞})_{div} ∩ L_{i}) /T (X′) ⊂ X′[p^{∞}]

on a donc

X′[p^{∞}] = ⋃_{i≥0} N_{i}

Il y a un morphisme naturel

f : X′ ⟶ X

qui satisfait aux hypothèses du lemme 7. On en déduit l’existence d’une constante C telle que pour i ≥ 0 on ait

|deg (\overline{N_{i}}^{X′}) − deg (\overline{N_{i}}^{X})| ≤ C

De plus,

\overline{N_{i}}^{X} = ker(X_{0} ⟶ … ⟶ X_{i})

Maintenant, étant donné que ⋃_{i} N_{i} = X′_{η}[p^{∞}], pour tout entier positif r il existe i(r) ≥ 0 tel que

p^{−r}T (X′)/T (X′) ⊂ N_{i(r)}

Cette inclusion implique que

deg (\overline{N_{i(r)}}^{X′}) = deg (\overline{p^{r}N_{i(r)}}^{X′}) + r deg(X′ ⊗ ℚ_{p})

On a donc pour r ≥ 1

|deg (\overline{p^{r}N_{i(r)}}^{X′}) + r deg(X′ ⊗ ℚ_{p}) − deg (\overline{N}_{i(r)}^{X})| ≤ C

et par une nouvelle application du lemme 7

|deg (\overline{p^{r}N_{i(r)}}^{X}) + r deg(X′ ⊗ ℚ_{p}) − deg (\overline{N_{i(r)}}^{X})| ≤ 2C

Maintenant, étant donné que p^{r}N_{i(r)} ⊂ N_{i(r)} et que le point (ht (\overline{p^{r}N_{i(r)}}^{X}) , deg (\overline{p^{r}N_{i(r)}}^{X})) est

en dessous du polygone de Harder-Narasimhan de \overline{N_{i(r)}}^{X} on a

deg (\overline{p^{r}N_{i(r)}}^{X}) ≤ deg \overline{N_{i(r)}}^{X} − μ_{∞} long_{ℤ_{p}} (N_{i(r)}/p^{r}N_{i(r)})
= deg \overline{N_{i(r)}}^{X} − r μ_{∞} rg(X′ ⊗ ℚ_{p})

Combinant les deux dernière inégalités on obtient

deg \overline{N_{i(r)}}^{X} − r deg(X′ ⊗ ℚ_{p}) − 2C ≤ deg \overline{N_{i(r)}}^{X} − r μ_{∞} ht(X′ ⊗ ℚ_{p})

qui implique que

μ_{∞} ≤ μ(X′ ⊗ ℚ_{p}) + \frac{2C}{r}

et en faisant r → +∞ on obtient

μ_{∞} ≤ μ(X′ ⊗ ℚ_{p})

Mais étant donné que l’on a supposé X semi-stable μ(X′ ⊗ℚ_{p}) ≤ μ(X ⊗ℚ_{p}). Or μ_{∞} ≥ μ(X ⊗ℚ_{p}). On obtient donc au final

μ_{∞} = μ(X ⊗ ℚ_{p})

On est maintenant prêt à démontrer le théorème suivant.

Théorème 9. Soit X ∈ M_{ℤ_{p}}^{HT}. Supposons X ⊗ ℚ_{p} semi-stable. Alors la fonction de Harder-Narasimhan renormalisée de X, HN(X), est la droite de pente μ(X ⊗ ℚ_{p}).

Démonstration. Si X est isogène à un module de Hodge-Tate entier semi-stable cela résulte de la proposition 18. Si ce n’est pas le cas on utilise l’égalité démontrée précédemment, μ_{∞} = μ(X ⊗ℚ_{p}). Elle implique que pour tout ϵ > 1, il existe un X′ ∈ M_{ℤ_{p}}^{HT} isogène à X tel que

μ(X ⊗ ℚ_{p}) ≤ μ_{max}(X′) ≤ ϵ μ(X ⊗ ℚ_{p})

Cette inégalité implique que HN(X′) est en dessous de la droite de pente ϵ μ(X ⊗ ℚ_{p}). Mais HN(X) = HN(X′). Cela étant vrai pour tout ϵ > 1 on en déduit que HN(X) est en dessous de la droite de pente μ(X ⊗ ℚ_{p}). Étant donné que HN(X) est clairement au dessus de cette droite on conclut. □

10.6. Calcul du polygone renormalisé d’un module de Hodge-Tate entier.

Théorème 10. Soit X ∈ M_{ℤ_{p}}^{HT}. Alors la fonction de Harder-Narasimhan renormalisée de X, HN(X), est égale au polygone de Harder-Narasimhan de X ⊗ ℚ_{p} ∈ M_{ℚ_{p}}^{HT}.

Démonstration. On procède par récurrence sur la longueur de la filtration de Harder-Narasimhan de X ⊗ ℚ_{p}. Le cas où cette filtration est de longueur 1 est le théorème 9 précédent.

Soit Y ⊂ X ⊗ ℚ_{p} un cran de la filtration de Harder-Narasimhan de X ⊗ ℚ_{p} tel que Y ≠ X ⊗ ℚ_{p} et Y ≠ 0. Notons Z = X ⊗ ℚ_{p}/Y. Soient

X′ = (T (X) ∩ V (Y), O_{C}.α_{X}(T (X) ∩ V (Y)), α_{X|T (X)∩V (Y)})

et

X′′ = (T (X)/T (X′), O_{C}.α_{Z}(T (X)/T (X′)), α_{Z|T (X)/T (X′)})

Il y a des morphismes X′ ⟶ X ⟶ X′′ donnés par le diagramme

\xymatrix{0 \ar[r] & T (X′) \ar[r] \ar[d] & T (X) \ar[r] \ar[d] & T (X′′) \ar[r] \ar[d] & 0 \\  & ω_{X′} \ar[r] & ω_{X} \ar[r] & ω_{X′′}}

dans lequel la suite horizontale du haut est exacte scindable. Par hypothèse de récurrence HN(X′) = HN(X ⊗ ℚ_{p})_{|[0,ht X′⊗ℚ_{p}]} et pour x ∈ [0, ht X′′ ⊗ ℚ_{p}], HN(X′′)(x) = HN(X ⊗ ℚ_{p})(x + ht X′ ⊗ ℚ_{p}) − deg(X′ ⊗ ℚ_{p}).

Le lemme 7 appliqué à X′ ⟶ X montre qu’il existe une constante C telle que pour tout n ≥ 1 et tout x ∈ [0, ht X′ ⊗ ℚ_{p}] on ait

HN(X′[p^{n}])(nx) − C ≤ HN(X[p^{n}])(nx)

De cela on déduit en divisant par n et en passant à la limite que pour x ∈ [0, ht X′ ⊗ ℚ_{p}]

HN(X′)(x) ≤ HN(X)(x)

Notons pour n ≥ 1, N′_{n} = p^{−n}T (X′)/T (X′). Il y a une suite exacte dans M_{tor}^{HT}

0 ⟶ \overline{N′_{n}}^{X} ⟶ X[p^{n}] ⟶ X[p^{n}]/\overline{N′_{n}}^{X} ⟶ 0

De plus \overline{N′_{n}}^{X′} = X′[p^{n}] et donc d’après le lemme 7 il existe une constante C indépendant de n telle que

|HN(\overline{N′_{n}}^{X}) − HN(X′[p^{n}])| ≤ C

Le morphisme

X^{′′D} ⟶ X^{D}

satisfait aux hypothèses du lemme 7. On a

(X[p^{n}]/\overline{N′_{n}}^{X})^{D} = \overline{p^{−n}T (X^{′′D})/T (X^{′′D})}^{X^{D}}

Quitte à augmenter C on peut donc supposer de plus que pour tout n

|HN(X^{′′D}[p^{n}]) − HN((X[p^{n}]/\overline{N′_{n}}^{X})^{D})| ≤ C

Or pour U ∈ M_{tor}^{HT}, HN(U^{D})(x) = HN(U)(ht U) − HN(U)(ht(U) − x). On a donc l’inégalité

|HN(X′′[p^{n}]) − HN(X[p^{n}]/\overline{N′_{n}}^{X})| ≤ 2C

La suite exacte précédente fournit donc

HN(X[p^{n}]) ≤ HN(X′[p^{n}]) ∗_{t} HN(X′′[p^{n}]) + 3C

Utilisant la convergence uniforme de x ↦ \frac{1}{n}HN(X′[p^{n}])(nx) vers HN(X′) = HN(X′ ⊗ ℚ_{p}) et de

x ↦ \frac{1}{n}HN(X′′)(nx) vers HN(X′′) = HN(X′′ ⊗ ℚ_{p}) on vérifie que cela implique que

HN(X) ≤ HN(X′ ⊗ ℚ_{p}) ∗_{t} HN(X′′ ⊗ ℚ_{p})

Mais étant donné que HN(X′ ⊗ ℚ_{p}) et HN(X′′ ⊗ ℚ_{p}) sont des polygones tels que la plus petite pente du premier est strictement plus grande que la plus grande du second,

HN(X′ ⊗ ℚ_{p}) ∗_{t} HN(X′′ ⊗ ℚ_{p}) = HN(X ⊗ ℚ_{p})

et donc

HN(X) ≤ HN(X ⊗ ℚ_{p})

Or on avait montré auparavant que

HN(X′ ⊗ ℚ_{p}) = HN(X′) ≤ HN(X)_{|[0,ht X′⊗ℚ_{p}]}

On obtient donc

HN(X)_{|[0,ht X′⊗ℚ_{p}]} = HN(X ⊗ ℚ_{p})_{|[0,ht X′⊗ℚ_{p}]}

Par dualisation de Cartier, appliquant le même raisonnement à X′′ on obtient l’égalité des deux fonctions sur [ht X′ ⊗ ℚ_{p}, ht X ⊗ ℚ_{p}]. □

11. Lien avec les espaces de Banach analytiques au sens de Colmez et Fontaine ([2], [9], [6])

Soit C|ℚ_{p} une extension algébriquement close valuée complète pour une valuation à valeurs dans ℝ. Colmez a défini dans [2] une notion d’espace de Banach de dimension finie. Il s’agit de certains foncteurs définis sur les C-algèbres spectrales sympathiques à valeurs dans les ℚ_{p}-espaces de Banach. Nous prendrons plutôt le point de vue plus géométrique de [6].

11.1. Groupes analytiques rigides de type p-divisible ([6]).

Définition 22 ([6]). Un groupe analytique rigide de type p-divisible est un C-groupe analytique rigide commutatif G tel que

– La multiplication par p, G ⟶^{×p} G, est un morphisme fini et surjectif

– Si G^{an} désigne l’espace analytique de Berkovich associé à G alors ∀g ∈ |G^{an}|, lim_{n→+∞}p^{n}g = 0

On note R la catégorie des groupes analytiques rigides de type p-divisible.

Par exemple si Γ est un groupe p-divisible sur C il définit un groupe analytique rigide de type p-divisible sur C. Cela définit un foncteur pleinement fidèle

pdiv_{C} ⟶ R

Si W est un C-espace vectoriel de dimension finie il définit un groupe analytique rigide de type p-divisible W ⊗ G_{a}^{rig}. Cela définit un foncteur pleinement fidèle

C − e.v. de dim. finie ⟶ R
W ⟼ W ⊗ G_{a}^{rig}

Théorème 11 ([6]). Si G est un groupe analytique rigide de type p-divisible alors G[p^{∞}] est un groupe p-divisible. Il existe un unique morphisme étale surjectif log : G ⟶ Lie G ⊗ G_{a}^{rig} induisant l’identité sur les algèbres de Lie. Il y a de plus une suite exacte de groupe analytiques rigides

0 ⟶ G[p^{∞}] ⟶ G ⟶^{log} Lie G ⊗ G_{a}^{rig} ⟶ 0

Si H est un groupe formel p-divisible sur Spf(O_{C}) il définit un groupe analytique rigide de type p-divisible H^{rig}. On a alors H[p^{∞}]_{η} = H^{rig}[p^{∞}] et le morphisme logarithme est induit par le logarithme du groupe formel H. Cela définit un foncteur pleinement fidèle ([6])

pdiv_{O_{C}}^{formel} ⟶ R

Définition 23 ([6]). Un morphisme f : G_{1} ⟶ G_{2} de groupe analytiques rigide de type p-divisible est une isogénie s’il vérifie l’une des conditions équivalentes suivantes :

– Il existe un morphisme g : G_{2} ⟶ G_{1} et un entier N tels que f ∘ g = p^{N} et g ∘ f = p^{N}

– f est un morphisme étale fini et surjectif

– f_{|G_{1}[p^{∞}]} : G_{1}[p^{∞}] ⟶ G_{2}[p^{∞}] est une isogénie de groupes p-divisibles et Lie f : Lie G_{1} ⟶

Lie G_{2} est un isomorphisme On note R ⊗ ℚ la catégorie des groupes analytiques rigides de type p-divisible à isogénie près.

Il y a une équivalence de catégories

pdiv_{C} ⊗ ℚ ⟶^{∼} ℚ_{p} − e.v. de dim. finie
Γ ⟼ V_{p}(Γ)

d’inverse V ↦ V/Λ où Λ est un réseau de V. Cela définit donc un foncteur pleinement fidèle

ℚ_{p} − e.v. de dim. finie ⟶ R ⊗ ℚ

d’image essentielle les groupes G ∈ R ⊗ ℚ de dimension 0 et de même le foncteur W ↦ W^{an} définit un foncteur pleinement fidèle

C − e.v. de dim. finie ⟶ R ⊗ ℚ

d’image essentielle les groupes G ∈ R ⊗ ℚ sans torsion i.e. tels que G[p] = 0.

Théorème 12 ([6]). La catégorie R ⊗ ℚ est abélienne ℚ_{p}-linéaire. Si G ∈ R notons dim(G) la dimension de G et ht(G) la hauteur de G[p^{∞}]. Les fonctions dim et ht sont additives sur R ⊗ ℚ. Il y a de plus une équivalence de catégories entre R ⊗ ℚ et la catégorie des triplets (V, W, f) où

– V est un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie

– W est un C-espace vectoriel de dimension finie

– f : W ⟶ V_{C}(−1) est C-linéaire

Dans le théorème précédent l’équivalence de catégories est obtenue de la façon suivante. Si Λ est un ℤ_{p}-module libre de type fini et G ∈ R on peut définir de façon canonique G ⊗_{ℤ_{p}} Λ ∈ R, qui est non canoniquement isomorphe à une somme de copies de G. Soit (V, W, f) un triplet comme dans le théorème précédent. Considérons l’extension

0 ⟶ μ_{p^{∞}} ⟶ 𝔾̂_{m}^{rig} ⟶^{log} G_{a}^{rig} ⟶ 0

et tensorisons la par Λ(−1) où Λ est un réseau de V

0 ⟶ Λ(−1) ⊗ μ_{p^{∞}} ⟶ Λ(−1) ⊗ 𝔾̂_{m}^{rig} ⟶^{log} V_{C}(−1) ⊗ G_{a}^{rig} ⟶ 0

Il y a un isomorphisme canonique de groupes p-divisibles sur C, Λ(−1) ⊗ μ_{p^{∞}} ⟶^{∼} V/Λ. On peut alors tirer en arrière l’extension précédente par f : W ⊗ G_{a}^{rig} ⟶ V_{C}(−1) ⊗ G_{a}^{rig} pour obtenir une extension

0 ⟶ V/Λ ⟶ G ⟶ W ⊗ G_{a}^{rig} ⟶ 0

et G ∈ R est le groupe associé au triplet (V, W, f).

Proposition 20 ([6]). Si H est un groupe formel p-divisible sur Spf(O_{C}) alors le triplet associé à H^{rig} par le théorème précédent est (V_{p}(H), Lie H[\frac{1}{p}], ^{t}(α_{H^{D}} ⊗ 1)) où α_{H^{D}} : V_{p}(H)^{∗}(1) = V_{p}(H^{D}) ⟶ ω_{H}[\frac{1}{p}] est l’application de Hodge-Tate de H^{D} et ^{t}(α_{H^{D}} ⊗ 1) est la transposée de α_{H^{D}} ⊗ 1 : V_{p}(H)^{∗} ⊗ C(1) ⟶ ω_{H}[\frac{1}{p}].

Définition 24 ([6]). Un groupe analytique rigide de type p-divisible G est dit sans facteur direct additif si Hom(G_{a}^{rig}, G) = 0. On note R^{a} ⊗ ℚ la catégorie des groupes sans facteur direct additif à isogénie près.

Proposition 21 ([6]). Un objet de R ⊗ ℚ associé à un triplet (V, W, f) est sans facteur direct additif si et seulement si l’application f est injective. Si H est un groupe formel p-divisible sur Spf(O_{C}) alors H^{rig} est sans facteur direct additif.

On a donc un foncteur pleinement fidèle

pdiv_{O_{C}}^{formel} ⊗ ℚ ⟶ R^{a} ⊗ ℚ

11.2. La filtration de Harder-Narasimhan des groupes analytiques rigides de type p-divisible sans facteur direct additif. La catégorie des triplets (V, W, f) comme dans la section précédente tels que f soit injective et équivalente à M_{ℚ_{p}}^{HT}. Au triplet (V, W, f) on associe X ∈ M_{ℚ_{p}}^{HT} tel que V (X) = V, ω_{X} = cokerf et α_{X} : V_{C} ⟶ cokerf. Réciproquement si X ∈ M_{ℚ_{p}}^{HT} on lui associe (V (X), ker(α_{X} ⊗1), ker(α_{X} ⊗1) ↪ V (X)_{C}). Cette équivalence de catégories est une équivalence de catégories exactes. On a donc une équivalence exacte

R^{a} ⊗ ℚ ≃ M_{ℚ_{p}}^{HT}

Via cette équivalence les fonctions degré ainsi que les fonctions hauteur et rang se correspondent. De cela on déduit que les objets de R^{a} ⊗ ℚ admettent des filtrations de Harder-Narasimhan relativement à la fonction pente \frac{deg}{ht} . Plus précisément le foncteur

R^{a} ⊗ ℚ ⟶ pdiv_{C} ⊗ ℚ
G ⟼ G[p^{∞}]

est un foncteur fibre générique vers la catégories abélienne pdiv_{C} ⊗ ℚ au sens de la section 2.6.

Si K est un corps valué complet à corps résiduel parfait contenu dans C tel que ˆ \overline{K}^{C} = C alors d’après la proposition 13 le foncteur composé

pdiv_{O_{K}}^{formel} ⊗ ℚ ⟶ pdiv_{O_{K}}^{formel} ⊗ ℚ ⟶ R^{a} ⊗ ℚ

envoie la filtration de Harder-Narasimhan d’un objet de pdiv_{O_{K}}^{formel} ⊗ ℚ sur celle de l’objet associé de R^{a} ⊗ℚ. Cependant en général pour un objet de pdiv_{O_{C}}^{formel} ⊗ℚ il n’y a pas de raison pour que sa filtration de Harder-Narasimahan dans R^{a} ⊗ ℚ soit une filtration provenant d’une filtration dans la catégorie exacte pdiv_{O_{C}}^{formel}.

11.3. Espaces de Banach-Colmez effectifs. Soit (A, ∥.∥) une C-algèbre de Banach. On appelle spectre de A l’ensemble sp(A) = Hom_{C−alg}(A, C) que l’on munit de la topologie faible. La norme spectrale associée est la semi-norme

∥a∥_{∞} = sup_{χ∈sp(A)} |χ(a)|

On a ∥.∥_{∞} ≤ ∥.∥. Par définition ([6]) une algèbre spectrale est une C-algèbre de Banach séparée complète pour ∥.∥_{∞}. Les C-algèbre affinoïdes réduites sont par exemple des algèbres spectrales.

On définit dans [6] une certaine catégorie C d’espaces rigides généralisés appelée la catégorie des espaces spectraux affines telle que

– La catégorie C se plonge dans la catégorie des foncteurs covariants sur les C-algèbres spectrales. De plus si X ∈ C alors X(C) est naturellement un espace topologique.

– Si A est une algèbre spectrale elle définit un espace spectrale sp(A) tel que le foncteur associé sur les algèbres spectrales soit tout simplement Hom_{C−alg}(A, −). En particulier la catégorie des C-espaces rigides affinoïdes réduits se plonge dans C.

– Soit D la catégorie des C-espaces rigides réduits X tels qu’il existe un recouvrement admissible affinoïde X = ⋃_{i∈ℕ} U_{i} avec U_{i} ⊂ U_{i+1} et Γ(X, U_{i+1}) ⟶ Γ(X, U_{i}) est d’image dense. Les C-

espaces rigides réduits affinoïdes ou de Stein sont par exemple dans D. Il y a alors un foncteur pleinement fidèle D ⟶ C tel que les C-points d’un espace rigide dans D s’identifient aux C-points de l’espace spectral affine associé.

– Si X_{0} ← X_{1} ← ⋯ ← X_{n} ← … est un système projectif d’objets dans D dont les applications de transition sont des morphismes finis et surjectifs alors lim_{⟵}_{n} X_{n} existe dans D et

( lim_{⟵}_{n} X_{n})(C) = lim_{⟵}_{n} (X_{n}(C)) comme espace topologique.

Par définition, un espace de Banach-Colmez effectif est alors un groupe dans la catégorie des espaces spectraux affines qui peut s’écrire sous la forme lim_{⟵}_{n∈ℕ} G où G est un C-groupe analy-

tique rigide de type p-divisible et les applications de transition dans la limite projective sont la multiplication par p.

Notons BC^{+} la catégorie des espaces de Banach-Colmez effectifs. Si X ∈ BC^{+} alors X(C) est un espace de Banach et cela définit un foncteur fidèle

BC^{+} ⟶ Espaces de Banach
X ⟼ X(C)

La fidélité de ce foncteur induit l’interprétation suivante : si X, Y ∈ BC^{+} alors Hom_{BC}^{+}(X, Y) est le sous-ensemble des morphismes d’espaces de Banach entre X(C) et Y (C) qui sont analytiques .

Si W est un C-espace vectoriel de dimension finie il définit un groupe analytique rigide de type p-divisible W ⊗ G_{a}^{rig} et donc un espace de Banach-Colmez effectif W^{an} qui n’est rien d’autre que W ⊗ G_{a}^{rig} puisque la multiplication par p sur W ⊗ G_{a}^{rig} est un isomorphisme. Cela définit un foncteur pleinement fidèle

C − e.v. de dim. finie ⟶ BC^{+}
W ⟶ W^{an}

Si V est un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie il définit un espace de Banach-Colmez effectif V^{an}. Si Λ ⊂ V est un réseau alors V^{an} est associé au groupe p-divisible V/Λ. On a donc V^{an}(C) = V. De plus si X ∈ BC^{+}

Hom_{BC}^{+}(V^{an}, X) ⟶^{∼} Hom_{ℚ_{p}}(V, X(C))

et on a un foncteur pleinement fidèle

ℚ_{p} − e.v. de dim. finie ⟶ BC^{+}
V ⟼ V^{an}

11.4. Groupes p-divisibles modulaires. Avant d’aller plus loin nous avons besoin de dégager une classe raisonnable de groupes p-divisibles sur les anneaux de valuation non forcément discrète.

Proposition 22. Soit K|ℚ_{p} une extension valuée complète pour une valuation à valeurs dans ℝ. Supposons le corps résiduel k_{K} de K parfait. Soit W (k_{K}) ↪ O_{K} le morphisme canonique qui induit la section de Teichmüller α : k_{K} ↪ O_{K}/pO_{K} de la projection O_{K}/pO_{K} ↠ k_{K}. Soit H un groupe p-divisible sur O_{K}. On notera H_{s} = H ⊗_{O_{K}} k_{K} sa fibre spéciale. Sont alors équivalents :

(1) Il existe une extension valuée complète intermédiaire K|F |ℚ_{p} telle que la valuation de F soit discrète, un groupe p-divisible H′ sur O_{F} et une isogénie

H′ ⊗_{O_{F}} O_{K}/pO_{K} ⟶ H ⊗_{O_{K}} O_{K}/pO_{K}

(2) Il existe un groupe p-divisible H′ sur k_{K} et une isogénie

H′ ⊗_{k_{K},α} O_{K}/pO_{K} ⟶ H ⊗_{O_{K}} O_{K}/pO_{K}

(3) Il existe une isogénie

H_{s} ⊗_{k_{K},α} O_{K}/pO_{K} ⟶ H ⊗_{O_{K}} O_{K}/pO_{K}

(4) L’identité H_{s} ⟶ H ⊗_{O_{K}} k_{K} se relève en une quasi-isogénie (nécessairement unique)

H_{s} ⊗_{k_{K},α} O_{K}/pO_{K} ⟶ H ⊗_{O_{K}} O_{K}/pO_{K}

(5) il existe λ ∈ ℝ tel que 0 < λ ≤ v(p), un groupe p-divisible H′ sur k_{K} et un isomorphisme

H′ ⊗_{k_{K},α} O_{K}/𝔪_{λ} ⟶^{∼} H ⊗_{O_{K}} O_{K}/𝔪_{λ}

où 𝔪_{λ} = {x ∈ O_{K} | v(x) ≥ λ}

(6) Il existe λ ∈ ℝ tel que 0 < λ ≤ v(p) et un isomorphisme

H_{s} ⊗_{k_{K},α} O_{K}/𝔪_{λ} ⟶^{∼} H ⊗_{O_{K}} O_{K}/𝔪_{λ}

(7) Soit 𝔛 le W (k_{K})-schéma formel des déformations par isomorphismes de H ⊗_{O_{K}} k_{K} sur des W (k_{K})-algèbres locales noethériennes complètes de corps résiduel k_{K} et H^{univ} le groupe p-divisible sur 𝔛 associé à la déformation universelle. Il existe x ∈ 𝔛(O_{K}) = 𝔛^{an}(K) tel que H ≃ H_{x}^{univ}.

(8) Il existe une extension intermédiaire K|F |ℚ_{p} avec F de valuation discrète, un schéma formel localement formellement de type fini 𝔜 sur Spf(O_{F}), un groupe p-divisible H′ sur 𝔜 et un point x ∈ 𝔜(O_{K}) = 𝔜^{an}(K) tels que H ≃ H′_{x}

(9) Il existe une extension intermédiaire K|F |ℚ_{p} avec F de valuation discrète, un schéma formel topologiquement de type fini 𝔜 sur Spf(O_{F}), un groupe p-divisible H′ sur 𝔜 et un point x ∈ 𝔜(O_{K}) = 𝔜^{an}(K) tels que H ≃ H′_{x}

Si de plus H est formel les conditions précédentes sont équivalentes à ce que si (P, Q, F, V^{−1}) désigne le display associé à H ([25] et [18]), il existe un scindage P = L⊕T de la filtration de Hodge et des bases L et T dans lesquelles la matrice de V^{−1} ⊕F, qui est un élément de GL_{ht(H)}(W (O_{K})), est en fait à coefficients dans la sous-W (k_{K})-algèbre dense de W (O_{K}) engendrée par les ([x])_{x∈O_{K}}.

Démonstration. La démonstration est suffisamment élémentaire pour être laissée au lecteur. □

Définition 25. Soit K|ℚ_{p} une extension valuée complète pour une valuation à valeurs dans ℝ. Un groupe p-divisible H sur O_{K} sera dit modulaire si pour une clôture algébrique \overline{K} de K, H ⊗_{O_{K}} O ˆ\overline{K} vérifie les conditions équivalentes de la proposition précédente.

11.5. L’espace de Banach associé à un groupe formel p-divisible. Si H est un groupe formel p-divisible sur Spf(O_{C}) alors H^{rig} est un groupe analytique rigide du type précédent et définit donc un espace de Banach-Colmez effectif

X(H) ∈ BC^{+}

tel que si A est une algèbre spectrale de boule unité A^{0} pour la norme spectrale (une O_{C}-algèbre p-adiquement séparée complète)

X(H)(A) = {(x_{n})_{n∈ℤ} | x_{n} ∈ H(A^{0}), px_{n+1} = x_{n}}

Il y a alors une suite dans BC^{+}

0 ⟶ V_{p}(H)^{an} ⟶ X(H) ⟶ (Lie H[\frac{1}{p}])^{an} ⟶ 0
(x_{n})_{n∈ℤ} ⟼ log_{H}(x_{0})

qui induit une suite exacte d’espaces de Banach au niveau des C-points.

Théorème 13 ([6]). Soit H un groupe formel p-divisible sur Spf(O_{C}). Soit le foncteur

ℝ : alg. spectrales ⟶ anneaux topologiques complets de car. p parfaits
A ⟼ lim_{⟵}_{ℕ} A^{0}/pA^{0}

où les applications de transition dans la limite projective sont données par le Frobenius. Il y a alors un isomorphisme de foncteurs en espaces de Banach sur les algèbres spectrales

X(H) ≃ (H ⊗ O_{C}/pO_{C}) ∘ ℝ

En particulier si H est modulaire il y a un isomorphisme canonique

X(H) ≃ H_{k_{C}} ∘ ℝ

et X(H) ne dépend que de la réduction de H sur le corps résiduel de C.

L’anneau topologique ℝ(C) est celui considéré par Fontaine ( ? ? ?), il s’agit de l’anneau des entiers d’un corps valué complet de caractéristique p. Par exemple en prenant H = 𝔾̂_{m} on obtient

X(𝔾̂_{m}) ≃ 1 + 𝔪_{ℝ}

où 𝔪_{ℝ} est le noyau de la projection ℝ(A) ⟶ A^{0}/pA^{0} qui à (x_{n})_{n} associe x_{0}. On note U(1) = X(𝔾̂_{m}).

Définition 26. Soit λ ∈ ℚ∩]0, 1]. On note X(λ) ∈ BC^{+} l’espace de Banach-Colmez associé à un groupe formel p-divisible modulaire sur O_{C} dont la réduction sur le corps résiduel est un groupe p-divisible simple à isogénie près de pente de Dieudonné-Manin λ. On note X(0) = ℚ_{p}^{an}.

Ainsi X(1) = U(1). Si H est un groupe formel p-divisible modulaire sur O_{C} tel que les pentes du polygone de Newton de sa réduction soient λ_{1} < ⋯ < λ_{r} avec multiplicités m_{1}, …, m_{r} alors

X(H) ≃ ⨁_{i=1}^{r} X(λ_{i})^{m_{i}}

Théorème 14 (Fontaine). Soit H un groupe p-divisible modulaire sur O_{C} de module de Dieudonné contravariant rationnel M sur W (k_{C})_{ℚ}. Il y a alors un isomorphisme canonique d’espaces de Banach

X(H)(C) ⟶^{∼} (M ⊗_{W (k_{C})_{ℚ}} B_{cris}^{+})^{φ=p}

et un isomorphisme de suites exactes

[figure: 0; V_{p}(H); ≃; X(H)(C); ≃; Lie H[\frac{1}{p}]; 0; 0; Fil (M ⊗_{W (k_{C})_{ℚ}} B_{cris}^{+})^{φ=p}; (M ⊗_{W (k_{C})_{ℚ}} B_{cris}^{+})^{φ=p}; M ⊗ C/Fil (M ⊗ C); 0]

où Fil (M ⊗_{W (k_{C})_{ℚ}} B_{cris}^{+}) est la filtration obtenue par image réciproque de la filtration de Hodge de M ⊗_{W (k_{C})_{ℚ}} C via θ : B_{cris}^{+} ⟶ C et la flèche verticale de gauche est l’application des périodes.

En particulier si λ ∈ ℚ ∩ [0, 1] ∩ ℚ, λ = \frac{d}{h} avec (d, h) = 1,

X(λ)(C) ≃ (B_{cris}^{+})^{φ^{h}=p^{d}}

Par exemple si λ = 1, on a (B_{cris}^{+})^{φ=p} = {log[x] | x ∈ 1+𝔪_{R}}. Plus généralement l’isomorphisme

X(λ)(C) ≃ (B_{cris}^{+})^{φ^{h}=p^{d}} se décrit en termes de quasi-logarithmes (cf. [6] pour plus de détails).

11.6. Les espaces de Banach-Colmez. Les espaces quotient du type C^{an}/ℚ_{p}^{an} n’existent pas dans BC^{+}. On construit maintenant une nouvelle catégorie à partir de BC^{+} en ajoutant formellement les quotients X/V^{an} où X ∈ BC^{+} et V ⊂ X(C) est un sous-ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie de l’espace de Banach X(C). Pour cela on considère la catégorie formée des couples (X, V) où X ∈ BC^{+} et V ⊂ X(C) est un sous-ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie, les morphismes (X, V) ⟶ (X′, V′) étant les morphismes X ⟶ X′ envoyant V dans V′. On localise cette catégorie relativement aux morphismes (X, V) ⟶ (X′, V′) qui induisent un isomorphisme

X(C)/V ⟶^{∼} X′(C)/V′. On note

BC

la catégorie obtenue que l’on appelle catégorie des espaces de Banach-Colmez. Il y a un foncteur fidèle

BC ⟶ Banach
(X, V) ⟶ X(C)/V

Si Y = (X, V) ∈ BC on notera Y (C) = X(C)/V l’espace de Banach associé.

Le théorème fondamental de [6] est alors le suivant.

Théorème 15 ([6]). La catégorie BC est abélienne ℚ_{p}-linéaire. Une suite de BC

0 ⟶ X′ ⟶ X ⟶ X′′ ⟶ 0

est exacte si et seulement si la suite associé d’espaces de Banach

0 ⟶ X′(C) ⟶ X(C) ⟶ X′′(C) ⟶ 0

l’est.

Le foncteur BC^{+} ⟶ BC est pleinement fidèle d’image essentielle les X ∈ BC qui peuvent s’écrire comme une extension d’un espace W^{an} avec W un C-espace vectoriel de dimension finie par un espace V^{an} où V est un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie. La sous-catégorie BC^{+} de BC est exacte.

Considérons la suite exacte de BC

0 ⟶ ℚ_{p}(1)^{an} ⟶ U(1) ⟶ C^{an} ⟶ 0

Soit V un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie. On peut tensoriser la suite exacte précédente par V (−1) (on peut définir cela de façon intrinsèque)

0 ⟶ V^{an} ⟶ V (−1) ⊗ U(1) ⟶ V_{C}(−1)^{an} ⟶ 0

Soit maintenant W un C-espace vectoriel de dimension finie. Il y a un morphisme de bord

Hom_{C}(W, V_{C}(−1)) = Hom_{BC}(W^{an}, V_{C}(−1)^{an}) ⟶^{δ} Ext_{BC}(W^{an}, V_{C}(−1)^{an})

Théorème 16 ([6]). Le morphisme précédent Hom_{C}(W, V_{C}(−1)) ⟶ Ext_{BC}(W^{an}, V_{C}(−1)^{an}) est un isomorphisme.

Notons maintenant BC_{pres}^{+} la catégorie dont les objets sont les triplets (V, W, ξ) où V est un ℚ_{p}- espace vectoriel de dimension finie, W un C-espace vectoriel de dimension finie et ξ une extension dans BC

0 ⟶ V^{an} ⟶ X ⟶ W^{an} ⟶ 0

Il s’agit de la catégorie des espaces de Banach-Colmez effectifs présentés. Du théorème précédent on déduit :

Corollaire 7. Le foncteur

R ⊗ ℚ ⟶ BC_{pres}^{+}
G ⟼ (V_{p}(G[p^{∞}]), Lie G, ξ_{log})

où ξ_{log} est l’extension induite par le logarithme de G induit une équivalence de catégories.

11.7. Filtrations de Harder-Narasimhan sur les espaces de Banach-Colmez.

Théorème 17 ([6]). Soit Y ∈ BC. Il existe alors deux entiers

dim(Y) ∈ ℕ, ht(Y) ∈ ℤ

tels que si Y = X/V^{an} avec X ∈ BC^{+}, V ⊂ X(C) un sous-espace vectoriel de dimension finie, si X est une extension

0 ⟶ V^{′an} ⟶ X ⟶ W^{an} ⟶ 0

avec V′ un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie et W un C-espace vectoriel de dimension finie alors

dim(Y) = dim_{C}(W) et ht(Y) = dim_{ℚ_{p}} V′ − dim_{ℚ_{p}} V

De plus les deux fonctions dim et ht sont additives sur les suites exactes de BC.

Définition 27 ([6]). On note BC^{+a} la sous-catégorie de BC^{+} formée des X tels que Hom(C^{an}, X) = 0. On l’appelle la catégorie des espaces de Banach-Colmez effectifs sans facteur direct additif.

Par exemple si H est un groupe formel p-divisible sur O_{C} alors X(H) ∈ BC^{+a}.

Théorème 18 ([6]). La catégorie BC^{+a} est une sous-catégorie exacte de BC. Pour X ∈ BC^{+a}, X ≠ 0, posons

μ(X) = \frac{dim X}{ht X} ∈ ℚ ∩ [0, 1]

La catégorie BC^{+a} admet un formalisme de Harder-Narasimhan relativement à la fonction pente μ.

Par exemple pour λ ∈ ℚ ∩ [0, 1], X(λ) ∈ BC^{+a} et

μ(X(λ)) = λ

Théorème 19 ([6]). Les X(λ), λ ∈ ℚ ∩ [0, 1] sont les objets stables de la catégorie BC^{+a}.

Corollaire 8. Soit X ∈ BC^{+a}. Il existe alors une unique suite λ_{1} > ⋯ > λ_{r}, λ_{i} ∈ ℚ ∩ [0, 1], ainsi qu’une filtration dans BC^{+a}, 0 ⊊ X_{1} ⊊ ⋯ ⊊ X_{r} = X tels que pour tout 1 ≤ i ≤ r, X_{i}/X_{i−1} possède une filtration dont les gradués sont tous isomorphes à X(λ_{i}).

Corollaire 9. Soit H un groupe formel p-divisible modulaire sur O_{C}. Alors

HN(X(H)) = Newt(H_{k_{C}})^{♢}

12. Les théorèmes fondamentaux concernant le polygone de Harder-Narasimhan renormalisé d’un groupe p-divisible en valuation quelconque

12.1. Lien entre le polygone de Harder-Narasimhan renormalisé d’un groupe p-divisible et son application de Hodge-Tate. Soit K|ℚ_{p} une extension valuée complète pour une valuation à valeurs dans ℝ étendant la valuation p-adique. On fixe une clôture algébrique \overline{K} de K et on note C = ˆ \overline{K}.

Lorsque la valuation de K est discrète le théorème qui suit est une conséquence du théorème 6 et de la proposition 13.

Théorème 20. Soit H un groupe p-divisible sur O_{K}. Considérons l’application de Hodge-Tate de H

α_{H} : V_{p}(H) ⟶ ω_{H^{D}} ⊗ C

qui définit un objet

HT (H) ∈ M_{ℚ_{p}}^{HT}

ou encore un espace vectoriel filtré

HT′(H) = (V_{p}(H), Fil^{•}V_{p}(H)_{C}) ∈ VectFil_{C/ℚ_{p}}

en posant Fil^{0} = V_{p}(H)_{C}, Fil^{1} = ker α_{H} ⊗ 1 et Fil^{2} = 0. Alors, le polygone de Harder-Narasimhan renormalisé de H est un polygone concave à points de rupture de coordonnées entières et on a une égalité

HN(H) = HN (HT (H)) = HN (HT′(H))

qui est donc le polygone enveloppe concave des points (dim_{ℚ_{p}} W, dim_{ℚ_{p}} W − dim_{C} (C.α_{H}(W))) lorsque W parcourt les sous-ℚ_{p}-espaces vectoriels de V_{p}(H) (ou bien les sous-ℚ_{p}-espaces vectoriels G_{K}-stables).

Démonstration. Pour tout n ≥ 1 soit HT (H[p^{n}]) ∈ M_{tor}^{HT} l’objet défini par l’application de Hodge-Tate de H[p^{n}] (qui n’est rien d’autre que la réduction modulo p^{n} de l’application de Hodge-Tate de H). D’après le théorème 6 de [4] il y a des inégalités

HN(H[p^{n}]) − \frac{dim H}{p − 1} ≤ HN (HT (H[p^{n}]) ≤ HN(H[p^{n}])

Cela étant valable pour tout entier n on en déduit que

HN(H) = HN(T_{p}(H) ⟶^{α_{H}} Im(α_{H} ⊗ 1))

D’après le théorème 10 on a

HN (T_{p}(H) ⟶^{α_{H}} Im(α_{H} ⊗ 1)) = HN(HT (H))

d’où le résultat. □

Théorème 21 ( Inégalité fondamentale ). Soit H un groupe p-divisible modulaire sur O_{K} de réduction H_{k_{K}}. On a alors l’inégalité

HN(H) ≤ Newt(H_{k_{K}})^{♢}

Démonstration. Le foncteur d’oubli de l’extension

M^{HT} ≃ BC_{pres}^{+a} ⟶ BC^{+a}

est exacte et est compatible aux fonctions additives dim et ht. Le résultat est donc une conséquence du corollaire 9 et du théorème 20 précédent. □

13. Stratifications des espaces de modules de variétés abéliennes et de groupes p-divisibles

13.1. Hypothèses et notations. Soit F une extension valuée complète discrète de ℚ_{p} et 𝔛 un Spf(O_{F})-schéma formel localement formellement de type fini sans p-torsion. Soit H un groupe p-divisible sur 𝔛 de hauteur constante. Considérons l’espace analytique de Berkovich 𝔛^{an} associé à 𝔛. On notera X = 𝔛^{an}.

Soit h la hauteur de H. Il y a une tour GL_{h}(ℤ_{p})-équivariante d’espaces analytiques indexée par les sous-groupes ouverts de GL_{h}(ℤ_{p})

(X_{K})_{K⊂GL_{h}(ℤ_{p})}

où X_{GL_{h}(ℤ_{p})} = X et l’action de GL_{h}(ℤ_{p}) se fait à droite

∀K, ∀g ∈ GL_{h}(ℤ_{p}), g : X_{K} ⟶^{∼} X_{g^{−1}Kg}

Concrètement, pour N ≫ 0 tel que Id + p^{N}M_{h}(ℤ_{p}) ⊂ K

X_{K} = K\\underline{Isom}(\underline{(p^{−N}ℤ/ℤ)}^{h}, H[p^{N}]^{an})

où \underline{Isom}(\underline{(p^{−N}ℤ/ℤ)}^{h}, H[p^{N}]^{an}) est le GL_{h}(ℤ/p^{N}ℤ)-torseur étale sur X associé au faisceau étale localement constant H[p^{N}]^{an}.

Si K′ ⊂ K le morphisme X_{K′} ⟶ X_{K} est étale fini. Si g ∈ K le morphisme g : X_{K} ⟶^{∼} X_{K} est l’identité. Si K′ ◁ K l’action de K/K′ sur X_{K′} fait de X_{K′} un revêtement galoisien de groupe K/K′.

13.2. Lieu semi-stable.

13.2.1. Définition. Notons

X^{ss} = 𝔛^{an,ss}

le lieu des points de semi-stabilité de H. D’après le théorème 3 de [4] il s’agit d’un domaine analytique fermé dans 𝔛^{an} associé à un ouvert admissible de l’espace rigide associé à 𝔛. Si f : 𝔜 ⟶ 𝔛 est un morphisme de schémas formels localement formellement de type fini muni du groupe p-divisible f^{∗}H alors 𝔜^{an,ss} = f^{−1}(𝔛^{an,ss}).

13.2.2. Le lieu semi-stable en termes de structures de niveau Iwahori. Soit le sous-groupe d’Iwahori de GL_{h}(ℤ_{p})

I = \{(\begin{matrix}ℤ_{p}^{×} & & & & ℤ_{p} \\ & . & . & . \\ pℤ_{p} & & & & ℤ_{p}^{×} \end{matrix})\}

L’espace analytique X_{I} admet le modèle formel suivant. Considérons le foncteur qui à un 𝔛-schéma formel f : 𝔜 ⟶ 𝔛 associe les suites d’isogénies

\xymatrix{f^{∗}H = H_{0} \ar@{->>}[r]^{φ_{0}} \ar[rrrr]_{×p} & H_{1} \ar@{->>}[r]^{φ_{1}} & … \ar@{->>}[r]^{φ_{h−1}} & H_{h−1} \ar@{->>}[r]^{φ_{h−1}} & H_{h} = H_{0}}

où les (φ_{i})_{0≤i≤h−1} sont des isogénies de hauteur 1 telles que φ_{h−1} ∘ ⋯ ∘ φ_{0} = p. Ce foncteur est représenté par un 𝔛-schéma formel localement formellement de type fini. On note 𝔜 le schéma formel obtenu en tuant la p-torsion dans le schéma formel précédent. On a alors

𝔜^{an} ≃ X_{I}

Soit f : 𝔜 ⟶ 𝔛 et f^{∗}H = H_{0} ⟶^{φ_{0}} H_{1} ⟶^{φ_{1}} … ⟶^{φ_{h−1}} H_{h} = H_{0} la chaîne universelle sur 𝔜 qui induit une chaîne de O_{𝔜}-modules localement libres de rang dim H

\xymatrix{f^{∗}Lie H = Lie H_{0} \ar@{->>}[r]^{Lieφ_{0}} \ar[rrrr]_{×p} & Lie H_{1} \ar@{->>}[r]^{Lieφ_{1}} & … \ar@{->>}[r]^{Lieφ_{h−1}} & Lie H_{h−1} \ar@{->>}[r]^{Lieφ_{h−1}} & Lie H_{h} = Lie H_{0}}

Pour 0 ≤ i ≤ h − 1, Lieφ_{i} est un isomorphisme après inversion de p. Il définit donc un diviseur de Cartier

D_{i} = Div[Lie H_{i} ⟶^{φ_{i}} Lie H_{i+1}]

de fibré en droites sous-jacent L_{i} = det(Lie H_{i})^{∨} ⊗ det(Lie H_{i+1}), D_{i} étant donné par la section de L_{i} associée à det(Lieφ_{i}). On a de plus

∑_{i=0}^{h−1} D_{i} = div(p^{dim H})

Si ℨ est un Spf(O_{F})-schéma formel plat localement formellement de type fini et D un diviseur de Cartier sur ℨ trivial après inversion de p, pour tout ν ∈ ℚ on peut définir un ouvert ℨ^{an}(D, ν) dans ℨ^{an} tel que

ℨ^{an}(D, ν) = {x ∈ ℨ^{an} | v(x^{∗}D) > ν}

D’un autre point de vue si L est le fibré en droites associé à D, il définit une famille de fibrés en boules ouvertes (L_{ν})_{ν∈ℚ_{≥0}} sur ℨ^{an} avec L_{ν′} ⊂ L_{ν} ⊂ L^{an} si ν′ ≥ ν où L^{an} en le fibré en droites associé à L. Alors pour ν ≥ 0, ℨ^{an}(D, ν) = s^{−1}(L_{ν}) où s : ℨ^{an} ⟶ L^{an} est la section associée à D. On a pour ν′ ≥ ν

ℨ^{an}(D, ν′) ⊂ ℨ^{an}(D, ν) ⊂ ℨ^{an}

Soit l’ouvert de X_{I}

U = ⋃_{j=0}^{h−1} 𝔜^{an}( ∑_{i=0}^{j} D_{i}, (j + 1)μ_{H})

Puisque f : X_{I} ⟶ X est étale fini, f(U) est ouvert dans X. Alors

X^{ss} = X \ f(U)

13.3. Stratifications. Appelons polygone de Newton un polygone convexe à points de rupture de coordonnées entières dont l’origine est (0, 0) et le point terminal (ht H, dim H). Pour un tel polygone P il y a un sous-schéma réduit localement fermé

𝔛^{red}(P) ⊂ 𝔛^{red}

dans la fibre spéciale réduite de 𝔛, un k_{F} -schéma de type fini. Par définition

𝔛^{red}(P) = {x ∈ 𝔛^{red} | Newt(H_{x}) = P}

Lorsque P varie cela forme une stratification de 𝔛^{red}. De plus si P est fixé

⋃_{P′≥P} 𝔛^{red}(P′)

est Zariski fermé dans 𝔛^{red} ([14]).

Définition 28. On note Poly l’ensemble fini des polygones concaves commençant en (0, 0) et se terminant en (ht H, dim H) dont les points de rupture sont de coordonnées entières. Si n ≥ 1 est un entier on note Poly_{n} l’ensemble des polygones concaves commençant en (0, 0) et se terminant en (n ht H, n dim H).

L’ensemble Poly possède un plus petit élément qui est le polygone semi-stable de pente μ_{H}.

Définition 29. On note Newt^{♢} : X ⟶ Poly la fonction qui à x ∈ X^{an} associe la polygone de Newton renversé de la fibre spéciale de x^{∗}H sur le corps résiduel de K(x).

On note HN : X ⟶ Poly la fonction x ⟼ HN(x^{∗}H).

On note HN[p^{n}] : X ⟶ Poly_{n} la fonction x ⟼ HN(x^{∗}H[p^{n}]).

Dans la définition précédente on a utilisé le théorème 20 qui implique que la fonction HN est bien à valeurs dans Poly.

La fonction HN[p^{n}] : X ⟶ Poly_{n} est continue. Elle fournit des stratifications de X par des domaines analytiques ; pour P ∈ Poly_{n} on a

– X^{HN[p^{n}]≥P}, X^{HN[p^{n}]≤P} et X^{HN[p^{n}]=P} = X^{HN[p^{n}]≤P} ∩ X^{HN[p^{n}]≥P} sont des domaines analytiques fermés dans X

– X^{HN[p^{n}]<P}, X^{HN[p^{n}]>P} sont des ouverts de X

La fonction Newt^{♢} vérifie la propriété de semi-continuité suivante : pour P ∈ Poly

X^{Newt^{♢}≤P} est un ouvert de X

En effet, si P = Q^{♢} alors

X^{Newt^{♢}≤P} = sp^{−1}( ⋃_{Q′≥Q} 𝔛^{red}(Q′))

qui décrit X^{Newt^{♢}≤P} comme un tube. Donc

X^{Newt^{♢}=P} = X^{Newt^{♢}≤P} \ ⋃_{P′<P} X^{Newt^{♢}≤P′}

est localement fermé dans X. De plus, si P_{ss} désigne le polygone minimal dans Poly alors

X^{Newt^{♢}≤P_{ss}} = X^{Newt^{♢}=P_{ss}} est un ouvert de X

qui est la strate de Newton basique .

La fonction HN vérifie la propriété de semi-continuité suivante : pour P ∈ Poly

X^{HN≥P} est un fermé dans X

d’après la proposition 4. On a en fait

X^{HN≥P} = ⋂_{n≥1} X^{HN[p^{n}]≥n.P∘( \frac{1}{n} Id)}

Donc, X^{HN=P} est localement fermé dans X,

X^{HN=P_{ss}} est ouvert dans X

et de plus X^{ss} ⊂ X^{HN=P_{ss}}.

Le théorème 21 se traduit alors de la façon suivante.

Théorème 22. Il y a une inégalité de fonctions sur X

HN ≤ Newt^{♢}

En particulier la strate de Newton basique de X est contenue dans la strate de Harder-Narasimhan semi-stable

X^{Newt^{♢}=P_{ss}} ⊂ X^{HN=P_{ss}}

Remarque 6. Remarquons que si f : 𝔜 ⟶ 𝔛 est un morphisme de schémas formels localement formellement de type fini sur Spf(O_{F}) et si 𝔜 est muni du groupe p-divisible f^{∗}H alors les stratifications associées de 𝔜^{an} sont obtenues par image réciproques de celles de 𝔛^{an}. On peut donc voir les stratifications précédentes comme des stratifications de la fibre générique comme espace analytique du champs formel des groupes p-divisibles (même si cela n’a pas vraiment de sens).

13.4. Lieu P-HN. Soit P ∈ Poly. Considérons

X^{P−HN} = {x ∈ X^{HN=P} | x^{∗}H est de type HN}

D’après la proposition 6 on a

X^{P−HN} = X^{HN=P} ∩ X^{HN[p]=P}

qui est donc un fermé dans X^{HN=P}. Lorsque P est le polygone semi-stable on a

X^{P_{ss}−HN} = X^{ss}

13.5. Correspondances de Hecke. On suppose maintenant que l’action de GL_{h}(ℤ_{p}) sur la tour (X_{K})_{K⊂GL_{h}(Zp)} s’étend en une action par correspondances de Hecke de GL_{h}(ℚ_{p}) au sens suivant. Soit S la catégorie dont les objets sont les sous-groupes ouverts de GL_{h}(ℤ_{p}) et dont les morphismes sont

Hom_{S}(K, K′) = {ḡ ∈ K\GL_{h}(ℤ_{p})/K′ | g^{−1}Kg ⊂ K′}

et si ḡ ∈ Hom_{S}(K, K′) et h ∈ Hom_{S}(K′, K′′) alors

h̄ ∘ ḡ = ḡh

On suppose alors donné un foncteur covariant K ⟼ X_{K} de la catégorie S dans la catégorie des espaces analytiques de Berkovich qui redonne la tour précédente munie de son action de GL_{h}(ℤ_{p}). On notera pour g ∈ GL_{h}(ℚ_{p}) et K ⊂ GL_{h}(ℤ_{p}) tels que g^{−1}Kg ⊂ GL_{h}(ℤ_{p})

g : X_{K} ⟶^{∼} X_{g^{−1}Kg}

Si K′ ⊂ K on notera Π_{K′,K} : X_{K′} ⟶ X_{K} l’application d’oubli du niveau.

On a en particulier pour K fixé des correspondances de Hecke pour g ∈ GL_{h}(ℚ_{p})

\xymatrix{ & X_{gKg^{−1}∩K} \ar[r]^{g}_{≃} \ar@{-->}[dl]_{Π_{gKg^{−1}∩K,K}} & X_{K∩g^{−1}Kg} \ar@{-->}[dr]^{Π_{K∩g^{−1}Kg,K}} \\ X_{K} &  &  & X_{K}}

et la classe d’isomorphisme de cette correspondance ne dépend que de la classe de g dans K\GL_{h}(ℚ_{p})/K. Cela induit un morphisme de l’algèbre de Hecke combinatoire ℤ[K\GL_{h}(ℤ_{p})/K] vers l’algèbre des correspondances étales finies de X_{K} dans lui-même.

On fera de plus l’hypothèse supplémentaire suivante qui donne une interprétation modulaire de ces correspondances de Hecke. Soient K ⊂ GL_{h}(ℤ_{p}) et g ∈ GL_{h}(ℚ_{p}) tels que g^{−1}Kg ⊂ GL_{h}(ℤ_{p}). Soit 𝔘 un schéma formel admissible quasicompact au sens de Raynaud muni d’un morphisme f : 𝔘 ⟶ 𝔛. Supposons nous donné de plus une factorisation du morphisme f^{an} : 𝔘^{an} ⟶ 𝔛^{an} via X_{K} ⟶ 𝔛^{an}

\xymatrix{ & X_{K} \ar[d] \\ 𝔘^{an} \ar[r]_{f^{an}} \ar[ur] & 𝔛^{an}}

c’est à dire une structure de niveau K sur (f^{∗}H)^{an}, η̄ : ℤ_{p}^{h} ⟶^{∼} T_{p}(f^{∗}H) [K]. Cela signifie précisément qu’après avoir fixé un point géométrique x dans chaque composante connexe de 𝔘^{an}, on fixe une classe d’équivalence modulo l’action de K, η̄, d’isomorphisme η : ℤ_{p}^{h} ⟶^{∼} T_{p}((f^{∗}H)_{x}) tel que via η la représentation de monodromie de π_{1}(U^{an}, x) sur T_{p}((f^{∗}H)_{x}) se fasse à travers K. On peut alors construire (on renvoie à [20] ou [3] pour plus de détails) un éclatement formel admissible h : 𝔘̃ ⟶ 𝔘 ainsi qu’une isogénie de groupes p-divisibles

φ : h^{∗}(f^{∗}H) ⟶ H′

ainsi qu’une structure de niveau η̄.g : ℤ_{p}^{h} ⟶^{∼} T_{p}(H′) [g^{−1}Kg] tels que si x est un point géométrique de 𝔘̃^{an} = 𝔘^{an} alors η̄.g = η̄′, η′ : ℤ_{p}^{h} ⟶^{∼} T_{p}(H′_{x}) et le diagramme suivant commute

\xymatrix{ℚ_{p}^{h} \ar[r]_{≃}^{η} & V_{p}(((fh)^{∗}H)_{x}) \ar[d]^{φ_{∗}}_{≃} \\ ℚ_{p}^{h} \ar[u]^{g} \ar[r]^{η′}_{≃} & V_{p}(H′_{x})}

Définissons maintenant les strates de Newton ou Harder-Narasimhan de X_{K} comme images réciproques via l’application d’oubli du niveau X_{K} ⟶ X des strates correspondantes de X. La définition du polygone de Newton et la proposition 3 impliquent alors la proposition qui suit.

Proposition 23. Pour tout polygone P ∈ Poly, les tours d’espaces analytiques (X_{K}^{Newt^{♢}=P})_{K⊂GL_{h}(ℤ_{p})} et (X_{K}^{HN=P})_{K⊂GL_{h}(ℤ_{p})} sont invariantes sous l’action de GL_{h}(ℚ_{p}). En particulier pour ∗ ∈ {Newt, HN} on a des correspondances de Hecke

\xymatrix{ & X_{gKg^{−1}∩K}^{∗=P} \ar[r]^{g}_{≃} \ar@{-->}[dl]_{Π_{gKg^{−1}∩K,K}} & X_{K∩g^{−1}Kg}^{∗=P} \ar@{-->}[dr]^{Π_{K∩g^{−1}Kg,K}} \\ X_{K}^{∗=P} &  &  & X_{K}^{∗=P}}

Définition 30. Si Y ⊂ X est un sous-ensemble notons

Y_{disc} = {y ∈ Y | K(y) est de valuation discrète}

Puisque X est un F -espace analytique avec F de valuation discrète, X_{disc} est dense dans X car il contient tous les points classiques de X,

{x ∈ X | [K(x) : F] < +∞} ⊂ X_{disc}

Définition 31. Soit A ⊂ |X|. On note Hecke(A) le sous-ensemble de |X| égale à

{Π_{GL_{h}(ℤ_{p})∩g^{−1}GL_{h}(ℤ_{p})g}(g.Π_{gGL_{h}(ℤ_{p})g^{−1}∩GL_{h}(ℤ_{p})}^{−1}(A)) | ḡ ∈ GL_{h}(ℤ_{p})\GL_{h}(ℚ_{p})/GL_{h}(ℤ_{p})}

On l’appelle l’orbite de Hecke de A.

Voici maintenant la traduction tu théorème 5.

Théorème 23. Soit P ∈ Poly. On a l’égalité suivante

Hecke(X_{disc}^{P−HN}) = X_{disc}^{HN=P}

En particulier

X_{disc}^{HN=P_{ss}} = Hecke(X_{disc}^{ss})

et donc les itérés sous les correspondances de Hecke du domaine analytique fermé X^{ss} de X forment un sous-ensemble dense de l’ouvert X^{HN=P_{ss}} de X.

13.6. Exemples.

13.6.1. Espaces de Rapoport-Zink. Le premier exemple auquel nous nous intéresserons est celui des espaces de modules définis par Rapoport et Zink dans [20]. Plus précisément on fixe un groupe p-divisible ℍ sur \overline{𝔽}_{p} et on regarde le schéma formel M̂ sur Spf(W (\overline{𝔽}_{p})) tel que si S est un Spf(W (\overline{𝔽}_{p}))-schéma, i.e. un Spec(W (\overline{𝔽}_{p}))-schéma sur lequel p est localement nilpotent, alors

M̂(S) = {(H, ρ)}/ ∼

où H est un groupe p-divisible sur S et

ρ : ℍ ×_{Spec(\overline{𝔽}_{p})} (S mod p) ⟶ H ×_{S} (S mod p)

une quasi-isogénie. Soit J = End(ℍ)_{ℚ}^{×}. Le schéma formel M̂ est muni d’une action de J via composition de la déformation ρ avec un élément de J. Notons

M = M̂^{an}

Si Newt(ℍ) désigne le polygone de Newton de ℍ on a bien sûr

M = M^{Newt^{♢}=Newt(ℍ)^{♢}}

On a donc une stratification de Harder-Narasimhan

M = ∐_{P≤Newt(ℍ)^{♢}} M^{HN=P}

Lorsque ℍ est isocline alors Newt(ℍ)^{♢} = P_{ss} et il y a donc une seule strate de Harder-Narasimhan, la strate semi-stable. Du théorème 23 on déduit le corollaire suivant.

Corollaire 10. Supposons ℍ isocline. Alors,

M_{disc} = Hecke(M_{disc}^{ss})

et donc Hecke(M^{ss}) est dense dans M.

Remarque 7. Toutes les stratifications de M que nous avons définies, en particulier le lieu semi-stable, sont invariantes sous l’action du groupe p-adique J.

Corollaire 11. Supposons ℍ isocline. Soit π : M ⟶ F l’application des périodes ([20], chapitre 5). Notons F^{a} son image, un ouvert de l’espace analytique F. Alors

π(M_{disc}^{ss}) = F_{disc}^{a}

13.6.2. Variétés de Shimura. Soit (G, X) une donnée de Shimura de type PEL unitaire ([17]). Le groupe réductif G est donc un groupe de similitudes unitaires sur ℚ. Notons E le corps reflex de (G, X). Il y a alors une tour G(A_{f})-équivariante de variétés quasi-projectives lisses sur Spec(E) associée à la donnée de Shimura

(Sh_{K})_{K⊂G(A_{f})}

où K parcourt les sous-groupes compacts ouverts suffisamment petits de G(A_{f}).

Soit \overline{ℚ}_{p} une clôture algébrique de ℚ_{p}. On fixe un plongement ν : \overline{ℚ} ↪ \overline{ℚ}_{p} qui fournit donc une completion p-adique E_{ν} de E. Soit p un nombre premier tel que le groupe réductif G_{ℚ_{p}} non-ramifié. Soit G un modèle réductif de G sur Spec(ℤ_{p}) et G(ℤ_{p}) le sous-groupe compact hyperspécial de G(ℚ_{p}) associé. Il y a alors une tour G(A_{f}^{p})-équivariante de variétés quasi-projectives lisses sur Spec(O_{E_{ν}})

(S_{K^{p}})_{K^{p}⊂G(A_{f}^{p})}

et un isomorphisme équivariant

(S_{K^{p}})_{K^{p}⊂G(A_{f}^{p})} ⊗_{O_{Eν}} E_{ν} ⟶^{∼} (Sh_{G(ℤ_{p})K^{p}})_{K^{p}⊂G(A_{f}^{p})} ⊗_{E} E_{ν}

Le schéma S_{K^{p}} admet une description comme espace de modules de variétés abéliennes munies d’une action d’un ℤ_{(p)}-ordre d’une algèbre semi-simple centrale sur un corps de nombres CM, d’une polarisation d’ordre premier à p et d’une structure de niveau K^{p} (on renvoie à [17]). Notons A le schéma abélien universel sur S_{K^{p}} et A[p^{∞}] le groupe p-divisible associé.

Si μ : 𝔾_{m} ⟶ G\overline{ℚ} désigne un cocaractère de Hodge associé à la donnée de Shimura (G, X) (le cocaractère μ est donc bien défini à G(\overline{ℚ})-conjugaison près), notons μ_{\overline{ℚ}_{p}} le cocaractère de G_{\overline{ℚ}_{p}} associé via le plongement ν. Faisons l’hypothèse supplémentaire suivante : il y a une décomposition

G_{ℚ_{p}} ≃ GL_{h/ℚ_{p}} × G′

où G′ est un groupe réductif p-adique. Fixons une telle décomposition telle que via celle-ci μ_{\overline{ℚ}_{p}} soit dans la classe de conjugaison d’un cocaractère de la forme

z ⟼ diag(\underbrace{z, …, z}_{d−fois}, 1, …, 1) × μ′(z)

pour un entier d. L’entier d correspond à une signature à l’infini du groupe unitaire. Plus précisément pour un certain ensemble Φ (un CM type d’un corps CM que nous n’avons pas introduit) on a

G_{ℝ}^{der} ≃ ∏_{τ∈Φ} U(p_{τ} , q_{τ})

où ∀τ, p_{τ} + q_{τ} = h et il existe τ ∈ Φ tel que (p_{τ} , q_{τ}) ∈ {(d, h − h), (h − d, d)}. Il y a alors une décomposition associée à la décomposition précédente de G_{ℚ_{p}}

A[p^{∞}] ≃ (H ⊕ H^{D})^{a} ⊕ Y

où a est un entier et H et Y sont des groupes p-divisibles, Y étant muni de structures additionnelles (une polarisation principale ainsi qu’une action d’une ℤ_{p}-algèbre étale finie). On a de plus ht(H) = h et le groupe p-divisible associé à H sur le complété p-adique de S_{K^{p}} est de dimension d.

Fixons K^{p} suffisamment petit et soit X = (Ŝ_{K^{p}})^{an} l’espace analytique associé au complété padique de S_{K^{p}}. Il vérifie les hypothèses des sections précédentes. Contrairement au cas précédent des espaces de Rapoport-Zink c’est un espace compact. Il y a de plus une immersion

X = (Ŝ_{K^{p}})^{an} ⊂ (Sh_{G(ℤ_{p})K^{p}} ⊗_{E} E_{ν})^{an}

qui fait de X un domaine analytique compact dans l’espace analytique associé à la variété de Shimura en fibre générique. C’est une égalité si et seulement si la variété S_{K^{p}} est propre sur Spec(O_{E_{ν}}) c’est à dire si et seulement si le groupe G^{der} est anisotrope sur ℚ.

Les résultats précédents s’appliquent alors à X.

Remarque 8. Lorsque d = 1, ce qui est par exemple le cas des variétés de Shimura étudiées dans [13], les stratifications de Harder-Narasimhan et de Newton de (Ŝ_{K^{p}})^{an} coïncident.

Supposons maintenant que G_{ℚ_{p}} ≃ GL_{hℚ_{p}} × 𝔾_{m}. Soit x ∈ S_{K^{p}}(\overline{𝔽}_{p}) et ℍ la fibre en x du groupe H. Soit M l’espace de Rapoport-Zink des déformations par quasi-isogénies de ℍ. D’après le théorème 6.23 de [20] il existe alors un groupe de similitudes unitaires I sur ℚ tel que

– I_{ℝ} est anisotrope modulo son centre

– I_{ℚ_{p}} est muni d’un plongement dans le groupe J = End(ℍ)_{ℚ}^{×}

– I_{A}_{f}^{p} est muni d’un plongement dans le groupe G_{A}_{f}^{p} et il y ait une immersion ouverte

I(ℚ)\(M × G(A_{f}^{p})/K^{p}) ↪ (Ŝ_{K^{p}})^{an} ˆ⊗Ê_{ν}^{nr}

le membre de droite pouvant se réécrire après un choix de représentants dans G(A_{f}^{p}) de I(ℚ)\G(A_{f}^{p})/K^{p}

∐_{i∈I} Γ_{i}\M

où les Γ_{i} ⊂ J sont des sous-groupes discrets. Alors via le plongement précédent pour un polygone de Harder-Narasimhan P on a

I(ℚ)\(M^{HN=P} × G(A_{f}^{p})/K^{p}) = (I(ℚ)\(M × G(A_{f}^{p})/K^{p})) ⋂(Ŝ_{K^{p}})^{an,HN=P}

et de même pour le lieu semi-stable ou les autres stratifications introduites précédemment.

14. Stratification de Harder-Narasimhan et stratification des Grassmaniennes p-adiques

14.1. Grassmaniennes p-adiques. Soient d et h deux entiers tels que 0 ≤ d ≤ h et h ≠ 0. Soit Gr l’espace analytique sur ℚ_{p} au sens de Berkovich associé à la Grassmanienne sur Spec(ℚ_{p}) classifiant sur un ℚ_{p}-schéma S les couples (E, u) où E est un O_{S}-module localement libre de rang h − d et u : O_{S}^{h} ⟶ E un épimorphisme de O_{S}-modules. Si K est une extension valuée complète de ℚ_{p} pour une valuation de rang 1 on a donc

Gr(K) = {sous-espaces de dimension d de K^{h}}

L’espace analytique Gr est muni d’une action à droite de GL_{h}(ℚ_{p}). On note |Gr| l’espace topologique compact associé muni de son action continue de GL_{h}(ℚ_{p}).

14.2. Application de Hodge-Tate. Soit K|ℚ_{p} comme précédemment et H un groupe p-divisible de dimension d et de hauteur h sur Spf(O_{K}). Fixons une clôture algébrique \overline{K} de K. Considérons l’application de Hodge-Tate rationnelle de H

α_{H} : V_{p}(H) ⟶ ω_{H^{D}} ⊗ ˆ \overline{K}

D’après le théorème II.2.1 de [5] l’application α_{H} ⊗ 1 : V_{p}(H) ⊗ ˆ \overline{K} ⟶ ω_{H^{D}} ⊗ ˆ \overline{K} est surjective.

Après choix d’une base de T_{p}(H), α_{H} définit donc un élément de Gr( ˆ\overline{K}). On vérifie aussitôt que l’élément associé

HT(H) ∈ |Gr|/GL_{h}(ℤ_{p})

ne dépend pas du choix de la clôture algébrique \overline{K} de K ainsi que de celui d’une base de T_{p}(H).

Plus généralement si K est un sous-groupe ouvert de GL_{h}(ℤ_{p}) et η̄: ℤ_{p}^{h} ⟶ T_{p}(H) [K] est une structure de niveau K sur H on définit un point

HT(H, η̄) ∈ |Gr|/K

Soit maintenant F une extension valuée complète de ℚ_{p} de valuation discrète. Soit 𝔛 un Spf(O_{F})-schéma formel localement formellement de type fini et H un groupe p-divisible sur 𝔛 de dimension d et hauteur h. Soit X = 𝔛^{an} On vérifie aussitôt que la construction précédente définit une application

HT : |X| ⟶ |Gr|/GL_{h}(ℤ_{p})

et plus généralement pour K un sous-groupe ouvert de GL_{h}(ℤ_{p}), avec les notations de la section 13.1

HT : |X_{K}| ⟶ |Gr|/K

qui définit alors une application GL_{h}(ℤ_{p})-équivariante de tours d’espaces topologiques

HT : (|X_{K}|)_{K⊂GL_{h}(ℤ_{p})} ⟶ (|Gr|/K)_{K⊂GL_{h}(ℤ_{p})}

Sous les hypothèses supplémentaires de la section 13.5 cette application est GL_{h}(ℚ_{p})-équivariante i.e. compatible aux correspondances de Hecke.

Théorème 24. Pour tout sous-groupe ouvert K de GL_{h}(ℤ_{p}) l’application HT : |X_{K}| ⟶ |Gr|/K est continue où |Gr|/K est muni de la topologie quotient.

14.3. Stratification de Harder-Narasimhan de la Grassmanienne. Soit K|ℚ_{p} comme précédemment. Soit M_{ℚ_{p}}^{HT} (K) la catégorie exacte formée des triplets (V, ω, α) où V est un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie, ω un K-espace vectoriel de dimension finie et α une application ℚ_{p}-linéaire α : V ⟶ ω telle que α ⊗ 1 : V ⊗_{ℚ_{p}} K ⟶ ω soit surjective. On a déjà considéré cette catégorie dans la section 10 lorsque K est algébriquement clos. Toutes les considération de la section 10 s’appliquent cependant à M_{ℚ_{p}}^{HT} (K) sans hypothèse sur K. En particulier on peut considérer leurs filtrations et polygones de Harder-Narasimhan.

Soit Poly l’ensemble des polygones concaves à points de rupture de coordonnées entières commençant en (0, 0) et de point terminal (h, d) À un point x ∈ |Gr| est associé un objet de M_{ℚ_{p}}^{HT} (K(x)) et donc un polygone de Harder-Narasimhan HN(x) ∈ Poly. Cela définit une application GL_{h}(ℚ_{p})-invariante

HN : |Gr| ⟶ Poly

et en particulier une application

HN : |Gr|/GL_{h}(ℤ_{p}) ⟶ Poly

et donc des stratifications

|Gr| = ∐_{P∈Poly} |Gr^{HN=P}|
|Gr|/GL_{h}(ℤ_{p}) = ∐_{P∈Poly} |Gr^{HN=P}|/GL_{h}(ℤ_{p})

Théorème 25. La stratification précédente de la Grassmanienne analytique vérifie : pour tout P ∈ Poly

|Gr^{HN≥P}| = ∐_{P′≥P} |Gr^{HN=P′}|

est un fermé de |Gr|.

Corollaire 12. Le lieu semi-stable de |Gr|, c’est à dire |Gr^{HN=P_{ss}}|, est ouvert dans |Gr|.

Exemple 1. Si d = h − 1 alors Gr = ℙ^{h} et le lieu semi-stable est alors l’espace de Drinfeld Ω dans ℙ^{h}.

14.4. Lien entre les stratifications de Harder-Narasimhan. Du théorème 20 on déduit le corollaire suivant.

Corollaire 13. Soit HT : |X| ⟶ |Gr|/GL_{h}(ℤ_{p}) l’application de Hodge-Tate. Alors pour tout polygone P ∈ Poly on a

|X^{HN=P}| = HT^{−1}(|Gr^{HN=P}|)

et la stratification de Harder-Narasimhan de X est donc obtenue par image réciproque de celle de la Grassmanienne analytique.

15. Déstabilisation par isogénies des groupes p-divisibles semi-stables

Dans cette section K est un corps valué complet extension de ℚ_{p} quelconque.

Lemme 11. Soit H un groupe p-divisible semi-stable sur O_{K} et G un sous-groupe fini et plat de H. Sont alors équivalents

– H/G est semi-stable

– G est un groupe semi-stable de pente μ_{H}

Démonstration. Cela résulte de la suite exacte

0 ⟶ G ⟶ p^{−1}G ⟶ (H/G)[p] ⟶ 0

couplée à l’égalité μ_{H/G} = μ_{H}. □

Proposition 24. Soit H un groupe p-divisible sur O_{K} tel que (dim H, ht H) = 1. Soit G un sousgroupe plat fini de H semi-stable de pente μ_{H} tel que H[p] ⊈ G et G ≠ 0. Alors si k ≥ 1 est tel que G[p^{k}] ≠ G[p^{k−1}] on a

ht(G[p^{k+1}]/G[p^{k}]) < ht(G[p^{k}]/G[p^{k−1}])

En particulier

G ⊂ H[p^{ht H}]

et

ht(G) ≤ \frac{1}{2}ht(H)(ht(H) − 1)

Démonstration. Quitte à remplacer H par H/G[p^{k−1}] on peut supposer que k = 1. Il y a alors une suite exacte

0 ⟶ G[p] ⟶ G[p^{2}] ⟶^{×p} G[p]

qui implique que ht(G[p^{2}]/G[p]) ≤ ht(G[p]) avec égalité si et seulement si la suite

0 ⟶ G[p] ⟶ G[p^{2}] ⟶^{×p} G[p] ⟶ 0

est exacte. Mais si c’est le cas alors G[p^{2}] est un groupe de Barsotti-Tate tronqué d’échelon 2 et donc deg G[p] ∈ ℕ. L’égalité de fractions

\frac{deg G[p]}{ht G[p]} = \frac{dim H}{ht H}

couplée à la condition (dim H, ht H) = 1 implique alors que ht H|ht G[p] ce qui est impossible car G[p] ⊊ H[p]. □

16. Étude fine des strates semi-stables lorsque la dimension et la hauteur sont premières entre elles

On reprend les hypothèses et notations de la section 13 (on suppose également comme dans la section 13.5 que l’on dispose de correspondances de Hecke). On a donc un espace analytique X ainsi que des sous-espaces

X^{ss} ⊂ X^{HN=P_{ss}} ⊂ X

où X^{ss} est un domaine analytique fermé dans X et X^{HN=P_{ss}} est un ouvert de X stable sous les correspondances de Hecke. De plus les itérés sous les correspondances de Hecke de X^{ss}, qui sont contenues dans X^{NH=P_{ss}}, contiennent tous les points de valuation discrète de X^{HN=P_{ss}}. On note h la hauteur du groupe p-divisible H et d sa dimension.

16.1. L’algorithme de descente vers le lieu semi-stable comme un système dynamique p-adique. Rappelons que d’après le chapitre 6 si x ∈ X^{HN=P_{ss}} on peut lui associer une suite d’éléments dans l’orbite de Hecke de x, (x_{n})_{n≥1}, telle que

– x_{1} = x

– si x_{i} n’est pas semi-stable alors μ_{max}(H_{x_{i}}) > μ_{max}(H_{i+1}) (confère la définition 8)

– si H_{x_{i}} est semi-stable alors x_{i+1} = x_{i}

– si H_{x_{i}} n’est pas semi-stable il y a une isogénie H_{x_{i}} ⟶ H_{x_{i+1}} ⊗_{O_{K(x_{i+1})}} O_{K(x_{i})} de noyau le sous-groupe fini et plat G_{i} de H_{x_{i}} tel que G_{i} soit semi-stable de pente μ_{max}(H_{i}) et pour tout n ≥ 1, G_{i}[p^{n}] soit le premier cran de la filtration de Harder-Narasimhan de H[p^{n}]

Cela définit donc un système dynamique

T : |X^{HN=P_{ss}}| ⟶ |X^{HN=P_{ss}}|

tel que le lieu des points fixes de T soit |X^{ss}| et |X_{disc}^{HN=P_{ss}}| soit contenu dans les points d’orbite finie de T. La fonction

μ_{max} : |X| ⟶ [\frac{d}{h}, 1]
x ⟼ μ_{max}(H_{x}) = μ_{max}(H_{x}[p])

est continue,

X^{ss} = \{μ_{max} = \frac{d}{h}\}

la fonction μ_{max|X^{HN=Pss}} est décroissante le long des orbites de T telle que si μ_{max}(x) > \frac{d}{h} alors

μ_{max}(T (x)) < μ_{max}(x)

La fonction μ_{max} peut donc être vue comme une sorte de fonction de Lyapunov associée au système dynamique (|X^{HN=P_{ss}}|, T). Remarquons de plus que pour x ∈ X^{HN=P_{ss}}, puisque HN(H_{x}) = P_{ss},

lim_{n→+∞} μ_{max}(T^{n}(x)) = \frac{d}{h}

Ainsi si pour ϵ ∈ ℚ_{>1} on note

X^{ss,ϵ} = \{x ∈ X^{HN=P_{ss}} | μ_{max}(x) < ϵ\frac{d}{h}\}

qui est un ouvert de X alors pour tout ϵ > 1

Hecke(X^{ss,ϵ}) = X^{HN=P_{ss}}

Remarque 9. Si ϵ > 1 est tel que ∀d′, h′ ∈ ℕ tels que 1 ≤ h′ < h, 0 ≤ d′ ≤ d et \frac{d′}{h′} > \frac{d}{h} on ait ϵ < \frac{hd′}{dh′} alors X^{ss,ϵ} = \{x ∈ X | μ_{max}(x) < ϵ\frac{d}{h}\}. En effet, pour un groupe p-divisible H, la plus grande pente de HN(H) est toujours inférieure à μ_{max}(H).

Appliquant le théorème 22 on obtient en particulier la proposition suivante.

Proposition 25. Soit M̂ l’espace de Rapoport-Zink des déformations d’un groupe p-divisible isocline de pente λ sur \overline{𝔽}_{p} et M = M̂^{an}. Alors pour tout ϵ > 1, ϵ ∈ ℚ, si

M^{ϵ,ss} = {x ∈ M | μ_{max}(x) < ϵλ}

un ouvert de M, les orbites de Hecke de l’ouvert M^{ϵ,ss} recouvrent M.

16.2. Un argument de compacité. Supposons maintenant que |X| est compact, ce qui est le cas des espaces analytiques associés aux variétés de Shimura de type PEL. Alors |X^{ss}| est compact. Soit (ℕ^{h})^{+} = \{(a_{1}, …, a_{h}) ∈ ℕ^{h} | a_{1} ≥ ⋯ ≥ a_{h}\}. À chaque élément \underline{a} ∈ (ℕ^{h})^{+} est associé une correspondance de Hecke

\xymatrix{ & X_{GL_{h}(ℤ_{p})∩p\underline{a}GL_{h}(ℤ_{p})p^{−\underline{a}}} \ar[dl]_{Π_{1,\underline{a}}} \ar[dr]^{Π_{2,\underline{a}}} \\ X &  & X}

où p\underline{a} = diag(p^{a_{1}}, …, p^{a_{h}}). Pour un sous-ensemble A ⊂ |X| et \underline{a} ∈ (ℕ^{h})^{+} on note

Hecke\underline{a}(A) = Π_{1,\underline{a}}(Π_{2,\underline{a}}^{−1}(A))

Si A est compact Hecke\underline{a}(A) l’est également. Faisons maintenant l’hypothèse

(d, h) = 1

Soit

Y = ⋃_{{2h≥a_{1}≥···≥a_{h}=0 \atop a_{1}>h}} Hecke\underline{a}(X^{ss})

D’après la proposition 24

Y ∩ X^{ss} = ∅

Par compacité de Y on en déduit que

α := inf_{y∈Y} μ_{max}(y) > \frac{d}{h}

Posons

β = inf\{α\} ∪ \{\frac{d′}{h′} | 0 ≤ d′ ≤ h′ ≤ h, h′ ≠ 0, \frac{d′}{h′} > \frac{d}{h}\}

On a encore β > \frac{d}{h}.

Proposition 26. Soit x ∈ X^{HN=P_{ss}} tel que K(x) soit de valuation discrète. Soit n(x) = inf{n ≥ 0 | T^{n}(x) ∈ X^{ss}}. Supposons que μ_{max}(x) < β. Alors

ker (H_{x} ⟶ H_{T^{n(x)}(x)} ⊗_{K(T^{n(x)}(x))} K(x)) ⊂ H_{x}[p^{h}]

Démonstration. Notons pour tout z ∈ X \ X^{ss}, G_{z} = ker (H_{z} ⟶ H_{T (z)} ⊗ K(z)). Comme dans la preuve de la proposition 24 on montre grâce à un argument sur les groupes de Barsotti-Tate

tronqués d’échelon 2 que pour z ∈ X\X^{ss}, si μ_{max}(z) n’est pas de la forme \frac{d′}{h′} avec 0 ≤ d′ ≤ h′ ≤ h

et d′, h′ ∈ ℕ alors G_{z} ⊂ H_{z}[p^{h}]. On en déduit que pour 0 ≤ n < n(x), G_{T^{n}(x)} ⊂ H_{T^{n}(x)}[p^{h}]. Supposons par l’absurde que

ker (H_{x} ⟶ H_{T^{n(x)}(x)} ⊗ K(x)) ⊈ H_{x}[p^{h}]

Soit

m = inf{n | 1 ≤ n < n(x), ker (H_{T^{n}(x)} ⟶ H_{T^{n(x)}(x)} ⊗ K(T^{n}(x))) ⊂ H_{T^{n}(x)}[p^{h}]

Soit alors

I = ker (H_{T^{m−1}(x)} ⟶ H_{T^{n(x)}(x)} ⊗ K(T^{m−1}(x)))

On a

I ⊈ H_{T^{m−1}(x)}[p^{h}]
I ⊂ H_{T^{m−1}(x)}[p^{2h}]
H_{T^{m−1}(x)}[p] ⊈ I

Soit alors k le plus petit entier tel que I ⊂ H_{T^{m−1}(x)}[p^{k}]. On a donc h < k ≤ 2h. Il y a une isogénie

H_{T^{n(x)}(x)} ⊗ K(T^{m−1}(x)) ≃ H_{T^{m−1}(x)}/I ⟶^{×p^{k}} H_{T^{m−1}(x)}

Le noyau du morphisme de droite est H_{T^{m−1}(x)}[p^{k}]/I. Puisque k ≤ 2h

H_{T^{m−1}(x)}[p^{k}]/I ⊂ (H_{T^{m−1}(x)}/I)[p^{2h}] = p^{−2h}I/I

On vérifie de même que les conditions k > h et H_{T^{m−1}(x)}[p] ⊈ I impliquent que

H_{T^{m−1}(x)}/I ⊈ (H_{T^{m−1}(x)}/I)[p^{h}]

On en déduit donc que

T^{m−1}(x) ∈ Y

ce qui est impossible puisque μ_{max}(x) ≥ μ_{max}(T^{m−1}(x)). □

16.3. Le théorème principal.

Théorème 26. Soit X l’espace analytique associé à une variété de Shimura de type PEL comme précédemment. Supposons de plus (d, h) = 1. Alors les itérés sous les correspondances de Hecke du domaine analytique compact X^{ss} recouvrent l’ouvert X^{HN=P_{ss}}.

Démonstration. Avec les notations précédentes soit x ∈ X tel que μ_{max}(x) < β. Écrivons x = lim_{n→+∞} x_{n} avec pour tout n, K(x_{n}) de valuation discrète. D’après la proposition 26 pour tout

entier n, le polygone HN(H_{x_{n}})^{nr} est une droite de pente \frac{d}{h} sur le segment [h^{2}, +∞[. Le corollaire

3 implique alors que pour i ≥ h^{2},

HN(H_{x})^{nr}(i + 1) − HN(H_{x})^{nr}(i) = lim_{n→+∞} HN(H_{x_{n}})^{nr}(i + 1) − HN(H_{x_{n}})^{nr}(i)
= \frac{d}{h}

et donc HN(H_{x})^{nr} est une droite de pente \frac{d}{h} sur le segment [h^{2}, +∞[. On en déduit que H_{x} est isogène à un groupe p-divisible semi-stable.

Maintenant si x ∈ X^{HN=P_{ss}}, puisque lim_{n→+∞} μ_{max}(T^{n}(x)) = \frac{d}{h}, pour n ≫ 0 on a μ_{max}(T^{n}(x)) <

β. D’où le résultat. □

17. Application aux espaces des déformations d’un groupe p-divisible simple à isogénie près

17.1. Décomposition cellulaire. Soit ℍ un groupe p-divisible isocline de dimension d et hauteur

h sur \overline{𝔽}_{p}. Supposons (d, h) = 1 i.e. ℍ est simple dans pdiv_{\overline{𝔽}_{p}} ⊗ ℚ. On notera λ = \frac{d}{h}. Soit M̂ le

Spf(W (\overline{𝔽}_{p}))-schéma formel des déformations de ℍ par quasi-isogénies ([20]) et M := M̂^{an}. Il y a une décomposition

M̂ = ∐_{n∈ℤ} M̂^{[n]}

donnée par la hauteur de la quasi-isogénie universelle. On note M = ∐_{n∈ℤ} M^{[n]} la décomposition associée de la fibre générique. Soit

D = End(ℍ)_{ℚ}

une algèbre à division centrale sur ℚ_{p} d’invariant λ. Le groupe D^{×} agit à gauche sur M̂ et M par action sur la déformation. De plus si Nrd : D^{×} ⟶ ℚ_{p}^{×} désigne la norme réduite alors ∀d ∈ D^{×}, ∀n ∈ ℤ, d : M̂^{[n]} ⟶^{∼} M̂^{[n−v_{p}(Nrd(d))]}. On notera Π un uniformisante de D.

Définition 32. On note D = M^{[0],ss} le lieu semi-stable dans la composante de M où la hauteur de la quasi-isogénie universelle est de hauteur nulle. On note D̊ ⊂ D le lieu où les points de p-torsion de la déformation universelle forment un groupe stable.

Le lieu D est un domaine analytique fermé dans M^{[0]} quant à D̊ c’est un ouvert de M^{[0]}. Ils sont tous deux invariants sous O_{D}^{×}. De plus M^{ss} = ∐_{n∈ℤ} Π^{n}.D.

Exemple 2. Lorsque d = 1, D est le domaine fondamental de Gross-Hopkins dans l’espace de Lubin-Tate ([12], [5] chapitre I.3). Cependant, contrairement au cas de Gross-Hopkins, lorsque d > 1 il n’y a pas de raison pour que D soit compact.

Pour un élément T = GL_{h}(ℤ_{p})gGL_{h}(ℤ_{p}) ∈ GL_{h}(ℤ_{p})\GL_{h}(ℚ_{p})/GL_{h}(ℤ_{p}) soit la correspondance de Hecke

\xymatrix{ & M_{GL_{h}(ℤ_{p})∩gGL_{h}(ℤ_{p})g^{−1}} \ar[dl]_{Π_{1,T}} \ar[dr]^{Π_{2,T}} \\ M &  & M}

Si A ⊂ M est un domaine analytique et T comme précédemment notons T.A = Π_{1,T} (Π_{2,T}^{−1} (A)).

Théorème 27. Il y a alors un recouvrement localement fini par des domaines analytiques fermés

M = ∐_{T ∈GL_{h}(ℤ_{p})\GL_{h}(ℚ_{p})/GL_{h}(ℤ_{p})} T.D

De plus pour tout x ∈ M il existe un ensemble fini A de correspondances de Hecke tel que x soit contenu dans l’intérieur de ⋃_{T ∈A} T.D.

Démonstration. Choisissons une variété de Shimura de type PEL unitaire du type précédent telle que M uniformise le lieu basique de cette variété. Le théorème 26, couplé à l’inclusion X^{Newt^{♢}} ⊂ X^{HN=P_{ss}}, implique alors l’assertion concernant le fait que les itérés sous les correspondances de Hecke du lieu semi-stable recouvrent l’espace. L’assertion concernant le fait que ce recouvrement est localement fini se déduit de la proposition 24. □

17.2. Application au morphisme des périodes.

Théorème 28. Soit M la fibre générique de l’espace des déformations d’un groupe p-divisible simple à isogénies près sur \overline{𝔽}_{p}. Soit π : M ⟶ F le morphisme des périodes ([20], chapitre 5) et F^{a} son image, un sous-ensemble ouvert de F. Il y a un recouvrement

F^{a} = ⋃_{0≤i≤h−1} Π^{i}.π(D)

Le morphisme restreint

π_{|D̊} : D̊ ⟶ F^{a}

est un isomorphisme sur son image, l’ouvert π(D̊) de F^{a}.

Références

[1] Huayi  Chen.  Convergence  des  polygones  de  Harder-Narasimhan.  Prépublication,

http ://www.math.polytechnique.fr/˜ chen/.

[2] Pierre Colmez. Espaces de Banach de dimension finie. J. Inst. Math. Jussieu, 1(3) :331–439, 2002.

[3] L. Fargues. Cohomologie des espaces de modules de groupes p-divisibles et correspondances de langlands locales. In Variétés de Shimura, espaces de Rapoport-Zink et Correspondances de Langlands locales, Asterisque 291, 2004.

[4] L. Fargues. La filtration de Harder-Narasimhan des schémas en groupes finis et plats. Prépublication, http ://www.math.u-psud.fr/˜ fargues/Prepublications, 2008.

[5] L. Fargues. L’isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld et applications cohomologiques. In L’isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld, Progress in math., 262, pages 1–325. Birkhäuser, 2008.

[6] L. Fargues and J. Plût. Les espaces de Banach Colmez et leurs filtrations. En préparation.

[7] Laurent Fargues. Application de Hodge-Tate duale d’un groupe de Lubin-Tate, immeuble de Bruhat-Tits du groupe linéaire et filtrations de ramification. Duke Math. J., 140(3) :499–590, 2007.

[8] Jean-Marc Fontaine. Représentations p-adiques des corps locaux. I. In The Grothendieck Festschrift, Vol. II, volume 87 of Progr. Math., pages 249–309. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990.

[9] Jean-Marc Fontaine. Presque C_{p}-représentations. Doc. Math., (Extra Vol.) :285–385 (electronic), 2003. Kazuya Kato’s fiftieth birthday.

[10] Daniel R. Grayson. Reduction theory using semistability. Comment. Math. Helv., 59(4) :600–634, 1984.

[11] Daniel R. Grayson. Reduction theory using semistability. II. Comment. Math. Helv., 61(4) :661–676, 1986.

[12] B. H. Gross and M. J. Hopkins. Equivariant vector bundles on the Lubin-Tate moduli space. In Topology and representation theory (Evanston, IL, 1992), volume 158 of Contemp. Math., pages 23–88. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994.

[13] M. Harris, R. Taylor. The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, volume 151 of Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2001.

[14] Nicholas M. Katz. Slope filtration of F -crystals. In Journées de Géométrie Algébrique de Rennes (Rennes, 1978), Vol. I, volume 63 of Astérisque, pages 113–163. Soc. Math. France, Paris, 1979.

[15] Kiran S. Kedlaya. Slope filtrations revisited. Doc. Math., 10 :447–525 (electronic), 2005.

[16] Mark Kisin. Crystalline representations and F -crystals. In Algebraic geometry and number theory, volume 253 of Progr. Math., pages 459–496. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 2006.

[17] R.E. Kottwitz. Points on some shimura varieties over finite fields. J. Amer. Math. Soc., 5(2) :373–444, 1992.

[18] Eike Lau. Displays and formal p-divisible groups. Invent. Math., 171(3) :617–628, 2008.

[19] M. S. Narasimhan and C. S. Seshadri. Stable and unitary vector bundles on a compact Riemann surface. Ann. of Math. (2), 82 :540–567, 1965.

[20] M. Rapoport, Th. Zink. Period spaces for p-divisible groups. Number 141 in Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996.

[21] J. T. Tate. p − divisible groups.. In Proc. Conf. Local Fields (Driebergen, 1966), pages 158–183. Springer, Berlin, 1967.

[22] Burt Totaro. Tensor products of semistables are semistable. In Geometry and analysis on complex manifolds, pages 242–250. World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1994.

[23] A. Vasiu and T. Zink. Breuil’s classification of p-divisible groups over regular local rings of arbitrary dimension.

[24] Th. Zink. On the slope filtration. Duke Math. J., 109(1) :79–95.

[25] Thomas Zink. The display of a formal p-divisible group. Astérisque, (278) :127–248, 2002. Cohomologies padiques et applications arithmétiques, I.

CNRS–université Paris-Sud Orsay

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