FILTRATION DE MONODROMIE ET CYCLES ÉVANESCENTS FORMELS

par

Laurent Fargues

Résumé. — D’après Berkovich [2], Fujiwara [6] et Huber [9] la fibre des cycles évanescents en un point de la fibre spéciale ne dépend que du complété formel en ce point. Nous raffinons ce résultat en démontrant l’invariance par complétion formelle de la filtration de monodromie perverse sur la fibre des cycles évanescents. Ce résultat est utilisé de façon cruciale par Boyer dans [3].

Abstract. — Berkovich [2], Fujiwara [6] and Huber [9] have proved that the fiber of the vanishing cycles at a point of the special fiber depends only on the formal completion at this point. We refine this result and prove the invariance under formal completion of the perverse monodromy filtration on the fiber of vanishing cycles. This result is used in an essential way by Boyer in [3].

1. Notations et énoncé du théorème

Soit S = Spec(O) un trait hensélien excellent. On note k le corps résiduel de O que l’on suppose de caractéristique p > 0 et π une uniformisante de O. On note η le point générique de S, s son point fermé, \overline{η} un point géométrique au dessus de η, \overline{S} = Spec(\overline{O}) la fermeture intégrale de S dans \overline{η} et \overline{s} le point géométrique au dessus de S associé.

Soit ℓ un nombre premier différent de p. Pour X un S-schéma de type fini et F ∈ 𝔻_{c}^{b}(X, \overline{ℚ}_{ℓ}) on note

RΨ_{η}F = \overline{i}^{∗}R\overline{j}_{∗}F ∈ 𝔻_{c}^{b}(X\overline{s}, \overline{ℚ}_{ℓ})

le complexe des cycles proches de Deligne.

Si l’on muni X_{η} et X\overline{s} de la perversité intermédiaire et si F ∈ Perv(X_{η}) est un faisceau pervers sur la fibre générique alors

RΨ_{η}F ∈ Perv(X\overline{s})

et est muni d’une action de Gal(\overline{η}|η). Si I désigne le sous-groupe d’inertie de Gal(\overline{η}|η) et P son sous-groupe de ramification sauvage

I/P ≃ ∏_{ℓ′≠p} ℤ_{ℓ′}(1)

et si T désigne un élément de I s’envoyant sur un générateur de ℤ_{ℓ}(1) dans l’isomorphisme précédent,

T ∈ End_{Perv(X\overline{s})}(RΨ_{η}F)

qui est quasi-unipotent au sens où si n est suffisamment divisible T^{n} − Id est un endomorphisme nilpotent de RΨ_{η}F. Cela permet de définir l’endomorphisme nilpotent

N = log T = \frac{1}{n} log (Id + (T^{n} − Id)) pour n ≫ 0
N : RΨ_{η}F(1) ⟶ RΨ_{η}F

Il définit une filtration de monodromie dans Perv(X\overline{s}), Fil^{•}RΨ_{η}F qui ne dépends pas du choix de T, et donc (cf. la section 3) un objet K(F) de la catégorie dérivée filtrée 𝔻_{c}^{b}F (X\overline{s}, \overline{ℚ}_{ℓ}).

Soit x : \overline{s} ⟶ X\overline{s} un point géométrique fermé. Le complexe de \overline{ℚ}_{ℓ}-espaces vectoriels RΨ_{η}(F)_{x} est muni d’une action de N mais n’est pas pervers en général (en quelque sens que ce soit). Néanmoins il provient par oubli de la filtration du complexe filtré K(F)_{x} ∈ 𝔻^{b}F (\overline{ℚ}_{ℓ}) la catégorie dérivée filtrée des \overline{ℚ}_{ℓ}-espaces vectoriels.

Rappelons :

Théorème 1.1 (Berkovich [2] th. 3.1, Fujiwara [6] cor. 7.1.7, Huber [9] prop. 3.15) Soit (X′, F′, x′) un triplet analogue à (X, F, x). Tout isomorphisme

f : Ô_{X,x} ⟶^{∼} Ô_{X′,x′}

entre les complétés formels des anneaux locaux tel que

F_{|Spec(Ô_{X,x}[ \frac{1}{π}])} = f^{∗} (F′_{|Spec(Ô_{X′,x′} [ \frac{1}{π}])})

induit naturellement un isomorphisme

RΨ_{η}(F)_{x} ⟶^{∼} RΨ_{η}(F)_{x′}.

Le but de cet appendice est d’établir la version raffinée suivante de cet énoncé :

Théorème 1.2. — Soit (X′, F′, x′) un triplet analogue à (X, F, x). Soient K(F), resp. K(F′), le complexe filtré associé à RΨ(F), resp. RΨ(F′), muni de sa filtration de monodromie. Tout isomorphisme

f : Ô_{X,x} ⟶^{∼} Ô_{X′,x′}

tel que

F_{|Spec(Ô_{X,x}[ \frac{1}{π}])} = f^{∗} (F′_{|Spec(Ô_{X′,x′} [ \frac{1}{π}])})

induit naturellement un isomorphisme

K(F)_{x} ⟶^{∼} K(F)_{x′}

dans la catégorie dérivée filtrée des \overline{ℚ}_{ℓ}-espaces vectoriels 𝔻^{b}F (\overline{ℚ}_{ℓ}).

La démonstration de ce théorème repose sur le théorème de désingularisation de Popescu ([13]) ainsi que la définition d’une catégorie de faisceaux pervers ℓ-adiques sur des schémas pour lesquels les théorèmes de finitude de Deligne de SGA 4^{1/2} et l’existence d’un module dualisant ne sont pas connus comme le complété formel d’un anneau local d’un schéma de type fini sur un corps. La nécessité des coefficients ℓ-adiques est imposée par la définition de l’opérateur de monodromie comme logarithme d’un autre opérateur. Sans théorèmes de finitude l’argument d’autorité “le cas des coefficients de torsion s’étend aussitôt au cas ℓ-adique” ne peut être employé ce qui induit de difficiles contorsions basées sur les travaux d’Ekedahl ([5]).

On remarquera que le résultat s’étend en fait immédiatement à la bi-filtration des cycles évanescents donnée par les images et noyaux itérés de l’opérateur de monodromie, la filtration de monodromie étant obtenue par convolution de ces deux filtrations. Néanmoins nous avons préféré énoncer et démontrer le résultat avec la filtration de monodromie afin de ne pas trop allourdir le papier avec des bi-filtrations.

Le résultat de cet article est utilisé de façon cruciale par P.Boyer dans [3].

L’auteur de cet appendice tient à remercier Ofer Gabber pour d’intéressantes discussions sur le sujet.

2. Catégories dérivées filtrées

Soit A une catégorie abélienne. On utilise les catégories dérivées filtrées pour des filtrations décroissantes finies (et pas seulement finies degré par degré) 𝔻F (A), 𝔻^{b}F (A), 𝔻^{+}F (A) telles qu’elles sont définies dans le chapitre V de [10], cf. également le chapitre 3 de [1]. Elles sont munies de foncteurs d’oubli de la filtration, Gr^{i} pour i ∈ ℤ, et Fil^{i}/Fil^{j} pour i < j vers les catégories dérivées usuelles. Les foncteurs Fil^{i}/Fil^{j} se factorisent par les catégories dérivées filtrées et on notera également par abus de notations Fil^{i}/Fil^{j} ces factorisations.

3. Catégories dérivées filtrées et faisceaux pervers filtrés

On reprend les hypothèses du début de la section 3.1.5 de [1]. Plus précisément, supposons que A possède suffisamment d’injectifs, que D soit une sous-catégorie triangulée pleine de 𝔻^{+}(A) et que (D^{≤0}, D^{≥0}) soit une t-structure sur D de coeur C = D^{≤0} ∩ D^{≥0}. Soit DF la sous-catégorie triangulée de 𝔻^{+}F (A) formée des objets A tels que ∀i ∈ ℤ, Gr^{i}A ∈ D.

Proposition 3.1. — Il y a une équivalence de catégories entre la catégorie formée des couples (X, F il^{•}X) où X ∈ C et F il^{•}X est une filtration décroissante finie de X et la sous-catégorie de DF formée des objets A tels que ∀i, Gr^{i}A ∈ C. Dans cette équivalence les foncteurs de graduation Gr^{i} se correspondent et plus généralement si A est associé à X, ∀i < j, Fil^{i}/Fil^{j}(A) = F il^{i}X/Fil^{j}X. Ainsi via le foncteur d’oubli de la filtration ω = Fil^{−∞}/Fil^{∞} : DF → D, ωA = X.

Démonstration. Soit A ∈ DF comme dans l’énoncé. Il y a des triangles exactes dans D pour j > i

\xymatrix{Fil^{i}/Fil^{j}(A) \ar[rr] &  & Fil^{i−1}/Fil^{j}(A) \ar@{-->}[dl] \\  & Gr^{i−1}A \ar@{-->}[ul]^{+1}}

desquels on déduit aisément en procédant à j fixé par récurrence sur i, i < j à partir de i = j − 1, que

∀j > i, Fil^{i}/Fil^{j}(A) ∈ C

et en particulier A ∈ C. Donc, dans le triangle exacte

\xymatrix{Fil^{i}A \ar[rr] &  & ωA \ar[dl] \\  & Fil^{−∞}/Fil^{i}A \ar@{-->}[ul]^{+1}}

les trois objets sont dans C. On en déduit que Fil^{i}A → ωA est un monomorphisme dans C et définit une filtration finie de X = ωA ayant comme gradués les Gr^{•}A. Cela définit un foncteur A ↦ (X, Fil^{•}). Montrons qu’il est pleinement fidèle.

Commençons par remarquer que pour A, B dans DF comme précédemment

Hom_{DF}^{−1} (A, B) = 0. (1)

Utilisons pour cela la suite spectrale (3.1.3.5) p.78 de [1] :

E_{1}^{pq} = \{{∏_{j−i=p} Hom^{p+q}(Gr^{i}A, Gr^{j}B) si p ≥ 0 \atop 0 si p < 0}

E_{1}^{pq} ⟹ Hom_{DF}^{p+q}(A, B).

Les Gr^{i}A et Gr^{j}B étant dans C, E_{1}^{pq} = 0 si p + q < 0 et l’égalité (1) en résulte. Notons (X, Fil^{•}X), (Y, Fil^{•}Y) les objets associés à A et B. On pourrait être tenté d’utiliser la suite spectrale précédente couplée à une même suite spectrale pour 𝔻^{+}F (C) pour montrer que Hom(A, B) ⟶^{∼} Hom((X, Fil^{•}X), (Y, Fil^{•}Y)). Néanmoins cela s’avère délicat à cause de l’identification de certaines flèches dans la suite spectrale et parce qu’à priori une telle suite spectrale n’existe pour les objets filtrés de C que si C possède suffisamment d’injectifs (néanmoins ce type d’argument est sûrement possible). Supposant B ≠ 0, procédons plutôt par récurrence sur l’amplitude de la filtration sup{i | Gr^{i}B ≠ 0} − inf{i | Gr^{i}B ≠ 0}. Lorsque cet entier est égal à 0, soit i tel que Gr^{i}B ≠ 0. On a donc Fil^{i+1}B = 0 ainsi que Fil^{i}B = B ce qui implique Fil^{i+1}Y = 0 et Fil^{i}Y = Y. Alors

Hom_{DF} (A, B) = Hom_{D}(Fil^{−∞}/Fil^{i+1}A, B) = Hom(X/Fil^{i+1}X, Y) = Hom((X, Fil^{•}X), (Y, Fil^{•}Y)).

Supposons maintenant l’amplitude de la filtration non-nulle et soit i tel que Fil^{i}B ≠ 0, Fil^{i+1}B = 0 et donc Fil^{i+1}Y = 0. D’après l’annulation (1) il y a un morphisme de suite exactes

\xymatrix{0 \ar[r] & Hom_{DF} (A, Fil^{i}B) \ar[r] \ar[d]^{u} & Hom_{DF} (A, B) \ar[r] \ar[d]^{v} & Hom_{DF} (A, Fil^{−∞}/Fil^{i}B) \ar[r] \ar[d]^{w} & Hom_{DF}^{1} (A, Fil^{i}B) \ar[d]^{x} \\ 0 \ar[r] & Hom(Fil^{•}X, Fil^{i}Y) \ar[r] & Hom(Fil^{•}X, Fil^{•}Y) \ar[r] & Hom(Fil^{•}X, Fil^{•}Y/Fil^{i}Y) \ar[r]^{δ} & Ext^{1}(Fil^{•}X, Fil^{i}Y)}

où les Hom de la ligne du bas sont des morphismes d’objets filtrés, Fil^{i}Y étant muni de la filtration induite, et où Ext^{1}(Fil^{•}X, Fil^{i}Y) est défini comme

Ext_{C,Yoneda}^{1}(X/Fil^{i+1}X, Fil^{i}Y).

De plus si [ξ] désigne la classe de l’extension

ξ : 0 → Fil^{i}Y → Y → Y/Fil^{i}Y → 0

alors l’application δ est définie par le composé

\xymatrix{Hom(Fil^{•}X, Fil^{•}Y/Fil^{i}Y) \ar[r]^{∼} & Hom(Fil^{•}X/Fil^{i+1}X, Fil^{•}Y/Fil^{i}Y) \ar[d] \\  & Hom(X/Fil^{i+1}X, Y/Fil^{i}Y) \ar[r] & Ext_{C,Yoneda}^{1}(X/Fil^{i+1}X, Fil^{i}Y) \\  & f \ar@{|->}[r] & f^{∗}[ξ].}

Avec cette définition on vérifie facilement que le carré de droite est commutatif dans le diagramme précédent (pour la définition de l’application x cf. la ligne qui suit). D’après le cas étudié précédemment initialisant la récurrence l’application u est un isomorphisme. Par hypothèse de récurrence w en est également un. Quant à l’application x cela résulte de

Hom_{DF}^{1} (A, Fil^{i}B) = Hom_{D}^{1}(Fil^{−∞}/Fil^{i+1}A, Fil^{i}B) = Ext_{C,Yoneda}^{1}(X/Fil^{i+1}X, Fil^{i}Y).

L’application v est donc un isomorphisme.

La surjectivité essentielle du foncteur A ↦ (X, Fil^{•}X) résulte de ce que tout morphisme de complexes dans 𝔻^{+}(A) peut être représenté par un morphisme injectif de complexe d’objets injectifs (toute flèche dans 𝔻^{+}(A) peut être vue comme un cône d’une autre flèche) et que donc si (X, Fil^{•}X) est comme dans l’énoncé, on peut représenter Fil^{i}Xpar un complexe (K^{ij})_{j∈ℤ} et les flèches Fil^{i+1}X → Fil^{i}X par des morphismes injectifs K^{i+1•} ↪ K^{i•}. L’objet de DF associé convient alors.

4. Faisceaux pervers sans conditions de finitude d’après Gabber

Le théorème suivant est un cas particulier des résultats de [8]. On y note Ri_{x}^{!}F^{•} la fibre en un point géométrique au dessus du point générique de \overline{\{x\}} de Ri! ; \overline{\{x\}}F^{•}. Ainsi, si \overline{x} → X est un tel point géométrique

H^{i}(i_{x}^{!}F^{•}) = lim_{⟶} [figure: U; a,étale; \overline{x}; X] H_{a^{−1}(\overline{\{x\}})}^{i}(U, F^{•}).

L’annulation d’un tel groupe ne dépend pas du choix de \overline{x} au dessus de x, de même pour H^{i}(i_{x}^{∗}F^{•}).

Théorème 4.1 (Gabber). — Soit X un schéma noethérien de dimension finie. Soit Λ un anneau. Posons

p𝔻^{≤0}(X, Λ) = \{F^{•} ∈ 𝔻(X_{ét}, Λ) | ∀x ∈ X, ∀i > − dim \overline{\{x\}}, H^{i}(i_{x}^{∗}F^{•}) = 0 \}
p𝔻^{≥0}(X, Λ) = \{F^{•} ∈ 𝔻^{+}(X_{ét}, Λ) | ∀x ∈ X, ∀i < − dim \overline{\{x\}}, H^{i}(Ri_{x}^{!}F^{•}) = 0 \}.

Alors, (^{p}𝔻^{≤0}, ^{p}𝔻^{≥0}) définit une t-structure sur 𝔻(X_{ét}, Λ) et induit une t-structure sur 𝔻^{+}(X_{ét}, Λ), 𝔻^{−}(X_{ét}, Λ) et 𝔻^{b}(X_{ét}, Λ).

On note Perv(X, Λ) = ^{p}𝔻^{≤0} ∩ ^{p}𝔻^{≥0} ⊂ 𝔻^{b}(X_{ét}, Λ), une catégorie abélienne Λ-linéaire.

Si de plus Λ = ℤ/nℤ, n est inversible sur X et X possède un module dualisant au sens de Grothendieck (SGA 5, exposé I) alors la t-structure précédente induit une t-structure sur 𝔻_{c}^{b}(X_{ét}, Λ) et tout objet de Perv(X) ∩ 𝔻_{c}^{b}(X_{ét}, Λ) est de longueur finie.

L’intérêt de ce théorème est qu’il permet de construire la t-structure perverse sans hypothèse de finitude sur les Rj_{∗} pour j une immersion ouverte, Ri^{!} pour i une immersion fermée, ou bien l’existence d’un module dualisant (ce qui est le cas considéré dans [1] que l’on retrouve à la fin de l’énoncé du théorème précédent). La dernière hypothèse sur l’existence d’un module dualisant permet de s’assurer que les opérateurs de troncature perverse préservent les faisceaux pervers à cohomologie bornée constructible.

Exemple 4.2. — Supposons X excellent régulier de dimension d et L un faisceau localement constant sur X_{ét}. Alors, L[d] ∈ Perv(X, Λ). C’est une conséquence de ce que ∀x ∈ X le schéma réduit sous-jacent à \overline{\{x\}} est génériquement régulier et du théorème principal de [7].

5. Extension aux coefficients ℓ-adiques

Soit L_{λ}|ℚ_{ℓ} une extension de degré fini, O_{λ} son anneau des entiers et ϖ_{λ} une uniformisante de O_{λ}. Soit X un schéma. Nous allons utiliser le formalisme de [5]. Certains des énoncés de [5] sont trop elliptiques (par exemple le (v) du théorème 3.6 où la t-structure tautologique n’est pas définie). De plus nous aurons besoin de généralisations, c’est pourquoi nous rappelons le formalisme de [5] dans les paragraphes qui suivent.

5.1. Généralités : Rπ_{∗} et 𝕃π^{∗}. — Soit X̃_{ét}^{ℕ} −O_{λ•} la catégorie abélienne des systèmes projectifs (F_{n})_{n≥1}

→ F_{n+1} → F_{n} → ⋯ → F_{1}

où F_{n} est un O_{λ}/ϖ_{λ}^{n}-module sur X_{ét}, le site étale de X, et les flèches de transition sont O_{λ}-linéaires. Soit X̃_{ét} − O_{λ} la catégorie des O_{λ}-modules sur X_{ét}. Soit

(π^{∗}, π_{∗}) : X̃_{ét}^{ℕ} − O_{λ•} ⟶ X̃_{ét} − O_{λ}

le couple de foncteurs défini par

π^{∗}F = (F/ϖ_{λ}^{n}F)_{n≥1}

et

π_{∗}(F_{n})_{n} = lim_{⟵}_{n} F_{n}.

On note donc π^{∗} pour le foncteur image inverse associé au morphisme de topos annelés et π^{−1} le foncteur “sans anneau” :

π^{∗}F = π^{−1}F ⊗_{π^{−1}(O_{λ})} O_{λ•}.

Remarque 5.1. — On remarquera qu’en général Rπ_{∗} n’est pas de dimension cohomologique finie (en général on a seulement cd(Rπ_{∗}) ≤ cd_{ℓ}(X_{ét}) + 1). Néanmoins 𝕃π^{∗} est de dimension cohomologique finie (égale à 1).

Définition 5.2. — On note 𝔻(X^{ℕ}, O_{λ•}) pour la catégorie dérivée 𝔻(X̃_{ét}^{ℕ} − O_{λ•}).

Remarque 5.3. — Le morphisme de topos annelés X̃_{ét}^{ℕ} ⟶ X̃_{ét} est un cas particulier de morphisme associé à un topos fibré tel qu’expliqué dans [11]. Nous renvoyons en particulier à [11] pour les généralités concernant les résolutions dans les topos fibrés.

5.2. Complexes essentiellement nuls/constants. —

Définition 5.4 ([5] déf. 2.1). — Un système projectif (F_{n})_{n} est dit essentiellement nul si ∀n, localement sur X_{ét}, ∃N, F_{n+N} → F_{n} est le morphisme nul. Un complexe C ∈ 𝔻(X^{ℕ}, O_{λ•}) est dit essentiellement nul si ∀i, H^{i}(C) l’est.

Remarquons que lorsque X est quasicompact on peut enlever “localement sur X_{ét}” dans la définition précédente.

Remarque 5.5. — Les systèmes essentiellement nuls forment une sous-catégorie épaisse de la catégorie des systèmes projectifs de faisceaux et la catégorie quotient des systèmes projectifs de faisceaux par les systèmes essentiellement nuls est donc abélienne. On peut donc définir le localisé de 𝔻(X^{ℕ}, O_{λ•}) par rapport aux flèches de cône essentiellement nul. C’est une catégorie triangulée. En effet, si D est une catégorie triangulée et H est un foncteur cohomologique sur D (à valeurs dans une catégorie abélienne, par définition) alors les flèches f dont un cône C(f) vérifie ∀i, H(C(f)[i]) = 0, permettent un calcul des fraction à gauche et à droite, et la catégorie localisée

est triangulée (appliquer cela à D = 𝔻(X^{ℕ}, O_{λ•}) et H le foncteur composé D ⟶^{H^{0}} X̃_{ét}^{ℕ} ⟶ X̃_{ét}^{ℕ}/ess. nuls).

Définition 5.6. — Un objet de 𝔻^{+}(X^{ℕ}, O_{λ•}) est essentiellement constant s’il est isomorphe modulo les complexes essentiellement nuls à un objets de la forme π^{−1}(D).

Définition 5.7 ([5] section 1). — On note 𝔻^{e+}(X^{ℕ}, O_{λ•}) la sous-catégorie de 𝔻(X^{ℕ}, O_{λ•}) formée des complexes C tels que pour i ≪ 0, H^{i}(C) soit essentiellement nul. Il s’agit donc des complexes isomorphes aux objets de 𝔻^{+} dans la catégorie modulo les complexes essentiellement nuls de la remarque précédente.

Si C ∈ 𝔻^{+}(X^{ℕ}, O_{λ•}) est essentiellement nul alors Rπ_{∗}C = 0. On en déduit que si C ∈ 𝔻^{e+}(X^{ℕ}, O_{λ•}) le système projectif

τ(C) = (⋯ → τ_{≥i}C → τ_{≥i+1}C → …)

est tel que le système projectif Rπ_{∗}τ(C) := (Rπ_{∗}τ_{≥i}C)_{i} est essentiellement constant. Cela permet d’étendre Rπ_{∗} à 𝔻^{e+}(X^{ℕ}, O_{λ•}) en posant

Rπ_{∗}C = lim_{⟵} Rπ_{∗}τ(C).

Remarque 5.8. — Le complexe C est essentiellement constant si et seulement si l’application d’adjonction π^{−1}Rπ_{∗}C → C a un cône essentiellement nul si et seulement si pour tout i l’application π^{−1}π_{∗}H^{i}(C) → H^{i}(C) a un noyau et conoyau essentiellement nuls.

5.3. Le foncteur π^{∗}(O_{λ}/ϖ_{λ}) ⊗^{𝕃}_{O_{λ•}} (−). — Bien que π^{∗}(O_{λ}/ϖ_{λ}) ne soit pas un O_{λ•}-module de Tor-dimension finie, modulo les complexes essentiellement nuls il l’est et on peut identifier π^{∗}(O_{λ}/ϖ_{λ}) au complexe

[O_{λ•}_{−1} ⟶^{×ϖ_{λ}} O_{λ•}_{0}]

puisque ker(O_{λ•} ⟶^{×ϖ_{λ}} O_{λ•}) est essentiellement nul. Cela permet de définir pour C ∈ 𝔻^{e+}(X^{ℕ}, O_{λ•})

π^{∗}(O_{λ}/ϖ_{λ}) ⊗^{𝕃}_{O_{λ•}} C = Tot^{⊕}[C ⟶^{ϖ_{λ}} C]

dans la catégorie 𝔻^{e+}(X^{ℕ}, O_{λ•}) modulo les complexes essentiellement nuls. On peut donc définir ce que cela veut dire que ce complexe est essentiellement constant. On peut également définir son image par Rπ_{∗}.

5.4. O_{λ}-complexes. —

Définition 5.9 ([5] déf. 2.1). — Un O_{λ}-complexe est un C ∈ 𝔻^{e+}(X^{ℕ}, O_{λ•}) tel que π^{∗}(O_{λ}/ϖ_{λ})⊗^{𝕃}_{O_{λ•}} C soit essentiellement constant.

Les O_{λ}-complexes sont les objets de base introduits par Ekedahl afin de définir la catégorie dérivée λ-adique.

5.5. La catégorie 𝔻^{+}(X, O_{λ}). —

Définition 5.10 ([5] déf. 2.1). — Un objet C ∈ 𝔻^{e+}(X^{ℕ}, O_{λ•}) est négligeable si π^{∗}(O_{λ}/ϖ_{λ})⊗^{𝕃}_{O_{λ•}} C est essentiellement nul et un morphisme f est essentiellement un isomorphisme si un cône de f est négligeable.

Remarque 5.11. — Les morphismes qui sont essentiellement des isomorphismes permettent un calcul des fractions à gauche et à droite dans 𝔻^{e+}(X^{ℕ}, O_{λ•}) et la catégorie localisée est triangulée.

En effet, le foncteur C ↦ H^{0} (π^{∗}(O_{λ}/ϖ_{λ}) ⊗^{𝕃}_{O_{λ•}} C) à valeurs dans la catégorie des systèmes pro-

jectifs λ-adiques sur X_{ét} modulo les complexes essentiellement nuls est un foncteur cohomologique (cf. la remarque 5.5).

Définition 5.12 ([5] déf. 2.5). — La catégorie des O_{λ}-complexes a pour objets les O_{λ}- complexes munis des morphismes

Hom_{O_{λ}−complexes}(A, B) = Hom_{pro−𝔻^{e+}}(τ(A), τ(B)).

Ekedahl pose alors 𝔻^{+}(X, O_{λ}) = la catégorie des O_{λ}-complexes localisée par rapport aux flèches qui sont essentiellement des isomorphismes. C’est une catégorie triangulée.

5.6. Complexes normalisés. — Ekedahl introduit des représentants particuliers des O_{λ}- complexes dans leur classes d’isomorphisme appelés complexes normalisés.

Définition 5.13 ([5] section 2). — Pour F ∈ 𝔻^{e+}(X^{ℕ}, O_{λ•}) on note

F̂ = 𝕃π^{∗}Rπ_{∗}F ∈ 𝔻^{+}(X^{ℕ}, O_{λ•}).

Le foncteur F ↦ F̂ se factorise par la catégorie localisée par les morphismes qui sont essentiellement des isomorphismes. Cela résulte des formules ([5] lemme 1.5.ii))

∀n, i_{n}^{∗}F̂ = Rπ_{∗} (π^{∗}(O_{λ}/ϖ_{λ}^{n}) ⊗^{𝕃}_{O_{λ•}} F)

où i_{n} : X̃_{ét} ⟶ X̃_{ét}^{ℕ} est le morphisme de topos “étage n”. Ekedahl démontre alors qu’un complexe F est un O_{λ}-complexe si et seulement si la flèche d’adjonction F̂ ⟶ F est essentiellement un isomorphisme ([5] proposition 2.2.i)).

Définition 5.14. — Les complexes F ∈ 𝔻^{+}(X^{ℕ}, O_{λ•}) tels que F̂ → F soit un isomorphisme dans 𝔻^{+}(X^{ℕ}, O_{λ•}) sont des O_{λ}-complexes appelés complexes normalisés. On note 𝔻^{+}(X^{ℕ}, O_{λ•})_{norm} la sous-catégorie des complexes normalisés.

On renvoi à la proposition 2.2.ii) de [5] pour une caractérisation intrinsèque des complexes normalisés.

Proposition 5.15 ([5]). — Soit 𝔻^{+}(X, O_{λ})_{litt} la catégorie dérivée usuelle des O_{λ}-modules sur X_{ét} La catégorie 𝔻^{+}(X^{ℕ}, O_{λ•})_{norm} est l’image essentielle du foncteur 𝕃π^{∗} : 𝔻^{+}(X, O_{λ})_{litt} ⟶ 𝔻^{+}(X^{ℕ}, O_{λ•}). De plus les foncteurs F ↦ F̂ et le foncteur canonique 𝔻^{+}(X^{ℕ}, O_{λ•})_{norm} → 𝔻^{+}(X, O_{λ}) induisent une équivalence de catégories entre 𝔻^{+}(X^{ℕ}, O_{λ•})_{norm} et 𝔻^{+}(X, O_{λ}).

Remarque 5.16. — Soit 𝔻^{+}(X, O_{λ})_{litt} la catégorie dérivée “usuelle” des complexes de O_{λ}- faisceaux sur X_{ét}. Le foncteur 𝕃π^{∗} permet d’identifier 𝔻^{+}(X, O_{λ}) à la catégorie quotient de 𝔻^{+}(X, O_{λ})_{litt} par les complexes F tels que 𝕃π^{∗}F = 0.

5.7. La catégorie 𝔻^{b}(X, O_{λ}). —

Définition 5.17. — On note 𝔻^{b}(X, O_{λ}) la sous-catégorie de 𝔻^{+}(X, O_{λ}) formée des complexes dans 𝔻^{−}.

L’un des points clef qui simplifie nettement la théorie par rapport au cas de 𝔻^{+} est le (i) de la proposition 3.4 de [5] :

Proposition 5.18 ([5]). — Un complexe F ∈ 𝔻^{−}(X^{ℕ}, O_{λ•}) est négligeable si et seulement si il est essentiellement nul.

Corollaire 5.19. — La catégorie 𝔻^{b}(X, O_{λ}) s’identifie au localisé de la catégorie des O_{λ}- complexes dans 𝔻^{−} relativement aux flèches dont le cône est essentiellement nul.

Lemme 5.20. — Soit F ∈ 𝔻^{b}(X, O_{λ}). Alors, F̂ ∈ 𝔻^{b}(X^{ℕ}, O_{λ•})_{norm}. Si de plus ∀i ∉ [a, b], H^{i}(F) est essentiellement nul alors ∀i ∉ [a − 1, b], H^{i}(F̂) est nul.

Démonstration. On utilise les formules

∀n, i_{n}^{∗}F̂ = Rπ_{∗} (π^{∗}(O_{λ}/ϖ_{λ}^{n}) ⊗^{𝕃}_{O_{λ•}} F)

π^{∗}(O_{λ}/ϖ_{λ}^{n}) ⊗^{𝕃}_{O_{λ•}} F ≃ [F_{−1} ⟶^{×ϖ_{λ}^{n}} F_{0}]

le dernier isomorphisme étant modulo les complexes essentiellement nuls. Soit donc

f : π^{−1}C → [F ⟶^{ϖ_{λ}^{n}} F]

un morphisme de complexes de cône essentiellement nul. Alors,

i_{n}^{∗}F̂ = C.

De plus, le cône de f étant essentiellement nul on en déduit que ∀i ∉ [a − 1, b], H^{i}(π^{−1}C) est essentiellement nul et donc

∀i ∉ [a − 1, b], H^{i}(C) = 0.

Corollaire 5.21. — Le foncteur de normalisation induit une équivalence entre 𝔻^{b}(X, O_{λ}) et 𝔻^{b}(X^{ℕ}, O_{λ•})_{norm}.

5.8. La catégorie 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ}) et sa t-structure tautologique. — Désormais on supposera toujours que X est localement noethérien.

Rappelons qu’Ekedahl pose pour F ∈ 𝔻^{b}(X, O_{λ})

O_{λ}/ϖ_{λ} ⊗^{𝕃}_{O_{λ}} F := i_{1}^{∗}F̂ = O_{λ}/ϖ_{λ} ⊗^{𝕃}_{O_{λ}} Rπ_{∗}F ∈ 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ}/ϖ_{λ}).

Définition 5.22 ([5]). — On pose

𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ}) = { F ∈ 𝔻^{b}(X, O_{λ}) | O_{λ}/ϖ_{λ} ⊗^{𝕃}_{O_{λ}} F ∈ 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ}/ϖ_{λ}) }.

Définition 5.23. — – Un faisceau λ-adique constructible sur X_{ét} est un O_{λ•}-module sur X_{ét},

(F_{n})_{n}, tel que ∀n, F_{n+1} ⊗ O_{λ}/ϖ_{λ}^{n} ⟶^{∼} F_{n} et F_{1} soit constructible.

– La catégorie des faisceau λ-adiques constructibles est la sous-catégorie des O_{λ•}-modules ayant pour objets les faisceaux λ-adique constructibles

– Un faisceau essentiellement λ-adique constructible est un O_{λ•}-module isomorphe modulo les complexes essentiellement nuls à un faisceau λ-adique constructible

– La catégorie des faisceaux essentiellement λ-adiques constructibles est la sous-catégorie de la catégorie quotient des O_{λ•}-modules par les modules essentiellement nuls ayant pour objets les faisceaux essentiellement λ-adique constructible

Il est aisé de vérifier que le foncteur naturel de la catégorie des faisceaux λ-adiques constructibles vers la catégorie des faisceaux essentiellement λ-adiques constructibles induit une équivalence de catégories.

Rappelons le théorème principal de [12] :

Théorème 5.24 ([12]). — La catégorie des faisceaux (essentiellement) λ-adiques constructibles est abélienne noethérienne et est équivalente à la catégorie des faisceaux localement AR-λ-adiques constructibles.

Ici la condition AR-nul (pour Artin-Rees) est plus forte que la condition essentiellement nul. Si X est quasicompact, si f : F ⟶ G est un morphisme de faisceaux λ-adiques constructibles et si H désigne le noyau de f dans la catégorie des O_{λ•}-modules, celui-ci vérifie la condition de Mittag-Leffler-Artin-Rees. Si H′ désigne le système projectif des images universelles de H alors pour r ≫ 0 le O_{λ•}-module H′[r] ⊗ O_{λ•} (où l’on pose H′[r]_{i} = H′_{r+i}) est λ-adique constructible égal au noyau de f dans la catégorie des faisceaux λ-adiques constructibles.

On renvoie plus généralement à [12] pour les propriétés de base des faisceaux λ-adiques constructibles.

Proposition 5.25 ([5] section 3). —

– Pour (F_{n})_{n} un faisceau essentiellement λ-adique constructible, (F_{n})_{n} placé en degré 0 est un O_{λ}-complexe.

– Un F ∈ 𝔻^{b}(X, O_{λ}) appartient à 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ}) si et seulement si ∀i, H^{i}(F) est un faisceau essentiellement λ-adique constructible.

– Si (F_{n})_{n} est un faisceau essentiellement λ-adique constructible et F le complexe concentré en degré 0 associé alors H^{0}(F̂) est un faisceau λ-adique constructible tel que les noyaux et conoyaux de l’application H^{0}(F̂) → (F_{n})_{n} sont essentiellement nuls. Le foncteur F ↦ H^{0}(F̂) induit une équivalence entre la catégorie des faisceaux essentiellement λ-adiques constructibles et la catégorie des faisceaux λ-adiques constructibles, inverse de l’équivalence naturelle décrite précédemment après la définition 5.23.

Théorème 5.26. — Soit X un schéma localement noethérien et D = 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ}). Posons

D^{≤0} = { F ∈ D | ∀i > 0, H^{i}(F) est essentiellement nul }
D^{≥0} = { F ∈ D | ∀i < 0, H^{i}(F) est essentiellement nul }.

Alors, (D^{≤0}, D^{≥0}) est une t-structure sur D de coeur la catégorie des faisceaux essentiellement λ-adiques constructibles. Le foncteur cohomologique associé est F ↦ H^{0}(F) et les opérateurs de troncature τ_{≤i}, τ_{≥i} sont ceux induits par les opérateurs de troncatures usuels.

Si D_{2} = 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ•})_{norm}, via l’équivalence de catégories triangulées F ↦ F̂ entre D et D_{2}, la t-structure induite sur D_{2} est

D_{2}^{≤0} = { F ∈ D_{2} | ∀i > 0, H^{i}(F) = 0 }
D_{2}^{≥0} = { F ∈ D_{2} | ∀i < −1, H^{i}(F) = 0 et H^{−1}(F) est ess. nul }.

De plus les opérateurs de troncature associés sont F ↦ τ_{≤i}F et F ↦ { \atop τ_{≥i}F}. Le coeur de D_{2} s’identifie à la catégorie des faisceaux λ-adiques constructibles et le foncteur cohomologique associé

est F ↦ H^{0}({ \atop H^{0}(F)}).

Démonstration. C’est une conséquence du théorème précédent couplé au lemme 5.20.

5.9. Comparaison avec le formalisme de Deligne. — Deligne définit dans la section 1.1.2 de [4] une catégorie

𝔻_{c}^{−}(X, O_{λ})_{Del} := 2 − lim_{⟵}_{n} 𝔻_{c}^{−}(X_{ét}, O_{λ}/ϖ_{λ}^{n})

les applications de transition dans la limite projective précédente étant données par les foncteurs

− ⊗^{𝕃}_{O_{λ}/ϖ_{λ}^{m}} O_{λ}/ϖ_{λ}^{n} pour m ≥ n. On note comme Deligne

− ⊗^{𝕃}_{O_{λ}} O_{λ}/ϖ_{λ}^{n} : 𝔻_{c}^{−}(X, O_{λ})_{Del} ⟶ 𝔻_{c}^{−}(X_{ét}, O_{λ}/ϖ_{λ}^{n})

le foncteur n-ième étage de la limite projective précédente. Il pose alors

𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ})_{Del} = {F ∈ 𝔻_{c}^{−}(X, O_{λ})_{Del} | F ⊗^{𝕃} O_{λ}/ϖ_{λ} ∈ 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ})}
= 2 − lim_{⟵}_{n} 𝔻_{ctf}^{b}(X, O_{λ}/ϖ_{λ}^{n})

où l’indice tf signifie de Tor-dimension finie.

Puisque si i_{n} désigne le foncteur n-ième étage

𝔻^{b}(X^{ℕ}, O_{λ•})_{norm} = {F ∈ 𝔻^{b}(X^{ℕ}, O_{λ•}) | ∀m ≥ n, i_{m}^{∗}F ⊗^{𝕃}_{O_{λ}/ϖ_{λ}^{m}} O_{λ}/ϖ_{λ}^{n} ⟶^{∼} i_{n}^{∗}F}

il y a un foncteur

𝔻^{b}(X^{ℕ}, O_{λ•}) ⟶ 2 − lim_{⟵}_{n} 𝔻_{tf}^{b}(X_{ét}, O_{λ}/ϖ_{λ}^{n})
F ⟼ (i_{n}^{∗}F)_{n≥1}.

On en déduit par composition avec le foncteur de normalisation un foncteur

𝔻^{b}(X, O_{λ}) ⟶^{∼} 𝔻^{b}(X^{ℕ}, O_{λ•})_{norm} ⟶ 2 − lim_{⟵}_{n} 𝔻_{tf}^{b}(X_{ét}, O_{λ}/ϖ_{λ}^{n})

dont on vérifie aussitôt qu’il envoit 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ}) sur 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ})_{Del}.

Supposons à partir de maintenant que X est un schéma de type fini sur un corps algébriquement clos ou bien un corps fini, corps que l’on supposera de caractéristique première à ℓ. Deligne munit alors 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ})_{Del} d’une structure de catégorie triangulée ainsi que d’une t-structure tautologique. On vérifit que le foncteur précédent est un foncteur entre catégories triangulées compatible aux t-structures.

Proposition 5.27. — Le foncteur 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ}) ⟶ 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ})_{Del} est une équivalence de catégories triangulées exacte relativement aux t-structures tautologiques.

Démonstration. Commençons par la pleine fidélité. Il y a un bifoncteur

\underline{\underline{Hom}}(−, −) : X̃_{ét}^{ℕ} − O_{λ•} × X̃_{ét}^{ℕ} − O_{λ•} ⟶ X̃_{ét}^{ℕ} − O_{λ•}

qui est le foncteur des homomorphismes locaux dans le topos annelé (X̃_{ét}^{ℕ}, O_{λ•}). Il y a un morphisme de topos annelés

p : (X̃_{ét}^{ℕ}, O_{λ•}) ⟶ (Ens^{ℕ}, O_{λ•})

tel que le foncteur image directe p_{∗} corresponde à prendre les sections globales étage par étage de nos systèmes projectifs. Soit alors

\underline{Hom}(−, −) = p_{∗}\underline{\underline{Hom}}(−, −) : X̃_{ét}^{ℕ} − O_{λ•} × X̃_{ét}^{ℕ} − O_{λ•} ⟶ O_{λ•} − Mod.

Concrétement pour F = (F_{n})_{n} et G = (G_{n})_{n} dans X̃_{ét}^{ℕ} − O_{λ•}, si α_{n} : F_{n} ⟶ F_{n−1} et β_{n} : G_{n} ⟶ G_{n−1} sont les applications de transition de nos systèmes projectifs,

\underline{Hom}(F, G)_{n} = \{(f_{k})_{k≤n} | f_{k} ∈ Hom(F_{k}, G_{k}), f_{k−1} ∘ α_{k} = β_{k} ∘ f_{k}\}.

Il induit

R\underline{Hom}(−, −) : 𝔻^{b}(X̃_{ét}^{ℕ}, O_{λ•}) × 𝔻^{b}(X̃_{ét}^{ℕ}, O_{λ•}) ⟶ 𝔻^{+}(O_{λ•})

Si l’on note

RHom(−, −) : 𝔻^{b}(X̃_{ét}^{ℕ}, O_{λ•}) × 𝔻^{b}(X̃_{ét}^{ℕ}, O_{λ•}) ⟶ 𝔻^{b}(O_{λ})

le bifoncteur dérivé usuel de Hom(−, −) dans la catégorie abélienne O_{λ}-linéaire X̃_{ét}^{ℕ} − O_{λ•} alors

RHom(−, −) = Rπ_{∗}R\underline{Hom}(−, −).

Soient maintenant F, G dans 𝔻^{b}(X^{ℕ}, O_{λ•})_{norm}. Le morphisme canonique

i_{n}^{∗}R\underline{Hom}(F, G) ⟶ RHom(i_{n}^{∗}F, i_{n}^{∗}G)

est un isomorphisme. En effet, Rπ_{∗}F peut être représenté par un complexe de faisceaux borné de O_{λ}-modules plats, de plus 𝕃π^{∗}Rπ_{∗}F ⟶^{∼} F. Or si H est un faisceau de O_{λ}-modules et (K_{n})_{n} est dans X̃_{ét}^{ℕ} − O_{λ•} alors

\underline{Hom}((H/ϖ_{λ}^{k})_{k}, (K_{k})_{k})_{n} = Hom(H_{n}, K_{n}).

De tout cela on déduit l’existence d’une suite spectrale pour F et G dans 𝔻^{b}(X^{ℕ}, O_{λ•})

E_{2}^{pq} = R^{p} lim_{⟵} (Ext^{q}(i_{n}^{∗}F, i_{n}^{∗}G))_{n} ⟹ Ext^{p+q}(F, G).

Supposons maintenant que F et G soient dans 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ}). Alors, pour tout q et n, le O_{λ}-module Ext^{q}(i_{n}^{∗}F, i_{n}^{∗}G) est de longueur finie. Donc,

R^{1} lim_{⟵} (Ext^{q}(i_{n}^{∗}F, i_{n}^{∗}G))_{n} = 0

On en déduit que

lim_{⟵}_{n} Hom(i_{n}^{∗}F, i_{n}^{∗}G) = Hom(F, G)

d’où la pleine fidélité.

5.10. La t-structure perverse sur 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ}). —

Définition 5.28. — Soit D = 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ}). Posons

pD^{≤0} = \{ F ∈ D | ∀x ∈ X, ∀i > − dim \overline{\{x\}}, H^{i}(i_{x}^{∗}F) est ess. nul \}
pD^{≥0} = \{ F ∈ D | ∀x ∈ X, ∀i < − dim \overline{\{x\}}, H^{i}(Ri_{x}^{!}F) est ess. nul \}.

Théorème 5.29. — Supposons X noethérien et que 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ}/ϖ_{λ}) possède un module dualisant. Alors (^{p}D^{≤0}, ^{p}D^{≥0}) est une t-structure sur D. Son coeur noté Perv(X, O_{λ}) est une catégorie abélienne O_{λ}-linéaire noethérienne.

De plus, si D_{2} = 𝔻_{c}^{b}(X^{ℕ}, O_{λ•})_{norm}, dans l’équivalence F ↦ F̂ entre D et D_{2} la t-structure précédente correspond à

pD_{2}^{≤0} = \{ F ∈ D_{2} | ∀x ∈ X, ∀i > − dim \overline{\{x\}}, H^{i}(i_{x}^{∗}F) = 0 \}

pD_{2}^{≥0} = \{ F ∈ D_{2} | ∀x ∈ X, ∀i < − dim \overline{\{x\}}−1, H^{i}(Ri_{x}^{!}F) = 0 et H^{− dim \overline{\{x\}}−1}(Ri_{x}^{!}F) est ess. nul \}.

Démonstration. Montrons que (^{p}D^{≤0}, ^{p}D^{≥0}) est une t-structure par récurrence noethérienne. Supposons donc que pour tout sous-schéma fermé F ⊊ X la définition donnée définisse une tstructure sur 𝔻_{c}^{b}(F, O_{λ}) (noter qu’un tel schéma F vérifie bien les hypothèses de l’énoncé puisque si i : F ↪ X et K_{X} est dualisant sur X alors Ri^{!}K_{X} est dualisant sur F). Tout F ∈ D vérifie qu’il existe un ouvert dense U dans X tel que ∀i H^{i}(F)_{|U} soit un système local λ-adique modulo les systèmes essentiellement nuls ([12] proposition 1.2.6). Soit K_{X} ∈ 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ}/ϖ_{λ}) un module dualisant. Il existe un ouvert dense V dans X et un entier δ ∈ ℤ tels que K_{X|V} ≃ L[δ] où L est un O_{λ}/ϖ_{λ}-module localement libre de rang 1. Pour un ouvert U irréductible dans X tel que le module dualisant K_{X|U} soit de la forme précédente on vérifie facilement que si D′_{U} est la sous-catégorie de 𝔻_{c}^{b}(U, O_{λ}) définie par F ∈ D′_{U} si et seulement si ∀i H^{i}(F) est essentiellement un système local λ-adique alors la t-structure définie dans l’énoncé définit une t-structure sur D′_{U}. On utilise pour cela le fait que sur U le module O_{λ}/ϖ_{λ} ∈ 𝔻_{c}^{b}(U, O_{λ}/ϖ_{λ}) est dualisant et que donc grâce à la formule (cf. le chapitre 4 de [5])

O_{λ}/ϖ_{λ} ⊗^{𝕃}_{O_{λ}} R\underline{Hom}_{O_{λ}}(F, G) ≃ R\underline{Hom}_{O_{λ}/ϖ_{λ}}(O_{λ}/ϖ_{λ} ⊗^{𝕃}_{ℤ_{ℓ}} F, O_{λ}/ϖ_{λ} ⊗^{𝕃}_{ℤ_{ℓ}} G)

O_{λ•} ∈ 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ}) est dualisant en un sens évident et échange les foncteurs i_{x}^{∗} et Ri_{x}^{!}. Sur D′_{U} les opérateurs de troncature pervers sont alors les opérateurs de troncature usuels décalés par la dimension de U). Pour un ouvert U comme précédemment notons D̃(U) la sous-catégorie triangulée de D formée des F ∈ D tels que ∀i H^{i}(F)_{|U} soit essentiellement un système local λ-adique. Si j : U ↪ X et i : X \ U ↪ X alors, l’existence du module dualisant implique que les foncteurs Ri^{!} et Rj_{∗} respectent les catégories 𝔻_{c}^{b} pour les coefficients de torsion et donc pour les coefficients λ-adiques. Alors, la définition donnée dans l’énoncé induit une t-structure sur D̃(U) par recollement (cf. [1]) de la t-structure sur D′_{U} et celle sur 𝔻_{c}^{b}(X \ U, O_{λ}) obtenue par hypothèse de récurrence. Étant donné que “D = ⋃_{U} D̃(U)” on en déduit facilement que l’on a bien une t-structure sur D.

La description de la t-structure sur 𝔻_{c}^{b}(X^{ℕ}, O_{λ•})_{norm} résulte de ce que ∀F ∈ 𝔻^{b}(X, O_{λ})

∀x ∈ X i_{x}^{∗}(F̂) = î_{x}^{∗}F, Ri_{x}^{!}(F̂) = { \atop Ri_{x}^{!}F} et du lemme 5.20.

La noethérianité de la catégorie Perv(X, O_{λ}) se démontre comme pour le théorème 8.3 de [8] en utilisant la noethérianité de la catégorie des faisceaux λ-adiques constructibles.

5.11. La t-structure perverse sur 𝔻^{b}(X^{ℕ}, O_{λ•}). — Définissons maintenant une t-structure “naïve” sur 𝔻^{b}(X^{ℕ}, O_{λ•}).

Théorème 5.30. — Soit X un schéma noethérien de dimension finie. Soit D = 𝔻^{b}(X^{ℕ}, O_{λ•}). Posons

p𝔻^{≤0} = \{ F ∈ 𝔻^{b}(X^{ℕ}, O_{λ•}) | ∀x ∈ X, ∀i > − dim \overline{\{x\}}, H^{i}(i_{x}^{∗}F) = 0 \}
p𝔻^{≥0} = \{ F ∈ 𝔻^{b}(X^{ℕ}, O_{λ•}) | ∀x ∈ X, ∀i < − dim \overline{\{x\}}, H^{i}(Ri_{x}^{!}F) = 0 \}.

Alors, (^{p}𝔻^{≤0}, ^{p}𝔻^{≥0}) forme une t-structure sur D.

Démonstration. Les méthodes de l’article [8] s’adaptent aussitôt.

Définition 5.31. — On note Perv(X^{ℕ}, O_{λ•}) le coeur de la t-structure précédente. C’est une catégorie abélienne O_{λ}-linéaire.

5.12. Lien entre les deux t-structures. — Dans cette section le schéma X satisfait aux hypothèses du théorème 5.29.

Proposition 5.32. — Soit F ∈ Perv(X, O_{λ}) sans ϖ_{λ}-torsion. Alors F̂ ∈ Perv(X^{ℕ}, O_{λ•}).

Démonstration. D’après la description de la t-structure sur les faisceaux normalisés donnée dans le théorème 5.29 F̂ ∈ ^{p} (𝔻^{b}(X^{ℕ}, O_{λ•}))^{≤0}. Soit G un cône de l’application F̂ ⟶^{×ϖ_{λ}} F̂. Par hypothèse

G ∈ Perv(X, O_{λ}) ∩ 𝔻^{b}(X^{ℕ}, O_{λ})_{norm}.

Soit x ∈ X et i < − dim \overline{\{x\}}. Si i < − dim \overline{\{x\}} − 1 d’après le théorème 5.29 H^{i}(Ri_{x}^{!}F̂) = 0. Il y a de plus une suite exacte

\underbrace{H^{− dim \overline{\{x\}}−2}(Ri_{x}^{!}G)}_{0} ⟶ H^{− dim \overline{\{x\}}−1}(Ri_{x}^{!}F) ⟶^{×ϖ_{λ}} H^{− dim \overline{\{x\}}−1}(Ri_{x}^{!}F)

et donc la multiplication par ϖ_{λ} sur le O_{λ•}-module H^{− dim \overline{\{x\}}−1}(Ri_{x}^{!}F) est injective, module qui est donc nul.

Corollaire 5.33. — Le foncteur F ↦ F̂ de 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ}) ⊗ L_{λ} dans 𝔻^{b}(X^{ℕ}, O_{λ•}) ⊗ L_{λ} est t-exact et induit donc un foncteur exact Perv(X, O_{λ}) ⊗ L_{λ} ⟶ Perv(X^{ℕ}, O_{λ•}) ⊗ L_{λ}.

Démonstration. Si F ∈ Perv(X, O_{λ}), F étant un objet noethérien il existe un entier N ∈ ℕ tel que F/F[ϖ_{λ}^{N}] soit sans ϖ_{λ}-torsion. L’existence du foncteur exacte entre Perv(X, O_{λ}) ⊗ L_{λ} et Perv(X^{ℕ}, O_{λ•}) ⊗ L_{λ} en résulte. La première assertion sur la t-exactitude s’en déduit par dévissage en “découpant un objet en faisceaux pervers décalés par troncatures succesives”.

5.13. Catégories dérivées filtrées λ-adiques. —

Définition 5.34. — On note 𝔻F (X^{ℕ}, O_{λ•}) la catégorie dérivée filtrée des complexes de O_{λ•}- modules sur X_{ét}^{ℕ} = (⋯ → X_{ét} → ⋯ → X_{ét}) où les filtrations sont prises décroissantes finies (et non pas finies degré par degré). On note 𝔻^{e+}F (X^{ℕ}, O_{λ•}) la sous-catégorie formée des complexes filtrés C tels que pour i ≪ 0, ∀j, H^{i}(Gr^{j}C) soit essentiellement nul.

Il y a un couple de foncteurs

\xymatrix{𝔻^{e+}F (X^{ℕ}, O_{λ•}) \ar[r]^{Rπ_{∗}} & 𝔻^{+}F (X, O_{λ})_{litt} \ar[l]^{𝕃π^{∗}}} .

Tout objet de 𝔻^{+}F (X^{ℕ}, O_{λ•}) est isomorphe à un complexe Fil^{•}(I_{n}^{•})_{n} où ∀i, j, Gr^{i}(I_{n}^{j}) est un faisceau injectif et ∀n Gr^{i}(I_{n+1}^{j}) → Gr^{i}(I_{n}^{j}) est un épimorphisme qui possède une section. Pour un tel complexe Rπ_{∗}(Fil^{•}I_{•}^{•}) = lim_{⟵}_{n} Fil^{•}I_{n}^{•}. On définit alors Rπ_{∗} sur 𝔻^{e+}(X^{ℕ}, O_{λ•}) par une

procédure analogue à celle de [5] en utilisant le pro-système τ(−). Quant au foncteur 𝕃π^{∗} il se calcule naturellement sur les complexes filtrés Fil^{•}C^{•} tels que ∀i, j, Gr^{i}C^{j} soit O_{λ}-plat ( ce qui est possible puisque O_{λ•} est un π^{−1}(O_{λ})-module de Tordimension finie).

Définition 5.35. — Un complexe filtré C ∈ 𝔻^{e+}F (X^{ℕ}, Ab) est essentiellement nul si ∀j, Gr^{j}C l’est. Il est essentiellement constant s’il est isomorphe dans la catégorie des complexes filtrés sur X_{ét}^{ℕ} localisée par les flèches de cône essentiellement nul à un objet de la forme π^{−1}D où D est un complexe filtré de groupes abéliens sur X_{ét}.

Définition 5.36. — – Un O_{λ}-complexe filtré est un C ∈ 𝔻^{e+}F (X^{ℕ}, O_{λ•}) tel que le complexe

filtré π^{∗}(O_{λ}/ϖ_{λ}) ⊗^{𝕃}_{O_{λ}•} C soit essentiellement constant.

– Un complexe filtré normalisé est un C tel que le morphisme τ(𝕃π^{∗}Rπ_{∗}C) → τ(C) soit un isomorphisme de pro-objets dans 𝔻^{+}F (X^{ℕ}, O_{λ•}).

– Le complexe filtré C est négligeable si π^{∗}(O_{λ}/ϖ_{λ}) ⊗^{𝕃}_{O_{λ}•} C est essentiellement nul.

– Un morphisme est essentiellement un isomorphisme si son cône est négligeable.

– Un morphisme de O_{λ}-complexe est un morphisme entre pro-systèmes τ(−) associés dans 𝔻^{e+}F (X^{ℕ}, O_{λ•}).

Définition 5.37. — On note 𝔻^{+}F (X, O_{λ}) le localisé de la catégorie des O_{λ}-complexes vis à vis des morphismes qui sont essentiellement des isomorphismes.

Comme dans [5], la sous-catégorie des complexes normalisés dans 𝔻^{+}F (X^{ℕ}, O_{λ}) s’identifie à 𝔻^{+}F (X, O_{λ}). Cette catégorie est munie de foncteurs

∀j, Gr^{j} : 𝔻^{+}F (X, O_{λ}) ⟶ 𝔻^{+}(X, O_{λ}).

Proposition 5.38. — Reprenons les hypothèses du théorème 5.29. Il y a une équivalence de catégories entre la catégorie des objets de Perv(X, O_{λ}) munis d’une filtration finie et celle des objets C de 𝔻^{+}F (X, O_{λ}) tels que ∀i, Gr^{i}C ∈ Perv(X, O_{λ}).

Démonstration. La démonstration de la proposition 3.1 s’adapte. Pour la pleine fidélité il suffit essentiellement de connaître l’existence d’une suite spectrale

∀A, B ∈ 𝔻^{+}F (X, O_{λ}), E_{1}^{pq} ⟹ Hom_{𝔻^{+}F (X,O_{λ})}(A, B[p + q])

où

E_{1}^{pq} = \{{∏_{j−i=p} Hom_{𝔻^{+}(X,O_{λ})}(Gr^{i}A, Gr^{j}B[p + q]) si p ≥ 0 \atop 0 si p < 0.}

Mais si l’on note ∀C ∈ 𝔻^{+}F (X, O_{λ}), Ĉ = 𝕃π^{∗}Rπ_{∗}C ∈ 𝔻^{+}(X^{ℕ}, O_{λ•}) alors

Hom_{𝔻^{+}F (X,O_{λ})}(A, B) = Hom_{𝔻^{+}F (X^{ℕ},O_{λ•})}(Â, B̂).

L’existence de la suite spectrale se déduit alors de celle d’Illusie pour la catégorie dérivée filtrée 𝔻^{+}F (X^{ℕ}, O_{λ•}) une fois vérifié que

∀C ∈ 𝔻^{+}F (X, O_{λ}), Gr^{i}Ĉ = { \atop Gr^{i}C}.

La surjectivité essentielle se démontre exactement de la même façon que dans la proposition 3.1.

On vérifie maintenant aussitôt le lemme suivant :

Lemme 5.39. — Soit A une catégorie abélienne O_{λ}-linéaire et F A la catégorie formée des objets de A munis d’une filtration de longueur finie. Le foncteur

(F A) ⊗_{O_{λ}} L_{λ} ⟶ F (A ⊗_{O_{λ}} L_{λ})

induit une équivalence de catégories.

Définition 5.40. — Pour A une catégorie abélienne O_{λ}-linéaire on note indifféremment F A⊗L_{λ} l’une des deux catégories définies dans le lemme précédent et identifiées grâce à celui-ci.

La vérification du lemme qui suit est également immédiate.

Lemme 5.41. — Soit X un schéma noethérien de dimension finie tel que 𝔻_{c}^{b}(X, O_{λ}/ϖ_{λ}) possède un module dualisant. Le diagramme suivant est commutatif

\xymatrix{F Perv(X, O_{λ}) ⊗ L_{λ} \ar[r]^{α} \ar[d]^{γ} & F Perv(X^{ℕ}, O_{λ•}) ⊗ L_{λ} \ar[d]^{δ} \\ 𝔻_{c}^{b}F (X, O_{λ}) ⊗ L_{λ} \ar[r]^{β} & 𝔻^{b}F (X^{ℕ}, O_{λ•}) ⊗ L_{λ}}

où α est le foncteur définit grâce au corollaire 5.33, β est le foncteur de normalisation F ↦ F̂, γ est définit via la proposition 5.38 et δ grâce à la proposition 3.1.

6. Le théorème clef

Théorème 6.1. — Soit X_{0} un k-schéma de type fini et x ∈ X_{0} (un point non nécessairement fermé). Soit

f : Spec(Ô_{X_{0},x}) ⟶ Spec(O_{X_{0},x}).

Alors, si Λ est de torsion première à p

f^{∗} : 𝔻_{c}^{b}(Spec(O_{X_{0},x})_{ét}, Λ) ⟶ 𝔻^{+}(Spec(Ô_{X_{0},x})_{ét}, Λ).

et

f^{∗} : 𝔻^{b}(Spec(O_{X_{0},x})_{ét}^{ℕ}, O_{λ•}) ⟶ 𝔻^{+}(Spec(Ô_{X_{0},x})_{ét}^{ℕ}, O_{λ•})

sont t-exacts, où dans le second cas la t-structure est celle définie dans le théorème 5.30.

Démonstration. Il est clair que le cas de torsion implique le second cas puisqu’il suffit de le vérifier étage par étage. Nous nous y restreignons donc. Notons

A = O_{X_{0},x}, Y = Spec(Â), Z = Spec(A).

On vérifie facilement que

∀y ∈ Y dim \overline{\{f(y)\}} ≥ dim \overline{\{y\}}

et que donc f^{∗} est t-exact à droite :

f^{∗} (^{p}𝔻^{≤0}) ⊂ ^{p}𝔻^{≤0}.

La t-exactitude à gauche de f^{∗} repose sur le théorème de désingularisation de Popescu ([14]). D’après celui-ci, l’anneau A étant excellent, il existe un système inductif filtrant (B_{i})_{i∈I} de Aalgèbres lisses et un isomorphisme de A-algèbres

Â ≃ lim_{⟶}_{i∈I} B_{i}.

Quitte à localiser les B_{i} on peut supposer que ∀i B_{i} est un anneau local, les morphismes

A ⟶ B_{i} ⟶ Â

sont locaux et B_{i} est une A-algèbre essentiellement lisse. Notons W_{i} = Spec(B_{i}) et

\xymatrix{Y \ar[rr]^{f} \ar[dr]^{h_{i}} &  & Z \\  & W_{i} \ar[ur]^{g_{i}}}

Notons d_{i} la dimension relative de g_{i}. Soit donc

F ∈ 𝔻_{c}^{b}(Z, Λ) ∩ ^{p}𝔻^{≥0}.

Il existe un morphisme lisse de k-schémas de type fini de dimension relative d_{i}

W̃_{i} \underrightarrow{g̃_{i}} Z̃

des points a ∈ W̃_{i} et b ∈ Z̃ tels que g̃_{i}(a) = b, un complexe de faisceaux F̃ ∈ 𝔻_{c}^{b}(Z̃, Λ)∩^{p}𝔻^{≥− dim \overline{\{x\}}} et un diagramme commutatif

\xymatrix{W_{i} \ar[r]^{g_{i}} \ar[d]^{α}_{≃} & Z \ar[d]^{β}_{≃} \\ Spec(O_{W̃_{i},a}) \ar[r] \ar[d]^{γ} & Spec(O_{Z̃,b}) \ar[d]^{δ} \\ W̃_{i} \ar[r]^{g̃_{i}} & Z̃}

tel que

(δβ)^{∗}F̃ = F.

Le décalage dim \overline{\{x\}} = dim \overline{\{b\}} provient de ce que pour U un schéma de type fini sur k et u ∈ U si φ : Spec(O_{U,u}) → U alors φ^{∗}[dim \overline{\{u\}}] est t-exact. D’après [1] pages 108-109, g̃_{i} étant lisse g_{i}^{∗}[d_{i}] est t-exact et donc

g_{i}^{∗}F̃[d_{i}] ∈ ^{p}𝔻^{≥− dim \overline{\{x\}}}.

Étant donné que l’extension de corps résiduel induite par le morphisme d’anneaux locaux A → B_{i} est triviale, dim \overline{\{x\}} = dim \overline{\{a\}}. On en déduit que

∀i, g_{i}^{∗}F[d_{i}] = α^{∗}γ^{∗}g_{i}^{∗}F̃[d_{i}] ∈ ^{p}𝔻^{≥0}.

Soit maintenant 𝔮 ∈ Y. Il existe un i_{0} ∈ I tel que

∀i ≥ i_{0} si 𝔭_{i} = h_{i}(𝔮) alors 𝔭_{i}.Â = 𝔮.

On vérifie alors que si

i_{𝔮} : Spec(k(𝔮)) ⟶ Y
μ_{i} : Spec(k(𝔮)) ⟶ Spec(k(𝔭_{i}))
i_{𝔭_{i}} : Spec(k(𝔭_{i})) ⟶ W_{i}

alors

Ri_{𝔮}^{!} (f^{∗}F) = lim_{⟶}_{i≥i_{0}} μ_{i}^{∗}Ri_{𝔭_{i}}^{!} (g_{i}^{∗}F) .

Étant donné que g_{i}^{∗}F ∈ ^{p}𝔻^{≥−d_{i}} on en déduit que

H^{k} (Ri_{𝔮}^{!}(f^{∗}F)) = 0 si ∀i ≥ i_{0}, k < − dim \overline{\{𝔭_{i}\}} + d_{i}.

Le théorème résulte donc de l’inégalité suivante

∀i ≥ i_{0}, dim \overline{\{𝔭_{i}\}} ≤ dim \overline{\{𝔮\}} + d_{i}.

Celle-ci se démontre de la façon suivante : étant donné que l’extension de corps résiduels induite par le morphisme local essentiellement lisse A → B_{i} est triviale, il y a un diagramme commutatif de A-algèbres

[figure: B_{i}; Â; B̂_{i}; ≃; Â[[T_{1}, …, T_{d_{i}}]]; ψ]

où ψ est continu, ψ(T_{i}) appartenant à l’idéal maximal de Â. De plus c’est un morphisme de Â-algèbres. Dès lors, si I = 𝔭_{i}B̂_{i} ⊂ Â[[T_{1}, …, T_{d_{i}}]], si ∀k, ψ(T_{k}) = t_{k}, alors

ker ψ = (T_{1} − t_{1}, …, T_{d_{i}} − t_{d_{i}})

ce qui implique que

Â/𝔮 = Â/ψ(I)Â ≃ Â[[T_{1}, …, T_{d_{i}}]]/ (I + (T_{1} − t_{1}, …, T_{d_{i}} − t_{d_{i}}))

et donc

dim Â/𝔮 ≥ dim \underbrace{Â[[T_{1}, …, T_{d_{i}}]]/I}_{≃B̂_{i}/I≃{ \atop (B_{i}/𝔭_{i})}} −d_{i} = dim B_{i}/𝔭_{i} − d_{i}.

La première inégalité résultant de ce que

ht_{Â[[T_{1},...,T_{d_{i}}]]/I} (I + (T_{1} − t_{1}, …, T_{d_{i}} − t_{d_{i}})/I) ≤ d_{i}

et qu’étant donné que B_{i} est excellent B̂_{i}/I = { \atop B_{i}/𝔭_{i}} est équidimensionnel (EGA IV Scholie 7.8.3. (x)).

7. Démonstration du théorème principal

7.1. Hypothèses et notations. — Soit A une O-algèbre plate locale et complète. On suppose que le corps résiduel de O est séparablement clos i.e. s = \overline{s} (on vérifie aisément que l’on peut se ramener à ce cas là pour nos besoins). Soit

F ∈ 𝔻^{b}(Spec(A[\frac{1}{π}])_{ét}^{ℕ}, O_{λ•}) ⊗ L_{λ}.

On suppose qu’il existe un O-schéma de type fini X, un point fermé x ∈ X_{s} tel que A ≃ Ô_{X,x} et un faisceau pervers G ∈ Perv(X_{η}, O_{λ}) ⊗ L_{λ} tel que via le foncteur G ↦ Ĝ ∈ Perv(X_{η}^{ℕ}, O_{λ•}) ⊗ L_{λ} du corollaire 5.33 et un isomorphisme A ≃ Ô_{X,x} on ait

Ĝ_{|Spec(A[ \frac{1}{π}])} ≃ F.

On note encore F pour l’extension de F à Spec(A)η̄. Considérons le diagramme

\xymatrix{Spec(A)η̄ \ar@{^{(}->}[r]^{j} & Spec(A ⊗_{O} \overline{O}) & Spec(A)_{s} \ar@{^{(}->}[l]_{i}}

où Spec(A)_{s} = Spec(A/πA).

7.2. Perversité des cycles évanescents formels et quasi-unipotence de la monodromie. —

Théorème 7.1. — Soit F ∈ 𝔻^{b}(Spec(A[\frac{1}{π}])_{ét}^{ℕ}, O_{λ•})⊗L_{λ}. On suppose qu’il existe un O-schéma de type fini X, un point fermé x ∈ X_{s} tel que A ≃ Ô_{X,x} et un faisceau pervers G ∈ Perv(X_{η}, O_{λ})⊗L_{λ} tels que via le foncteur G ↦ Ĝ ∈ Perv(X_{η}^{ℕ}, O_{λ•}) ⊗ L_{λ} du corollaire 5.33 et un isomorphisme A ≃ Ô_{X,x} on ait

Ĝ_{|Spec(A[ \frac{1}{π}])} ≃ F.

Soit

RΨ_{η}(F) = i^{∗}Rj_{∗}F ∈ 𝔻^{+}(Spec(A)_{s}^{ℕ}, O_{λ•}) ⊗ L_{λ}.

Alors,

RΨ_{η}(F) ∈ Perv (Spec(A)_{s}^{ℕ}, O_{λ•}) ⊗ L_{λ}.

De plus, pour tout T ∈ I_{η̄/η} l’action de T sur RΨ_{η}(F) est quasi-unipotente : pour N suffisamment divisible et k ≫ 0

(T^{N} − Id)^{k} = 0 ∈ End (RΨ_{η}(F)) .

Démonstration. Fixons un quadruplet (X, x, G, f) où

f : Spec(A) ⟶ X

se factorise par Spec(O_{X,x}) ⟶ X et induit un isomorphisme

Spec(A) ⟶^{∼} Spec(Ô_{X,x}).

D’après le théorème de changement de base régulier de Fujiwara (corollaire 7.1.6 de [6] où il est énoncé dans le cas de torsion mais le cas utilisé ici s’en déduit aussitôt puisqu’il suffit de le vérifier étage par étage dans le topos X̃_{ét}^{ℕ}) il y a un isomorphisme

f̄^{∗}RΨ_{η}(Ĝ) ≃ RΨ_{η}(F)

où f̄ : Spec(A ⊗ Ō) ⟶ X ⊗ \overline{O}. Le résultat se déduit alors du cas algébrique connu pour X (i.e. RΨ_{η}(F) est de longueur finie, End(RΨ_{η}(F)) est un L_{λ}-e.v. de dimension finie et l’action de l’inertie I_{η̄|η} dessus est continue) puisque

RΨ_{η}(Ĝ) = { \atop RΨ_{η}(G)}

et du théorème 6.1.

7.3. Énoncé et démonstration du théorème principal. — Rappelons maintenant le lemme suivant :

Lemme 7.2. — Soit A une catégorie abélienne L_{λ}-linéaire et A ∈ A. Soit N ∈ End(A) un endomorphisme nilpotent. Il existe alors une unique filtration croissante finie Fil_{•}A sur A telle que ∀i, NFil_{i}A ⊂ Fil_{i−2}A et N induise un isomorphisme N^{i} : Gr_{i}A ⟶^{∼} Gr_{−i}A. De plus, si F : A ⟶ B est un foncteur exacte entre catégories abéliennes alors l’objet filtré associé à (F (A), F (N)) est F (Fil_{•}A).

Définition 7.3. — Soit T ∈ I_{η̄|η} s’envoyant sur un générateur de la composante ℤ_{ℓ}(1) dans l’inertie modérée. Soit N = log T ∈ End(RΨ_{η}(F)) . Soit Fil_{•}RΨ_{η}(F) l’objet filtré associé par le lemme précédent. Nous noterons K(F) ∈ 𝔻^{b}F (Spec(A)_{s}^{ℕ}, O_{λ•}) ⊗ L_{λ} l’objet associé par la proposition 3.1 à (Fil_{−i}RΨ_{η}(F))_{i∈ℤ}.

Proposition 7.4. — Soit (X, x, G, f) comme dans la démonstration du théorème 7.1. Considérons le complexe filtré K(G) ∈ 𝔻_{c}^{b}F (X, O_{λ})⊗L_{λ} associé à RΨ_{η}(G) muni de sa filtration de monodromie par le lemme précédent et la proposition 5.38. Il y a un isomorphisme canonique

f^{∗}{ \atop K(G)} ≃ K(F).

Démonstration. La démonstration résulte du théorème 6.1 couplé à l’isomorphisme de Fujiwara comme dans la démonstration du théorème 7.1 ainsi que du lemme 5.41. Il faut par exemple vérifier que le théorème 6.1 implique la commutativité du diagramme suivant

\xymatrix{F Perv(X^{ℕ}, O_{λ•}) ⊗ L_{λ} \ar[r]^{f^{∗}} \ar[d] & F Perv(Spec(A)^{ℕ}, O_{λ•}) ⊗ L_{λ} \ar[d] \\ 𝔻^{b}F (X^{ℕ}, O_{λ•}) ⊗ L_{λ} \ar[r]^{f^{∗}} & 𝔻^{b}F (Spec(A)^{ℕ}, O_{λ•}) ⊗ L_{λ}}

ce qui est immédiat.

Lemme 7.5. — Dans le cas d’un point, il y a des équivalences de catégories

𝔻_{c}^{b}F (s, O_{λ}) ⊗ L_{λ} ⟶^{∼} 𝔻_{c}^{b}F (O_{λ}) ⊗ L_{λ} ⟶^{∼} 𝔻_{c}^{b}F (L_{λ})

où 𝔻_{c}^{b}F (O_{λ}) est la catégorie dérivée filtrée bornée des O_{λ}-module de type fini, 𝔻_{c}^{b}F (L_{λ}) celle des L_{λ}-e.v. de dimension finie. La première équivalence est donnée par Rπ_{∗} et un inverse par 𝕃π^{∗}.

Démonstration. Elle ne pose pas de problèmes particuliers

Désormais nous identifierons les trois catégories intervenant dans le lemme précédent.

Proposition 7.6. — Soit κ : s ⟶ Spec(A) le point fermé. À isomorphisme canonique près il existe un unique complexe L(F) ∈ 𝔻_{c}^{b}F (L_{λ}) tel que via le foncteur de normalisation 𝔻_{c}^{b}F (s, O_{λ}) ⊗ L_{λ} ⟶ 𝔻^{b}F (s^{ℕ}, O_{λ•}) ⊗ L_{λ}

L(F) ⟼ κ^{∗}K(F).

Démonstration. L’existence résulte de la proposition 7.4 et l’unicité de la pleine fidélité du foncteur de normalisation.

Venons en au théorème principal.

Théorème 7.7. — Pour tout quadruplet (X, x, G, f) il y a un isomorphisme canonique induit par f

K(G)_{x} ⟶^{∼} L(F).

Démonstration. Il s’agit de spécialiser la proposition 7.4 au point fermé de Spec(A).

La proposition suivante sera utilisée par Pascal Boyer dans son travail.

Proposition 7.8. — Soit B = A[[X_{1}, …, X_{n}]] et h : Spec(B) ⟶ Spec(A) la projection. Alors,

K(h^{∗}F[n]) = h^{∗}K(F)[n]
L(F) = L(h^{∗}F[n])[−n].

Démonstration. Nous laissons les détails de la démonstration au lecteur. Il s’agit d’utiliser le théorème d’acyclicité local des morphismes lisses couplé à la proposition 7.4 et à la t-exactitude de h^{∗} (t-exactitude qui se déduit du théorème de Popescu (dans ce cas là c’est un théorème de M.Artin) comme dans la démonstration du théorème 6.1).

Références

[1] A. A. Beĭlinson, J. Bernstein & P. Deligne – Faisceaux pervers , in Analysis and topology on singular spaces, I (Luminy, 1981), Astérisque, vol. 100, Soc. Math. France, Paris, 1982, p. 5–171.

[2] V. G. Berkovich – Vanishing cycles for formal schemes. II , Invent. Math. 125 (1996), no. 2, p. 367–390.

[3] P. Boyer – Monodromie du faisceau pervers des cycles évanescents de quelques variétés de Shimura simples et applications , Prépublication.

[4] P. Deligne – La conjecture de Weil. II , Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1980), no. 52, p. 137–252.

[5] T. Ekedahl – On the adic formalism , in The Grothendieck Festschrift, Vol. II, Progr. Math., vol. 87, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990, p. 197–218.

[6] K. Fujiwara – Theory of tubular neighborhood in étale topology , Duke Math. J. 80 (1995), no. 1, p. 15–57.

[7] , A proof of the absolute purity conjecture (after Gabber) , in Algebraic geometry 2000, Azumino (Hotaka), Adv. Stud. Pure Math., vol. 36, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2002, p. 153–183.

[8] O. Gabber – Notes on some t-structures , in Geometric aspects of Dwork theory. Vol. I, II, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2004, p. 711–734.

[9] R. Huber – A finiteness result for direct image sheaves on the étale site of rigid analytic varieties , J. Algebraic Geom. 7 (1998), no. 2, p. 359–403.

[10] L. Illusie – Complexe cotangent et déformations. I, Springer-Verlag, Berlin, 1971, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 239.

[11] , Complexe cotangent et déformations. II, Springer-Verlag, Berlin, 1972, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 283.

[12] J.-P. Jouanolou – Cohomologie ℓ-adique , in SGA V.

[13] D. Popescu – General Néron desingularization and approximation , Nagoya Math. J. 104 (1986), p. 85–115.

[14] M. Spivakovsky – A new proof of D. Popescu’s theorem on smoothing of ring homomorphisms , J. Amer. Math. Soc. 12 (1999), no. 2, p. 381–444.

Laurent Fargues, CNRS-université Paris-Sud-IHES • E-mail : laurent.fargues@math.u-psud.fr