LM270 - Algèbre et géométrie

Laurent KOELBLEN et Patrick POLO

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Cours :
Ci-dessous : avancement du cours de l'amphi B. (La numérotation est celle du cours polycopié.)
Pour l'avancement du cours de l'amphi A, consultez la page de Patrick Polo

Mise à jour :
jeudi 7 février 2013, 21:58

Lundi 21 janvier 2013

Chapitre 0 : espaces vectoriels et applications linéaires

• 0.2.3 0.2.5 définition : famille génératrices, familles libres, familles liées et bases d'un espace vectoriel
• 0.3.1 définition : rang d'une application linéaire
• 0.3.2 théorème du rang
• 0.4.3 définition : matrice d'une application linéaire
• 0.4.9 définition : noyau, image et rang d'une matrice
• 0.5.5 définition : matrice de passage
• 0.5.5 formule de changement de coordonnées

Chapitre 1 : dual, opérations sur les colonnes et sur les lignes, déterminant, vecteurs et valeurs propres

• 1.1.1 définition : espace dual V^* = L(V,k)
• 1.1.2 théorème : base duale
• 1.1.3 matrices colonnes (vecteurs de V) et lignes (formes linéaires, éléments de V^*)
• 1.1.4 proposition : matrice de passage pour les bases duales
  

Jeudi 24 janvier 2013

• 1.1.4 (suite) base « préduale »
• opérations sur les lignes d'une matrice :
  
• exemple : réduction d'un système d'équations linéaires
  
• 1.2.5 définition : opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice
  
• 1.2.4 réduction des lignes d'una matrices,matrices échelonnées
  
• détermination d'équations de Ker A et de Im A et du rang de A par réduction des lignes

Lundi 28 janvier 2013

• opérations sur les lignes d'une matrice (suite) :
  
• 1.2.7.1 corollaire : A et ^tA sont de même rang
• opération sur les colonnes d'une matrice :
  
• 1.2.2 définition : opérations élémentaires sur les colonnes
• 1.2.1 réduction des colonnes d'une matrice
  
• détermination de bases de Ker A et de Im A et du rang de A par réduction des colonnes
• exemple
• 1.2.8 calcul de l'inverse d'une matrice carrée par réduction des lignes ou des colonnes

Partie du chapitre 4 : groupe des permutations (ou groupe symétrique)

• transpositions et cycles,
• décomposition d'une permutation en produit de cycles de supports 2 à 2 disjoints et en produit de transpositions
• paires inversées par une permutation, nombre d'inversions et signature d'une permutation
  
• permutations paires, impaires, groupe alterné
• calcul pratique de la signature d'une permutation via sa décomposition en produit de cycle de support disjoint

Jeudi 31 janvier 2013

• démonstration de l'existence de la signature d'une permutation
  

Retour au chapitre 1

• 1.4.1 déterminant d'une matrice à coefficient dans un anneau commutatif
• unicité :
  
• déterminant d'une matrice de permutation (à partir de l'anti-symétrie sur les colonnes)
• formule explicite (à partir de la multilinéarité et du résultat précédent)
• propriétés :
• dét (BA) = dét B x dét A
  
• déterminant d'une matrice diagonale par bloc
• polynôme caractéristique, valeur propre, vecteurs propres, matrices diagonalisables

Lundi 4 février 2013

• existence du déterminant : la formule établie au cours précédent définit bien une forme multilinéaire alternée en fonctions des colonnes
• dét(^tA) = dét(A)
  
• développement d'un déterminant par rapport à une colonne / par rapport à une ligne
  
• matrice des cofacteurs
• définition : déterminant, polynôme caractéristique et trace d'un endomorphisme d'un k-espace vectoriel de dimension finie
• proposition : u est bijectif si et seulement si dét(u) ≠ 0
• définition : valeurs, vecteurs et sous-espaces propres d'un endomorphisme
• proposition : λ est valeur propre si et seulement si P_u(λ) = 0

Jeudi 7 février 2013

Chapitre 2 : Endomorphismes diagonalisables

• 2.1.1 définition : sous-espaces en somme directe
• 2.1.8 théorème : les sous-espaces propres d'un endomorphisme u d'un k-espace vectoriel V de dimension finie sont en somme directe
• 2.1.10 définition : endomorphisme diagonalisable
• 2.1.11 proposition : si P_u(X) a n racines simples, où n = dim V, alors u est diagonalisable
• 2.1.12 définition-proposition : multiplicité algébrique et multiplicité géométrique d'une valeur propre et majoration de la seconde par la première

Chapitre 5 : Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques

• 5.1.1 définition d'une forme bilinéaire symétrique (fbs) Φ
• 5.1.3 matrice Mat_B(Φ) d'une fbs Φ dans une base B ; formule de changement de base : Mat_B'(Φ) = ^tP Mat_B(Φ) P où P = Mat_B(B')
• 5.1.6 définition : rang d'une fbs ; fbs non dégénérées ;
  
• 5.1.7 définition et proposition : orthogonalité de vecteurs, orthogonal d'un sous ensemble ; orthogonal d'un sev ; noyau d'une fbs

Lundi 11 février

Suite et fin du chapitre 5

• 5.1.8 théorème : propriétés fondamentales de l'othogonal d'un sev et du noyau d'une fbs
• 5.1.9 définition : restriction d'une fbs à un sev
• 5.1.10 définition : formes quadratiques (fq) ; forme polaire d'une forme quadratique ; formule de polarisation
• 5.1.12 définition : rang et noyau d'une fq
• 5.1.12 définition : base orthogonale pour une fq (ou une fbs) : expression d'une fq dans une base orthogonale
• 5.1.13 théorème : existence d'une base orthogonale pour une fbs
• 5.1.14 théorème : expression d'une fq complexe (définie sur un C-ev) dans une base orthogonale
• 5.1.15 théorème d'inertie de Sylvester : expression d'une fq réelle (définie sur un R-ev) dans une base orthogonale ; définition de la signature
• 5.2 réduction d'une fq réelle ou complexe comme somme de carrée de formes linéaires linéairement indépendantes

Jeudi 14 février (prévisions)

• théorème d'inertie de Sylvester
• expression d'une forme quadratique dans une base orthogonale
  

Chapitre 6 espaces euclidiens et groupes orthogonaux O(n)

• définition : fbs ou fq positives et définies positives, produits scalaires, espaces euclidiens
  
• exemples : produits scalaires usuels sur Rⁿ
• définition : familles et bases orthonormées (bon)
• théorème : existence de bon
• définition : normes
• théorème : inégalité de Cauchy-Schwartz, théorème de pythagore, identité du parallélogramme
• angle non orientés de 2 vecteurs d'un espace euclidien
• angle orienté de vecteurs de R² ou d'un espace euclidien de dimension muni d'une base orthonormée

Lundi 18 février

• définition : orientation d'un espace vectoriel, bases directes, bases indirectes
  
• orientation canonique de Rⁿ
• définition : automorphismes directs ou indirects
  
• rotations et symétries orthogonales de R²

Jeudi 21 février

• définition et proposition : isométries vectorielles, groupe des isométries d'un espace euclidien
• groupe orthogonal O(n) des isométries de Rⁿ muni du produit scalaire usuel
• classification des isométries de R²
• classification des isométries de R³ : symétries orthogonales, rotations, anti-rotations
  

Lundi 25 février (prévisions)

• endomorphismes auto-adjoints d'un espace euclidien
• diagonalisation des endomorphismes autoadjoints
• diagonalisation des matrices symétriques réelles
• réduction simultanée d'un produit scalaire et d'une forme bilinéaire symétrique
  

Chapitre 7 : espaces affines