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\def \shar{{= \hskip-4mm / \hskip-1mm / \hskip-4mm =}}
 
\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels
 
 
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%\title{Pr{\'e}paration au CAPES de math{\'e}matiques.}
 
%\author{Test d'Alg{\`e}bre du mercredi 6 septembre 2006}

%\address{E.F.~: Institut Fourier, BP 74, 38402 St Martin d'H{\`e}res Cedex, France.}                           
                          
 
%\email{emmanuel.ferrand@ujf-grenoble.fr}
\parindent=0cm
%\subjclass{53D10}
%\keywords{contact topology, Morse theory}
%\date{First version}
 
\begin{document}

%\maketitle

{\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2006} \hfill Emmanuel FERRAND, Laurent KOELBLEN.
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\centerline{\bf TD d'Alg{\`e}bre du mercredi 27 septembre 2006}

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\section{} La composition de deux similitudes est-elle commutative~?

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\section{} Etant donn\'e un parall\'elogramme, on construit les
quatre carr\'es ext\'erieurs s'appuyant sur les cot\'es du
parall\'elogramme. Montrer que les centres de ces quatres carr\'es forment un carr\'e.

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\section{} Montrer que le produit des longueurs des diagonales d'un
quadrilat\`ere est inf\'erieur \`a la somme des produits des longueurs
des cot\'es oppos\'es. Montrer qu'il y a \'egalit\'e si et seulement
si le quadrilat\`ere est convexe et si ses quatre sommets sont cocycliques.

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\section{} 

\subsection{}Soient $a$ un nombre complexe et $\rho$ un nombre r\'eel positif.
Montrer que l'\'equation $z {\bar z} +a{\bar z} + {\bar a}z
+c=0$ d\'etermine un cercle si $\rho<|a|^2$. R\'eciproquement, montrer
que tout cercle poss\`ede une \'equation de ce type.

\medskip

\subsection{} Soient $a,b$ deux complexes, et $r$ un r\'eel positif.
Montrer que l'ensemble des points du plan dont l'affixe 
est solution de $\frac{|z-a|}{|z-b|}=r$ est un cercle (d\'eterminer son
centre et son rayon).

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\section{Birapport} Soient $z_1,z_2,z_3,z_4$ 4 complexes
distincts. Leur {\em birapport} est le nombre complexe 

$$ \frac{(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{(z_4-z_1)(z_3-z_2)}. $$

Montrer que  $z_1,z_2,z_3,z_4$ sont les affixes de 4 points align\'es
ou cocycliques
si et seulement si leur birapport est r\'eel.

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\section{Sph\`ere de Riemann} On note $P$ la droite projective complexe,
c'est \`a dire l'union de $\CM$ et d'un point dit "\`a l'infini",
not\'e $\infty$. 

\subsection{} Montrer que toute homographie $z \mapsto
\frac{az+b}{cz+d}$ (o\`u $a,b,c,d$ sont 4 complexes tels que $ad-bc
\neq 0$) se prolonge naturellement
en une bijection de $P \mapsto P$.

\subsection{} Expliciter une bijection entre $P$ et la sph\`ere
usuelle $S=\{(u,v,w) \in
\RM^3 | u^2+v^2+w^2=1\}$. D\'eterminer l'image dans $S$ d'un cercle de $P$.

\subsection{} Expliciter une bijection entre $S$ et l'ensemble des
droites vectorielles du plan complexe $\CM^2$. Soit $A \in GL_2(\CM)$.
Montrer que $M$ induit une bijection de $P$ (l'expliciter en fonction
des coefficients de $A$).


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\section{Homographies}

\subsection{} A la matrice 
$A=\begin{pmatrix} a & b \\ 
               c & d \\
\end{pmatrix}  \in GL_2(\CM)$ on associe l'homographie $h_A~: P
\rightarrow P$ qui envoie $ z \neq -\frac{d}{c} $ sur $ \frac{az+b}{cz+d}$. Comparer $h_A \circ h_B$
et $h_{AB}$.

\subsection{} Montrer que l'ensemble $\mathcal H$ des homographies poss\`ede une
structure de groupe naturelle. Montrer que ce groupe est engendr\'e
par les similitudes directes et l'application $z \mapsto \frac{1}{z}$.
D\'eterminer l'image et le noyau du morphisme de groupes $GL_2(\CM)
\rightarrow \mathcal H$ consid\'er\'e \`a la question pr\'ec\'edente.

\subsection{} Montrer qu'une homographie pr\'eserve le birapport.
Montrer que les homographies pr\'eservent les cercles de $P$ (une
droite de $\CM$ s'identifie \`a un cercle de $P$ qui passe par $\infty$).
Montrer qu'une application de $P$ dans $P$ qui pr\'eserve le birapport
est une homographie.

\subsection{} Soient $z_1,z_2$ deux complexes distincts et
$\mathcal H_{z_1,z_2}$ le sous-groupe de $\mathcal
H$ form\'e des homographies qui ont $z_1$ et $z_2$ comme points fixes.
Soit $h~: z \mapsto \frac{z-z_1}{z-z_2}$. Quel est le conjugu\'e de
$\mathcal H _{z_1,z_2}$ par l'\'el\'ement $h$~? En d\'eduire que $\mathcal H_{z_1,z_2}$ est
isomorphe au groupe des complexes de module $1$.

\subsection{} D\'eterminer le sous-groupe de $ \mathcal H$ form\'e
des homographies qui pr\'eservent $\infty$.

\subsection{} Montrer qu'une homographie est compl\`etement
d\'etermin\'ee par l'image des trois points distincts.


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\end{document}