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\def \shar{{= \hskip-4mm / \hskip-1mm / \hskip-4mm =}}
 
\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels
 
 
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%\title{Pr{\'e}paration au CAPES de math{\'e}matiques.}
 
%\author{TD d'Alg{\`e}bre du mercredi 4 octobre 2006}

%\address{E.F.~: Institut Fourier, BP 74, 38402 St Martin d'H{\`e}res Cedex, France.}                           
                          
 
%\email{emmanuel.ferrand@ujf-grenoble.fr}
\parindent=0cm
%\subjclass{53D10}
%\keywords{contact topology, Morse theory}
%\date{First version}
 
\begin{document}

%\maketitle

{\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2006} \hfill Emmanuel FERRAND, Laurent KOELBLEN.
\bigskip

\centerline{\bf TD d'Alg{\`e}bre du mercredi 04 octobre 2006}

\bigskip




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\section{}
\subsection{} Les similitudes forment-elle un sous groupe distingu\'e
du groupe des homographies~?

\subsection{} Les homoth\'eties forment-elles un sous-groupe du groupe
des similitudes~?


\subsection{} D\'ecrire compl\`etement le groupe des similitudes qui
pr\'eservent un triangle \'equilat\'eral (donner le nombre
d'\'el\'ements, la table de multiplication).
M\^eme question pour le carr\'e, pour le rectangle.


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\section{} D\'eterminer (\`a isomorphisme de groupes pr\`es) tous les
groupes d'ordre $4$ ainsi que ceux d'ordre $6$.


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\section{} Soit $G$ le groupe des d\'eplacements du plan. On app\`ele
{\em angle } d'un d\'eplacement le complexe unitaire qui
repr\'esente l'angle entre un vecteur non nul donn\'e et son image.

\subsection{} Soit $\phi~: G \rightarrow U$ l'application qui \`a un
d\'eplacement associe sont angle. D\'eterminer $T=\ker \phi$.

\subsection{} Soit $O \subset G$ le sous-groupe des rotations. $O$
est-il un sous-groupe distingu\'e~? Est-il isomorphe \`a $G/T$~?

\subsection{} Soit $H \subset G$ le sous-groupe engendr\'e par les
translations et les symm\'etries centrales. $H$ est-il un sous-groupe
distingu\'e~?

\subsection{} Soit $K \subset G$ le sous groupe engendr\'e par les
rotations d'angle $\frac{2k\pi}{n}$.  $K$ est-il un sous-groupe
distingu\'e~?


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\section{Propri\'et\'es \'el\'ementaire des groupes.}
Les questions suivantes sont largement ind\'ependantes. 

\subsection{} Montrer qu'un sous-groupe d'indice $2$ est distingu\'e.

\subsection{} Montrer qu'un groupe ne peut-\^etre en bijection avec
l'union de deux sous-groupes propres.

\subsection{}  Soit $G$ un groupe d'ordre pair. Montrer qu'il existe un
\'el\'ement d'ordre $2$.

\subsection{} Montrer que dans le groupe des automorphismes 
d'un groupe donn\'e, le sous-groupe des automorphismes int\'erieurs
est distingu\'e.

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\section{} Soit $n \in \ZM$. On consid\`ere l'ensemble des
sous-groupes du groupe cyclique d'ordre $n$ $\ZM / n \ZM$, muni de la
relation d'ordre (partiel) "\^etre un sous-groupde de". Montrer que
cet emsble partiellement ordon\'e est isomorphe \`al'ensemble des
diviseurs de $n$ muni des la relation d'ordre "\^etre un diviseur de".

\medskip

Donner une repr\'sentation analogue de l'ensemble partiellement
ordonn\'e  des sous-groupes du groupe cyclique infini.

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\section{} Soient $H$ et $G$ des groupes finis, et $\phi~: H  \mapsto G$ un morphisme
de groupes. Montrer que  $\phi$ induit une application des classes de
conjugaison de $H$ vers les classes de conjugaison de $G$. On suppose
que cette application est une bijection. Montrer que $H$ est isomorphe
\`a $G$.



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\end{document}