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\def \shar{{= \hskip-4mm / \hskip-1mm / \hskip-4mm =}}
 
\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels
 
 
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%\title{Pr{\'e}paration au CAPES de math{\'e}matiques.}
 
%\author{TD d'Alg{\`e}bre du mercredi 4 octobre 2006}

%\address{E.F.~: Institut Fourier, BP 74, 38402 St Martin d'H{\`e}res Cedex, France.}                           
                          
 
%\email{emmanuel.ferrand@ujf-grenoble.fr}
\parindent=0cm
%\subjclass{53D10}
%\keywords{contact topology, Morse theory}
%\date{First version}


 
\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\everymath={\displaystyle}

%\maketitle

{\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2006} \hfill Emmanuel FERRAND, Laurent KOELBLEN.
\bigskip

\centerline{\bf TD d'Alg{\`e}bre du mercredi 22 novembre 2006}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie,
$F$ un sous-espace vectoriel de $E$ et
$F^\bot$ l'ensemble des formes linéaires qui s'annulent 
sur $F$. Montrer que $F^\bot$ est un sous-espace vectoriel de $E^*$ et
déterminer sa dimension.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{} Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes et $f~: \CM
\rightarrow \CM$ définie par $f(z)=az+b{\bar z}$. Montrer que $f$
induit un endomorphisme de $\RM^2$, dont on explicitera le noyau et
l'image.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{} Soit $A$ un endomorphisme nilpotent d'un espace
vectoriel. Montrer que ${\rm Id}+A$ est inversible.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{} Soit $n \in \NM$ et $P \in \RM_n[X]$. Montrer que l'idéal
engendré par $P$ est un sous-espace vectoriel  de  $\RM_n[X]$ et
calculer sa dimension. On suppose $n>6$ et
$P(X)=(X-1)^2(X-2)^3(X-3)$. Donner une base de ce sous-espace.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{} On considère l'espace $\mathcal M_{n,p}(\CM)$ des matrices à
coefficients complexes, à $n$ lignes et $p$ colonnes, sur lequel agit
le groupe ${\textrm{GL}}_n(\CM) \times {\textrm{GL}}_p(\CM)$ de la manière suivante~:
 
\medskip

$$
\begin{array}{rcl}
{\textrm{GL}}_n(\CM) \times {\textrm{GL}}_p(\CM) \times \mathcal
M_{np}(\CM)  & \longrightarrow &
 \mathcal M_{np}(\CM)\\
(U,V,M) & \longmapsto & UMV\\
\end{array}
$$

\medskip

Exhiber une représentant de chaque orbite.

\medskip

{\em Remarque~:} Le vocabulaire utilisé pour exprimer la question
ci-dessus est volontairement abscon. Commencer donc  par formuler une
question équivalente en termes plus explicites.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{} 

\subsection{} Soit $J$ une matrice carrée dont tous les coefficients sont
égaux à $1$. Calculer $J^k$ pour tout $k \in \NM$.

\subsection{} Soit $a \in \RM$. Développer $P(X)=\det(X \cdot \textrm{Id} +a \cdot
J)$. 

\subsection{} Soit $D$ une matrice diagonale, calculer $\det(J+D)$.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{} Montrer que l'ensemble des matrices inversibles est un
ouvert dense connexe de $\mathcal M_n(\CM)$.

\end{document}