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\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels
 
 
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\begin{document}

%\maketitle

{\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2006} \hfill Emmanuel FERRAND, Laurent KOELBLEN.
\bigskip

\centerline{\bf TD d'Alg{\`e}bre du mercredi 08 novembre 2006}

\everymath={\displaystyle}

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\section{Spectre d'un polyn{\^o}me d'endomorphisme} 
Soit $f$ un endomorphisme de $\CM^n$. Soit 
$P \in \CM[X]$. Exprimer le spectre de $P(f)$ en fonction de $P$ et du
spectre de $f$. 
%Est-il vrai que $f$ et $P(f)$ sont simultan{\'e}ment scind{\'e}s et diagonalisables~?

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Alg{\`e}bre des matrices circulantes} Soit
$X=(x_1,\dots,x_n) \in \CM^n$. Soit $M_X$ la matrice carr{\'e}e de taille $n$
dont les coefficients sont ${M_X}_{i,j}=x_{\sigma^{i-1}(j)}$, o{\`u} $\sigma$
est la permutation circulaire $\sigma(j)=j-1$ si $n\geq j>1$,
$\sigma(1)=n$.

\subsection{} Montrer que la construction ci-dessus d{\'e}finit une
application lin{\'e}aire de $\CM^n$ {\`a} valeurs dans $ \mathcal M _n(\CM)$.
Donner une base de son image.

\subsection{} Calculer le polyn{\^o}me caract{\'e}ristique de $M_X$ (Commencer par le cas
o{\`u} $X$ est le vecteur $e_n=(0,\dots,0,1)$, puis exprimer $M_X$ comme
un polyn{\^o}me de $M_{e_n}$, et utiliser ensuite l'exercice pr{\'e}c{\'e}dent).  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Endomorphismes de translation} Soit $E$ une espace vectoriel
de dimension finie, et $U$ un endomorphisme de $E$. Soit $\Phi$
(resp. $\Psi$)
l'application de $\mathcal L(E)$ dans lui m{\^e}me qui {\`a} un
endormorphisme $V$ associe $U \circ V$ (resp. $V \circ U$).

\subsection{} Montrer que $\Phi$ et $\Psi$ sont des applications
lin{\'e}aires. Exprimer leurs noyaux en fonction du noyau et de l'image de
$U$.

\subsection{} Montrer que le spectre de $\Phi$ co{\"\i}ncide avec celui de $U$.
Etant donn{\'e} une valeur propre $\lambda$ de $U$, d{\'e}terminer la dimension de
l'espace propre associ{\'e} {\`a} $\lambda$ pour $\Phi$.

\subsection{} Montrer que si $U$ est diagonalisable, alors $\Phi$ et $\Psi$
le sont aussi.



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\section{Lemme de Hadamard}

\subsection{}
On dit qu'une matrice $A=\bigl(\!(a_{i,j})\!\bigr)_{i,j}$ 
à coefficient complexe a une diagonale
dominante sur les lignes si pour tout $i$ on a $|a_{i,i}|
> \sum_{j\not=i} |a_{i,j}|$.
Montrer qu'une telle matrice est inversible.

\subsection{}
En d{\'e}duire que les valeurs propres d'une matrice {\`a} coefficients
compl{\`e}xes sont localis{\'e}es dans
une union de disques dont on pr{\'e}cisera les centres et le rayons.

\subsection{}
Soit $P(X)=X^d+c_{d-1}X^{d-1}+ \dots + c_1X +c_0$ un polyn{\^o}me {\`a}
coefficients compl{\`e}xes. Montrer que ses racines sont soit dans la
boule de centre $-c_{d-1}$ et de rayon $1$, soit de module
inf{\'e}rieur {\`a} $R=max\{|c_0|,1+|c_1|,1+|c_2|,1+|c_{d-2}| \}$.
(On pourra considérer la matrice $C$ compagnon de $P$ :
$$C~=\begin{pmatrix} 0 & 0 &\cdots & 0 & -c_0 \\
               1 & 0 & \cdots & \vdots & -c_1 \\
               0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\
               \vdots & \ddots &\ddots & 0 & \vdots \\
               0 & \cdots & 0 & 1 & -c_{d-1}
\end{pmatrix} 
$$
dont on calculera le polynôme caractéristique.)

\subsection{}
Montrer que les racines de $P$ sont soit de module inf{\'e}rieur {\`a} $1$,
soit dans la boule de centre $-c_{d-1}$ et de rayon $\sum_{l=0}^{d-2}|c_l|$.

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\section{Matrices de van der Monde} Soit ${\rm VDM}(x_0,\dots,x_n)$ la
matrice de van der Monde de taille $n+1$ associ{\'e}e aux param{\`e}tres complexes $x_0,
\dots ,x_n$. Pour chaque  $t \in  \RM$, on pose
$V(t)={\rm VDM}(x_0+t,\dots,x_n+t)$. On suppose les $x_i$ deux {\`a} deux
distincts ($V(t)$ est donc inversible pour tout $t$). Montrer que
la matrice $V(t+1)(V(t))^{-1}$ ne d{\'e}pend pas de $t$. Quelle est cette matrice. 
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{M{\'e}thode de Putzer} Soit $M$ une matrice complexe
carr{\'e}e, et $P(X)=X^k+c_{k-1}X^{k-1}+ \dots + c_1X +c_0$ un
polynôme annulateur de
$M$. Soit $C$ la matrice d'ordre $k$ compagnon de $P$ 
$$C~=\begin{pmatrix} 0 & 0 &\cdots & 0 & -c_0 \\
               1 & 0 & \cdots & \vdots & -c_1 \\
               0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\
               \vdots & \ddots &\ddots & 0 & \vdots \\
               0 & \cdots & 0 & 1 & -c_{k-1}
\end{pmatrix} 
$$
et
$Z(t)=(z_1(t),\dots ,z_k(t))$ la solution de
$\frac{dZ}{dt}(t)=CZ(t)$ telle que $Z(0)=(1,0,\dots,0,0)$.
%Autrement dit $z_1(t)$ est solution de l'{\'e}quation diff{\'e}rentielle
%$P(\frac{d}{dx}(u)=0$ avec les conditions initiales $z_1(0)=z_1'(0)=
%\cdots = z_1^{(k-1)}(0)=0$ et $z_1^{(k)}=1$.


\subsection{} On suppose que les racines de $P$ sont simples.
Donner une base de vecteurs propres de~$^tC$.

\subsection{} Montrer que $exp(tM)=z_1(t)Id+z_2(t)M+\dots+z_k(t)M^{k-1}$. 
(Avec cette m{\'e}thode, il n'est pas n{\'e}cessaire de
 trouver la forme de Jordan de $M$ pour calculer son exponentielle).

\subsection{} Dans le cas (g{\'e}n{\'e}rique) o{\`u} les valeurs propres $\lambda_1, \dots,
\lambda_n$
de $M$ sont toutes distinctes, exprimer les coefficients $a_1, \dots,
a_n$ tels que $exp(M) = \sum_{l=0}^{n-1} a_lM^l$ en fonction des $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ (introduire
une matrice de van der Monde).

\subsection{} Toujours dans l'hypoth{\`e}se  o{\`u} les valeurs propres
de $M$ sont deux {\`a} deux distinctes, montrer que 
$$ exp(tM)= \sum_{l=1}^n e^{t\lambda _l } \prod _{p\neq l} \frac{M-\lambda_p Id}{\lambda_l - \lambda_p}.$$

\subsection{} On suppose que $M$ est une matrice $2 \times 2$.
Montrer que $$exp(tM)=e^{t\lambda}(Id-t(M-\lambda Id))$$ si les deux
valeurs propres sont {\'e}gales {\`a} $\lambda$ et que 

$$exp(tM)= \frac{\lambda_1 e^{t\lambda_2}-\lambda_2
  e^{t\lambda_1}}{\lambda_1-\lambda_2}Id + \frac{ e^{t\lambda_1}-e^{t\lambda_2}}{\lambda_1-\lambda_2}M$$

si les deux valeurs propres sont $\lambda_1 \neq \lambda_2$. On
remarquera que $M$ v{\'e}rifie $$M^2-(\lambda_1+\lambda_2)M+\lambda_1 \lambda_2 Id =0.$$

\end{document}