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\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels
 
 
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\begin{document}

\everymath={\displaystyle}

%\maketitle

{\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2006} \hfill Emmanuel FERRAND, Laurent KOELBLEN.
\bigskip

\centerline{\bf TD d'Alg{\`e}bre du mercredi 20 d{\'e}cembre 2006}

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\section{} Etant donn{\'e} $n$ points $A_1,\dots,A_n$ dans le plan affine peut-on trouver
$n$ points $B_1,\dots,B_n$ tels que $A_1$ soit le milieu du segment
$[B_n,B_1]$, et $A_i$ le milieu du segment $[B_{i-1},B_{i}]$, pour $i
\in \{2,\dots,n\}$ ?

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\section{} Soit $A$ une matrice $2 \times 2$, {\`a} coefficients r{\'e}els,
ayant deux valeurs propres distinctes. Discuter, selon les valeurs de
$tr(A)$ et $det(A)$, l'allure des trajectoires des solutions de
l'{\'e}quation diff{\'e}rentielle $X'=AX$. D{\'e}terminer les limites et les
asymptotes lorsqu'elles existent.

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\section{} On consid{\`e}re la forme quadratique
$q(x,y,z,t)=xy+yz+zt+tx$. Donner la matrice de la forme bilin{\'e}aire
sym{\'e}trique associ{\'e}e. Trouver une base orthogonale. 

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\section{In{\'e}galit{\'e} de Hadamard} Soit $A=(a_{i,j})_{i,j \in
  \{1,\dots,n\}}$ une matrice carr{\'e}e {\`a} coefficients r{\'e}els. 
Montrer que:
$$ |det(A)| \leq \prod_{j=1}^{n} \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} a_{i,j}^2 }.$$
(appliquer le procédé d'orthogonalisation de Schmidt au colonnes de $A$)
et déterminer dans quels cas il y a égalité.

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\section{Moindres carr{\'e}s} On consid{\`e}re $p$ vecteurs $V_1,\dots,V_p$ ind{\'e}pendants dans l'espace euclidien $\RM^n$
muni de son produit scalaire standard. Soit $G$ la matrice de Gramm
associ{\'e}e: $G_{i,j}=<V_i|V_j>$. 

\subsection{} Montrer que $G$ est d{\'e}finie positive.

\subsection{} Exprimer en fonction de $G$ la distance entre un point de coordonn{\'e}es $X
\in \RM^n$ et le sous-espace vectoriel $F$ engendr{\'e} par
$V_1,\dots,V_p$.

\subsection{} On fait aux instants $t_1,\dots,t_N$ $N$ mesures physiques repr{\'e}sent{\'e}es par $N$
r{\'e}els $m_1,\dots,m_N$. On cherche une fonction affine $f: x \mapsto
f(x)=ax+b$ qui approxime le mieux ces mesures au sens des moindres
carr{\'e}s, i.e. on cherche les deux r{\'e}els $a$ et $b$ tels que
$$\sum_{i=1}^{N}|a t_i + b -m_i|^2$$ soit le plus petit possible. 
Montrer que  $a$ et $b$ existent, et donner leur expression en
fonction des $m_i$ et des $t_i$. Pr{\'e}ciser cette expression dans le cas
$N=5$, $t_1=-2,t_2=-1,t_3=0,t_4=1,t_5=2$.

\subsection{} M{\^e}me question pour une approximation par un polyn{\^o}me de
degr{\'e} 2 : $f(x)=ax^2+bx+c$.
 
 
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\section{Formule de Cayley}

\subsection{} Soit $A \in \mathcal M_n (\RM)$ une matrice antisym{\'e}trique. Montrer que
$Id-A$ est inversible et que $(Id+A)(Id-A)^{-1}$ est orthogonale.

\subsection{} Montrer toute matrice orthogonale sans valeur propre
{\'e}gale {\`a} $-1$ est de cette forme.

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\section{}

\subsection{}
Soit $Q(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$. Soit $H=\{(x,y,z)\in \RM^3,\ Q(x,y,z)=1\}$.
Dessiner sommairement~$H$.

\subsection{}
\begin{itemize}

\item
Soit $C: [0, 2\pi[  \rightarrow \RM^3$ la courbe définie par
$t \mapsto (cos(t),sin(t),0)$. On note $v(t)=\frac{dC(t)}{dt}$
le «~vecteur vitesse~».

\item
Soit $R_+$ l'union pour $t \in [0,2\pi[$ des droites passant par $C(t)$, ayant pour vecteur directeur $(0,0,1)+v(t)$.

\item
Soit $R_-$ l'union pour $t \in [0,2\pi[$ des droites passant par $C(t)$, ayant pour vecteur directeur $(0,0,1)-v(t)$.

\end{itemize}

Comparer $R_+$, $R_-$ et $H$.

(Ils sont égaux. $R_+$ et $R_-$ décrivent les deux manières de régler 
l'hyperboloïde a 1 nappe).

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\section{}

Étant donné un tétraèdre $ABCD$ et un plan $P$ dans $\RM^3$, à quelle condition la projection orthogonale $A'B'C'D'$ de $ABCD$ sur $P$ est-elle un
parallélogramme~?

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\section{}

Soit $OABC$ un tétraèdre tri-orthogonal ($\overrightarrow{OA}$, 
$\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OC}$ sont deux à deux
orthogonaux) et soient $G$ l'isobarycentre de ce tétraèdre
et $S$ le symétrique de $O$ par rapport a $G$.
Montrer que $S$ est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre.

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\end{document}