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\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels
 
 
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{\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2006} \hfill Emmanuel FERRAND, Laurent KOELBLEN.
\bigskip

\centerline{\bf TD d'Alg{\`e}bre du mercredi 17 janvier 2007}

\bigskip


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\section{} Soit $M=\bigl(\!(m_{i,j})\!\bigr)$ une matrice carrée symétrique de taille $n$ et $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$
ses valeurs propres. Montrer que $\sum_{i=1}^n \lambda_i^2=\sum_{i,j=1}^n m_{i,j}^2$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{} Soient  $\Delta_1,\ldots,\Delta_4$ 4 droites distinctes du plan, concourantes 2 à 2
et non concourantes 3 à 3. On note $P_{ij}=\Delta_i \cap \Delta_j$ (pour $1\leq i<j\leq 4$), $Q_1$ le milieu 
de $[P_{12},P_{34}]$, $Q_2$ celui de $[P_{13},P_{24}]$ et $Q_3$ celui de $[P_{14},P_{23}]$.
Montrer que ces 3 milieux sont alignés.

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\section{} On considère un triangle $ABC$ et on note $(\alpha, \beta,\gamma)$
les coordonnées barycentriques d'un point $P$, par rapport à $A,B,C$.

\subsection{} Montrer que, pour tout point $M$, on a : $$\alpha MA^2+\beta MB^2+\gamma MC^2
= (\alpha+ \beta+\gamma)MP^2+\alpha PA^2+\beta PB^2+\gamma PC^2.$$

\subsection{} Montrer que $P$ appartient au cercle circonscrit au triangle $ABC$
si et seulement si : $$\alpha PA^2+\beta PB^2+\gamma PC^2=0.$$

\subsection{} Montrer que cette dernière condition est équivalente à :
$$\frac{a^2}\alpha + \frac{b^2}\beta + \frac{c^2}\gamma=0$$
 où $a,b,c$ sont les longueurs des cotés $BC, AC, BC$
(en supposant que $\alpha, \beta,\gamma$ sont non nuls).

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\section{} On considère un tétraèdre $OABC$. Exprimer son volume en fonction
des vecteurs $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$
et de leurs produits scalaires.
Reformuler ce résultat en fonction des longueurs $a,b,c$ des cotés $BC, AC, AB$ et
$\alpha , \beta, \gamma$ des cotés $OA,OB, OC$.

(Indication: comparer le volume du tétraèdre et celui du parallélépipède engendré
par les 3 vecteurs $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$.
Exprimer ce dernier volume comme le déterminant
d'un matrice $M$. Calculer $\det (M\,{}^t\!M)$.)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{} On considère dans le plan :
\begin{itemize}
\item un triangle $ABC$,
\item les projections orthogonales $A',B',C'$ des points $A,B,C$ sur l'axe $Ox$,
\item la droite $\Delta_A$ passant pas $A'$, perpendiculaire à $BC$,
\item la droite $\Delta_B$ passant pas $B'$, perpendiculaire à $AC$,
\item la droite $\Delta_C$ passant pas $C'$, perpendiculaire à $AB$.
\end{itemize}

Montrer que ces 3 droites sont concourantes.

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\end{document}
