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\def \shar{{= \hskip-4mm / \hskip-1mm / \hskip-4mm =}}
 
\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels
 
 
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{\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2006} \hfill Emmanuel FERRAND, Laurent KOELBLEN.
\bigskip

\centerline{\bf TD d'Alg{\`e}bre du mercredi 24 janvier 2007}

\bigskip

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\section{} (cours) Etablir la formule donnant la distance d'une droite $D$ à un point $M$,
la droite etant définie par un point $A$ et un vecteur $\overrightarrow V$~:
$$
d= \frac{\Vert\overrightarrow{AM}
\wedge \overrightarrow V \Vert}{\Vert \overrightarrow V \Vert}.$$
Déterminer la distance entre la droite $D$ passant par $0$ et dirigée par $(1,1,1)$
et la droite $D'$ d'équations $z=0, y+x=1$.

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\section{} Miroir parabolique: les rayons parallèles à l'axe d'une parabole sont réfléchis
en un point (le foyer). Etablir cette propriété par le calcul.
(Indication: montrer qu'on peut supposer la parabole définie par l'équation $y=\frac{x^2}2$)

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\section{}
Soit $M=\left(
\begin{array}{rrr}
 8 & 1 & -4 \\
-4 & 4 & -7 \\
 1 & 8 &  4 \\
\end{array}
\right)$.
Reconnaître la transformation de $\mathbb R^3$ de matrice $M$.

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\section{} Déterminer toutes les transformations linéaire de $\mathbb R^3$ telles que
l'image d'un vecteur soit perpendiculaire à celui-ci.
(Montrer que si $f$ vérifie cette propriété alors il existe un vecteur $v$
tel que $f(x)=x\wedge v$)

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\section{}  Soit $A$ un point dans $\mathbb R^3$. À tout point $M$ sur le cercle d'équations $x^2+y^2=1, z=0$,
on associe le plan $P_M$ orthogonal en $M$ à la droite $AM$. Montrer que tous les plans $P_M$ passent par un point commun.

\end{document}

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\end{document}
