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\def \shar{{= \hskip-4mm / \hskip-1mm / \hskip-4mm =}}
 
\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels
\def \dd{{\mathrm d}}% différentielle
 
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\begin{document}

\everymath={\displaystyle}

%\maketitle

{\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2006} \hfill Emmanuel FERRAND, Laurent KOELBLEN.
\bigskip

\centerline{\bf TD d'Alg{\`e}bre du mercredi 14 février 2007}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Un exo qui figure noir sur blanc dans le programme du capes}

«~La plus grande valeur propre d'un matrice symétrique
$A$ est égale à $\sup \left\{ \frac{{}^t\!X\!AX}{{}^t\!X\!X}, \ X \neq 0
\right\}$.~»

\kern -\jot

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{}  On considère un triangle non dégénéré dans le plan, et une conique
    passant pas les trois sommets. A chaque sommet, on associe le
    point d'intersection de la tangente
à la conique au sommet considéré avec la droite passant par les 2
sommets opposés (on suppose que ces 3 points existent). Le but de
l'exercice est de montrer que ces 3 points sont alignés.

\kern -\jot

\subsection{} Montrer qu'on peut se ramener au cas particulier où le
triangle est formé des points de coordonnées $(0,0)$, $(0,1)$ et
$(1,0)$.

\kern -\jot

\subsection{} Montrer que la conique peut alors être définie par une
équation du type $ax(x-1)+by(y-1)+cxy=0$.

\kern -\jot

\subsection{} Donner les équations des trois tangentes à la coniques
aux sommets du triangle.

\kern -\jot

\subsection{} Calculer les point d'intersection définis plus haut et
conclure.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Mouvement des planètes}

On considère un mouvement $t\mapsto (x(t),y(t))$ dans le plan
privé de l'origine tel que les fonctions $x$ et $y$ soient solutions du système d'équations
différentielles
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\dd^2x}{\dd t^2}(t)=\frac{-x(t)}{r(t)^3}\\
\frac{\dd^2y}{\dd t^2}(t)=\frac{-y(t)}{r(t)^3}\\
\end{array}
\right.
$$
où $r(t)=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}$.

On admet que cela modélise le mouvement d'un corps soumis à
l'attraction du soleil. Le but de l'exercice est de montrer que les
trajectoires possibles du mouvement sont des coniques.

\subsection{} On pose
$C(t)= \det \left(
\begin{array}{cc}
x(t) & \frac{\dd x}{\dd t}(t) \\
\noalign{\vskip\jot}
y(t) & \frac{\dd y}{\dd t}(t) \\
\end{array}
\right)$.
Montrer que $C(t)$ est un fonction constante.

\subsection{} Montrer que la fonction $r(t)$ est solution d'une équation
différentielle de la forme $$ \frac{\dd^2x}{\dd t^2}(t)=\frac{-r(t)}{r(t)^3}
+ G(t).$$ Exprimer la fonction $G(t)$ en fonction de $r(t)$ et de $C$.

\kern -\jot

\subsection{Astuce de Lagrange.} Montrer que la fonction $r(t)$ est
solution d'une équation diffé\-ren\-tielle linéaire du second ordre $(E)$, non
homogène, à coefficients non constants, et que les fonctions $x(t)$ et
$y(t)$ sont solutions de l'équation homogène $(E_0)$ associée.

\kern -\jot

\subsection{} Trouver une fonction constante solution de
l'équation $(E)$ (exprimer cette solution en fonction de $C$).

\kern -\jot

\subsection{} Montrer qu'il existe des constantes $a,b$ et $c$ telles
que $r(t)=ax(t)+by(t)+c$. (Penser au théorème fondamental sur la structure de
l'espace des solutions des équations différentielles linéaires).

\kern -\jot

\subsection{} En déduire que les trajectoires possibles du
mouvement $t\mapsto (x(t),y(t))$ sont des coniques.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{} 
\subsection{} Montrer que deux coniques se rencontrent en au maximum 4 points.

\kern -\jot

\subsection{} Montrer que par 5 points «~génériques~» du plan (non aligné 3~à~3)
passe une unique conique.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}
