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\def \shar{{= \hskip-4mm / \hskip-1mm / \hskip-4mm =}}
 
\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels
 
 
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\begin{document}

\everymath={\displaystyle}

%\maketitle

{\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2007} \hfill Emmanuel FERRAND, Laurent KOELBLEN.
\bigskip

\centerline{\bf Test d'Alg{\`e}bre du mercredi 5 septembre 2007}

\bigskip


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Voici quelques exercices de difficult{\'e} variable, pr{\'e}sent{\'e}s sous la
forme d'une mini-interrogation, {\`a} nous rendre sur
papier libre, anonyme si vous le souhaitez.

{\em Il ne s'agit pas pour nous de vous {\'e}valuer}. Le but est de faire le
point sur vos r{\'e}flexes, afin de mieux cibler notre approche
p{\'e}dagogique. Essayez donc de r{\'e}pondre le plus honn{\^e}tement possible,
sans complexes, de mani{\`e}re pr{\'e}cise mais concise! Dur{\'e}e: 1h30.
 

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\section{Exercice 1.}

Soient $r$ et $s$ deux nombres complexes. 
Calculer le terme g{\'e}n{\'e}ral de la suite d{\'e}finie par $u_0=0$, $u_1=1$, $u_{n+1}=(r+s)u_n-rsu_{n-1}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Exercice 2.}

Dessiner approximativement l'ensemble  $D=\{z \in \CM  \ \ \text{tels
  que} \ \ \mathcal{R}e(z)=1 \}$, ainsi que son image par les applications $z
\mapsto z^2$ et $z \mapsto e^z$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Exercice 3.}

On consid{\`e}re la matrice $J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\
                   1 & 1 & 1 & 1 \\
                   1 & 1 & 1 & 1 \\
                   1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}$.
Calculer $J^2$ et $J^n$, pour tout $n \in \NM$.

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\section{Exercice 4.}

On consid{\`e}re la matrice  $M=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\
                   1 & 0 \\
                   \end{pmatrix}$.
Calculer $\exp(M)$.


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\section{Exercice 5: pentagone et nombre d'or}

Dans cet exercice on identifie la plan avec $\CM$. On consid{\`e}re le cercle $C=\{|z|=1\}$, et le
cercle $C'$, de centre $\frac{i}{2}$ et de rayon  $\frac{1}{2}$.

\medskip

\subsection{} D{\'e}terminer l'affixe de $X$, intersection du segment $\left[1, \frac{i}{2}\right]$ et du cercle
$C'$, ainsi que le module de $X-1$.



\subsection{} Soit $C''$ le cercle de centre $1$ passant par $X$. Calculer 
l'affixe de $Y$, intersection de $C$ et de $C''$ ayant une partie
imaginaire positive.


\subsection{} Soit $Z$ le point d'affixe r{\'e}elle tel que le triangle $1,Y,Z$ soit
isoc{\`e}le en $Y$. Calculer l'affixe de $Z$.

\subsection{}
Montrer que le triangle $0,Z,Y$ est isocèle en $Z$.
Montrer que les triangles $1,Y,Z$ et $1,0,Y$ sont semblables.
Montrer que dans ces deux triangles les deux angles
identiques ont une valeur double de celle du troisi{\`e}me. 

\medskip

\subsection{} En d{\'e}duire l'argument de $Y$. 

\medskip

\subsection{} Expliquer bri{\`e}vement comment construire un pentagone r{\'e}gulier {\`a} la
r{\`e}gle et au compas.


\end{document}