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\def \shar{{= \hskip-4mm / \hskip-1mm / \hskip-4mm =}}
 
\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels
 
 
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\begin{document}

\everymath={\displaystyle}

%\maketitle

{\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2007} \hfill Emmanuel FERRAND, Laurent KOELBLEN.
\bigskip

\centerline{\bf Feuille d'exercices du mercredi 12 septembre 2007}

\bigskip
\centerline{\bf Nombres complexes}

\bigskip

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\section{Exercice 1.}

On consid{\`e}re la matrice  $M=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\
                   1 & 0 \\
                   \end{pmatrix}$.
Calculer $\exp(M)$~:
\begin{enumerate}
\item directement, par la formule $\exp(M)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{M^n}{n!}$,
\item en diagonalisant d'abord $M$.
\end{enumerate}


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\section{Exercice 2.}

On consid{\`e}re la matrice $J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\
                   1 & 1 & 1 & 1 \\
                   1 & 1 & 1 & 1 \\
                   1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}$.
Calculer $J^2$ et $J^n$, pour tout $n \in \NM$.



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\section{Exercice 3: pentagone et nombre d'or}

Dans cet exercice on identifie la plan avec $\CM$. On consid{\`e}re le cercle $C=\{|z|=1\}$, et le
cercle $C'$, de centre $\frac{i}{2}$ et de rayon  $\frac{1}{2}$.

\medskip

\subsection{} D{\'e}terminer l'affixe de $X$, intersection du segment $\left[1, \frac{i}{2}\right]$ et du cercle
$C'$, ainsi que le module de $X-1$.



\subsection{} Soit $C''$ le cercle de centre $1$ passant par $X$. Calculer 
l'affixe de $Y$, intersection de $C$ et de $C''$ ayant une partie
imaginaire positive.


\subsection{} Soit $Z$ le point d'affixe r{\'e}elle tel que le triangle $1,Y,Z$ soit
isoc{\`e}le en $Y$. Calculer l'affixe de $Z$.

\subsection{}
Montrer que le triangle $0,Z,Y$ est isocèle en $Z$.
Montrer que les triangles $1,Y,Z$ et $1,0,Y$ sont semblables.
Montrer que dans ces deux triangles les deux angles
identiques ont une valeur double de celle du troisi{\`e}me. 

\medskip

\subsection{} En d{\'e}duire l'argument de $Y$. 

\medskip

\subsection{} Expliquer bri{\`e}vement comment construire un pentagone r{\'e}gulier {\`a} la
r{\`e}gle et au compas.

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\section{Exercice 4.}

Soit $z_1=\exp\left(\frac{2i\pi}{5}\right)$. Pour $k \in \{0,\dots,4\}$, on pose
$z_k=z_1^k$.

\subsection{} Placer approximativement ces 5 nombres complexes dans
le plan.

\subsection{} D{\'e}terminer le module et l'argument de $z_0+z_2$.

\subsection{} D{\'e}terminer le centre, le rapport et l'angle de la similitude directe
(i.e. l'application de la forme $z \mapsto az+b$) qui envoie $z_0$ sur $z_1$ et $z_4$ sur
$z_2$.
Dessiner approximativement et sans calcul les images de $z_1$, $z_2$ et $z_3$.

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\section{Exercice 5.} Soient $\theta$ un nombre r{\'e}el et $n$ un nombre entier.
Calculer $\sum_{k=0}^n sin(k\theta)$.

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\section{Exercice 6.} Etant donn{\'e} $n$ nombres complexes non-nuls, donner une
condition n{\'e}cessaire et suffisante pour que la somme de leurs modules
soit {\'e}gale au module de leur somme. (Traiter d'abord le cas $n=2$, puis faire 
une récurrence.)

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\section{Exercice 7.}

Soient $a,b,c$ trois nombres complexes distincts.
Montrer que les 4 propositions suivantes sont
{\'e}quivalentes~:

\begin{enumerate}

\item $a,b,c$ sont les affixes des sommets d'un triangle {\'e}quilat{\'e}ral.


\item $j=\exp\left(\frac{2i\pi}{3}\right)$ ou $j^2$ est racine de $az^2+bz+c$.

\item $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac$

\item $\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}=0$

\end{enumerate}


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\section{Exercice 8.} Etant donn{\'e} un triangle $ABC$, on consid{\`e}re les
points $A', B', C'$ tels que les triangles $ABC'$, $BCA'$, $CAB'$
soient {\'e}quilat{\'e}raux et ext{\'e}rieurs au triangle $ABC$.

\medskip

Montrer que les centres de gravit{\'e} de ces trois triangles forment un
triangle {\'e}quilat{\'e}ral.


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\section{Exercice 9.}

Soient $a,b,c$ trois nombres complexes deux {\`a} deux distincts. D{\'e}terminer
l'affixe de l'orthocentre du triangle dont les sommets sont d'affixes
$a, b,c$.

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\section{Exercice 10.}
 
Soit $P(X)=\prod_{i=1}^k (X-z_i)^{m_i}$ un polyn{\^o}me {\`a} coefficients
complexes.

\begin{enumerate}

\item Calculer $\frac{P'}{P}$

\item Montrer que si $z$ est une racine de $P'$ alors $\sum_{i=1}^k \frac {m_i}{z-z_i}=0$.

\item Montrer que les racines de la d{\'e}riv{\'e}e $P'$ sont dans l'enveloppe
convexe des racines de $P$. (Exprimer une racine de $P'$ comme barycentre des racines de $P$.)

\end{enumerate}


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\section{Exercice 11.}

D{\'e}terminer les nombres complexes $z$ tels que le triangle $z,z^2,z^3$ soit
rectangle en $z$.

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\section{Exercice 12.} Soit $ABC$ un triangle direct, et $D$ un point
{\`a} l'int{\'e}rieur de $ABC$. Soient $E$ et $F$ les points tels que $BAE$ et
$ACF$ soient directement semblables {\`a} $BCD$. Montrer que $AEDF$ est un parall{\'e}logramme.

\end{document}