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\def \shar{{= \hskip-4mm / \hskip-1mm / \hskip-4mm =}}
 
\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels
\def \PM{\mathbb{P}}%        la droite projective
\def \UM{\mathbb{U}}%        groupe unitaire
 
 
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\begin{document}

\everymath={\displaystyle}

{\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2007-2008} \hfill Emmanuel FERRAND, Laurent KOELBLEN.
\bigskip

\centerline{\bf TD d'Alg{\`e}bre du mercredi 19 septembre 2007}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{} Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes et $r$ un nombre réel strictement
positif. 
Montrer que l'ensemble des points du plan dont l'affixe $z$ vérifie $\left| \frac{z-a}{z-b} \right|=r$ est un
cercle (préciser son centre et son rayon) ou une droite. 
(Indication: commencer par traiter le cas $a=-b$.)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Homographies} 

\subsection{La droite projective complexe}
On note $\PM$ «~la droite projective complexe~»,
c'est {\`a} dire l'union de $\CM$ et d'un point dit «~{\`a} l'infini~» et
not{\'e} $\infty$. 

\medskip

\subsubsection{}
Montrer que toute homographie $z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}$
(o{\`u} $a,b,c,d$ sont 4 nombres complexes tels que $ad-bc \neq 0$),
se prolonge de manière {\em naturelle} en une {\em bijection}
$\PM \to \PM$.

\subsubsection{}
Soient $h$ le prolongement à $\PM$ de  $z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}$
et $h'$ celui de $z \mapsto \frac{a'z+b'}{c'z+d'}$.
Montrer que $h\circ h'$ est égal au prolongement à $\PM$ de
$z \mapsto \frac{(aa'+bc')z+(ab'+bd')}{(ca'+dc')z+(cb'+dd')}$.

%\subsection{} Expliciter une bijection entre $P$ et la sph{\`e}re
%usuelle $$S=\{(u,v,w) \in
%\RM^3 | u^2+v^2+w^2=1\}.$$ %D{\'e}terminer l'image dans $S$ d'un cercle de $P$.

%\subsection{} Expliciter une bijection entre $P$ et l'ensemble des
%droites vectorielles du plan complexe $\CM^2$. Soit $A \in GL_2(\CM)$.
%Montrer que $A$ induit une bijection de $P$ (l'expliciter en fonction
%des coefficients de $A$).


\subsection{Le groupe des homographies}
  
\subsubsection{} Montrer que l'ensemble $\mathcal H$ des homographies
poss{\`e}de une structure de groupe {\em naturelle}. 

\subsubsection{} Montrer que ce groupe est engendr{\'e}
par les similitudes directes et l'application $z \mapsto \frac{1}{z}$.

\subsubsection{}  \`A la matrice 
$A=\begin{pmatrix} a & b \\ 
               c & d \\
\end{pmatrix}  \in GL_2(\CM)$ on associe l'homographie $h_A: \PM
\to \PM$ qui est le prolongement {\em naturel} de l'application $ z \mapsto
\frac{az+b}{cz+d}$. Montrer que cela induit un morphisme de groupes $GL_2(\CM)
\to {\mathcal H}$. 
En d{\'e}terminer l'image et le noyau. 


\subsection{Cercles} On appelle
«~cercles~» de $\PM$ les cercles de $\CM$ et les
droites de $\CM$ auxquelles on ajoute le point à l'infini.
Montrer que l'image d'un cercle de $\PM$ par une homographie 
est un cercle de $\PM$.

\subsection{Birapport} Soient $z_1,z_2,z_3,z_4$ 4 nombres complexes
distincts. Leur {\em birapport} est le nombre complexe :
$$ \frac{(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{(z_4-z_1)(z_3-z_2)}.$$ 

\subsubsection{} Donner une extension {\em naturelle} de la définition
du birapport aux quadruplets d'{\'e}l{\'e}ments distincts de $\PM$.

\subsubsection{} Montrer qu'une homographie laisse invariant le birapport
de 4 {\'e}l{\'e}ments distincts de $\PM$.

\subsubsection{} Montrer qu'une application de $\PM$ dans $\PM$, qui laisse invariant le birapport
de 4 {\'e}l{\'e}ments distincts de $\PM$, est une homographie.

\subsubsection{} Étant donn{\'e} trois éléments distinct de $\PM$, montrer qu'il
existe une unique homographie qui les envoie sur $0,1,\infty$.

\subsubsection{} Montrer qu'une homographie est compl{\`e}tement
d{\'e}termin{\'e}e par l'image de trois points distincts de $\PM$.



\subsection{} Soient $z_1,z_2$ deux nombres complexes distincts et
$\mathcal H_{z_1,z_2}$ le sous-groupe de $\mathcal
H$ form{\'e} des homographies qui ont $z_1$ et $z_2$ comme points fixes.
Soit $h : z \mapsto \frac{z-z_1}{z-z_2}$. 


\subsubsection{} Quel est le conjugu{\'e} de
$\mathcal H _{z_1,z_2}$ par l'{\'e}l{\'e}ment $h$~? 

\subsubsection{} En d{\'e}duire que $\mathcal
 H_{z_1,z_2}$ est
isomorphe au groupe $(\CM^*,\times)$.

\subsubsection{} Est-il vrai que toute homographie possède deux points
fixes dans $\PM$~?

\subsection{} D{\'e}terminer le sous-groupe de $ \mathcal H$ form{\'e}
des homographies qui ont $\infty$ comme point fixe.

\subsection{} Soit $h: \PM \rightarrow \PM$ une homographie. Tracer
approximativement les lignes de niveau
des deux fonctions {\`a} valeurs r{\'e}elles suivantes: $z \mapsto |h(z)|$ et
$z \mapsto \arg(h(z))$. (Indication: commencer par traiter le cas des similitudes
directes et de l'application $z\mapsto1/z$.)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%

\section{}
Montrer que  $z_1,z_2,z_3,z_4$ sont les affixes de 4 points align{\'e}s
ou cocycliques
si et seulement si leur birapport est r{\'e}el.
(Indication: consid{\'e}rer d'abord le cas $z_1=0, z_2=1, z_3=\infty$.)


\end{document}