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\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels
 
 
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\begin{document}

\everymath={\displaystyle}

{\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2007/2008} \hfill Emmanuel FERRAND, Laurent KOELBLEN.

\bigskip

\centerline{\bf TD d'Alg{\`e}bre du mercredi 3 octobre 2007}

\bigskip


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\section{} Montrer que tout groupe $G$ est isomorphe {\`a} un sous-groupe du groupe des
bijections de $G$.

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\section{}

\subsection{} Les similitudes directes forment-elles un sous groupe distingu{\'e}
du groupe des homographies~?

\subsection{} Les homoth{\'e}ties forment-elles un sous-groupe du groupe
des similitudes~?


\subsection{} D{\'e}crire compl{\`e}tement le groupe des similitudes qui
laissent invariant l'ensemble des sommets d'un triangle {\'e}quilat{\'e}ral.
(Donner les éléments du groupe et la table de multiplication.)
M{\^e}me question pour un carr{\'e}, pour un rectangle.




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\section{Permutations}

\subsection{} Montrer que toute permutation $\sigma \in S_n$ se d{\'e}compose en
$\sigma=\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \dots \circ \sigma_p$, o{\`u} les $\sigma_i$
sont des cycles op{\'e}rants sur des parties disjointes de
$\{1,\dots,n\}$. D{\'e}terminer l'ordre de $\sigma$ en fonction de celui
des $\sigma_i$. 

\subsection{}
Soient {\footnotesize
$a=\begin{pmatrix} 
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
    5 & 6 & 4 & 7 & 3 & 2 & 1 
\end{pmatrix}$,
$b=\begin{pmatrix} 
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
    1 & 4 & 3 & 2 & 7 & 8 & 6 & 5                      
   \end{pmatrix}$ et 
$c=\begin{pmatrix} 
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\
    3 & 7 & 8 & 9 & 4 & 5 & 2 & 1 & 6                  
   \end{pmatrix}
 $.}

Calculer $a^{201}$, $b^{198}$, $c^{1000}$.

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\section{Permutations, suite.}

\subsection{} Montrer que le groupe des permutations $S_n$ est
engendr{\'e} par les transpositions $(1,2),(2,3), \dots,(n-1,n)$.

\subsection{} Monter que $S_n$ est engendr{\'e} par $(1,2), (1,3), \dots,
(1,n)$.

\subsection{} Montrer que $S_n$ est engendr{\'e} par $t=(1,2)$ et
$c=(1,2,\dots,n)$. Indication: calculer $c^k$ et $c^ktc^{-k}$.



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\section{} 

\subsection{} Soient $G$ un groupe abélien et $H$ un sous-groupe de $G$.
Est-il vrai que $G$ est isomorphe {\`a} $H \times (G/H)$ ?


\subsection{} Montrer que cela est bien le cas si $G/H$ est un groupe
isomorphe {\`a} $\ZM$ ou à $\ZM^n$ ($n\in \NM$).
 

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\section{} Décrire tous les groupes qui n'ont pas de sous-groupe non trivial.

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\section{} D{\'e}terminer, {\`a} isomorphisme de groupes pr{\`e}s, tous les
groupes d'ordre $4$ ainsi que ceux d'ordre $6$. (En donner les tables de multiplication.)


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\section{Propri{\'e}t{\'e}s {\'e}l{\'e}mentaires des groupes.}
Les questions suivantes sont largement ind{\'e}pendantes. 

\subsection{} Montrer qu'un groupe o{\`u} tous les {\'e}l{\'e}ments sont d'ordre
$2$ est commutatif.

\subsection{} Montrer qu'un sous-groupe d'indice $2$ est distingu{\'e}.

\subsection{} Montrer qu'un groupe ne peut {\^e}tre égal à
l'union de deux sous-groupes propres.

\subsection{}  Montrer qu'un groupe d'ordre pair possède un
{\'e}l{\'e}ment d'ordre $2$.

\subsection{} Montrer que dans le groupe des automorphismes 
d'un groupe donn{\'e}, l'ensemble des automorphismes int{\'e}rieurs
est un sous-groupe distingu{\'e}.


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\section{} Soient $H$ et $G$ des groupes finis, et $\varphi : H  \to G$ un morphisme
de groupes.

\subsection{}  Montrer que  $\varphi$ induit une application $\hat\varphi$ des classes de
conjugaison de $H$ vers les classes de conjugaison de~$G$.\looseness=-1

\subsection{} On suppose que $\hat\varphi$ est une bijection.
Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme de groupe.

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\section{} Si $G$ est un groupe on note $Z(G)$ le centre de $G$~:
$Z(G)=\{x\in G,\ \forall y\in G,\ xy=yx\}$, c'est à dire l'ensemble des éléments de $G$
qui «~commutent~» avec tous les autres.

\subsection{} Montrer que le centre d'un groupe d'ordre $p^n$
(avec $p$ premier et $n\in\NM^*$) n'est pas réduit à l'élément neutre.
(On pourra montrer que le cardinal des classes de conjugaisons est égal à $1$
ou est multiple de $p$, et conclure.)

\subsection{} Montrer qu'un groupe de cardinal $p^2$ (avec $p$ premier)
est abélien. (On pourra montrer que le groupe est engendré par 2 éléments,
dont l'un au moins est dans son centre.)



\end{document}