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\def \shar{{= \hskip-4mm / \hskip-1mm / \hskip-4mm =}}
 
\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels
\def \PM{\mathbb{P}}%        la droite projective
\def \UM{\mathbb{U}}%        groupe unitaire
 
 
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\begin{document}

\everymath={\displaystyle}

{\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2006} \hfill Emmanuel FERRAND, Laurent KOELBLEN.
\bigskip

\centerline{\bf TD d'Alg{\`e}bre du mercredi 21 novembre 2007}

\bigskip

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\section{}
Effectuer la division euclidienne de $X^m-a^m$ par $X^p-a^p$ et
{\'e}tablir une condition sur $m$ et $p$ pour que le reste soit nul.


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\section{}

Soit $K$ le corps commutatif $\ZM / p \ZM$ : $K=\{0,\alpha_1,\ldots,\alpha_{p-1}\}$.

\subsection{} Montrer qu'un polyn{\^o}me de $K[X]$ de degr{\'e} $d$ ayant $d+1$ racines
est nul.

\subsection{} Est-il vrai qu'un polyn{\^o}me $P$ dont la fonction polynomiale
associ{\'e}e ($K\to K$, $x\mapsto P(x)$) est nulle est nul?

\subsection{}

Montrer que dans $K[X]$,  $\prod_{i=1}^{p-1} (X-\alpha_i) = X^{p-1}-1$.

\subsection{}

Montrer que pour tout nombre premier strictement positif $p$,
$(p-1)!+1$ est divisible par~$p$.

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\section{}

Soit $P\in {\mathbb Z}[X]$, $n\in {\mathbb Z}$ et $m=P(n)$. Montrer
que pour tout $k\in {\mathbb Z}$, $P(n+km)$ est divisible par $m$. En
d{\'e}duire qu'il n'existe pas de polyn{\^o}me non constant $P$ dans ${\mathbb
  Z}[X]$ tel que pour tout $n\in {\mathbb Z}$, $P(n)$ est premier.


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\section{}

\subsection{} Montrer que la racine carr{\'e}e d'un nombre entier est soit un nombre
entier, soit un nombre irrationnel.

\subsection{}  On consid{\`e}re l'ensemble $E$ des r{\'e}els se la forme
$a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}$, o{\`u} $a,b,c$ sont des rationnels.
Montrer que $E$ est un espace vectoiel sur $\QM$, donner sa dimension.

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\section{} Dans l'espace vectoriel des fonctions continues sur $\RM$,
les fonctions $f_n: t \mapsto sin^n(t)$ sont-elles ind{\'e}pendantes?

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{} Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension
finie, et $\phi: E \rightarrow F$ une application lin{\'e}aire.
Montrer qu'il existe une base de $E$ et une base de $F$ telles que la
matrice de $\phi$ dans ces bases soit {\`a} coefficient tous nuls, ou
{\'e}ventuellement {\'e}gaux {\`a} $1$ sur la diagonale.

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\section{} D{\'e}terminer la base duale de la base canonique de $\RM_n[X]$.

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\section{} Soient $x_i, i \in \{0,\dots,n\}$ une suite de $n+1$ r{\'e}els tous distincts.
On consid{\`e}re la famille de formes lin{\'e}aires sur  $\RM_n[X]$ d{\'e}finies par
$\phi_i(P)=P(x_i)$. Montrer qu'elle forme une base de
$R_n[X]^*$. D{\'e}terminer la base duale.

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\section{} On consid{\`e}re la famille de polyn{\^o}mes
$\binom{X}{n}=\prod_{k=1}^n\frac{X-k+1}{k}$, $n \in
\RM$. 


\subsection{} 
Montrer qu'il forment une base de $\RM[X]$. D{\'e}terminer la base
duale (indication: consid{\'e}rer la forme lin{\'e}aire qui {\`a} un polyn{\^o}me $P$
associe $P(1)-P(0)$.)


\subsection{} Soit $P$ un polyn{\^o}me prenant des valeurs enti{\`e}res sur tous les
entiers. Montrer que $P$ est une combinaison lin{\'e}aire {\`a} coefficients
entiers des polynômes $\binom{X}{n}$.

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\section{} Soit $F$ un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de
dimension finie $E$. Soit $F^\bot$ l'ensemble des formes lin{\'e}aires définies
sur $E$ et nulles
sur $F$. Montrer que c'est un sous-espace vectoriel de $E^*$ et
d{\'e}terminer sa dimension en fonction de celle de $F$.



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\section{} Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes et $f : \CM
\rightarrow \CM$ d{\'e}finie par $f(z)=az+b{\bar z}$. Montrer que $f$
induit un endomorphisme de $\RM^2$, dont on explicitera le noyau et
l'image.


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\section{} Donner une condition n{\'e}cessaire et suffisante sur deux
sous-espaces vectoriels $E_1$ et $E_2$ d'une espace vectoriel $E$ {\em
de dimension finie} pour
qu'il existe un automorphisme de $E$ transformant $E_1$ en $E_2$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{} Soit $f$ un endomorphisme nilpotent d'un espace
vectoriel. Montrer que ${\rm Id}+f$ est inversible.


\end{document}