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\def \shar{{= \hskip-4mm / \hskip-1mm / \hskip-4mm =}}
 
\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels
 
 
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\begin{document}

\everymath={\displaystyle}

%\maketitle

{\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2007-2008} \hfill Emmanuel FERRAND, Laurent KOELBLEN.

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\bigskip

\centerline{\bf TD d'Alg{\`e}bre du mercredi 30 janvier 2008}

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\section{Un exo qui figure noir sur blanc dans le programme du capes}

«~La plus grande valeur propre d'un matrice sym{\'e}trique
$A$ est {\'e}gale {\`a} $\sup \left\{ \frac{{}^t\!X\!AX}{{}^t\!X\!X}, \ X \neq 0
\right\}$.~»


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\section{Moindres carr{\'e}s} On consid{\`e}re $p$ vecteurs $V_1,\dots,V_p$ ind{\'e}pendants dans l'espace euclidien $\RM^n$
muni de son produit scalaire standard. Soit $G$ la matrice de Gramm
associ{\'e}e: $G_{i,j}=\langle V_i|V_j\rangle$. 

\subsection{} Montrer que $G$ est d{\'e}finie positive.

\subsection{} Exprimer en fonction de $G$ la distance entre un point de coordonn{\'e}es $X
\in \RM^n$ et le sous-espace vectoriel $F$ engendr{\'e} par
$V_1,\dots,V_p$.

\subsection{} On fait aux instants $t_1,\dots,t_N$ $N$ mesures physiques repr{\'e}sent{\'e}es par $N$
r{\'e}els $m_1,\dots,m_N$. On cherche une fonction affine $f: x \mapsto
f(x)=ax+b$ qui approxime le mieux ces mesures au sens des moindres
carr{\'e}s, i.e. on cherche les deux r{\'e}els $a$ et $b$ tels que
$$\sum_{i=1}^{N}|a t_i + b -m_i|^2$$ soit le plus petit possible. 
Montrer que  $a$ et $b$ existent, et donner leur expression en
fonction des $m_i$ et des $t_i$. Pr{\'e}ciser cette expression dans le cas
$N=5$, $t_1=-2,t_2=-1,t_3=0,t_4=1,t_5=2$.

\subsection{} M{\^e}me question pour une approximation par un polyn{\^o}me de
degr{\'e} 2 : $f(x)=ax^2+bx+c$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%{\`u}

\section{}

On consid{\`e}re donc la forme bilin{\'e}aire $(M,N)\mapsto {\rm tr}( {}^t\!MN)$, sur $M_n(\RM)$.

\subsection{}
D{\'e}terminer l'orthogonal de l'espace des matrices diagonales, en donner
une base orthonorm{\'e}e.

\subsection{}
D{\'e}terminer l'orthogonal de la droite des matrices scalaires.
En donner une base orthonorm{\'e}e pour n=3.

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\section{} (cours) Etablir la formule donnant la distance d'une droite $D$ {\`a} un point $M$,
la droite etant d{\'e}finie par un point $A$ et un vecteur $\overrightarrow V$~:
$$
d= \frac{\Vert\overrightarrow{AM}
\wedge \overrightarrow V \Vert}{\Vert \overrightarrow V \Vert}.$$
D{\'e}terminer la distance entre la droite $D$ passant par $0$ et dirig{\'e}e par $(1,1,1)$
et la droite $D'$ d'{\'e}quations $z=0, y+x=1$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{} Miroir parabolique: les rayons parall{\`e}les {\`a} l'axe d'une parabole sont r{\'e}fl{\'e}chis
en un point (le foyer). Etablir cette propri{\'e}t{\'e} par le calcul.
(Indication: montrer qu'on peut supposer la parabole d{\'e}finie par l'{\'e}quation $y=\frac{x^2}2$)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{}
Soit $M=\left(
\begin{array}{rrr}
 8 & 1 & -4 \\
-4 & 4 & -7 \\
 1 & 8 &  4 \\
\end{array}
\right)$.
Reconna{\^\i}tre la transformation de $\mathbb R^3$ de matrice $M$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{} Montrer que l'hyperboloide de r{\'e}volution {\`a} une nappe est
une surface r{\'e}gl{\'e}e (i.e. que c'est une union de droites).

\end{document}