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\def \shar{{= \hskip-4mm / \hskip-1mm / \hskip-4mm =}}
 
\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels

\def\dd{{\mathrm d}}
 
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\begin{document}

\everymath={\displaystyle}

%\maketitle

{\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2007-2008} \hfill Emmanuel FERRAND, Laurent KOELBLEN.

\bigskip
\bigskip

\centerline{\bf TD d'Alg{\`e}bre du mercredi 6 février 2008}

\bigskip
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{}

Dans $\RM^3$, on considère un cône de révolution $V$, de sommet $O$ et
d'axe $Oz$ et un plan $P$ ne passant pas par $O$.
L'intersection de $P$ et de $V$ est une conique $C$.

\subsection{}
Montrer qu'il y a en général 2 sphères $S$ et $S'$ qui sont à la fois~:

\begin{enumerate}
\item
tangentes à $P$
\item
«~coincée dans le cône $V$ comme une boule dans un cornet de glace~»
(c'est à dire tangente au cône le long d'un cercle).
\end{enumerate}

Quelle est la nature de la conique $C$ en fonction de la position
de $S$ et $S'$ par rapport au plan $z=0$~?

\subsection{}
Dans quel cas y a-t-il une seule sphère vérifiant les propriétés (i) et (ii)~?
(Décrire la position du plan $P$ par rapport au cône $V$.)
Quelle est la nature de la conique $C$ dans ce cas~?

\subsection{}
Dans le premier cas, on considère les points de contact $F$ et $F'$ de $P$
avec $S$ et $S'$. Montrer que $F$ et $F'$ sont les foyers de la conique.
(Indication : Noter $T$ le cercle de tangence entre $S$ et $V$.
Si $M$ est un point de $C$, considérer la droite $\Delta$ du cône
$V$ passant par $M$, et le point $N$ intersection de $\Delta$ avec $T$.
Montrer que $MF=MT$. Conclure.) 

\subsection{}
Application : On considère une orange sphérique posée sur une table,
éclairées par une source lumineuse ponctuelle.
Montrer que l'ombre de l'orange sur la table est délimitée par une
ellipse, et que le point de contact entre l'orange et la table en est
l'un des foyers.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{}

Dans $\RM^3$, on considère la sphère unité $S$, le point $N=(0,0,1)$
et le plan $P$ d'équation $z=0$.

À tout point $M$ de $S$, différent de $N$, on associe le point
$M'$, intersection de $P$ avec la droite $(NM)$.

L'application ainsi définie $\pi : S\setminus \{N\} \to P$ s'appelle la
projection stéréographique de $S$ sur $P$, de centre $N$.

\subsection{}
Montrer que l'image par $\pi$ d'un cercle tracé sur $S$ et passant
par $N$ est une droite de $P$ et vice-versa.

\subsection{}
Montrer que l'image par $\pi$ d'un cercle tracé sur $S$ et ne passant
pas par $N$ est un cercle de $P$ et vice-versa.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{} 
\subsection{} Montrer que deux coniques se rencontrent en au maximum 4 points.

\kern -\jot

\subsection{} Montrer que par 5 points du plan,non aligné 3~à~3,
passe une unique conique.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Mouvement des planètes}

On considère un mouvement $t\mapsto (x(t),y(t))$ dans le plan
privé de l'origine tel que les fonctions $x$ et $y$ soient solutions du système d'équations
différentielles
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\dd^2x}{\dd t^2}(t)=\frac{-x(t)}{r(t)^3}\\
\frac{\dd^2y}{\dd t^2}(t)=\frac{-y(t)}{r(t)^3}\\
\end{array}
\right.
$$
où $r(t)=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}$.

On admet que cela modélise le mouvement d'un corps soumis à
l'attraction du soleil. Le but de l'exercice est de montrer que les
trajectoires possibles du mouvement sont des coniques.

\subsection{} On pose
$C(t)= \det \left(
\begin{array}{cc}
x(t) & \frac{\dd x}{\dd t}(t) \\
\noalign{\vskip\jot}
y(t) & \frac{\dd y}{\dd t}(t) \\
\end{array}
\right)$.
Montrer que $C(t)$ est un fonction constante.

\subsection{} Montrer que la fonction $r(t)$ est solution d'une équation
différentielle de la forme $$ \frac{\dd^2x}{\dd t^2}(t)=\frac{-r(t)}{r(t)^3}
+ G(t).$$ Exprimer la fonction $G(t)$ en fonction de $r(t)$ et de $C$.

\kern -\jot

\subsection{Astuce de Lagrange.} Montrer que la fonction $r(t)$ est
solution d'une équation diffé\-ren\-tielle linéaire du second ordre $(E)$, non
homogène, à coefficients non constants, et que les fonctions $x(t)$ et
$y(t)$ sont solutions de l'équation homogène $(E_0)$ associée.

\kern -\jot

\subsection{} Trouver une fonction constante solution de
l'équation $(E)$ (exprimer cette solution en fonction de $C$).

\kern -\jot

\subsection{} Montrer qu'il existe des constantes $a,b$ et $c$ telles
que $r(t)=ax(t)+by(t)+c$. (Penser au théorème fondamental sur la structure de
l'espace des solutions des équations différentielles linéaires).

\kern -\jot

\subsection{} En déduire que les trajectoires possibles du
mouvement $t\mapsto (x(t),y(t))$ sont des coniques.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}