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\def \shar{{= \hskip-4mm / \hskip-1mm / \hskip-4mm =}}
 
\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels
\def \PM{\mathbb{P}}%        la droite projective
\def \UM{\mathbb{U}}%        groupe unitaire
\def \KM{\mathbb{K}}%        un corps
\def \Id{\mathrm{Id}}%        un corps
 
 
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\begin{document}

\everymath={\displaystyle}

{\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2008-2009} \hfill Emmanuel Ferrand, Laurent Koelblen, Matthieu Romagny.
\bigskip

\begin{center}
\bfseries
\Large
Lundi 26 janvier 2009\\
\Huge
Transformations affines
\end{center}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{}

Soit $E$ un espace affine, $t_{v}:E\to E$ une translation de vecteur $v$
et $f:E\to E$ une application affine bijective. Montrer que $ f\circ t_{v}\circ f^{-1} = t_{f(v)}$.

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\section{}

Démontrer, en utilisant une homothétie ou une translation, le théorème
de Desargues : si $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$ et $C'$ sont 6 points distincts
du plan tels que $AB/\!/A'B'$,  $BC/\!/B'C'$ et  $CA/\!/C'A'$, alors les droites
$(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$ sont concourantes ou parallèles.

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\section{}

Démontrer, en utilisant une homothétie ou une translation, le théorème
de Pappus : si $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$ et $C'$ sont 6 points distincts
du plan tels que $A,B,C$ sont alignés, $A'\!,B'\!,C'$ sont alignés, $AB'/\!/BA'$ et
$BC'/\!/CB'$, alors $CA'/\!/AC'$.

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\section{}

Soit $ABCD$ un tétraèdre, $G_1$ l'isobarycentre de $ABC$ et $G_2$
l'isobarycentre de $BCD$. Montrer à l'aide d'une projection que $(G_1G_2)$
est parallèle à $(AD)$.

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\section{}\label{symcentrales}

Soient $A,B,C$ trois points distincts du plan et $s_A,s_B,s_C$ les symétries de
centre $A,B,C$. Montrer que $s_A\circ s_B\circ s_C = s_C\circ s_B\circ s_A$
et que cette application est une symétrie de centre $D$ tel que
$ABCD$ est un parallélogramme.

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\section{}

Dans le plan affine, on se donne les milieux $I,J,K$ des côtés d'un triangle
$ABC$ inconnu. Construire $A$, $B$ et $C$ à l'aide des symétries $s_I$, $s_J$
et $s_K$.

Généraliser cette construction à un polygone ayant un nombre impair de sommets.

Que se passe-t-il pour un polygone ayant un nombre pair de sommets ?

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\section{}

Décrire le groupe des applications affines laissant invariant un parallélogramme
$ABCD$ de centre $O$.

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\section{}

Soit $E$ un espace affine euclidien et $f:E\to E$ une application qui conserve
la distance : $\forall (A,B)\in E^2 : f(A)f(B) = AB$.

\begin{enumerate}

\item \label{QH}
Soit $A\in E$ tel que $f(A)\not=A$, et soit $H$ l'hyperplan médiateur
du segment $[A,f(A)]$. Montrer que si $f(B)=B$ alors $B\in H$.

\item
On suppose que $f$ a des points fixes et on note $F$ le sous-espace affine
de $E$ engendré par les points fixes de $f$.
Montrer que si $F=E$, alors $f=\Id$. (Utiliser 
(\ref{QH}) et raisonner par l'absurde.)

\item
Soit $A$ et $H$ comme dans la question (\ref{QH}) et $g=s_H\circ f$.
Montrer que $A$ est un point fixe de $g$.
Montrer que si $f$ a des points fixes, alors $F\subsetneq G$,
où $F$ (respectivement $G$) est le sous-espace affine de $E$ engendré
par les points fixes de $f$ (respectivement de $g$).

\item
Si $f$ a des points fixes, on note $F$ le sous-espace affine de $E$
engendré par les points fixes de $f$, et $k=\dim F$, sinon on pose
$F=\emptyset$, et $k=-1$. Montrer par récurrence sur $k$ que
$f$ peut s'écrire comme produit d'au plus $\dim E-k$
réflexions. En déduire que $f$ peut s'écrire comme produit d'au plus
$\dim E+1$ réflexion et que $f$ est une application affine.

\item
On suppose que $f$ a des points fixes et on pose $F$ et $k$ 
comme dans la question précédente. Soit $p$ minimum tel que
$f$ puisse s'écrire comme produit de $p$ réflexions.
Montrer que $p=\dim E-k$.

\end{enumerate}

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\section{}

Soient $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ deux cercles du plan euclidien
sécants en $A$ et $B$ ($A\not=B$).
Démontrer l'existence d'une
rotation $r_\theta$ de centre $A$ qui transforme $\mathcal{C}$ en $\mathcal{C}'$.
Soit $M\in \mathcal{C}$ et $M'=r_\theta(M)\in \mathcal{C}'$. Montrer que $M$,
$B$ et $M'$ sont alignés.

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\section{}

Soit $M_0,\ldots,M_7$ sept points sur un cercle $\mathcal{C}$ du plan
euclidien tels que $$
\forall i : 0\leq i \leq 3 \Longrightarrow
(M_i,M_{i+1}) /\!/ (M_{i+3},M_{i+4}).$$
Montrer que $M_7=M_0$. (Utiliser le résultat de l'exercice
\ref{symcentrales}.)

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\section{}

Soit $ABCD$ un quadrilatère convexe, orienté dans le sens direct,
et $P,Q,R,S$ les centres des quatre
carrés construits sur les segments $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$
à l'«~extérieur~» du quadrilatère. Montrer que les segments $[PR]$ et
$[QS]$ sont orthogonaux et ont même longueur.

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\section{}

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\end{document}