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\def \shar{{= \hskip-4mm / \hskip-1mm / \hskip-4mm =}}
 
\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels
\def \PM{\mathbb{P}}%        la droite projective
\def \UM{\mathbb{U}}%        groupe unitaire
\def \KM{\mathbb{K}}%        un corps
\def \Id{\mathrm{Id}}%        un corps
\def \ar#1{\overrightarrow{\!#1}} 
\def \Ar#1{\,\overrightarrow{\!#1\,}\!} 

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\begin{document}

\everymath={\displaystyle}

{\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2008-2009} \hfill Emmanuel Ferrand, Laurent Koelblen, Matthieu Romagny.
\bigskip

\begin{center}
\bfseries
\Large
Lundi 9 février 2009\\
\Huge
Cercles
\end{center}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{}

Soient $A$ et $B$ deux points distincts d'un plan euclidien et $\mathcal C$ le cercle de diamètre $[A,B]$. Montrer que $M\in\mathcal C \Longleftrightarrow
\,\widehat {\!AMB\,}\!$ est un angle droit.

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\section{Cercle d'Apollonius}\label{apollonius1}

Soient $A$ et $B$ deux points distincts d'un plan euclidien et $k\in\RM$ tel
que $k\not=0$ et $k\not=1$.
Soient $C$ le barycentre de $(A,1)$ et $(B,k)$
et $D$ le barycentre de $(A,1)$ et $(B,-k)$.

\begin{enumerate}

\item
Montrer que $MA/MB=k \Longleftrightarrow \Ar{MC}. \Ar{MD}=0$.

\item
En déduire que l'ensemble des points $M$ du plan
tels que $MA/MB=k$ est un cercle $\mathcal C$
dont le centre $\Omega$ est sur la droite $(AB)$ et dont
on précisera les coordonnées barycentriques.

\end{enumerate}

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\section{}

\textbf{Rappel :}
On considère un plan euclidien muni d'un repère orthonormé
$(O,\ar u,\ar v)$.

\begin{enumerate}

\item
Si $(x,y)$ sont les coordonnées d'un point $M$, 
le nombre complexe $z=x+{\mathrm i} y$ s'appelle l'affixe de $M$.

\item
Si $A,B,C$ sont 3 points d'affixes $a,b,c$. L'angle 
$\,\widehat {\!ABC\,}\!$ est égal à l'argument de $\frac{c-b}{a-b}$.

\item
Quatre points $A,B,C,D$ du plan euclidien, d'affixes $a,b,c,d$,
sont cocycliques ou alignés si et seulement si
$\frac{c-b}{a-b}\times \frac{a-d}{c-d}$ est un nombre réel.

\end{enumerate}

\textbf{Application :}
Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan euclidien et $\alpha \in \,\,]0,\pi[$. Montrer que l'ensemble des points $M$ du plan tels que
$\,\widehat {\!AMB\,}\! = \alpha \pmod \pi$ est un cercle $\mathcal C$
passant par $A$ et $B$ (privé de $A$ et $B$). Montrer que le centre $O$
de $\mathcal C$ est situé sur la médiatrice de $[A,B]$ et que
$\,\widehat {\!AOB\,}\!=2\alpha$.
Préciser sur ce cercle quels sont les ensembles des points $M$ vérifiant
$\,\widehat {\!AMB\,}\! = \alpha $ d'une part, et $\,\widehat {\!AMB\,}\! =
\alpha -\pi$ d'autre part.

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\section{}

Soient $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ deux cercles du plan euclidien tangent
en un point $I$ et $\Delta$ une droite tangente à $\mathcal C$ en $A$
et tangente à $\mathcal C'$ en $B$ avec $A\not = B$. Montrer que 
$\,\widehat {\!AIB\,}\!$ est un angle droit.

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\section{}

Dans un plan affine euclidien on considère un point $O$ et
trois cercles $\mathcal C,C',C''$ de même rayon $R$,
passant par $O$.
Soient $A,B,C$ tels que ${\mathcal C} \cap {\mathcal C'}=\{O,A\}$,
${\mathcal C'} \cap {\mathcal C''}=\{O,B\}$ et
${\mathcal C} \cap {\mathcal C''}=\{O,C\}$. Montrer que le cercle
circonscrit à $ABC$ est de rayon $R$.

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\section{Droite radicale de deux cercles}

Soient $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ deux cercles non
cocycliques du plan euclidien.

\begin{enumerate}

\item
Montrer que l'ensemble des points du plan, qui ont la même puissance
par rapport aux deux cercles, est une droite $\Delta$.

\item
On suppose que $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ ne sont pas concentriques
et on considère une droite tangente à $\mathcal C$ en $A$ et à $\mathcal C'$
en $A'$. Montrer que le milieu de $[A,A']$ est sur $\Delta$.
En déduire une construction de $\Delta$.\looseness -1

\item
Montrer que si les cercles se coupent en deux points distinct $A$ et $B$, 
alors $\Delta=(AB)$.

\item
Montrer que si les cercles sont tangent en $I$, alors $\Delta$
est égale à la tangente commune en $I$ aux deux cercles.

\item
Si $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ sont concentriques, on considère
un cercle $\mathcal C''$ coupant $\mathcal C$ en deux points distincts
$A$ et $B$ et $\mathcal C'$ en deux points distincts $A'$ et $B'$.
On suppose que les droites $(AB)$ et $(A'B')$ se coupent en $I$.
Montrer que $I$ appartient à $\Delta$. En déduire une construction $\Delta$
dans ce cas.

\item
Soit $\mathcal C''$ un cercle orthogonal à $\mathcal C$ et à $\mathcal C'$.
Montrer que son centre est sur $\Delta$.

\end{enumerate}

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\section{}

Soient $\Delta$ et $\Delta'$ deux droites non coplanaires
et orthogonales d'un espace affine euclidien de dimension~3.
On note $a$ la distance entre ces deux droites et on fixe $k>a$.
Soient $M\in \Delta$ et $M'\in\Delta'$ tels que $MM'=k$ et $I$
le milieu de $[M,M']$. Montrer que $I$ est sur un cercle dont
on précisera le rayon et la position par rapport à $\Delta$ et $\Delta'$.
(Il sera judicieux de faire un calcul dans un repère bien choisi.)

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\section{Cercle d'Apollonius --- suite de l'exercice \ref{apollonius1}}

Soit $M\in \mathcal C$ tel que $M\not=A$ et $M\not=B$. Montrer
que $(MC)$ et $(MD)$ sont les bissectrices de $(MA)$ et $(MB)$.
(Indication : si $a,b,c,d,z$ sont les affixes respectives de $A,B,C,D,M$ on pourra
remarquer que $M\in\mathcal C \Longleftrightarrow \left| \frac{z-a}{z-b} \right|=k$.
En posant $\frac{z-a}{z-b}=ke^{{\mathrm i}\theta}$ on pourra alors calculer
les arguments de $\frac{z-a}{z-c}$, $\frac{z-c}{z-b}$,
$\frac{z-a}{z-d}$ et $\frac{z-d}{z-b}$.)

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\section{}

On considère un espace affine euclidien de dimension $3$ muni d'un repère
orthonormé $(O,\ar u,\ar v, \ar w)$ et $A,B,C$ trois points tels que 
$\Ar {OA},\Ar {OB},\Ar {OC}$ soient 2 à 2 orthogonaux et de même norme
$R$. On note $A',B',C'$ leurs projections orthogonales sur le plan
$(O, \ar u,\ar v)$ et $a,b,c$ les affixes respectives de $A',B',C'$.
Montrer que $|a|^2+|b|^2+|c|^2=2R^2$ et $a^2+b^2+c^2=0$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\end{document}