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\def \shar{{= \hskip-4mm / \hskip-1mm / \hskip-4mm =}}
 
\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels
\def \PM{\mathbb{P}}%        la droite projective
\def \UM{\mathbb{U}}%        groupe unitaire
\def \KM{\mathbb{K}}%        un corps
\def \Id{\mathrm{Id}}%        un corps
\def \ar#1{\overrightarrow{\!#1}} 
\def \Ar#1{\,\overrightarrow{\!#1\,}\!} 

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\begin{document}

\everymath={\displaystyle}

{\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2008-2009} \hfill Emmanuel Ferrand, Laurent Koelblen, Matthieu Romagny.
\bigskip

\begin{center}
\bfseries
\Large
Mercredi 11 février 2009\\
\Huge
Cercles et sphères
\end{center}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{}

Dans l'espace euclidien de dimension 3, on considère deux cercles
$\mathcal C$ et $\mathcal C'$ tracés
sur deux plans distincts $\mathcal P$ et $\mathcal P'$
et sécants en deux points.

\begin{enumerate}

\item
Montrer qu'il existe une unique
sphère $\mathcal S$ contenant ces deux cercles.

\item Montrer que tout cercle $\mathcal C''$ tracé sur
un plan $\mathcal P''$ différent de $\mathcal P$ et $\mathcal P'$,
et rencontrant $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ en deux points chacun,
est tracé sur $\mathcal S$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Projection stéréographique}

On munit $\RM^3$ du repère euclidien canonique noté $(O, \ar u,\ar v,\ar w)$.

Soit ${\mathcal P} \subset \RM^3$ le plan engendré par $(O, \ar u,\ar v)$,
${\mathcal S}=\{(x,y,z),\ x^2+y^2+z^2=1\} \subset \RM^3$ la sphère unité
et $N\in {\mathcal S}$, de coordonnées $(1,0,0)$, le «~pôle nord~» de
${\mathcal S}$.

\begin{enumerate}

\item
Soit $M=(x,y,z)\in {\mathcal S}$ avec $M\not=N$.
Calculer les coordonnées $(X,Y)$ dans le repère $(O, \ar u,\ar v)$
du point $P$, intersection de la droite $(NM)$ avec ${\mathcal P}$.

\item
Montrer que l'application ainsi définie, $\pi : {\mathcal S}\setminus \{N\} \to
{\mathcal P}$, est une bijection. On exprimera les coordonnées $(x,y,z)$ du
point $M=\pi^{-1}(P)$ en fonction des coordonnées $(X,Y)$ de $P$.

\item
Soit ${\mathcal C}$ un cercle tracé sur ${\mathcal S}$ et ne passant pas par
$N$. ${\mathcal C}$ est égal à l'intersection de ${\mathcal S}$ avec un plan
$\Pi$ d'équation $ax+by+cz+d=0$, avec $c+d\not=0$.\\
Soit $M\in {\mathcal C}$
de coordonnées $(x,y,z)$ et $P=\pi (M)$ de coordonnées $(X,Y)$. Montrer que
$X^2+Y^2 = \frac{1+z}{1-z}$ et montrer que cette dernière fraction peut
s'exprimer sous la forme $\alpha X + \beta Y +\gamma$ avec 
$(\alpha,\beta,\gamma)\in \RM^3$.\\[\medskipamount]
En déduire que la projection stéréographique de ${\mathcal C}$ est un cercle
du plan ${\mathcal P}$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\end{document}