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\def \shar{{= \hskip-4mm / \hskip-1mm / \hskip-4mm =}}
 
\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels

\def\dd{{\mathrm d}}
 
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\begin{document}

\everymath={\displaystyle}

%\maketitle

{\small {\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2008-2009} \hfill Emmanuel Ferrand, Laurent Koelblen, Matthieu Romagny.}

\bigskip

\begin{center}
\bfseries
\Large
Mercredi 18 février 2009\\
\Huge
Coniques
\end{center}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Intersection de coniques}

Montrer que deux coniques $C_1$ et $C_2$ se rencontrent en au maximum 4 points.
(Si $F_1(x,y)=0$ et $F_2(x,y)=0$ sont les équations de $C_1$ et $C_2$,
on pourra montrer qu'il y a au moins une conique d'équation
$F_1(x,y)+tF_2(x,y)=0$ qui est dégénérée.)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Mouvement des planètes}

On considère un mouvement $t\mapsto (x(t),y(t))$ dans le plan
privé de l'origine tel que les fonctions $x$ et $y$ soient solutions du système d'équations
différentielles
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\dd^2x}{\dd t^2}(t)=\frac{-x(t)}{r(t)^3}\\
\frac{\dd^2y}{\dd t^2}(t)=\frac{-y(t)}{r(t)^3}\\
\end{array}
\right.
$$
où $r(t)=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}$.

On admet que cela modélise le mouvement d'un corps soumis à
l'attraction du soleil. Le but de l'exercice est de montrer que les
trajectoires possibles du mouvement sont des coniques.

\subsection{} On pose
$C(t)= \det \left(
\begin{array}{cc}
x(t) & \frac{\dd x}{\dd t}(t) \\
\noalign{\vskip\jot}
y(t) & \frac{\dd y}{\dd t}(t) \\
\end{array}
\right)$.
Montrer que $C(t)$ est un fonction constante.

\subsection{} Montrer que la fonction $r(t)$ est solution d'une équation
différentielle de la forme $$ \frac{\dd^2x}{\dd t^2}(t)=\frac{-r(t)}{r(t)^3}
+ G(t).$$ Exprimer la fonction $G(t)$ en fonction de $r(t)$ et de $C$.

\kern -\jot

\subsection{Astuce de Lagrange.} Montrer que la fonction $r(t)$ est
solution d'une équation diffé\-ren\-tielle linéaire du second ordre $(E)$, non
homogène, à coefficients non constants, et que les fonctions $x(t)$ et
$y(t)$ sont solutions de l'équation homogène $(E_0)$ associée.

\kern -\jot

\subsection{} Trouver une fonction constante solution de
l'équation $(E)$ (exprimer cette solution en fonction de $C$).

\kern -\jot

\subsection{} Montrer qu'il existe des constantes $a,b$ et $c$ telles
que $r(t)=ax(t)+by(t)+c$. (Penser au théorème fondamental sur la structure de
l'espace des solutions des équations différentielles linéaires).

\kern -\jot

\subsection{} En déduire que les trajectoires possibles du
mouvement $t\mapsto (x(t),y(t))$ sont des coniques.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Théorème de Dandelin}

Dans $\RM^3$, on considère un cône de révolution $V$, de sommet $O$ et
d'axe $Oz$ et un plan $P$ ne passant pas par $O$ et non orthogonal à $Oz$.
L'intersection de $P$ et de $V$ est une conique $C$.

\subsection{}\label{cas1}
Montrer qu'il y a en général 2 sphères $S$ et $S'$ qui sont à la fois~:
\begin{itemize}
\item
tangentes à $P$
\item
«~coincée dans le cône $V$ comme une boule dans un cornet de glace~»
(c'est à dire tangente au cône le long d'un cercle).
\end{itemize}
On pourra considérer les équations suivantes :
\begin{itemize}
\item $V$ : $(az)^2=x^2+y^2$ (avec $a>0$),
\item $P$ : $z=bx+c$ (avec $b\not=0$),
\item $S$ : $x^2+y^2+(z-d)^2=R^2$
\end{itemize}
et écrire les relations nécessaires pour déterminer $d$ et $R$
en fonction de $a,b,c$.

\subsection{}
Dans quel cas y a-t-il une seule sphère vérifiant les propriétés (i) et (ii)~?
(Décrire la position du plan $P$ par rapport au cône $V$.)

\subsection{}
On considère :
\begin{itemize}
\item $F$ le point de contact de $P$ avec $S$,
\item $\Gamma$ le cercle de contact de $V$ et $S$,
\item $\Pi$ le plan contenant $\Gamma$ (orthogonal à $Oz$),
\item $\Delta$ la droite d'intersection des plans $P$ et $\Pi$.
\end{itemize}

Soient $M$ un point de $C$ et :
\begin{itemize}
\item $D$ la directrice du cône $V$ passant par $M$,
\item $N$ le point d'intersection de $D$ avec $\Gamma$.
\end{itemize}
Montrer que $MF=MN$. Soient alors :
\begin{itemize}
\item $K$ le projeté orthogonal du point $M$ sur le plan $\Pi$,
\item $H$ le projeté orthogonal des points $M$ et $K$ sur $\Delta$.
\end{itemize}
Montrer que tous les triangles $MKN$ ainsi obtenus sont semblables,
et qu'il en est de même de tous les triangles $MKH$. Déduire de
ce qui précède que le rapport $\frac{MF}{MH}$ ne dépend pas de $M$.

\subsection{}
Dans le premier cas (question \ref{cas1}), on considère les points de contact
$F$ et $F'$ de $P$ avec $S$ et $S'$. Montrer que $F$ et $F'$ sont les foyers
de la conique.

\subsection{}
Application : On considère un objet sphérique posée sur une table,
éclairés par une source lumineuse ponctuelle.
Quelle est la forme de l'ombre portée sur la table~?
À quoi correspond le point de contact entre l'objet sphérique et la table~?

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}