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\def \shar{{= \hskip-4mm / \hskip-1mm / \hskip-4mm =}}
 
\def \RM{\mathbb{R}}%        corps des reels
\def \NM{\mathbb{N}}%        entiers naturels
\def \ZM{\mathbb{Z}}%        entiers relatifs
\def \CM{\mathbb{C}}%        nombres complexes
\def \QM{\mathbb{Q}}%        nombres rationnels
\def \PM{\mathbb{P}}%        la droite projective
\def \UM{\mathbb{U}}%        groupe unitaire
 
 
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\begin{document}

\everymath={\displaystyle}

{\bf Pr{\'e}pa CAPES UPMC 2008-2009} \hfill
Emmanuel Ferrand, Laurent Koelblen, Matthieu Romagny.
\bigskip

\begin{center}
\bfseries
\Large
Lundi 12 janvier 2009\\
\Huge
Géométrie affine
\end{center}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{}

\subsection{} Dans le plan considère 3 points non alignés  $A$, $B$ et $C$. Construire le barycentre de $A$,
$B$ et $C$ affectés des coefficients $-1$, $1$, $1$.

\subsection{} Dans le plan considère 4 points $A$, $B$, $C$ et $D$ non alignés 3 par 3.
Construire le barycentre de $A$, $B$, $C$ et $D$ affectés des coefficients $1$, $2$, $3$, $4$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{}

Montrer que 2 triangles $ABC$ et $A'B'C'$ ont le même centre de gravité si et seulement
si $\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{CC'} = 0$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{}

Soit $ABCD$ un quadrilatère, $I$, $J$, $K$ et $L$ les milieux respectifs des
segments $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$. Montrer que $IJKL$ est un 
parallélogramme.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{}

Soient  $\Delta_1,\ldots,\Delta_4$ 4 droites distinctes du plan, concourantes 2 à 2
et non concourantes 3 à 3. On note $P_{ij}=\Delta_i \cap \Delta_j$ (pour $1\leq i<j\leq 4$), $Q_1$ le milieu 
de $[P_{12},P_{34}]$, $Q_2$ celui de $[P_{13},P_{24}]$ et $Q_3$ celui de $[P_{14},P_{23}]$.
Montrer que ces 3 milieux sont alignés.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{}

Soit $ABC$ un triangle non plat.

\subsection{}
Soit $\Delta$ une droite qui coupe $(BC)$ en $P$,
$(CA)$ en $Q$ et $(AB)$ en $R$. Montrer la relation de Ménélaüs~:
$\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}} \, \frac{\overline{QC}}{\overline{QA}} \,
\frac{\overline{RA}}{\overline{RB}} = 1$

\subsection{}
Montrer la réciproque : si $P$, $Q$ et $R$ sont des points respectivement situés sur
les droites $(BC)$, $(CA)$ et $(AB)$, et vérifiant la relation précédente, alors il sont alignés.

\subsection{}
En déduire le théorème de Ceva : si $P$, $Q$ et $R$ sont des points respectivement situés sur
les droites $(BC)$, $(CA)$ et $(AB)$, alors les droites $(AP)$, $(BQ)$ et $(CR)$ sont concourantes
ou parallèles si et seulement si $\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}} \, \frac{\overline{QC}}{\overline{QA}} \,
\frac{\overline{RA}}{\overline{RB}} = -1$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{} On considère un triangle $ABC$ et on note $(\alpha, \beta,\gamma)$
les coordonnées barycentriques d'un point $P$, par rapport à $A,B,C$.

\subsection{} Montrer que, pour tout point $M$, on a : $$\alpha MA^2+\beta MB^2+\gamma MC^2
= (\alpha+ \beta+\gamma)MP^2+\alpha PA^2+\beta PB^2+\gamma PC^2.$$

\subsection{} Montrer que $P$ appartient au cercle circonscrit au triangle $ABC$
si et seulement si : $$\alpha PA^2+\beta PB^2+\gamma PC^2=0.$$

\subsection{} Montrer que cette dernière condition est équivalente à :
$$\frac{a^2}\alpha + \frac{b^2}\beta + \frac{c^2}\gamma=0$$
 où $a,b,c$ sont les longueurs des cotés $BC, AC, BC$
(en supposant que $\alpha, \beta,\gamma$ sont non nuls).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{}

Étant donné un tétraèdre $ABCD$ et un plan $P$ dans $\RM^3$, à quelle condition
la projection orthogonale $A'B'C'D'$ de $ABCD$ sur $P$ est-elle un
parallélogramme~? (Donner une condition la plus simple possible.)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{}

\subsection{}
Déterminer une équation du plan passant par $A=(-1,1,2)$, $B=(2,1,-1)$, $C=(-1,1,1)$.
\subsection{}
Déterminer une équation du plan passant par $A=(a,0,0)$, $B=(0,B,0)$, $C=(0,0,c)$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{}

Soit $OABC$ un tétraèdre tri-orthogonal ($\overrightarrow{OA}$, 
$\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OC}$ sont deux à deux
orthogonaux) et soient $G$ l'isobarycentre de ce tétraèdre
et $S$ le symétrique de $O$ par rapport a $G$.
Montrer que $S$ est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{} On considère dans le plan :
\begin{itemize}
\item un triangle $ABC$,
\item les projections orthogonales $A',B',C'$ des points $A,B,C$ sur l'axe $Ox$,
\item la droite $\Delta_A$ passant pas $A'$, perpendiculaire à $BC$,
\item la droite $\Delta_B$ passant pas $B'$, perpendiculaire à $AC$,
\item la droite $\Delta_C$ passant pas $C'$, perpendiculaire à $AB$.
\end{itemize}

Montrer que ces 3 droites sont concourantes.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}