Marco Maculan


2016-17

Espaces vectoriels euclidiens et hermitiens, isométries affines (2M271)

Polycopié du cours (par Laurent Koelblen, Patrick Polo)

Avancement du cours

Cours 1:
- Définition de forme bilinéaire symétrique, forme quadratique
- Matrice associée à une forme quadratique, formule de changement de base
- Noyau, cône isotrope, rang

Cours 2:
- Orthogonal d'un sous-espace, formule pour la dimension
- Discriminant d'une forme quadratique
- Bases orthogonales et leur existence

Cours 3:
- Classification des formes quadratiques sur C
- Signature, théorème de Sylvester et classification sur R
- Discriminant et classification sur F_p

Cours 4:
- Écriture d'une forme quadratique comme somme de carrés de formes linéaires : algorithme de Gauss
- Sous-espaces totalement isotropes, existence et dimension dans le cas réel

Cours 5:
- Espaces euclidiens : produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz, norme.
- Bases orthonormées
- Symétries et projections orthogonales

Cours 6:
- Procédé de Gram-Schmidt
- Isométries (pour une forme quadratique non dégénérée Q quelconque)
- groupes O(Q), SO(Q), O(n), SO(n)

Cours 7:
- Endomorphismes auto-adjoints
- Diagonalisation d'endomorphismes auto-adjoints en base ortnonormée

Cours 8:
- Propriétés générales des isométries de R^n
- Classification des isométries de R^2 : rotations et isométries
- Début de la classification en dimension 3

Cours 9 (Sophie MORIER-GENOUD):
- Classification des isométries de R^3. Exemples.
- Propriétés du produit vectoriel sans démonstration (paragraphe 2.4.19 du polycopié).

Cours 10 (Emmanuel LEPAGE):
- Formes hermitiennes. Définition et propriétes de base.

Cours 11 :
- Inégalité de Cauch-Schwarz
- Isométries, endomorphismes auto-adjoints, normaux.
- énoncé du théorème de diagonalisation en base orthonormée pour les endomorphismes normaux.

Cours 12 :
- Preuve du théorème de diagonalisation.
- Cauchy-Schwarz et le principe d'incertitude de Heisenberg

Examen du 16 mai 2017. sujet et corrigé

Algèbre linéaire 2, espaces affines

Voir page de Vincent Humilière.

Espaces vectoriels euclidiens et hermitiens, isométries affines pour Math-Bio (2M271MB)

Polycopié du cours (par Laurent Koelblen, Patrick Polo)
Sujet et corrigê du 11/5/2016.
Sujet et corrigê du 16/6/2016.

Arithmétique (2M220)

Feuilles de TD : 1 (corrigé), 2 (corrigé), 3 (corrigé), 4 (corrigé), 5 (corrigé), 6 (corrigé), 7 (corrigé).

Angles et isométries (3M123)

Polycopié du cours LM323 (par Antoine Ducros)

Sujet et corrigé de l'examen du 15/12/2016.