Algèbre linéaire et bilinéaire I (2MA221)

Voir aussi la page de Yves Coudène.

Polycopié du cours (par Yves Coudène)

Feuilles d'exercices: TD 1, TD 2, TD 3, TD 4, TD 5

Avancement du cours

Cours 1 et 2 (12 septembre, par Yves Coudène)

• Intégralité du chapitre 1, rappels d'algèbre linéaire.
• le début du chapitre 2, formes linéaires, jusqu'à 1.4 base duale page 23, compris.

Cours 3 (19 septembre)

• Définition de formes bilinéaires symétriques.
• Matrice associée à une forme bilinéaire symétrique. Formule changement de base.
• Noyau et cône isotrope.
• Définition de forme quadratique. Formule de polarisation.
• Matrice associée à une forme quadratique.

Cours 4 (26 septembre)

• Signature d'une forme quadratique.
• Écriture d'une forme quadratique comme somme de carrés de formes linéaires.
• Bases orthogonales.

Cours 5 (3 octobre)

• Calcul de la signature d'une forme quadratique.
• Classification des coniques et des quadriques affines. On peut voir quelques images ici.

Cours 6 (10 octobre)

• Définition de produit scalaire, espace euclidien. Exemples.
• Norme euclidienne. Inégalité de Cauchy-Schwarz.
• Aire, longueur, angle.
• Orthogonal d'un sous-espace.

Cours 7 (17 octobre)

• Projection orthogonale. Symétrie orthogonale. Exemple d'un hyperplan.
• Orthonormalisation de Gram-Schmidt.

Cours 8 (14 novembre)

• Isométries. Groupe orthogonal.
• Étude de $O(2)$.
• Déterminant.
• Valeurs propres, vecteurs propre, espaces propres. Application diagonalisables.
• Polynôme caractéristique.

Cours 9 (21 novembre)

• Somme directe des espaces propres.
• Critère de diagonalisabilité : polynôme caractéristique est scindé à racines simples.
• Applications auto-adjointes et lien avec les matrices symétriques.
• Exemples : projections et symétries.

Cours 10 (28 novembre)

• Diagonalisation des endomorphismes auto-adjoints.
• Interprétation matricielle.
• Diagonalisation simultanée : calcul de la signature d'une forme quadratique via les valeurs propres.
• Forme standard d'une conique par un changement de coordonnées isométrique.

Cours 11 (5 décembre): annulé.

Cours 12 (12 décembre).

• $\mathbb{C}$ est algébriquement clos.
• Formes quadratiques sur $\mathbb{C}$.
• Formes hermitiennes.
• Base orthogonales et leur existence. Signature.
• Adjoint d’une application linéaire.
• Théorème de diagonalisation pour un endomorphism normal

Algèbre linéaire et bilinéaire I pour les étudiants de Roscoff (2MA221BM)

Polycopié du cours (par Yves Coudène)

Feuilles d'exercices: TD 1 (corrigé), TD 2 (corrigé), TD 3 (corrigé), TD 4 (corrigé), TD 5 (corrigé)

Partiel (29 novembre): sujet et corrigé.

Avancement du cours

Cours 1 (17 septembre)

• Rappels d'algèbre linéaire, jusqu'au paragraphe 3.1 inclu du chapitre 1.

Cours 2 (1 octobre). notes

• Espace dual.
• Bases duales: définition et formule pour les calculer.
• Définition de formes bilinéaires symétriques.
• Matrice d'une forme bilinéaire. Formule de changement de base.
• Rang et noyau d'une forme bilinéaire.

Cours 3 (8 octobre) notes

• Formes quadratiques: définition, formules de polarisation, matrices.
• Signature d'une forme quadratique.
• Décomposition d'une forme quadratique en carrés de formes linéaires.
• Bases orthogonales: existence et méthode de calcul.

Cours 4 (15 octobre) notes

• Signature d'une forme quadratiques: méthode de calcul.
• Coniques: classification.

Cours 5 (22 octobre) notes

• Espaces euclidiens: produit scalaire, base orthonormées.
• Inégalité de Cuachy-Schwarz.
• Norme euclidienne. Angles. Théorème de Pythagore.

Cours 6 (5 novembre) notes

• Projection orthogonale. Symétrie orthogonale. Exemple d'un hyperplan.
• Orthonormalisation de Gram-Schmidt.
• Isométries. Isométries du plan.

Cours 7 (12 novembre) notes

• Déterminant
• Valeurs propres. Vecteurs propres. Espaces propres.
• Polynôme caractéristique.

Cours 8 (19 novembre) notes

• Rappels sur les somme directes.
• Espaces propres en somme directe.
• Critère de diagonalisabilité : polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Cours 9 (3 décembre) notes

• Applications auto-adjointes et matrice symétriques.
• Théorème de diagonalisation en base orthonormée.

Cours 10 (10 décembre) notes

• Exemples de diagonalisation en base orthonormée.

Fondements d'analyse et algèbre (2MA205)

Avancement du cours

Cours 1 (17 septembre)

• Construction des entiers relatifs et des rationnels.
• Définition des réels par suites de Cauchy.

Cours 2 (28 septembre)

• Propriétés des nombres réels: complétude, existence de la borne supérieure.
• Écriture en base $N$.

Cours 3 (1 octobre)

• Cardinalité d'un ensemble. Exemples: cardinalité de $\mathbb{Z}$, de $\mathbb{Q}$.
• Un ensemble et l'ensemble de ses parties n'ont pas la mème cardinalité.
• Théorème de Cantor-Schröeder-Bernstein.
• Cardinalité de $\mathbb{R}$.
• Nombres irrationnels, algébriques et transcendants: définition, exemples.

Cours 4 (8 octobre)

• Division de polynômes: algorithme d'Euclide.
• Idéaux de l'anneau des polynômes.
• Cardinalité de $\mathbb{Q}[x]$.
• Dénombrabilité des nombres algébriques réels et complexes.
• Rappels sur les nombres complexes: deux constructions.

Cours 5 (15 octobre)

• Théorème de Dirichlet sur l'approximation des nombres réels non rationnels.
• Théorème de Liouville sur l'approximation des nombres algébriques réels.
• Nombres de Liouville. Exemple: $\sum_{n = 0}^\infty 1/10^{n!}$.
• Irrationalité de $e$ et de $\pi$.

Cours 6 (25 octobre)

• Valeurs de la fonction $\zeta$ de Riemann aux entiers pairs.

Cours 7 (15 novembre): Théorème d'Apery I.

Cours 8 (19 novembre): Théorème d'Apery II.

Cours 9 (22 novembre): Théorème d'Apery III.

Cours 10 (26 novembre)

• Corps premiers.
• Groupes, sous-groupes. Théorème de Lagrange.
• Petit théorème de Fermat.
• Le groupe multiplicatif $\mathbb{F}_p^\ast$ est cyclique.

Cours 11 (3 décembre) par O. Afkir, O. Chameroy, P. Franck

• Carrés dans $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$.
• $-1$ est un carré dans $\mathbb{F}_p^\ast$ si et seulement si $4$ divise $p-1$.
• Théorème de Chevalley-Warning. Application aux formes quadratiques.
• Symbole de Legendre $\left( \frac{x}{p}\right)$.
• $2$ est un carré dans $\mathbb{F}_p^\ast$ si et seulement si $p \equiv \pm 1 \pmod{8}$.
• Loi de réciprocité quadratique. Exemples.

Cours 12 (6 décembre) par F. Cabanel, R. Hiault, S. Connolly, M. Valide-Mourguye

• Formes quadratiques sur un corps (de caractéristique $\neq 2$).
• Existence de bases orthogonales.
• Classification des formes quadratique sur $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$.
• Valeurs atteintes par une forme quadratique sur $\mathbb{F}_p$.
• Classification des formes quadratique sur $\mathbb{F}_p$. Exemples.

Cours 13 (10 décembre) par E. Li, J.-H. Nothias, C. Zhang

• Valeur absolue $p$-adique.
• Entiers $p$-adiques comme limite projective.
• Nombres $p$-adiques comme complétion de $\mathbb{Q}$.
• Équivalence des définitions.
• Topologie de $\mathbb{Q}_p$.

Courbes elliptiques

Feuilles d'exercices

• TD0: Courbes elliptiques complexes
• TD1: Théorème de Bézout.
• TD2RR: Théorème de Riemann-Roch.
• TD2: Loi de groupe d'une courbe elliptique.