Algèbre linéaire et bilinéaire I (2MA221)

Polycopié du cours (par Yves Coudène)

Feuilles d'exercices: TD 1, TD 2, TD 3, TD 4

Corrigé épreuves (groupe 13): CC 1, CC 2

Partiel du 19 novembre: corrigé

Avancement du cours

Cours 1 (9 septembre)

• Définition d'une matrice (Chapitre 1, 1.1).
• Rang d'une matrice (Chapitre 1, 1.2)
• Définition d'une matrice échelonnée (Chapitre 1, 2.1)
• Propriétés (Chapitre 1, 2.2)
• Mise sous forme échelonnée (Chapitre 1, 3.1)
• Résolution de systèmes linéaires (Chapitre 1, 3.2)
• Applications (Chapitre 1, 3.4)

Cours 2 (16 septembre)

• Définition d'une forme linéaire (Chapitre 2, 1.1).
• Noyau d'une forme linéaire (Chapitre 2, 1.2)
• Base duale (Chapitre 2, 1.3)
• Le cas de $\mathbb{R}^n$ (Chapitre 2, 1.4)

Cours 3 (23 septembre)

• Définition d'une forme bilinéaire (Chapitre 2, 2.1).
• Représentation matricielle (Chapitre 2, 2.2)
• Changement de base (Chapitre 2, 2.3)
• Rang et noyau (Chapitre 2, 2.4)
• Définition d'une forme quadratique (Chapitre 2, 3.1)

Cours 4 (30 septembre)

• Réduction des formes quadratiques (Chapitre 2, 3.3)
• Base orthogonale (Chapitre 2, 3.4)
• Interprétation matricielle (Chapitre 2, 3.5)
• Étude de la signature (Chapitre 2, 3.6)

Cours 5 (7 octobre)

• Coniques (Chapitre 2, 4.1)
• Quadriques (Chapitre 2, 4.2)

Cours 6 (14 octobre)

• Définition d'un produit scalaire (Chapitre 3, 1.1)
• Norme euclidienne (Chapitre 3, 1.2)
• Aire, longueur et angle (Chapitre 3, 1.3)
• Projection orthogonale (Chapitre 3, 2.1)

Cours 7 (21 octobre)

• Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt (Chapitre 3, 2.2)
• Définition d'une isométrie (Chapitre 3, 3.1)
• Groupe orthogonal (Chapitre 3, 3.2)
• Isométries du plan euclidien (Chapitre 3, 3.3)

Cours 8 (28 octobre)

• Définition du déterminant (Chapitre 4, 1.1)
• Calculs du déterminant (Chapitre 4, 1.2)
• Propriétés des déterminants (Chapitre 4, 1.3)
• Déterminant d'une application linéaire (Chapitre 4, 1.4)
• Valeurs propres et vecteurs propres (Chapitre 4, 2.2)
• Diagonalisation (Chapitre 4, 2.3)
• Interprétation matricielle (Chapitre 4, 2.4)

Cours 9 (25 novembre)

• Diagonalisation (Chapitre 4, 2.3)
• Cas des valeurs propres distinctes (Chapitre 4, 2.5)
• Adjoint d’une application linéaire (Chapitre 4, 3.1)

Cours 10 (2 décembre)

• Diagonalisation des applications autoadjointes (Chapitre 4, 3.2)
• Interprétation matricielle (Chapitre 4, 3.3)
• Réduction simultanée (Chapitre, 3.4)
• Caractéristiques géométriques des coniques (Chapitre 4, 5.2)

Cours 11 (9 décembre)

• Formes quadratiques sur les complexes
• Formes hermitiennes
• Espaces pré-hilbertiens

Cours 12 (16 décembre)

• Adjointe d'une application linéaire
• Théorème spectral pour les applications normales
• Exemples

Fondements d'analyse et algèbre (2MA205)

Avancement du cours

Cours 1 (20 septembre)

• Rappels sur les relations: ordre partiel, ordre total, équivalences
• Construction des entiers relatifs.

Cours 2 (24 septembre)

• Fin de la costruction des entiers.
• Construction des nombres rationnels et ses opérations.
• Construction des nombres réels.

Cours 3 (27 septembre)

• Convergence de suites de Cauchy réelles.
• Propriété de la borne supérieure.

Cours 4 (1 octobre)

• Cardinalité. Exemples: $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$.
• Théorème de Cantor-Schröder-Bernstein.
• Cardinalité de l'ensemble des parties.
• Cardinalité de $\mathbb{R}$.
• Nombres irrationnels, algébriques, transcendants.
• Division euclidienne des polynômes.

Cours 5 (15 octobre)

• Cardinalité des nombres algébriques et transcendents.
• Existence des transcendents.
• Inégalité de Liouville. Nombres de Liouville.
• Théorème de Dirichlet.

Cours 6 (18 octobre)

• Définition d'un anneau.
• Espace vectoriel quotient.
• Quotient d'un anneau par un idéal.

Exposés

Lyna Boussena et Garance Henrion (22 novembre)

• Transcendence de $e$ et de $\pi$.
• Constructibilité à la règle et au compas.
• Impossibilité de la quadrature du cercle.

Kien Phan Trung et Rouanet Vicor (26 novembre)

• Théorème de Lindemann-Weierstrass (énoncé et preuve).

Thomas De Myttenaere (29 novembre)

• Réciprocité quadratique de Gauss (énoncé et preuve).

Thomas Nguyen et Alma Toscano (3 décembre)

• Entiers de Gauss.
• Écriture d'un premier comme somme de deux carrés.

Daniel Berda et Gabrielle Lalou (6 décembre)

• L'équation de Pell-Fermat.

Nigilan Gnanasegaram et Manon Willis (10 décembre)

• Cyclotomie.
• Construction de polygônes réguliers.

Nathan Dufournaud et Dimitrij Muller (13 décembre)

• Définition des la fonction $\zeta$ de Riemann
• Calcul de $\zeta(2n)$.
• Valeurs entiers des multi-zêtas et conjectures de transcendence.

Hadrien Bizot et Nicolas Mendy (17 décembre)

• Démonstration de l'irrationalité de $\zeta(3)$.

Courbes Elliptiques

Cours 1 (9 novembre)

• Fonctions elliptiques ([Silverman, Chapter VI, §2 and §3 up to Theorem 3.5])

Weierstrass' $\wp$ and $\wp'$.

Cours 2 (10 novembre)

• Plongement projectif des courbes elliptiques. ([Silverman, Chapter VI, Theorem 3.5])
• Formule de somme pour $\wp$ ([Lang, Chapter 1, § 3])
• Morphismes de courbes elliptiques ([Silverman, Chapter VI, § 4])
• Classes d'isomorphisme de courbes elliptiques ([Serre, Chapter VII, § 2.2])
• Action de $\textrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ sur le demi-plan supérieur ([Serre, Chapter VII, § 1])

The action of $z \mapsto z+1$	The action of $z \mapsto -1/z$

Cours 3 (12 novembre)

• Les séries d'Eisenstein sont des formes modulaires de poids $2k$ ([Serre, Chapter VII, § 2.3]).
• L'invariant $j$ d'une courbe elliptique ([Serre, Chapter VII, § 3.3]).
• Formule pour l'ordre d'annulation d'une forme modulaire. ([Serre, Chapter VII, Theorem 3])
• L'invariant $j \colon \mathbb{H}/\textrm{SL}_2(\mathbb{Z}) \to \mathbb{C}$ est bijectif ([Serre, Chapter VII, § 3.3])
• Endomorphismes and automorphismes des courbes elliptiques complexes. ([Silverman, Chapter VI, Theorem 5.5])
• Sous-groupe de torsion d'une courbe elliptique complexe ([Lang, Chapter 2, § 1], [Silverman, Chapter VI, Proposition 5.4])

Cours 4 (16 novembre)

• Courbe projective associée à un corps de fonctions ([Dat, VA, 2.5.1-3, 3.4.1], [Dat, CE, 2.2.1-2]).
• Morphismes entre courbes projectives ([Dat, VA, 3.3.2, 3.4.2-4], [Dat, CE, p. 14-15]).
• Diviseurs. ([Dat, CE, 2.3.1])

Cours 5 (17 novembre)

• Différentielles de Kähler ([Liu, 6.1.1], [Dat, CE, 2.3.2]).

Cours 6 (23 novembre)

• Formes différentielles sur une courbes projective lisse et leurs diviseurs ([Dat, CE, p.21-22])
• Formule de Hurwitz ([Dat, CE, p.22]).
• Théorème de Riemann-Roch et applications immédiates(sans preuve, [Dat, CE, 2.3.4]).

Cours 7 (24 novembre)

• Plongement projectifs d'une courbes algébrique lisse ([Dat, CE, 2.3.3, 2.3.5], [Reyssat, IX.4]).
• Genre d'une courbe plane non singulière ([Dat, CE, 2.3.6]).
• Variétés algébriques sur un corps parfait. ([Dat, CE, 2.4.1-2])

Cours 8 (30 novembre)

• Loi de groupe d'une courbe elliptique ([Dat, CE, 3.1])
• Isogénies ([Dat, CE, 3.2.1]).

Cours 9 (1 décembre)

• Multiplication par un entier ([Dat, CE, 3.2.2])
• Isogénies duales ([Dat, CE, 3.2.3-6]).
• Différentielles invariantes ([Dat, CE, 3.3]).

Cours 10 (3 décembre)

• Courbes super-singulières ([Dat, CE, 3.6.4])

Cours 11 (7 décembre)

• Accouplement de Weil ([Dat, CE, 3.4])
• Module de Tate ([Dat, CE, 3.5]).

Cours 12 (8 décembre)

• Anneau des endomorphismes ([Dat, CE, 3.6])
• Équation de Weierstrass ([Dat, CE, 3.7]).
• Invariant $j$.

Cours 13 (15 décembre)

• Loi de groupe sur une cubique singulière ([Dat, CE, 3.7.3])
• Réduction d'une équation de Weierstrass ([Dat, CE, 3.8.1]).
• équation de Weierstrass minimale ([Dat, CE, 3.8.2]).

Cours 14 (16 décembre)

• Preuve du théorème 3.8.3 ([Dat, CE, 3.8.3-6])
• Isogénies duales ([Dat, CE, 3.2.3-6]).
• Énoncé du théorème de Mordell-Weil sur $\mathbb{Q}$.
• Énoncé du théorème de Mordell-Weil faible et analogie avec la théorie de Kummer. ([Dat, CE, 3.9.1-2])

Feuilles d'exercices:

• Bezout
• Loi de groupe
• Points d'inflexion
• Automorphismes
• Courbes supersingulières
• Points de torsion

References

• J.-F. Dat, Variétés algébriques
• J.-F. Dat, Introduction à l'arithmétique des courbes elliptiques
• N. Bergeron, A. Guilloux, Introduction aux surfaces de Riemann
• O. Forster, Lectures on Riemann surfaces
• J. Milne, Modular Functions and Modular Forms
• J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves
• E. Reyssat, Quelques aspects des Surfaces de Riemann (pdf here)
• J.-P. Serre, Cours d'arithmètique (also translated in english, A course in Arithmetic)
• S. Lang, Elliptic Functions
• Q. Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves