ANR CoSyDy

Rencontre ANR
Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche
2-3 juin 2026

salle 15-25-102

Mardi 2 juin

10h00 - Andrea Venturelli, Levi potentials
A level orbit of a mechanical Hamiltonian system is a solution of Newton equation that is contained in a level set of the potential energy. In 2003, Mark Levi asked for a characterization of the smooth potential energy functions on the plane with the property that any point on the plane lies on a level orbit; we call such functions Levi potentials. The basic examples are the radial monotone increasing smooth functions. In this paper we show that any Levi potential that is analytic or has totally path-disconnected critical set must be radial. Nevertheless, we show that every compact convex subset of the plane is the critical set of a Levi potential. A crucial observation for these theorems is that, outside the critical set, the family of level sets of a Levi potential forms a solution of the inverse curvature flow.
13h30 - Anna Florio, Sur les pseudo-rotations analytiques de surfaces (d'après Berger)
’exemple plus simple d’une dynamique sur une surface sans point périodique est une rotation irrationnelle de l’anneau. On peut alors se demander si tout difféomorphisme sans point périodique est (conjugué à) une rotation. Dans les années 1970, Anosov et Katok ont construit le premier exemple d’une pseudo-rotation (c’est-à-dire un difféomorphisme symplectique sans point périodique) lisse et transitive de l’anneau ; un tel difféomorphisme ne peut pas être conjugué à une rotation. La question de savoir si une construction analogue est réalisable en classe analytique restait ouverte : dans les années 1930, Birkhoff conjecturait que toute pseudo-rotation analytique de l’anneau est conjuguée à une rotation. Pierre Berger a réfuté cette conjecture en montrant que la construction d’Anosov–Katok peut s’adapter au cas analytique, via un théorème d’approximation des difféomorphismes lisses par des commutateurs de certaines applications analytiques. Berger construit également des pseudo-rotations analytiques sur la sphère de dimension 2, obtenant ainsi le premier exemple analytique de point fixe elliptique instable sur cette variété.
15h30 - Marco Mazzucchelli, Length Spectrum Rigidity and Flexibility of Spheres of Revolution
It is well known, since the classical work of Darboux and Zoll, that the length spectrum of a Riemannian 2-sphere does not provide sufficient information to recover the Riemannian metric. In this talk, based on joint work with Alberto Abbondandolo, I will introduce a suitable notion of marked length spectrum on each S^1-symmetric Riemannian metric on the 2-sphere having only one equator, and study the rigidity and flexibility imposed by these data. While the marked length spectrum does not recover the metric, I will show that it recovers at least the contact geometry of the unit tangent bundle: isospectral metrics have conjugate geodesic flows. Under a further $\mathbb Z_2$-symmetry assumption, the marked length spectrum does recover the metric. Indeed, every isospectral class of metrics contains a unique $\mathbb Z_2$-symmetric metric, and I will give an explicit description of every isospectral class as an infinite-dimensional convex set, generalizing the known description of S^1-symmetric Zoll metrics.

Mercredi 3 juin

9h00 - Sylvain Crovisier, Un lemme de fermeture pour les applications de Hénon
L'exposé portera sur certaines propriétés dynamiques des difféomorphismes "modérément dissipatifs" du plan, parmi lesquels figurent les applications de Hénon réelles dont le jacobien est inférieur à 1/4. Il y a quelques années, nous avons démontré avec Enrique Pujals un lemme de fermeture : le support de toute mesure invariante est contenu dans la fermeture de l'ensemble des points périodiques. Je présenterai une version plus forte de ce lemme de fermeture et j'en énoncerai quelques conséquences. En particulier, toute mesure invariante a pour support une orbite périodique, une classe homocline ou un odomètre. (Travail en collaboration avec E. Pujals)
11h00 - Albert Fathi, Théoreme de Sard pour les fonctions min d’après Yomdin
On considère une fonction $F : M^m \times N^n \longrightarrow \mathbb{R}$ de classe $C^k$, définie sur le produit de la variété $M^m$ de dimension $m$ par la variété compacte $N^n$ de dimension $n$.
La fonction ${\textstyle\inf_{N^n} F} : M^m \longrightarrow \mathbb{R}$ définie par \[ {\textstyle\inf_{N^n} F} (x) = \inf \left\{ F(x,y)\mid\ y \in N^n \right\}, \text{ pour $x\in M^m$,} \] est localement lipschitzienne. Yomdin a montré (en 1984) que si $k \geq k(m,n)$, où l'entier $k(m,n)$ ne dépend que de $m$ et $n$, alors, pour presque tout $r \in \mathbb{R}$, la préimage $\left\{x \ \middle|\ \inf_{N^n} F(x)=r\right\}$ est une sous-variété de codimension $1$ de $M^m$.
La démonstration de Yomdin repose sur son approche des valeurs presque critiques donnant des versions quantitatives du théorème de Morse-Sard.
La borne $k(m,n)$ a été améliorée par divers auteurs, toujours en utilisant les méthodes de Yomdin.
Nous donnerons une démonstration directe reposant sur le théorème classique de Morse-Sard.
13h30 - Skander Charfi, Théorème de Birkhoff Multidimensionnel pour les Branes Lagrangiennes
Un théorème classique de Birkhoff (1922) affirme que toute courbe invariante essentielle d’un twist symplectique du cylindre est un graphe lipschitzien au-dessus du cercle. Depuis lors, plusieurs généralisations en dimensions supérieures ont été obtenues (Herman, Katznelson–Ornstein, Siburg, Bialy–Polterovich, entre autres). Une généralisation due à Arnaud (2010), dans le fibré cotangent de toute variété compacte, affirme qu’une sous-variété lagrangienne exacte invariante par le flot d’un Hamiltonien de Tonelli est un graphe au-dessus de la base. Ce résultat a ensuite été étendu aux lagrangiennes lipschitziennes par Bernard et dos Santos (2012), puis par Amorim, Oh et dos Santos (2018).
Nous généralisons ce résultat suivant deux axes différents : premièrement, par une relaxation de la condition d'invariance, où la propriété de graphe ne découle plus de l'invariance de la sous-variété lagrangienne, mais de sa récurrence sous le flot hamiltonien. Deuxièmement, par une amélioration de la régularité des lagrangiennes. Nous obtenons ce résultat pour une nouvelle famille de branes lagrangiennes que nous appelons : branes lagrangiennes hausdorff à relèvement unique. Cette famille inclut par exemple les images de tout graphe exact continu au-dessus de la base par un C^1-symplectomorphisme exact. De tels objets ne possèdent en général qu'une régularité continue. Ce travail est en collaboration avec Ibrahim Trifa.