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Thèse
Titre: points rationnels sur les espaces homogènes [PDF]
Thèse soutenue le 20/06/2005. Directeur de thèse: Philippe Gille.
Membres du jury: Michel Brion (président), Jean-Louis Colliot-Thélène, Philippe Gille, Christian Maire, Bao Châo Ngô, Michel Raynaud.
Rapporteurs: David Saltman, Claus Scheiderer.
Résumé : Ma thèse présente deux résultats portant sur les espaces homogènes des groupes algébriques. Dans une première partie, on considère la question suivante, posée par Burt Totaro:
Soit k un corps, G un k-groupe algébrique linéaire connexe et X une variété quasi-projective, munie d'une structure de G-espace homogène. Supposons qu'il existe sur X un zéro-cycle de degré d>0; autrement dit, qu'il existe une famille de points fermés de X, dont
le pgcd des degrés (sur k) des corps résiduels divise d. Peut-on alors dire que X possède un point rationnel dans une extension de corps finie séparable de k, de degré divisant d?
Nous répondons négativement à cette question. En particulier, nous produisons un contre-exemple X lorsque k est un corps de nombres. L'espace X en question est géométriquement rationnel, et une k-compactification lisse de X ne peut pas posséder de point k-rationnel. Cela soulève naturellement la question générale suivante: soit X un espace homogène d'un groupe algébrique (sur un corps k), tel que X admette une k-compactification lisse possédant un point k-rationnel. Peut-on dire que X lui-même possède un point rationnel?
Dans une deuxième partie, nous considérons cette question, pour y apporter une réponse positive en toute généralité. Tout le travail consiste, à l'aide d'outils cohomologiques, à se ramener au cas d'un torseur sous un groupe semi-simple, qui est résolu par la théorie de Bruhat et Tits.
Mots-clés. Cohomologie galoisienne, cohomologie non abélienne, espaces homogènes, zéro-cycles, groupes algébriques linéaires, groupe de Brauer.
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