Séminaire Autour des Cycles Algébriques
Séminaire Autour des Cycles Algébriques
Organisateurs : Anna Cadoret, François Charles, Javier Fresán, Matthew Morrow.
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Prochaine séance vendredi 22/04/2022 :
Salle : Jussieu 1516-413
15h00 - 16h00 Ryomei Iwasa (Université de Copenhague) Cohomology theories of schemes and algebraic K-theory
This talk is based on joint work with Toni Annala. I start with a discussion of what is a cohomology theory of schemes, and propose a theory of “motivic spectra”; any reasonable cohomology theory of schemes, including non-A^1-local theories, is represented by a motivic spectrum in this sense. Then I explain a theory of Chern classes in this generality and, as an application, explain a universal property of K-theory, namely, K-theory is a universal Zariski sheaf of spectra which admits an action of BG_m and satisfies projective bundle formula.
16h30 - 17h30 Shane Kelly (Université de Tokyo) Méthodes motiviques en théorie des représentations
Ce n'est pas un secret que les faisceaux pervers / les D-modules sur des variétés de drapeaux / grassmanniennes encodent des informations combinatoires lier à la théorie des représentations. Quand on voit des comportements similaire en cohomologie l-adic, et cohomologie de de Rham, c'est naturel à poser la question : est-ce que ce ne serait pas plus naturel de travailler directement avec des faisceaux motiviques ? Je parlerai d'un tel programme, initié par Soergel et Wendt, et développé par Eberhardt, K., Richarz, Scholbach, Soergel, Virk, Wendt. Vu que je suis débutant en théorie des représentations, et je parle souvent avec des gens qui sont débutant en théorie des motives, je compte être gentil avec tout le monde.
Séances antérieures :
24/01/2022
15h30 - 16h30 Olivier de Gaay Fortman (DMA) La conjecture de Hodge entière pour les 1-cycles sur la jacobienne d’une courbe
Dans cet exposé je parlerai d’un travail en commun avec Thorsten Beckmann. Nous démontrons que la classe de cohomologie minimale d’une variété abélienne complexe principalement polarisée de dimension g est algébrique si et seulement si toutes les classes de Hodge de degré 2g-2 sont algébriques, et que cela vaut sur un sous-ensemble dense de l’espace modules A_g. En particulier, on obtient la conjecture de Hodge entière pour les 1-cycles sur la jacobienne d’une courbe complexe projective lisse. L’idée de la preuve est de relever la transformation de Fourier sur les groupes de Chow rationnels en un homomorphisme entre les groupes de Chow entiers. J’explorerai la notion d’un tel relèvement entier de la transformation de Fourier pour une variété abélienne sur un corps quelconque, répondant partiellement à une question de Moonen-Polishchuk et Totaro. Enfin, je montrerai comment la même technique établit la conjecture de Tate entière pour les 1-cycles sur la jacobienne d’une courbe projective lisse sur la clôture séparable d’un corps de type fini.
16h50 - 17h50 Giada Grossi (Univ. Paris Nord) (Anti)cyclotomic Iwasawa theory for elliptic curves at Eisenstein primes
Among the most famous algebraic cycles on a modular/elliptic curve we have the so called Heegner points. Striking applications can be obtained studying them in ``p-adic towers’’ and using Iwasawa Theory. I will discuss work in progress with Castella and Skinner on the anticyclotomic and cyclotomic Iwasawa main conjectures at Eisenstein primes p, generalising our earlier paper with J.Lee and the results of Greenberg and Vatsal. As a consequence, we obtain new results on the p-part of the Birch-Swinnerton--Dyer conjecture.
21/10/2020
14h00 - 15h00 Gregorio Baldi Special subvarieties of non arithmetic ball quotients
We study complex hyperbolic lattices and prove that, if the associated ball quotient contains infinitely many maximal totally geodesic subvarieties, then the lattice is arithmetic. The idea is to realise such quasi-projective varieties inside a period domain for polarised integral Hodge structures and interpret totally geodesic subvarieties as unlikely intersections. Our theorem is indeed a special case of Klingler’s generalised Zilber-Pink conjecture. This is joint work with Emmanuel Ullmo.
15h30 - 16h30 Ziyang Gao Borner le nombre de points rationnels sur les courbes
Mazur a conjecturé, après la démonstration de la conjecture de Mordell par Faltings, que le nombre de points rationnels sur une courbe de genre g au moins 2 définie sur un corps de nombres de degré d est borné en fonction de g, d et du rang de Mordell-Weil. En particulier la hauteur de la courbe n'est pas concernée. Dans cet exposé je vais expliquer la démonstration de cette conjecture et quelques généralisations. J'insisterai sur les applications de la théorie de transcendence sur les corps de fonctions et de la théorie d'intersections atypiques dans la preuve. Si le temps permet, j'expliquerai comment la conjecture de Bogomolov relative permet, par ailleurs, d'enlever la dépendance en d. Il s'agit d'un travail en commun avec Vesselin Dimitrov et Philipp Habegger.
17h00 - 18h00 Javier Fresán Fonctions E et (hyper)géométrie
Les fonctions E sont certaines séries entières à coefficients algébriques qui satisfont à une équation différentielle ; elles ont été introduites par Siegel dans un article révolutionnaire de 1929 avec le but de généraliser les théorèmes de transcendance pour les valeurs de la fonction exponentielle. Outre l’exponentielle, des exemples incluent les fonctions de Bessel et une riche famille de séries hypergéométriques. Siegel a posé la question : est-ce que toute fonction E peut s’écrire comme une expression polynomiale en des fonctions hypergéométriques ? Dans un travail récent, Fischler et Rivoal montrent qu’une réponse positive à cette question contredirait la conjecture de périodes de Grothendieck. Dans l'exposé je décrirai une approche inconditionnelle basée sur la théorie de Galois différentielle. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Peter Jossen.
12/02/2020
14h00--15h00 Joseph Ayoub (Université de Zurich) Représentations anabéliennes du groupe de Galois motivique
Le groupe de Galois motivique d'un corps $k$ plongé dans $\mathbb{C}$ agit sur les groupoïdes fondamentaux des $k$-variétés algébriques convenablement complétés. Je parlerai d'un travail en cours visant à montrer que, réciproquement, le groupe de Galois motivique est exactement le groupe des automorphismes du diagramme des groupoïdes fondamentaux des $k$-variétés algébriques. Un énoncé analogue pour les groupes de Galois usuels est un théorème de Pop.
15h30--16h30 Yunqing Tang (CNRS et Orsay) Picard ranks of reductions of K3 surfaces over global fields
For a K3 surface $X$ over a number field with potentially good reduction everywhere, we prove that there are infinitely many primes modulo which the reduction of $X$ has larger geometric Picard rank than that of the generic fiber $X$. A similar statement still holds true for ordinary K3 surfaces with potentially good reduction everywhere over global function fields. In this talk, I will present the proofs via the (arithmetic) intersection theory on good integral models (and its special fibers) of GSpin Shimura varieties. These results are generalizations of the work of Charles on exceptional isogenies between reductions of a pair of elliptic curves. This talk is based on joint work with Ananth Shankar, Arul Shankar, and Salim Tayou and with Davesh Maulik and Ananth Shankar
17h00--18h00 Olivier Benoist (CNRS et ENS) Deux filtrations par le coniveau
Une classe dans la cohomologie d'une variété lisse de dimension $n$ a coniveau $\ge c$ si elle s'annule dans le complémentaire d'une sous-variété de codimension $c$, et est de coniveau fort $\ge c$ si elle provient par pushforward de la cohomologie d'une variété lisse de dimension $n-c$. Le but de cet exposé est de construire des exemples montrant que ces deux notions diffèrent en général. Il s'agit d'un travail en commun avec John Ottem.
15-09-2019
14h00--15h00 : Morten Lüders (IMJ-PRG) Local to global principles for higher zero-cycles
We explain the relationship between the Tate-Poitou exact sequence, the Kato conjectures and local to global principles for higher Chow groups for smooth projective schemes over global fields. This is joint work with Johann Haas.
15h30--16h30 : Timo Richarz (Technische Universität Darmstadt) The intersection motive of the moduli stack of shtukas
Moduli stacks of shtukas are regarded as function field analogues of Shimura varieties, and their étale cohomology is known to realize the Langlands correspondence for these fields. For the general linear group such a correspondence was established by L. Lafforgue in the 90’s building upon earlier work of Drinfeld. In a recent breakthrough V. Lafforgue constructs the Automorphic to Galois direction of the correspondence for general reductive groups G over function fields. His completely new method makes it possible to systematically analyze the requirements of the cohomology theory needed in order to establish such a correspondence.
In the talk I report on joint work with J. Scholbach which aims at applying the theory of motives as developed by Voevodsky, Levine, Hanamura, Ayoub, Cisinski-Déglise and many others to the constructions in the work of V. Lafforgue. As a first step we show that the intersection (cohomology) motive of the moduli stack of G-shtukas is defined independently of the standard conjectures on motivic t-structures on triangulated categories of motives. Also we establish the analogue of the Geometric Satake Isomorphism of Lusztig, Ginzburg and Mirkovic-Vilonen in this set-up. This is in accordance with general expectations on the independence of $\ell$ in the Langlands correspondence for function fields.
17h00--18h00 : Thomas Krämer (Humboldt-Universität zu Berlin) A converse to Riemann's theorem on Jacobian varieties
Jacobians of curves have been studied a lot since Riemann's theorem, which says that their theta divisor is a sum of copies of the curve. Similarly, for intermediate Jacobians of smooth cubic threefolds Clemens and Griffiths showed that the theta divisor is a sum of two copies of the Fano surface of lines on the threefold. We prove that in both cases these are the only decompositions of the theta divisor, extending previous results of Casalaina-Martin, Popa and Schreieder. Our ideas apply to a much wider context and only rely on the decomposition theorem for perverse sheaves and some representation theory.
20-03-2019
14h00--15h00 : Martin Gallauer (University of Oxford) How many real Artin-Tate motives are there?
The goals of my talk are 1) to place this question within the framework of tensor-triangular geometry, and 2) to report on joint work with Paul Balmer (UCLA) which provides an answer in this framework.
15h30--16h30 : Quentin Guignard (ENS) Facteurs locaux géométriques
On commencera par rappeler la théorie (due à Deligne-Langlands) des facteurs epsilon de représentations ℓ-adiques sur des corps locaux à corps résiduel fini. On expliquera ensuite comment définir des facteurs locaux pour des représentations ℓ-adiques sur des corps de séries de Laurent k((t)), avec k un corps parfait de caractéristique positive p différente de ℓ. On dispose alors d'une décomposition du déterminant de la cohomologie d’un faisceau ℓ-adique sur une courbe lisse sur un tel corps k, en un produit de contributions locales. Lorsque k est fini, on retrouve ainsi la théorie classique de Dwork, Deligne, Langlands et Laumon.
17h00--18h00 : Lucia Mocz (Universität Bonn) Harder-Narasimhan Theory and Faltings Height
We expand on the relation between the Faltings height and Harder-Narasimhan theory for finite flat group schemes which was originally observed by Fargues and used in the proof of the CM Northcott Property for the Faltings height. We will also demonstrate in the developments of this theory a particular pathological behavior of the Faltings height, and draw connections to other conjectures.
20-02-2019
14h30--15h30 : Dimitri Wyss (IMJ-PRG) Volume non-archimédien de la fibration de Hitchin
Hausel et Thaddeus on conjecturé une égalité entre les nombres de Hodge 'stringy' des espaces de Hitchin pour les groupes SL_n et PGL_n. Motivé par cette conjecture on étudie l'intégration non-archimedienne sur la fibration de Hitchin dans le sense de Denef-Loeser et Batyrev. En utilisant la dualité des fibres de Hitchin générique on arrive ainsi à démontrer la conjecture de Hausel-Thaddeus. Dans un contexte plus arithmétique les mêmes idées donnent une nouvelle preuve de la stabilisation géométrique pour les fibres de Hitchin anisotropes, un énoncé clé dans la preuve du lemme fondamental par Ngô. C'est un travail en commun avec Michael Groechenig et Paul Ziegler.
16h00--17h00 : Marco d'Addezio (Freie Universität, Berlin) Finiteness of perfect torsion points of an abelian variety and F-isocrystals
I will report on a joint work with Emiliano Ambrosi. Let k be a field which is finitely generated over the algebraic closure of a finite field. As a consequence of the theorem of Lang-Néron, for every abelian variety over k which does not admit any isotrivial abelian subvariety, the group of k-rational torsion points is finite. We show that the same is true for the group of torsion points defined on a perfect closure of k. This gives a positive answer to a question posed by Hélène Esnault in 2011. To prove the theorem we translate the problem into a certain question on morphisms of F-isocrystals. Then we handle it by studying the monodromy groups of the F-isocrystals involved.
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