Rencontres de Caen: ”Valeurs de la fonction zêta de Riemann usuelle et des fonctions zêta multiples”

Relations de mélanges entre polylogarithmes multiples par Michel WALDSCHMIDT

                                         http://www.math.jussieu.fr/∼miw/

Valeurs spéciales de la fonction zêta de Riemann

ζ(s) := 1 + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + ⋯ + \frac{1}{n^{s}} + ⋯ s ≥ 2.

L. Euler:

ζ(2m) = −\frac{1}{2} · \frac{(2πi)^{2m}B_{2m}}{(2m)!} pour m ≥ 1

avec

\frac{t}{e^{t} − 1} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{B_{k}}{k!} · t^{k}, |t| < 2π.

En particulier ζ(2m)π^{−2m} ∈ ℚ pour m ≥ 1. Exemple (m = 1):

ζ(2) = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + ⋯ + \frac{1}{n^{2}} + ⋯ = \frac{π^{2}}{6} ·

F. Lindemann: π est transcendant. R. Apéry:

ζ(3) = 1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{27} + \frac{1}{64} + ⋯ + \frac{1}{n^{3}} + ⋯ ∉ ℚ.

Mesures d’irrationalité: G. Rhin et C. Viola:

|ζ(2) − \frac{p}{q}| > q^{−5,4412...}  (1996)
|ζ(3) − \frac{p}{q}| > q^{−5,5138...}  (2001)

π, π^{2}: E. Borel, K. Mahler, N.I. Fel’dman,… ζ(2), ζ(3) : R. Apéry, F. Beukers, G.V. Chudnovskii, E.M. Nikishin, L. Gutnik, M. Hata, Yu.V. Nesterenko, Dvornicich, G. Rhin, C. Viola,… T. Rivoal: Irrationalité d’une infinité de ζ(a) avec a impair ≥ 5.

K. Ball + T. Rivoal: Le ℚ-sous-espace vectoriel de ℝ engendré par les nombres ζ(3), ζ(5), …, ζ(a) a une dimension

≥ \frac{log a}{1 + log 2}(1 + o(1)).

T. Rivoal, W. Zudilin: Un au moins des 9 nombres

ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11), ζ(13), ζ(15), ζ(17), ζ(19), ζ(21) est irrationnel. W. Zudilin: Un au moins des 6 nombres

ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11), ζ(13), ζ(15)

est irrationnel. Conjecture. Les nombres

π, ζ(3), ζ(5), …, ζ(2k + 1), …

sont algébriquement indépendants.

Définition: Nombres polyzêtas. Pour \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) dans ℤ^{k} avec s_{1} ≥ 2 et s_{j} ≥ 1 (2 ≤ j ≤ k),

ζ(\underline{s}) := ∑_{n_{1}>···>n_{k}≥1} n_{1}^{−s_{1}} ⋯ n_{k}^{−s_{k}}.

Question. Quelles sont les relations algébriques entre ces nombres?

Remarque: Le produit de deux nombres polyzêtas est encore un nombre polyzêta. Exemple:

\begin{aligned}∑_{n≥1} \frac{1}{n^{s}} & ∑_{m≥1} \frac{1}{m^{s′}} & = & ∑_{n>m≥1} \frac{1}{n^{s}m^{s′}} & + & ∑_{m>n≥1} \frac{1}{m^{s′}n^{s}} & + & ∑_{n≥1} \frac{1}{n^{s+s′}} · \\ ζ(s) & · & ζ(s′) & = & ζ(s, s′) & + & ζ(s′, s) & + & ζ(s + s′). \end{aligned}

Pour \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) et \underline{s}′ = (s′_{1}, …, s′_{k′}), le produit des séries donne

(Stuffle)  ζ(\underline{s})ζ(\underline{s}′) = ∑_{\underline{s}′′} ζ(\underline{s}′′)

où \underline{s}′′ décrit un ensemble de multi-indices \underline{s}′′ = (s′′_{1}, …, s′′_{k′′}) vérifiant

s′′_{1} + ⋯ + s′′_{k′′} = s_{1} + ⋯ + s_{k} + s′_{1} + ⋯ + s′_{k′}

et

max{k, k′} ≤ k′′ ≤ k + k′.

Terminologie: Le poids de \underline{s} est |\underline{s}| = s_{1} + ⋯ + s_{k} alors que k est la longueur de \underline{s}

Pour p ≥ 2 on désigne par Z_{p} le ℚ-sous-espace vectoriel de ℝ engendré par les 2^{p−2} éléments ζ(\underline{s}) avec \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) de poids |\underline{s}| = p (et s_{1} ≥ 2). Soit d_{p} la dimension de Z_{p}.

Petits Poids

Z_{0} = ℚ  avec ζ(\underline{s}) := 1 pour k = p = 0
Z_{1} = {0}
Z_{2} = ⟨ζ(2)⟩_{ℚ}
Z_{3} = ⟨ζ(3)⟩_{ℚ}  car ζ(2, 1) = ζ(3) (Euler)
Z_{4} = ⟨ζ(4)⟩_{ℚ} = ⟨ζ(2)^{2}⟩_{ℚ} = ⟨π^{4}⟩_{ℚ}

car

ζ(3, 1) = \frac{1}{4}ζ(4), ζ(2, 2) = \frac{3}{4}ζ(4), ζ(2, 1, 1) = ζ(4) = \frac{2}{5}ζ(2)^{2}.

Donc

d_{0} = 1, d_{1} = 0, d_{2} = d_{3} = d_{4} = 1.

Z_{5} = ⟨ζ(2)ζ(3), ζ(5)⟩_{ℚ}, donc d_{5} ≤ 2.

Démonstration.

\begin{aligned}ζ(2, 1, 1, 1) & = ζ(5), \\ ζ(3, 1, 1) = ζ(4, 1) & = 2ζ(5) − ζ(2)ζ(3), \\ ζ(2, 1, 2) = ζ(2, 3) & = \frac{9}{2}ζ(5) − 2ζ(2)ζ(3), \\ ζ(2, 2, 1) = ζ(3, 2) & = 3ζ(2)ζ(3) − \frac{11}{2}ζ(5). \end{aligned}

Question. Le nombre

\frac{ζ(2)ζ(3)}{ζ(5)}

est-il irrationnel? EZ-Face par J. Borwein, P. Lisonek et P. Irvine

     http://www.cecm.sfu.ca/projects/EZFace/index.html

Conjecture (D. Zagier). Pour p ≥ 4,

d_{p} = d_{p−2} + d_{p−3}.

Formulation équivalente:

∑_{p≥0} d_{p}X^{p} = \frac{1}{1 − X^{2} − X^{3}} ·

Conjecture (M. Hoffman). Pour p ≥ 1, une base du ℚ-espace vectoriel Z_{p} est donnée par les nombres ζ(\underline{s}) avec (s_{1}, …, s_{k}) ∈ ℤ^{k} (k ≥ 1) satisfaisant

s_{1} + ⋯ + s_{k} = p et s_{j} ∈ {2, 3}.

La longueur k définit une filtration sur Z. Notons Z(p, k) l’ensemble des ζ(\underline{s}) avec \underline{s} de longueur k et de poids p.

La sous-algèbre Z de ℝ engendrée par les ζ(\underline{s}) est graduée pour le poids:

Z_{p}Z_{p′} ⊂ Z_{p+p′}.

La longueur k définit une filtration sur Z. Notons F^{k}Z_{p} le ℚ-sous-espace vectoriel de ℝ engendré par les ζ(\underline{s}) avec \underline{s} de poids p et de longueur ≤ k. On désigne par d_{pk} la dimension de F^{k}Z_{p}/F^{k−1}Z_{p}.

Conjecture (D. Broadhurst). On a

(∑_{p≥0} ∑_{k≥0} d_{pk}X^{p}Y^{k})^{−1} = (1−X^{2}Y) (1 − \frac{X^{3}Y}{1 − X^{2}} + \frac{X^{12}Y^{2}(1 − Y^{2})}{(1 − X^{4})(1 − X^{6})})

Conjecture (A.B. Goncharov). Comme ℚ-algèbre, Z est somme directe des Z_{p} avec p ≥ 0.

Exemple. Tout ζ(\underline{s}) avec \underline{s} de poids p ≤ 12 est un polynôme homogène en les 11 nombres polyzêtas suivants:

k p 2  3  5  7  8  9  10  11  12
1 ζ(2) ζ(3) ζ(5) ζ(7)  ζ(9)  ζ(11)
2  ζ(6, 2)  ζ(8, 2)  ζ(10, 2)
3  ζ(8, 2, 1)
4  ζ(8, 2, 1, 1)

Polylogarithmes classiques

Li_{s}(z) := ∑_{n≥1} \frac{z^{n}}{n^{s}} pour s ≥ 1 et |z| < 1.

Définition par récurrence:

Li_{1}(z) = ∑_{n≥1} \frac{z^{n}}{n} = − log(1 − z) = ∫_{0}^{z} \frac{dt}{1 − t},

z \frac{d}{dz} Li_{s}(z) = Li_{s−1}(z) (s ≥ 2)

avec Li_{s}(0) = 0.

Pour s ≥ 2, Li_{s}(1) = ζ(s).

Formules intégrales pour les polylogarithmes classiques Pour s ≥ 2,

Li_{s}(z) = ∫_{0}^{z} Li_{s−1}(t)\frac{dt}{t},

donc

Li_{s}(z) = ∫_{0}^{z} \frac{dt_{1}}{t_{1}} ∫_{0}^{t_{1}} \frac{dt_{2}}{t_{2}} ⋯ ∫_{0}^{t_{s−2}} \frac{dt_{s−1}}{t_{s−1}} ∫_{0}^{t_{s−1}} \frac{dt_{s}}{1 − t_{s}} ·

Cas 0 < z < 1:

Li_{s}(z) = ∫_{Δ_{s}(z)} \frac{dt_{1}}{t_{1}} ∧ \frac{dt_{2}}{t_{2}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dt_{s−1}}{t_{s−1}} ∧ \frac{dt_{s}}{1 − t_{s}},

où Δ_{s}(z) est le simplexe {(t_{1}, …, t_{s}) ∈ ℝ^{s} ; z > t_{1} > ⋯ > t_{s} > 0}.

Intégrales itérées (Kuo-Tsai Chen):

∫_{a}^{b} φ_{1} ⋯ φ_{m} = ∫_{a}^{b} φ_{1}(t) ∫_{a}^{t} φ_{2} ⋯ φ_{m}.

Notations:

ω_{0}(t) = \frac{dt}{t}, ω_{1}(t) = \frac{dt}{1 − t}·

Pour s ≥ 1, ω_{s} = ω_{0}^{s−1}ω_{1}.

Li_{s}(z) = ∫_{0}^{z} ω_{s}

Polylogarithmes multiples en une variable

Li\underline{s}(z) := ∑_{n_{1}>n_{2}>···>n_{k}≥1} \frac{z^{n_{1}}}{n_{1}^{s_{1}} ⋯ n_{k}^{s_{k}}},

pour |z| < 1 et pour \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) avec s_{j} ≥ 1 (1 ≤ j ≤ k).

ζ(\underline{s}) = Li\underline{s}(1) pour s_{1} ≥ 2.

Définition par récurrence:

z \frac{d}{dz} Li_{(s_{1},...,s_{k})}(z) = Li_{(s_{1}−1,s_{2},...,s_{k})}(z) si s_{1} ≥ 2

(1 − z)\frac{d}{dz} Li_{(1,s_{2},...,s_{k})}(z) = Li_{(s_{2},...,s_{k})}(z) si s_{1} = 1.

Conditions initiales: Li\underline{s}(0) = 0. Démonstration:

∑_{n_{1}>n_{2}} z^{n_{1}−1} = \frac{z^{n_{2}}}{1 − z} ·

Notation: Pour \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) avec k ≥ 1, s_{j} ≥ 1 (1 ≤ j ≤ k), ω\underline{s} = ω_{s_{1}} ⋯ ω_{s_{k}} = ω_{0}^{s_{1}−1}ω_{1} ⋯ ω_{0}^{s_{k}−1}ω_{1}.

Li\underline{s}(z) = ∫_{0}^{z} ω\underline{s}

Exemples:

\begin{aligned}Li_{(1,2)}(z) & = ∫_{0}^{z} ω_{1}ω_{0}ω_{1} \\ & = ∫_{0}^{z} \frac{dt_{1}}{1 − t_{1}} ∫_{0}^{t_{1}} \frac{dt_{2}}{t_{2}} ∫_{0}^{t_{2}} \frac{dt_{3}}{1 − t_{3}} · \end{aligned}

\begin{aligned}Li_{(2,2)}(z) & = ∫_{0}^{z} ω_{0}ω_{1}ω_{0}ω_{1} \\ & = ∫_{0}^{z} \frac{dt_{1}}{t_{1}} ∫_{0}^{t_{1}} \frac{dt_{2}}{1 − t_{2}} ∫_{0}^{t_{2}} \frac{dt_{3}}{t_{3}} ∫_{0}^{t_{3}} \frac{dt_{4}}{1 − t_{4}} · \end{aligned}

Dimension du simplexe: |\underline{s}| (poids de \underline{s}). Nombre de ω_{1}: longueur k de \underline{s}.

Produit d’intégrales itérées

Exemple le plus simple: (avec 0 < z < 1)

Li_{1}(z)^{2} = ∫_{0}^{z} \frac{dt}{1 − t} ∫_{0}^{z} \frac{du}{1 − u}

= ∫_{{z>t>0 \atop z>u>0}} \frac{dt}{1 − t} ∧ \frac{du}{1 − u}

= ∫_{z>t>u>0} \frac{dt}{1 − t} ∧ \frac{du}{1 − u} + ∫_{z>u>t>0} \frac{du}{1 − u} ∧ \frac{dt}{1 − t}

= 2Li_{(1,1)}(z).

Généralisation: (par récurrence)

Li_{1}(z)^{n} = n!Li_{{1}_{n}}(z)

où {1}_{n} = (1, …, 1) (longueur n).

Deuxième exemple:

Li_{1}(z)Li_{2}(z) = ∫_{0}^{z} ω_{1} ∫_{0}^{z} ω_{0}ω_{1}

= ∫_{{z>t>0 \atop z>u_{1}>u_{2}>0}} ω_{1}(t)ω_{0}(u_{1})ω_{1}(u_{2})

= ∫_{z>t>u_{1}>u_{2}>0} ω_{1}ω_{0}ω_{1} + ∫_{z>u_{1}>t>u_{2}>0} ω_{0}ω_{1}ω_{1} + ∫_{z>u_{1}>u_{2}>t>0} ω_{0}ω_{1}ω_{1} = Li_{(1,2)}(z) + 2Li_{(2,1)}(z).

Plus généralement:

(Shuffle)  Li\underline{s}(z)Li\underline{s}′(z) = ∑_{\underline{s}′′} Li\underline{s}′′(z).

Mélange (shuffle, battage) de \underline{s} et \underline{s}′
Rappel:  ω_{s} = ω_{0}^{s−1}ω_{1} = ω_{0} ⋯ ω_{0}ω_{1},  ω\underline{s} = ω_{s_{1}} ⋯ ω_{s_{k}}.

Nouveau codage: À s ≥ 1 on associe (ϵ_{1}, …, ϵ_{s}) avec

ϵ_{i} = 0 pour 1 ≤ i ≤ s − 1 et ϵ_{s} = 1.

Plus généralement à \underline{s} on associe (ϵ_{1}, …, ϵ_{p}) (avec p = |\underline{s}|) défini par

ω\underline{s} = ω_{ϵ_{1}} ⋯ ω_{ϵ_{p}}.

Pour ϵ_{i} et ϵ′_{j} dans {0, 1},

(ω_{ϵ_{1}} ⋯ ω_{ϵ_{p}})� (ω_{ϵ′_{1}} ⋯ ω_{ϵ′_{p′}} )= ∑_{\underline{ϵ}′′} ω_{ϵ′′_{1}} ⋯ ω_{ϵ′′_{p+p′}}

où \underline{ϵ}′′ = (ϵ′′_{1}, …, ϵ′′_{p+p′}) décrit les suites formées des permutations des p + p′ éléments

ϵ_{1}, …, ϵ_{p}, ϵ′_{1}, …, ϵ′_{p′}

qui respectent l’ordre de (ϵ_{1}, …, ϵ_{p}) ainsi que l’ordre de (ϵ′_{1}, …, ϵ′_{p′}).

Polynômes non commutatifs Soit X := {x_{0}, x_{1}} un alphabet à deux lettres. On désigne par X^{∗}

l’ensemble des mots sur X (y compris le mot vide e):

X^{∗} = {e, x_{0}, x_{1}, x_{0}^{2}, x_{0}x_{1}, x_{1}x_{0}, x_{1}^{2}, x_{0}^{3}, x_{0}^{2}x_{1}, x_{0}x_{1}x_{0}, …}.

Les combinaisons linéaires de mots à coefficients rationnels

∑_{u} c_{u}u,

où {c_{u} ; u ∈ X^{∗}} est un ensemble de nombres rationnels de support fini, muni de l’opération de concaténation, est l’anneau unitaire non commutatif

ℌ := ℚ⟨x_{0}, x_{1}⟩.

Notations.

Pour s ≥ 1, x_{s} := x_{0}^{s−1}x_{1} ∈ X^{∗}.

Pour \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) ∈ ℤ^{k} avec s_{j} ≥ 1,

y\underline{s} := x_{s_{1}} ⋯ x_{s_{k}} = x_{0}^{s_{1}−1}x_{1}x_{0}^{s_{2}−1}x_{1} ⋯ x_{0}^{s_{k}−1}x_{1}.

Nombre de lettres dans y\underline{s}: poids p = |\underline{s}| de \underline{s} Nombre de x_{1}: longueur k. Mots qui terminent par x_{1}:

X^{∗}x_{1} = \{y\underline{s} ; \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}), k ≥ 1, s_{j} ≥ 1 (1 ≤ j ≤ k)\}.

Définition:  L̂i_{y\underline{s}}(z) := Li\underline{s}(z) pour y\underline{s} ∈ X^{∗}x_{1}.

Mots convergents: commencent par x_{0} et terminent par x_{1}:

x_{0}X^{∗}x_{1} = \{y\underline{s} ; \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}), s_{j} ≥ 1 (2 ≤ j ≤ k), s_{1} ≥ 2\}.

Définition:  ζ̂(y\underline{s}) := ζ(\underline{s}) pour y\underline{s} ∈ x_{0}X^{∗}x_{1}.
Conséquence des définitions:  ζ̂(w) = L̂i_{w}(1) pour w ∈ x_{0}X^{∗}x_{1}.

À un polynôme w = ∑_{u} c_{u}u ∈ ℌ on associe

L̂i_{w}(z) := ∑_{u} c_{u}L̂i_{u}(z)

si chaque u pour lequel c_{u} ≠ 0 satisfait u ∈ {e} ∪ X^{∗}x_{1}. Donc L̂i_{w}(z) est bien défini pour

w ∈ ℌ^{1} := ℚe + ℌx_{1}

De même on pose

ζ̂(w) := ∑_{u} c_{u}ζ̂(u)

si chaque u avec c_{u} ≠ 0 satisfait u ∈ {e} ∪ x_{0}X^{∗}x_{1}. Pour

w ∈ ℌ^{0} := ℚe + x_{0}ℌx_{1}

on a

ζ̂(w) = L̂i_{w}(1).

L’application ζ̂: ℌ^{0} → ℝ est ℚ-linéaire.

Définition. Produit de mélange (shuffle) de deux mots de X^{∗}: c’est l’élément de ℌ défini par récurrence par:

e� u = u� e = u pour u et u′ dans X^{∗},

et

(x_{i}u)� (x_{j}v) = x_{i}(u� (x_{j}v)) + x_{j}((x_{i}u)� v)

pour u, v in X^{∗} et i, j dans {0, 1}.

Exemples. Pour i_{1}, i_{2}, j, j_{1}, j_{2} dans {0, 1},

(x_{i_{1}}x_{i_{2}})� x_{j} = x_{i_{1}}x_{i_{2}}x_{j} + x_{i_{1}}x_{j}x_{i_{2}} + x_{j}x_{i_{1}}x_{i_{2}}.

\begin{matrix}(x_{i_{1}}x_{i_{2}})� (x_{j_{1}}x_{j_{2}}) = & x_{i_{1}}x_{i_{2}}x_{j_{1}}x_{j_{2}} + x_{i_{1}}x_{j_{1}}x_{i_{2}}x_{j_{2}} + x_{i_{1}}x_{j_{1}}x_{j_{2}}x_{i_{2}}+ \\ x_{j_{1}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}x_{j_{2}} + x_{j_{1}}x_{i_{1}}x_{j_{2}}x_{i_{2}} + x_{j_{1}}x_{j_{2}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}. \end{matrix}

On prolonge par distributivité par rapport à l’addition à ℌ: cela définit des ℚ-algèbres commutatives et associatives

ℌ�^{0} ⊂ ℌ�^{1} ⊂ ℌ_{�}

Théorème de Radford: ℌ�^{0} , ℌ�^{1} et ℌ_{�} sont des algèbres (commutatives) de polynômes sur les mots de Lyndon. Conséquence:

ℌ�^{1} = ℌ�^{0} [x_{1}], ℌ_{�} = ℌ�^{1} [x_{0}] = ℌ�^{0} [x_{0}, x_{1}].

Proposition. Pour u et u′ dans ℌ�^{1} ,

L̂i_{u}(z)L̂i_{u′}(z) = L̂i_{u� u′}(z).

Conséquence. Pour u et u′ dans ℌ�^{0} ,

ζ̂(u)ζ̂(u′) = ζ̂(u� u′).

Proposition.

z \frac{d}{dz} L̂i_{x_{0}u}(z)  = L̂i_{u}(z)
(1 − z)\frac{d}{dz} L̂i_{x_{1}u}(z) = L̂i_{u}(z)

Définition. On prolonge la définition de L̂i_{w}(z) à tous les w ∈ X^{∗}:

Li_{e}(z) := 1, L̂i_{x_{0}^{s}}(z) := \frac{1}{s!}(log z)^{s} pour s ≥ 1

et, pour j ∈ {0, 1},

L̂i_{x_{j}u}(z) := ∫_{0}^{z} L̂i_{u}(z)ω_{j}(z)

si le mot x_{j}u contient la lettre x_{1}.

Série génératrice.

L̂i(z) := ∑_{w∈X^{∗}} L̂i_{w}(z)w.

Équation Différentielle de Knizhnik-Zamolodchikov

\frac{d}{dz} L̂i(z) = (\frac{x_{0}}{z} + \frac{x_{1}}{1 − z} ) L̂i(z).

Condition initiale: z ↦ L̂i(z)z^{−x_{0}} est holomorphe de valeur 1 au voisinage de 0 dans

ℂ \ {(−∞, 0] ∪ [1, ∞)}:  0  1

Théorème (H.N. Minh et M. Petitot). Les fonctions L̂i_{w}(z), quand w décrit X^{∗}, sont linéairement indépendantes sur ℂ.

Associateur de Drinfeld (^{∗}):

Φ_{KZ} = ∑_{w∈X^{∗}} ζ̂(regw)w ∈ ℂ⟨⟨x_{0}, x_{1}⟩⟩.

(∗) c.f. p. 33 for regw.

Polylogarithmes multiples en plusieurs variables Pour \underline{z} = (z_{1}, …, z_{k}) dans le polydisque unité |z_{i}| < 1 (1 ≤ i ≤ k)

de ℂ^{k}, et pour \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) avec s_{j} ≥ 1 (1 ≤ j ≤ k),

Li\underline{s}(\underline{z}) := ∑_{n_{1}>n_{2}>···>n_{k}≥1} \frac{z_{1}^{n_{1}} ⋯ z_{k}^{n_{k}}}{n_{1}^{s_{1}} ⋯ n_{k}^{s_{k}}} ·

Ainsi

Li\underline{s}(z) = Li\underline{s}(z, 1, …, 1).

Multiplication des séries:

(Stuffle)  Li\underline{s}(\underline{z})Li\underline{s}′(\underline{z}′) = ∑_{\underline{s}′′} Li\underline{s}′′(\underline{z}′′).

où chaque (s′′_{j}, z′′_{j}) est de la forme soit (s_{i}, z_{i}), soit (s′_{i′}, z′_{i′}), soit (s_{i} + s′_{i′}, z_{i}z′_{i′}).

Exemples:

Li_{s}(z)Li_{s′}(z′) = Li_{(s,s′)}(z, z′) + Li_{(s′,s)}(z′, z) + Li_{s+s′}(zz′).

Li_{s}(z)Li_{(s′_{1},s′_{2})}(z′_{1}, z′_{2}) = Li_{(s,s′_{1},s′_{2})}(z, z′_{1}, z′_{2})+ Li_{(s′_{1},s,s′_{2})}(z′_{1}, z, z′_{2}) + Li_{(s′_{1},s′_{2},s)}(z′_{1}, z′_{2}, z)+

Li_{(s+s′_{1},s′_{2})}(zz′_{1}, z′_{2}) + Li_{(s′_{1},s+s′_{2})}(z′_{1}, zz′_{2}).

Règle:

\begin{matrix}\underline{s} & s_{1} & s_{2} & 0 & s_{3} & s_{4} & ⋯ & 0 \\ \underline{s}′ & 0 & s′_{1} & s′_{2} & 0 & s′_{3} & ⋯ & s′_{k′} \\ \underline{s}′′ & s_{1} & s_{2} + s′_{1} & s′_{2} & s_{3} & s_{4} + s′_{3} & ⋯ & s′_{k′} \\ \underline{z}′′ & z_{1} & z_{2}z′_{1} & z′_{2} & z_{3} & z_{4}z′_{3} & ⋯ & z′_{k′}. \end{matrix}

Le produit ⋆ et les algèbres harmoniques

Produit ⋆ (stuffle product) sur X^{∗}:

e ⋆ u = u ⋆ e = u

pour u ∈ X^{∗},

x_{0}^{n} ⋆ w = w ⋆ x_{0}^{n} = wx_{0}^{n}

pour tout n ≥ 1 et w ∈ X^{∗}, et

(y_{s}u) ⋆ (y_{t}u′) = y_{s}(u ⋆ (y_{t}u′)) + y_{t}((y_{s}u) ⋆ u′) + y_{s+t}(u ⋆ u′)

pour u et u′ dans X^{∗}, s ≥ 1, t ≥ 1. Distributivité par rapport à l’addition: algèbres associatives, commutatives et unitaires

ℌ_{⋆}^{0} ⊂ ℌ_{⋆}^{1} ⊂ ℌ_{⋆}

M. Hoffman: Algèbres (commutatives) de polynômes sur les mots de Lyndon.

Théorème.

ζ̂(y\underline{s} ⋆ y\underline{s}′) = ζ̂(y\underline{s})ζ̂(y\underline{s}′) quand s_{1} ≥ 2 et s′_{1} ≥ 2.

Autrement dit

ζ̂(u)ζ̂(u′) = ζ̂(u ⋆ u′)

pour u et u′ dans ℌ_{⋆}^{0}.

Exemple: ζ(s)ζ(s′_{1}, s′_{2}) = ζ(s, s′_{1}, s′_{2}) + ζ(s′_{1}, s, s′_{2}) + ζ(s′_{1}, s′_{2}, s)

+ζ(s + s′_{1}, s′_{2}) + ζ(s′_{1}, s + s′_{2})

pour s ≥ 2, s′_{1} ≥ 2 et s′_{2} ≥ 1.

Les relations du troisième type (opérateur d’Hoffman) Exemple.

Shuffle:  Li_{1}(z)Li_{2}(z) = Li_{(1,2)}(z) + 2Li_{(2,1)}(z).
Stuffle: Li_{s}(z)Li_{s′}(z′) = Li_{(s,s′)}(z, z′) + Li_{(s′,s)}(z′, z) + Li_{s+s′}(zz′).

Conséquence (z = z′):

Li_{(1,2)}(z, 1) + 2Li_{(2,1)}(z, 1) = Li_{(1,2)}(z, z) + Li_{(2,1)}(z, z) + Li_{3}(z^{2}). Fait:

F (z) = Li_{(1,2)}(z, 1) − Li_{(1,2)}(z, z) = ∑_{n_{1}>n_{2}≥1} \frac{z^{n_{1}}(1 − z^{n_{2}})}{n_{1}n_{2}^{2}}

tend vers 0 quand z → 1 dans le cercle unité.

Démonstration: pour |z| < 1 on a

|1 − z^{n_{2}}| = |(1 − z)(1 + z + ⋯ + z^{n_{2}−1})| < n_{2}|1 − z|,

donc

∑_{n_{2}=1}^{n_{1}−1} \frac{|1 − z^{n_{2}}|}{n_{2}^{2}} < |1 − z| ∑_{n_{2}=1}^{n_{1}−1} \frac{1}{n_{2}} ·

Du calcul de Li_{(1,1)} on déduit

|F (z)| ≤ |1 − z|Li_{(1,1)}(|z|) = \frac{1}{2}|1 − z|(log(1/(1 − |z|)))^{2}.

D’où la relation d’Euler

ζ(2, 1) = ζ(3).

Théorème (Relations d’Hoffman). ζ̂(x_{1} ⋆ v − x_{1}� v) = 0 pour v ∈ ℌ^{0}.

Relations de mélange double régularisées

reg : ℌ = ℌ�^{0} [x_{0}, x_{1}] ⟶  ℌ^{0}
w  ⟼ terme constant de w.

Théorème (Ihara-Kaneko: ”Regularized double shuffle relations”). Pour u ∈ ℌ^{1} et v ∈ ℌ^{0},

ζ̂(reg(u ⋆ v − u� v)) = 0.

Cas u = x_{1}: relations d’Hoffman ζ̂(x_{1} ⋆ v − x_{1}� v) = 0 pour v ∈ ℌ^{0}.

Conjectures Diophantiennes

Variables indépendantes Z_{u}, u ∈ {e} ∪ X^{∗}x_{1}.

Pour v = ∑_{u} c_{u}u ∈ ℌ^{1}, on pose

Z_{v} = ∑_{u} c_{u}Z_{u}.

Remarques.

• Pour u_{1} et u_{2} dans x_{0}X^{∗}x_{1}, Z_{u_{1}� u_{2}} et Z_{u_{1}⋆u_{2}} sont des formes linéaires en les Z_{u}, u ∈ x_{0}X^{∗}x_{1}.

• Pour v ∈ x_{0}X^{∗}x_{1}, Z_{x_{1}� v−x_{1}⋆v} est une forme linéaire en les Z_{u},

u ∈ x_{0}X^{∗}x_{1}. Soit R l’algèbre des polynômes à coefficients rationnels en les variables Z_{u}, u ∈ x_{0}X^{∗}x_{1} et soit ℑ ⊂ R le noyau de

Z_{u} ↦ ζ̂(u) (u ∈ x_{0}X^{∗}x_{1}).

Conjecture 1. Les polynômes

Z_{u_{1}}Z_{u_{2}} − Z_{u_{1}� u_{2}}, Z_{u_{1}}Z_{u_{2}} − Z_{u_{1}⋆u_{2}} et Z_{x_{1}⋆v−x_{1}� v}, pour u_{1}, u_{2} et v décrivant x_{0}X^{∗}x_{1}, engendrent l’idéal ℑ.

Conjecture 2 (Ihara-Kaneko). Le ℚ-espace vectoriel engendré par les formes linéaires

Z_{reg(u⋆v−u� v)},

où u décrit ℌ^{1} et v décrit ℌ^{0}, est le noyau de ζ̂: ℌ^{0} ⟶ ℝ.

Conjecture intermédiaire: u = x_{1}^{k}, k ≥ 1.

Tout \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) avec s_{1} ≥ 2 s’écrit

\underline{s} = (a_{1} + 1, \{1\}_{b_{1}−1}, a_{2} + 1, \{1\}_{b_{2}−1}, … a_{m} + 1, \{1\}_{b_{m}−1})

avec m ≥ 1, a_{i} ≥ 1, b_{j} ≥ 1.

On a k = b_{1} + ⋯ + b_{m} et l’entier m est le nombre de i avec s_{i} ≥ 2.

Indice dual: \underline{s}′ = (s′_{1}, …, s′_{k′}) défini par

\underline{s}′ = (b_{m} + 1, \{1\}_{a_{m}−1}, …, b_{2} + 1, \{1\}_{a_{2}−1}, b_{1} + 1, \{1\}_{a_{1}−1}).

Exemple: k = 1 (donc m = 1, b_{1} = 1) – dual de s: (2, {1}_{s−2}).

Relations d’Ohno. Pour tout \underline{s} et tout ℓ ≥ 0,

∑_{{ϵ_{1},...,ϵ_{k}≥0 \atop ϵ_{1}+···+ϵ_{k}=ℓ}} ζ(s_{1} + ϵ_{1}, …, s_{k} + ϵ_{k}) = ∑_{{ϵ′_{1},...,ϵ{′ \atop k′} ≥0 \atop ϵ′_{1}+···+ϵ{′ \atop k′} =ℓ}} ζ(s′_{1} + ϵ′_{1}, …, s′_{k′} + ϵ′_{k′})

Cas particuliers:

Relation de dualité. (ℓ = 0) ζ(s_{1}, …, s_{k}) = ζ(s′_{1}, …, s′_{k′})

Formule de la somme. (ℓ = p − k + 1) Pour p ≥ 2 et k satisfaisant 1 ≤ k ≤ p − 1,

∑_{{s_{1}+···+s_{k}=p \atop s_{1}≥2}} ζ(s_{1}, …, s_{k}) = ζ(p).

k = 2: L. Euler (1775)

k = 3: M. Hoffman et C. Moen (1996)

Cas général: A. Granville (1997)

Via identités syntaxiques: Minh Hoang

Lien avec des relations de dérivations: K. Ihara et M. Kaneko Équations fonctionnelles: J-i. Okuda et K. Ueno.

Polyzêtas Colorés

Formule de duplication d’Euler

Li_{s}(−1) = −(1 − 2^{−s+1})ζ(s).

Constante de Catalan:

Li_{2}(i) = −\frac{1}{8}ζ(2) + iG, G = ∑_{n≥0} \frac{(−1)^{n}}{(2n + 1)^{2}} ·

Transformation Cyclotomique.

Li\underline{s}(\underline{z}^{n}) = n^{|\underline{s}|−k} ∑_{\underline{σ}} Li\underline{s}(\underline{σ}\underline{z}),  (n^{k} termes)

où \underline{z}^{n} = (z_{1}^{n}, …, z_{k}^{n}), \underline{σ}\underline{z} = (σ_{1}z_{1}, …, σ_{k}z_{k}), \underline{σ} = (σ_{1}, …, σ_{k}), chaque σ_{j} décrit les racines n^{ièmes} de l’unité.

Question. Quelles sont les relations de dépendance algébrique entre les nombres

Li\underline{s}(\underline{σ}) pour \underline{σ} ∈ (ℂ_{tors}^{×})^{k}?

Quelques références récentes

Ball, K., Rivoal, T. – Irrationalité d’une infinité de valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs. Invent. Math., à paraître.

Cartier, P. – Fonctions polylogarithmes, nombres polyzêta et groupes prounipotents. Sém. Bourbaki, 53^{ème} année, 2000–2001, n^{∘} 884, Mars 2001, 36 pp.

Ihara, K.; Kaneko, M. – Derivation relations and regularized double shuffle relations of multiple zeta values. Manuscrit, 2001.

Rivoal, T. – La fonction Zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs. C. R. Acad. Sci. Paris 331 (2000), 267–270.

http://arXiv.org/abs/math.NT/0008051

Rivoal, T. – Irrationalité d’au moins un des neuf nombres zeta(5), zeta(7), …, zeta(21). Soumis à Acta Arithmetica.

http://arXiv.org/abs/math/0104221

Zudilin, W. – Irrationality of values of zeta-function. À paraître dans les Proceedings of the Conference of Young Scientists (Moscow University, April 9-14, 2001)

http://arXiv.org/abs/math/0104249

Zudilin, W. – Arithmetics of linear forms involving odd zeta values. Manuscrit, juin 2001.

M. Hoffman: http://www.usna.edu/Users/math/meh/biblio.html
D. Bradley: http://www.umemat.maine.edu/faculty/bradley/papers/pub.html