Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, à paraître.

Valeurs zêta multiples: une introduction

par

Michel WALDSCHMIDT

À Jacques Martinet, pour ses 60 ans.

Résumé

Soit \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) un k-uplet d’entiers positifs avec k ≥ 1. Pour s_{1} ≥ 2, la série

∑_{n_{1}>···>n_{k}≥1} n_{1}^{−s_{1}} ⋯ n_{k}^{−s_{k}}

converge et sa somme est notée ζ(\underline{s}). Dans le cas k = 1 il s’agit simplement des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers positifs. Quelles relations algébriques existent entre ces nombres? Le produit ζ(\underline{s}′)ζ(\underline{s}′′) de deux valeurs de fonctions zêta multiples est une combinaison linéaire de ζ(\underline{s}), comme on le voit facilement en multipliant les séries: c’est le produit de mélange lié aux séries. D’autre part une autre expression pour le nombre ζ(\underline{s}) est donnée par une intégrale itérée (intégrale de Chen); cela fournit une autre relation quadratique exprimant de nouveau le produit ζ(\underline{s}′)ζ(\underline{s}′′) comme une combinaison linéaire de ζ(\underline{s}): c’est le produit de mélange lié aux intégrales. On conjecture que ces deux produits de mélange suffisent à décrire toutes les relations algébriques entre les nombres ζ(\underline{s}). Se pose alors le problème d’étudier l’algèbre engendrée par des générateurs (les multizêta symboliques) indexés par les k-uplets \underline{s} et définie par les relations données par ces deux produits de mélange; on obtient ainsi l’algèbre MZV, dont Écalle est en train de déterminer la structure. Pour définir des séries génératrices permettant de coder simultanément tous les multizêta symboliques il convient d’inclure les \underline{s} correspondant à des séries divergentes (avec s_{1} = 1). Nous mentionnons enfin brièvement quelques résultats de l’équipe de Petitot sur les polylogarithmes, et encore plus brièvement plusieurs sujets connexes.

http://www.math.jussieu.fr/∼miw/articles/ps/MZV.ps

§ 1. Le produit de mélange lié aux séries

Précisons pour commencer que la définition que nous avons choisie

ζ(\underline{s}) = ∑_{n_{1}>···>n_{k}≥1} n_{1}^{−s_{1}} ⋯ n_{k}^{−s_{k}}

est celle utilisée, par exemple, par M. Hoffman, tandis que D. Zagier et A.B. Goncharov utilisent l’ordre opposé 1 ≤ n_{1} < ⋯ < n_{k}.

Pour s et s′ entiers ≥ 2, le produit

ζ(s)ζ(s′) = ∑_{n≥1} n^{−s} · ∑_{n′≥1}(n′)^{−s′}

s’écrit (formule de réflexion)

∑_{n>n′≥1} n^{−s}(n′)^{−s′} + ∑_{n′>n≥1} n^{−s} (n′)^{−s′} + ∑_{n≥1} n^{−s−s′} = ζ(s, s′) + ζ(s′, s) + ζ(s + s′).

Plus généralement, soient \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) et \underline{s}′ = (s′_{1}, …, s′_{k′}) deux suites finies de nombres entiers ≥ 1 avec s_{1} ≥ 2 et s′_{1} ≥ 2. Le produit de ζ(\underline{s}) par ζ(\underline{s}′) est la somme des ζ(\underline{σ}) pour les \underline{σ} = (σ_{1}, …, σ_{h}) obtenus par mélange à partir de \underline{s} et \underline{s}′ de la manière suivante: on insère, dans la suite \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) de même que dans la suite \underline{s}′ = (s′_{1}, …, s′_{k′}), des 0 (y compris éventuellement avant le premier et après le dernier terme) de telle sorte qu’on obtienne deux suites de même longueur sans avoir deux 0 de même indice, et on définit \underline{σ} = (σ_{1}, …, σ_{h}) comme la somme (termes à termes) des deux suites ainsi obtenues. Par exemple pour k = k′ = 1 on trouve trois possibilités pour \underline{σ}:

\frac{\underline{s} ; \underline{s}′}{\underline{σ}} : \frac{\begin{matrix}s & 0 \\ 0 & s′ \end{matrix}}{s s′} , \frac{\begin{matrix}0 & s \\ s′ & 0 \end{matrix}}{s′ s} , \frac{\begin{matrix}s \\ s′ \end{matrix}}{s + s′} ·

La relation de mélange liée aux séries s’écrit alors

ζ(\underline{s})ζ(\underline{s}′) = ∑_{\underline{σ}} ζ(\underline{σ}),

où \underline{σ} décrit les suites (σ_{1}, …, σ_{h}) (h ≥ 1) ainsi obtenues à partir de \underline{s} et \underline{s}′. L’indice h décrit l’intervalle [max{k, k′}, k + k′].

Voici une autre description (équivalente) de ce produit de mélange. On considère les mots construits sur l’alphabet à deux lettres X = {x_{0}, x_{1}}. À chaque entier strictement positif s on associe le mot y_{s} = x_{0}^{s−1}x_{1}, et à chaque suite finie \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) (avec k ≥ 1) formée d’entiers strictement positifs on associe le mot x\underline{s} = y_{s_{1}} ⋯ y_{s_{k}}. Ainsi x\underline{s} est une suite de x_{0} et de x_{1}, le nombre k de facteurs x_{1} est la profondeur (depth, encore appelée longueur) du mot x\underline{s} (ou du multi-indice \underline{s}), tandis que le nombre p = s_{1} + ⋯ + s_{k} de lettres en est le poids (weight). On désigne par X^{∗} l’ensemble de tous les mots en x_{0}, x_{1}, et par ℚ⟨X⟩ l’anneau des polynômes en deux variables non commutatives x_{0}, x_{1} à coefficients rationnels (ce sont les combinaisons linéaires de mots à coefficients rationnels). Les mots associés à une suite \underline{s} sont ceux qui terminent par x_{1}, et leur ensemble est X^{∗}x_{1}. Les mots convergents sont, outre le mot vide, ceux de x_{0}X^{∗}x_{1}, qui commencent par x_{0} et terminent par x_{1}, c’est-à-dire ceux qui s’écrivent x\underline{s} avec \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) et s_{1} ≥ 2; pour un tel mot w on pose ζ(w) = ζ(\underline{s}). Pour k = 0 la suite \underline{s} = ∅ est codée par le mot vide que nous noterons e. Il est commode de convenir que ζ(∅) = ζ(e) = 1.

On prolonge par linéarité la définition de ζ(w) aux polynômes convergents, qui sont les éléments w de ℚ⟨X⟩ s’écrivant comme combinaisons linéaires (à coefficients rationnels) de mots de l’ensemble x_{0}X^{∗}x_{1}.

On définit (par récurrence sur la longueur) une loi associative et commutative ∗ sur l’ensemble X^{∗}x_{1} de la manière suivante: on a d’abord

e ∗ w = w

pour tout w dans X^{∗}x_{1}, et ensuite, pour s et t entiers strictement positifs, w et w′ dans X^{∗}x_{1},

(y_{s}w) ∗ (y_{t}w′) = y_{s}(w ∗ y_{t}w′) + y_{t}(y_{s}w ∗ w′) + y_{s+t}(w ∗ w′).

On vérifie alors, avec les notations précédentes,

x\underline{s} ∗ x′ ; \underline{s} = ∑_{\underline{σ}} x\underline{σ},

ce qui signifie que les relations de mélange introduites ci-dessus s’écrivent, pour w et w′ dans x_{0}X^{∗}x_{1},

ζ(w)ζ(w′) = ζ(w ∗ w′).  (1)

Ce produit de mélange est lié à la théorie des fonctions “quasi-symétriques”. Soit \underline{t} = \{t_{1}, t_{2}, …\} un alphabet commutatif infini. On considère l’algèbre ℚ[[\underline{t}]] des séries formelles en ces variables. Une série F (\underline{t}) ∈ ℚ[[\underline{t}]] est quasi-symétrique si pour tout \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) le coefficient dans F (\underline{t}) de tout monôme t_{i_{1}}^{s_{1}} ⋯ t_{i_{k}}^{s_{k}} avec i_{1} > ⋯ > i_{k} ne dépend pas du multi-indice (i_{1}, …, i_{k}). Le produit de deux séries quasi-symétriques est encore quasisymétrique. À chaque mot w = y_{s_{1}} ⋯ y_{s_{k}} ∈ X^{∗}x_{1} on associe la série quasi-symétrique

F_{w}(\underline{t}) = ∑_{n_{1}>···>n_{k}≥1} t_{n_{1}}^{s_{1}} ⋯ t_{n_{k}}^{s_{k}}.

Pour tous w et w′ dans X^{∗}x_{1} on a

F_{w}(\underline{t})F_{w′}(\underline{t}) = F_{w∗w′}(\underline{t}).

Si w est un mot convergent alors ζ(w) est la valeur de F_{w}(\underline{t}) quand on spécialise chaque t_{n} en 1/n, (n ≥ 1).

§ 2. Le produit de mélange lié aux intégrales

Un autre codage des mots de X^{∗}x_{1} va nous être utile. À toute suite \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) d’entiers strictement positifs de poids p = s_{1} + ⋯ + s_{k} on associe la suite (ϵ_{1}, …, ϵ_{p}) d’éléments de {0, 1} définie par

x\underline{s} = x_{ϵ_{1}} ⋯ x_{ϵ_{p}}.

On introduit les deux formes différentielles

ω_{0}(t) = \frac{dt}{t} et ω_{1}(t) = \frac{dt}{1 − t}·

On désigne par Δ_{p} le simplexe suivant de ℝ^{p}:

Δ_{p} = \{\underline{t} ∈ ℝ^{p} ; 1 > t_{1} > ⋯ > t_{p} > 0\}.

Proposition. Si, de plus, s_{1} ≥ 2, alors

ζ(\underline{s}) = ∫_{Δ_{p}} ω_{ϵ_{1}}(t_{1}) ⋯ ω_{ϵ_{p}}(t_{p}).

On vérifie facilement cette relation en développant 1/(1−t) en série entière à l’origine. On peut écrire l’intégrale intervenant dans l’énoncé de la proposition comme une

intégrale itérée (ou intégrale de Chen) définie de la manière suivante.

Soient φ_{1}, …, φ_{n} des formes différentielles sur ℝ. On définit par récurrence

∫_{Ch}^{t} φ_{n} ⋯ φ_{1} = ∫_{0}^{t} (φ_{n}(s) ∫_{Ch}^{s} φ_{n−1} ⋯ φ_{1}) ,

avec, pour n = 1,

∫_{Ch}^{t} φ_{1} = ∫_{0}^{t} φ_{1}.

Ainsi

ζ(\underline{s}) = ∫_{Ch}^{1} ω_{ϵ_{1}} ⋯ ω_{ϵ_{p}}.

On peut aussi définir les intégrales de Chen en introduisant d’abord le produit (associatif et non commutatif) α # β de deux formes différentielles α et β:

α # β := αP

où

P (t) = ∫_{0}^{t} β

est la primitive de β nulle en 0. Alors

∫_{Ch}^{t} φ_{n} ⋯ φ_{1} = ∫_{0}^{t} φ_{n} # ⋯ # φ_{1}.

La proposition précédente s’écrit ainsi: quand \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) est convergent (s_{1} ≥ 2), on a

ζ(\underline{s}) = ∫_{0}^{1} φ_{s_{1}} # ⋯ # φ_{s_{k}},

où, pour s entier ≥ 1, on a posé

φ_{s} := ω_{0}^{#(s−1)} # ω_{1}.

De cette proposition on va déduire la relation de mélange liée aux intégrales. On définit (par récurrence sur le poids p) un produit ⊔⊔ (shuffle, encore appelé intercalement ou battage) sur X^{∗} de la manière suivante:

e⊔⊔w = w⊔⊔e = w,

et ensuite, pour i et j dans {0, 1}, u et v dans X^{∗},

(x_{i}u)⊔⊔(x_{j}v) = x_{i}(u⊔⊔x_{j}v) + x_{j}(x_{i}u⊔⊔v)

(on notera ici l’absence du terme diagonal qui apparaissait dans la loi ∗ du produit de mélange lié aux séries). On vérifie alors que les relations

ζ(w)ζ(w′) = ζ(w⊔⊔w′)  (2)

sont satisfaites pour tout w et w′ dans x_{0}X^{∗}x_{1}. Pour cela on décompose le produit cartésien Δ_{p}×Δ_{p′} de deux simplexes en réunion disjointe (aux bords près) de (p+p′)!/p!p′! simplexes.

Ces relations (2) permettent d’exprimer le produit ζ(\underline{s})ζ(\underline{s}′), où \underline{s} a pour poids p et \underline{s}′ pour poids p′, comme une combinaison linéaire à coefficients entiers positifs de valeurs ζ(\underline{s}′′). La somme des coefficients est (p + p′)!/p!p′!.

Par exemple de l’égalité

y_{2}⊔⊔y_{3} = y_{2}y_{3} + 3y_{3}y_{2} + 6y_{4}y_{1}

on déduit

ζ(2)ζ(3) = ζ(2, 3) + 3ζ(3, 2) + 6ζ(4, 1).

Quand on combine cette relation avec celle du mélange liée aux séries qui donne

ζ(2)ζ(3) = ζ(2, 3) + ζ(3, 2) + ζ(5),

on obtient

ζ(5) = 2ζ(3, 2) + 6ζ(4, 1).

On étend par linéarité ⊔⊔ à l’algèbre des polynômes non commutatifs ℚ⟨X⟩, ce qui donne une algèbre commutative et associative Sh_{ℚ}⟨X⟩. La structure de cette algèbre est décrite par le Théorème de Radford: c’est l’algèbre des polynômes sur l’ensemble L des “mots de Lyndon”:

Sh_{ℚ}⟨X⟩ = ℚ[L].

Un mot de Lyndon est un mot non vide dans X^{∗} qui est inférieur à tous ses facteurs à droite stricts pour l’ordre lexicographique, avec x_{0} < x_{1}. À part x_{0} et x_{1}, ils commencent tous par x_{0} et terminent par x_{1}: ce sont donc des mots convergents.

§ 3. Les algèbres MZV

Nous nous sommes restreints jusqu’à présent aux mots convergents w ∈ x_{0}X^{∗}x_{1}. Si on désire éviter d’étendre la définition de ζ(w) à X^{∗}x_{1}, il convient alors de remarquer que pour w dans x_{0}X^{∗}x_{1}, on peut écrire x_{1}⊔⊔w − x_{1} ∗ w comme combinaison linéaire de mots convergents. En combinant (formellement) les deux relations de mélange, on déduit alors

ζ(x_{1}⊔⊔w − x_{1} ∗ w) = 0 pour tout w ∈ x_{0}X^{∗}x_{1}.  (3)

Un exemple de telle relation (connue d’Euler, qui en connaissait d’ailleurs beaucoup d’autres!) est

ζ(3) = ζ(2, 1),

que l’on déduit de (3) en prenant w = x_{0}x_{1}:

x_{1}⊔⊔(x_{0}x_{1}) − x_{1} ∗ (x_{0}x_{1}) = x_{0}x_{1}^{2} − x_{0}^{2}x_{1}.

On introduit des symboles (multizêta symboliques) Ze(\underline{s}) pour chaque \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}), pour k ≥ 0 et s_{i} entiers positifs. On définit aussi Ze(w) pour tout w dans X^{∗}x_{1} par Ze(x\underline{s}) = Ze(\underline{s}). Un symbole Ze(\underline{s}) est dit convergent si s_{1} ≥ 2 ou k = 0: ce sont les Ze(w) pour w dans x_{0}X^{∗}x_{1} sans oublier Ze(e) = Ze(∅).

On considère d’abord MZV_{conv} (“multiple zêta values” convergentes) comme étant l’algèbre commutative sur ℚ définie par les générateurs convergents Ze(\underline{s}) et les relations quadratiques standard, qui sont celles que l’on déduit de (1), (2) et (3) en remplaçant ζ(w) par Ze(w):

Ze(w)Ze(w′) = Ze(w ∗ w′) pour w et w′ dans x_{0}X^{∗}x_{1},  (1′)
Ze(w)Ze(w′) = Ze(w⊔⊔w′) pour w et w′ dans x_{0}X^{∗}x_{1},  (2′)
Ze(x_{1}⊔⊔w − x_{1} ∗ w) = 0 pour tout w ∈ x_{0}X^{∗}x_{1}.  (3′)

On dispose donc d’un morphisme naturel de spécialisation de cette algèbre dans ℂ, qui envoie Ze(\underline{s}) sur ζ(\underline{s}). La conjecture principale est:

Conjecture Diophantienne. Le morphisme de l’algèbre MZV_{conv} dans ℂ qui envoie Ze(\underline{s}) sur ζ(\underline{s}) est injectif.

En d’autres termes toutes les relations de dépendance algébrique entre les nombres ζ(\underline{s}), \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}), s_{1} ≥ 2, s_{j} ≥ 1 (2 ≤ j ≤ k) proviennent (conjecturalement) des relations quadratiques fournies par les deux produits de mélange.

On va maintenant inclure parmi les générateurs les symboles Ze(\underline{s}) avec s_{1} = 1.

Définition. L’algèbre MZV^{∗} (resp. MZV^{⊔⊔}) est l’algèbre (sur ℚ, pour fixer les idées) commutative définie par les générateurs Ze(\underline{s}), où \underline{s} décrit l’ensemble de toutes les suites finies (s_{1}, …, s_{k}) (avec k ≥ 0) d’entiers positifs, et la loi ∗ (resp. ⊔⊔) définie par

Ze(w) ∗ Ze(w′) = Ze(w ∗ w′) (resp. Ze(w)⊔⊔Ze(w′) = Ze(w⊔⊔w′) )

pour tout w ∈ X^{∗}x_{1}.

Chacune de ces deux algèbres contient la sous-algèbre correspondante, notée MZV_{conv}^{∗} et MZVconv^{⊔⊔} respectivement, obtenue en ne prenant comme générateurs que les Ze(\underline{s}) avec s_{1} ≥ 2. L’algèbre MZV_{conv} est à la fois quotient de MZV_{conv}^{∗} par les relations (2′) et (3′), et de MZVconv^{⊔⊔} par les relations (1′) et (3′).

On aimerait bien étendre le morphisme de spécialisation, qui est défini sur MZV_{conv}, à chacune des deux algèbres MZV^{∗} et MZV^{⊔⊔}. Ce n’est pas possible simultanément pour la simple raison suivante: comme

x_{1} ∗ x_{1} = 2x_{1}^{2} + x_{0}x_{1} et x_{1}⊔⊔x_{1} = 2x_{1}^{2},

on a

Ze(x_{1}) ∗ Ze(x_{1}) = 2Ze(x_{1}^{2}) + Ze(x_{0}x_{1}) et Ze(x_{1})⊔⊔Ze(x_{1}) = 2Ze(x_{1}^{2}),

mais ζ(2) = π^{2}/6 n’est pas nul! On peut cependant le faire séparément pour chacune des deux lois. On vérifie en effet que chacune des deux algèbres MZV^{∗} et MZV^{⊔⊔} est constituée des polynômes en Ze(1) à coefficients dans la sous-algèbre convergente correspondante:

MZV^{∗} = MZV_{conv}^{∗}[Ze(1)] et MZV^{⊔⊔} = MZVconv^{⊔⊔}[Ze(1)].

Par conséquent pour chaque θ ∈ ℂ, et pour chacune des deux lois ∗ et ⊔⊔, il existe une manière unique de définir, pour toute famille finie \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) d’entiers ≥ 1, la valeur régularisée ζ^{reg,∗}(\underline{s}) (resp ζ^{reg,⊔⊔}(\underline{s})) de telle sorte que

(a) Pour k = 1 et s = 1 on ait

ζ^{reg,∗}(1) = θ (resp ζ^{reg,⊔⊔}(1) = θ).

(b) Pour tout w et w′ dans X^{∗}x_{1}, on ait

ζ^{reg,∗}(w ∗ w′) = ζ^{reg,∗}(w)ζ^{reg,∗}(w′) (resp ζ^{reg,⊔⊔}(w⊔⊔w′) = ζ^{reg,⊔⊔}(w)ζ^{reg,⊔⊔}(w′)).

(c) Pour tout \underline{s} convergent on ait

ζ^{reg,∗}(\underline{s}) = ζ(\underline{s}) (resp ζ^{reg,⊔⊔}(\underline{s}) = ζ(\underline{s})).

On peut choisir par exemple pour θ la constante d’Euler (que nous désignerons par γ), mais Écalle préfère prendre θ = 0.

Comme on l’a vu, on a alors

ζ^{reg,∗}(1, 1) = \frac{1}{2}ζ^{reg,∗}(1)^{2} − \frac{1}{2}ζ(2) et ζ^{reg,⊔⊔}(1, 1) = \frac{1}{2}ζ^{reg,⊔⊔}(1)^{2}.

Plus généralement, en notant 1^{(p)} la suite (1, …, 1) codée par x_{1}^{p} (bien entendu la suite de longueur nulle 1^{(0)} = ∅ est codée par le mot vide e), on a

ζ^{reg,⊔⊔}(1^{(p)}) = \frac{1}{p!}ζ^{reg,⊔⊔}(1)^{p},

tandis que

∑_{p≥0} ζ^{reg,∗}(1^{(p)})z^{p} = exp \{ζ^{reg,∗}(1)z − ∑_{k≥2}(−1)^{k}ζ(k)\frac{z^{k}}{k} \} .

Cette dernière formule, qu’il est intéressant de comparer avec le développement pour la fonction Gamma d’Euler:

\frac{1}{Γ(1 + z)} = exp \{γz − ∑_{k≥2}(−1)^{k}ζ(k)\frac{z^{k}}{k} \} ,

se déduit des relations de Newton concernant les fonctions symétriques: en posant, pour s ≥ 0,

ψ_{s}(\underline{t}) = ∑_{n≥1} t_{n}^{s} et σ_{s}(\underline{t}) = ∑_{n_{1}>···>n_{s}≥1} t_{n_{1}} ⋯ t_{n_{s}},

on a dans ℚ[[\underline{t}]]

∑_{s≥0} σ_{s}(\underline{t})z^{s} = exp \{− ∑_{k≥1}(−1)^{k}ψ_{k}(\underline{t})\frac{z^{k}}{k} \} .

Revenons à la conjecture diophantienne. Pour qu’elle permette effectivement de décrire conjecturalement toutes les relations entre les valeurs de fonctions zêta multiples, il faut encore savoir décrire MZV_{conv}. Les travaux récents d’Écalle vont dans ce sens (voir § 4).

Goncharov conjecture que l’algèbre MZV_{conv} est duale de l’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie engendrée par des générateurs φ_{2}, φ_{3}, φ_{5}, …, φ_{2n+1}, …, avec les seules relations [φ_{2}, φ_{2n+1}] = 0 pour tout n ≥ 1.

L’énoncé suivant, conjecturé par Zagier, Drinfeld, Kontsevich et Goncharov, décrit la dimension d_{p} du sous-ℤ-module de MZV_{conv} engendré par les 2^{p−2} éléments Ze(\underline{s}) avec \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) de poids p et s_{1} ≥ 2:

Conjecture. On a d_{1} = 0, d_{2} = d_{3} = d_{4} = 1 et d_{p} = d_{p−2} + d_{p−3} pour p ≥ 4.

Pour chaque p ≥ 0, définissons Z_{p} comme le ℚ-espace vectoriel engendré par les Ze(\underline{s}) avec \underline{s} (convergent) de poids p et Z_{0} = ℚ. Alors la somme des Z_{p} (p ≥ 0) est directe, et la dernière conjecture s’énonce de manière équivalente:

∑_{p≥0} q^{p} dim_{ℚ} Z_{p} = \frac{1}{1 − q^{2} − q^{3}} ·

§ 4. Fonctions Génératrices

Quand on dispose des ζ(w) pour tous les w ∈ X^{∗}x_{1} et pas seulement pour les mots convergents, on peut les insérer tous simultanément dans des séries génératrices.

Pour montrer que l’algèbre MZV_{conv} est librement engendrée par une sous-famille d’irréductibles, Écalle introduit des fonctions génératrices qui possèdent un grand nombre de symétries. Ainsi, pour chaque entier k = 0, 1, …, il définit

Zig(v_{1}, …, v_{k}) = ∑_{s_{1}≥1} ⋯ ∑_{s_{k}≥1} Ze(\underline{s})v_{1}^{s_{1}−1} ⋯ v_{k}^{s_{k}−1}.

Si on sommait formellement en remplaçant Ze(\underline{s}) par ζ(\underline{s}) (même pour s_{1} = 1, bien que la série définissant ζ(\underline{s}) diverge), en permutant les signes de sommation on trouverait, à la place de Zig(v_{1}, …, v_{k}), la série

∑_{n_{1}>···>n_{k}>0} \frac{1}{(n_{1} − v_{1}) ⋯ (n_{k} − v_{k})}·

La série Zig est donc un substitut pour cette dernière série divergente. Noter que pour k = 1 une régularisation de la série est

∑_{n≥1} (\frac{1}{n − v} − \frac{1}{n}) = −\frac{Γ′(−v)}{Γ(−v)} − γ + \frac{1}{v} .

Définissons aussi des Wa(\underline{s}) liés aux Ze(\underline{s}) par la relation

Wa(s_{1}, …, s_{k}) = Ze(1 + s_{k}, …, 1 + s_{1})

dans le cas convergent s_{1} > 1 et par une relation analogue mais un peu plus compliquée dans le cas divergent s_{1} = 1, puis associons aux Wa(\underline{s}) la série génératrice

Wag(u_{1}, …, u_{k}) = ∑_{s_{1}≥1} ⋯ ∑_{s_{k}≥1} Wa(\underline{s})u_{1}^{s_{1}}(u_{1} + u_{2})^{s_{2}} ⋯ (u_{1} + ⋯ + u_{k})^{s_{k}}.

Les familles Ze(\underline{s}) et Wa(\underline{s}) sont des exemples de “moules” au sens d’Écalle. Un anneau (commutatif) étant donné, un moule est la donnée, pour chaque suite finie \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) de longueur arbitraire k ≥ 0, d’un élément M\underline{s} de cet anneau. Un tel moule est noté M^{•}. À k = 0 correspond M^{∅}. L’addition de deux moules A^{•} et B^{•} est le moule (A + B)^{•} qui à \underline{s} associe l’élément (A + B)\underline{s} := A\underline{s} + B\underline{s} de l’anneau. La multiplication de deux moules est définie de la manière suivante:

A^{•}B^{•} = C^{•}

où

\begin{aligned}C\underline{s} & = ∑_{\underline{s}=\underline{s}′\underline{s}′′} A^{\underline{s}′}B^{\underline{s}′′} \\ & = A^{∅}B\underline{s} + A^{(s_{1})}B^{(s_{2},...,s_{k})} + ⋯ + A\underline{s}B^{∅}. \end{aligned}

Dans la première somme, \underline{s}′\underline{s}′′ est la suite obtenue par concaténation de \underline{s}′ et \underline{s}′′. Une troisième opération sur les moules est utile: la composition

A^{•} ∘ B^{•} = C^{•}

où

C\underline{s} = ∑_{ℓ>0} ∑_{{\underline{s}^{1}···\underline{s}^{ℓ}=\underline{s} \atop \underline{s}^{i}≠∅}} A^{(|\underline{s}^{1}|,...,|\underline{s}^{ℓ}|)}B^{\underline{s}^{1}} ⋯ B^{\underline{s}^{ℓ}},

et |\underline{s}| désigne le poids p = s_{1} + ⋯ + s_{k} de \underline{s}.

Multiplication et composition sont associatives, non commutatives.

Sur ces objets Écalle définit six types de symétrie: partant de deux suites \underline{s}′ et \underline{s}′′ il introduit trois ensembles Sha(\underline{s}′, \underline{s}′′), She(\underline{s}′, \underline{s}′′), Shi(\underline{s}′, \underline{s}′′). Le premier est obtenu par le mélange des deux suites, pour le second on ajoute les termes obtenus en contractant deux termes “adjacents” (voir les exemples ci-dessous), et pour le troisième au lieu de les ajouter on fait une différence symétrique.

Quand la somme des M\underline{s} pour les \underline{s} dans cet ensemble Sha(\underline{s}′, \underline{s}′′), She(\underline{s}′, \underline{s}′′) ou Shi(\underline{s}′, \underline{s}′′) est égal à M^{\underline{s}′}M^{\underline{s}′′}, on dit que le moule est symétral, symétrel ou symétril respectivement. Si la somme correspondante est nulle, alors le moule est alternal, alternel ou alternil. Par exemple un moule symétral satisfait

M^{s_{1}}M^{s_{2}} = M^{s_{1},s_{2}} + M^{s_{2},s_{1}}

et

M^{s_{1}}M^{s_{2},s_{3}} = M^{s_{1},s_{2},s_{3}} + M^{s_{2},s_{1},s_{3}} + M^{s_{2},s_{3},s_{1}},

pour un moule symétrel on a

M^{s_{1}}M^{s_{2}} = M^{s_{1},s_{2}} + M^{s_{2},s_{1}} + M^{s_{1}+s_{2}}

et

M^{s_{1}}M^{s_{2},s_{3}} = M^{s_{1},s_{2},s_{3}} + M^{s_{2},s_{1},s_{3}} + M^{s_{2},s_{3},s_{1}} + M^{s_{1}+s_{2},s_{3}} + M^{s_{2},s_{1}+s_{3}},

et enfin pour un moule symétril

M^{s_{1}}M^{s_{2}} = M^{s_{1},s_{2}} + M^{s_{2},s_{1}} + \frac{1}{s_{1} − s_{2}} (M^{s_{1}} − M^{s_{2}})

et

M^{s_{1}}M^{s_{2},s_{3}} = M^{s_{1},s_{2},s_{3}} + M^{s_{2},s_{1},s_{3}} + M^{s_{2},s_{3},s_{1}}

+\frac{1}{s_{1} − s_{2}} (M^{s_{1},s_{3}} − M^{s_{2},s_{3}}) + \frac{1}{s_{1} − s_{3}} (M^{s_{2},s_{1}} − M^{s_{2},s_{3}}).

Le moule Wa^{•} est symétral, tandis que Ze^{•} est symétrel et que la série Zig définit un moule symétril. Par exemple les formules de réflexion

Ze(s_{1})Ze(s_{2}) = Ze(s_{1}, s_{2}) + Ze(s_{2}, s_{1}) + Ze(s_{1} + s_{2})

se traduisent par

Zig(v_{1})Zig(v_{2}) = Zig(v_{1}, v_{2}) + Zig(v_{2}, v_{1}) + \frac{1}{v_{1} − v_{2}} (Zig(v_{1}) − Zig(v_{2})).

Pour rigidifier la situation Écalle considère aussi, pour σ_{1}, …, σ_{k} racines de l’unité, ce qu’il appelle les multizêta modulés

\begin{aligned}ζ(\underline{s}; \underline{σ}) = ζ(s_{1}, …, s_{k}; σ_{1}, …, σ_{k}) & = ∑_{n_{1}>···>n_{k}≥1} \frac{σ_{1}^{n_{1}} ⋯ σ_{k}^{n_{k}}}{n_{1}^{s_{1}} ⋯ n_{k}^{s_{k}}} \\ & = ∫_{Δ_{p}} ω_{0}^{s_{1}−1}ω_{σ_{1}}ω_{0}^{s_{2}−1}ω_{σ_{1}σ_{2}} ⋯ ω_{0}^{s_{k}−1}ω_{σ_{1}···σ_{k}}, \end{aligned}

où, pour σ racine de l’unité, on a posé

ω_{σ}(t) = \frac{σdt}{1 − σt}·

Ces nombres ζ(\underline{s}; \underline{σ}) apparaissent déjà chez Nielsen en 1904, et aussi plus récemment dans des travaux de A.B. Goncharov concernant les motifs de Tate mixtes sur Specℤ.

Écalle introduit alors les bimoules (moules indexés par des suites doubles), sur lesquels il définit de nouvelles opérations swap, rec, neg et push, à partir de quoi il construit une algèbre de Lie ARI, munie de sous-algèbres ARIM, ARITH, ARITHM et ARITHMÉ, le groupe de Lie GARI (et son sous-groupe de Lie GARITHMÉ), avec des correspondances EXP et LOG entre ARI et GARI. L’introduction de ces objets par Écalle a pour but d’établir que les multizêta symboliques Ze(s) sont librement engendrés par une sousfamille d’irréductibles canoniques, et de décrire une décomposition explicite programmable des multizêta symboliques en ces irréductibles. Par exemple les irréductibles canoniques d’Écalle de poids ≤ 10 ne sont autres que

Ze(2), Ze(3), Ze(5), Ze(7), Ze(9)

ainsi que deux éléments qui coïncident avec Ze(6, 2) et Ze(8, 2) modulo les polynômes en les cinq termes précédents.

§ 5. Polylogarithmes

Le polylogarithme classique Li_{s}(z), pour s entier ≥ 1 et |z| < 1, est

Li_{s}(z) = ∑_{n≥1} \frac{z^{n}}{n^{s}} .

Plus généralement, les fonctions polylogarithmes sont définies, pour \underline{s} = (s_{1}, …, s_{k}) avec s_{i} entiers ≥ 1, par

\begin{aligned}Li\underline{s}(z) & = ∑_{n_{1}>···>n_{k}≥1} \frac{z^{n_{1}}}{n_{1}^{s_{1}} ⋯ n_{k}^{s_{k}}} \\ & = ∫_{0}^{z} ω_{0}^{#(s_{1}−1)} # ω_{1} # ⋯ # ω_{0}^{#(s_{k}−1)} # ω_{1}, \end{aligned}

qui converge pour |z| < 1. Si, de plus, s_{1} ≥ 2, alors la série et l’intégrale convergent absolument sur tout le disque unité fermé |z| ≤ 1, et on a

Li\underline{s}(1) = ζ(\underline{s}).

On écrit encore Li_{w}(z) = Li\underline{s}(z) quand \underline{s} est codé par le mot w ∈ X^{∗}x_{1}:

Li_{w}(z) = ∫_{Ch}^{z} ω_{ϵ_{1}} ⋯ ω_{ϵ_{p}}

quand w = x_{ϵ_{1}} ⋯ x_{ϵ_{p}}. La condition ϵ_{p} = 1 garantit la convergence de l’intégrale. L’exemple le plus simple avec k = 1, s_{1} = 1, w = x_{1} est

Li_{1}(z) = Li_{x_{1}}(z) = ∫_{0}^{z} \frac{dt}{1 − t} = − log(1 − z).

Pour tout w ∈ X^{∗}x_{1}, on a

Li_{x_{0}w}(z) = ∫_{0}^{z} Li_{w}(t)\frac{dt}{t},
Li_{x_{1}w}(z) = ∫_{0}^{z} Li_{w}(t)\frac{dt}{1 − t},

ce qui s’écrit aussi

z \frac{d}{dz} Li\underline{s}(z) = Li_{(s_{1}−1,s_{2},...,s_{k})}(z) si s_{1} ≥ 2,
(1 − z)\frac{d}{dz} Li\underline{s}(z) = Li_{(s_{2},...,s_{k})}(z) si s_{1} = 1.

Afin de définir une série génératrice, il faut encore étendre la définition de Li_{w}(z) à tous les mots w, même ceux qui ne terminent pas par x_{1}. Une méthode de régularisation des intégrales divergentes consiste à intégrer à partir de 1 au lieu de 0 quand l’intégrale diverge. Ainsi on pose

Li_{x_{0}}(z) = ∫_{1}^{z} \frac{dt}{t} = log z, Li_{x_{0}^{2}}(z) = ∫_{1}^{z} \frac{dt_{1}}{t_{1}} ∫_{1}^{t_{1}} \frac{dt_{2}}{t_{2}} = \frac{1}{2}(log z)^{2},

et plus généralement, pour s ≥ 1,

Li_{x_{0}^{s}}(z) = (−1)^{s} ∫_{1>t_{s}>···>t_{1}>z} \frac{dt_{1} ⋯ dt_{s}}{t_{1} ⋯ t_{s}} = \frac{1}{s!}(log z)^{s}.

L’intégrale qui sert d’intermédiaire est bien définie pour z réel dans l’intervalle 0 < z < 1, mais cela permet de définir Li_{w}(z) pour tout w ∈ X^{∗} et z ∈ ℂ \ ℝ_{≥0}, avec

Li_{u⊔⊔v}(z) = Li_{u}(z)Li_{v}(z)

pour tout (u, v) dans (X^{∗})^{2}. En revanche les relations de mélange liées aux séries ne s’étendent pas aux polylogarithmes.

La série génératrice

Li(z) = ∑_{w∈X^{∗}} Li_{w}(z)w

est la solution de l’équation différentielle

\frac{d}{dz} Li(z) = (\frac{x_{0}}{z} + \frac{x_{1}}{1 − z} ) Li(z)

déterminée par la condition initiale

Li(ϵ) = e^{x_{0} log ϵ} + O(\sqrt{ϵ}) quand ϵ → 0^{+}.

Grâce à l’étude de la monodromie de cette équation différentielle, Petitot et ses collègues montrent que les fonctions Li_{w}, pour w décrivant X^{∗}, sont linéairement indépendantes sur ℂ.

Il en résulte que tout polylogarithme Li_{w} s’exprime de manière unique comme polynôme à coefficients rationnels en des polylogarithmes codés par des mots de Lyndon. En particulier pour k = 1 les polylogarithmes classiques Li_{s}, s entier ≥ 1, qui sont codés par les mots de Lyndon x_{0}^{s−1}x_{1}, sont algébriquement indépendants.

§ 6. Sujets connexes

Nous n’avons fait qu’effleurer le sujet. Les quelques références ci-dessous développent d’autres aspects de la question. L’algèbre MZV_{conv} a aussi des liens très intéressants avec le groupe fondamental de la droite projective privée de trois points et le théorème de Belyi, le groupe de Galois absolu de ℚ, le groupe de Grothendieck-Teichmüller, les catégories monoïdales tressées, la théorie des noeuds (invariants de Vassiliev), la K-théorie, les diagrammes de Feynman et la théorie quantique des champs, la renormalisation en physique, les quasi-algèbres de Hopf quasi-triangulaires et l’associateur Φ_{KZ} (lié à la connexion de Knizhnik-Zamolodchikov) de Drinfeld.

Un groupe de travail consacré à ce thème se réunit à l’Institut Henri Poincaré depuis un an. Le texte ci-dessus est un condensé de quelques exposés qui y ont été donnés par Pierre Cartier, Jean Écalle, Michel Petitot. Quand ils sont originaux, les résultats présentés ici leur sont tous dus.

Références

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HOANG NGOC MINH, G. JACOB, M. PETITOT, N.E. OUSSOUS. – Aspects combinatoires des polylogarithmes et des sommes d’Euler-Zagier. Manuscrit, 1999.

Michel WALDSCHMIDT

Université P. et M. Curie (Paris VI)

Institut de Mathématiques CNRS UMR 7586 Théorie des Nombres Case 247 175, rue du Chevaleret F–75013 PARIS

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