Initiation au calcul pseudo-différentiel
Nicolas Lerner
nicolas.lerner@imj-prg.fr
Premier cours le lundi 11 septembre 2017, 16:15-18:15, salle 15-16-101.
Cours : Lundi, 16:15-18:15, salle 15-16-101. (nota : le lundi 2 octobre, salle 15-25-101)
Cours : Mardi 11:15-13:15, salle 15-16-101. (nota : le mardi 3 octobre, salle 15-25-103)
Dernier cours le mardi 17 octobre 2017 (nota : salle 15-25-502)
Présentation
Le but de ce cours est de fournir une présentation élémentaire de quelques versions du calcul pseudo-différentiel. Nous commencerons par des rappels d'analyse de Fourier. Nous étudierons ensuite quelques formules de quantification et donnerons quelques résultats de base sur le calcul pseudo-différentiel pour des opérateurs dotés de symboles appartenant aux classes les plus simples ; on s'intéressera notamment aux propriétés de continuité (L2 et Sobolev), de composition et de développement asymptotique. Nous donnerons ensuite une démonstration complète de l'inégalité de Gårding à à l'aide de la quantification anti-Wick. Nous fournirons quelques applications à la régularité des solutions d'EDP (micro)elliptiques et à la propagation des singularités pour des EDP de type principal réel. Ensuite nous étudierons une version semi-classique du calcul pseudo-différentiel et fournirons quelques applications à la théorie spectrale.
Contenu
- Analyse de Fourier et applications
- Quantification, fonctions de Wigner
- Algèbres d'opérateurs pseudo-différentiels
- Inégalités de Gårding
- Calcul semi-classique
- Applications
Prérequis
Intégration, Calcul différentiel, Analyse de Fourier.
Bibliographie
Voir le polycopié
A First Course on Pseudo-Differential Operators
- Hörmander, Lars, The Analysis of Linear Partial Differential Operators III. Springer-Verlag, Classics in Mathematics, Berlin 2007.
- Lerner, Nicolas, Metrics on the phase space and non-selfadjoint pseudo-differential operators. Birkhäuser Verlag, Basel, 2010.
- Zworski, Maciej, Semiclassical Analysis. AMS, Graduate Studies in Mathematics, vol. 138.
- Dimassi, Mouez & Sjöstrand, Johannes, Spectral asymptotics in the semi-classical limit. London Mathematical Society Lecture Note Series, 268. Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
- Métivier, Guy, Para-differential calculus and applications to the Cauchy problem for nonlinear systems.. Centro di Ricerca Matematica Ennio De Giorgi (CRM) Series, 5. Edizioni della Normale, Pisa, 2008.
- Saint Raymond, Xavier, Elementary introduction to the theory of pseudodifferential operators. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1991.
L'examen final
et son
corrigé.
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