Pourquoi une nouvelle théorie de
l'intégration ?
L'intégrale de Riemann
ne suffit-elle pas à
intégrer la plupart des fonctions connues
avec une bonne intuition ?
Il est sans doute important
de répondre à ces deux questions
avant d'aborder un cours d'intégration
de licence de mathématiques...
Nous renvoyons le lecteur à l'introduction
de ce travail
pour plus de motivations et une
présentation
de la mesure de Lebesgue.
L'intégration
est une théorie fondamentale
dont les bases furent élaborées
au début du vingtième siècle
par
Henri Lebesgue,
Beppo Levi
,
Pierre Fatou
et plusieurs autres mathématiciens.
Introduction.
Nous donnons dans cette introduction
quelques motivations pour aborder
la théorie de la mesure.
En particulier, nous montrons l'incomplétude
de la théorie
de l'intégrale de Riemann
et nous mettons l'accent
sur deux aspects essentiels
de la théorie de Lebesgue.
D'abord, le fait que cette théorie fournisse un
espace fonctionnel, l'espace
L1 ,
espace des fonctions intégrables,
qui est un espace de Banach,
constitue une avancée considérable.
En outre, le théorème de convergence
dominée
est de manipulation très aisée
et permet de répondre à beaucoup de questions
de convergence.
Chapitre 1.
Théorie générale
de
l'intégration.
Le chapitre 1 donne une présentation
détaillée
de la théorie générale
de l'intégration
avec les théorèmes
fondamentaux de convergence
(Beppo-Levi, Fatou, Lebesgue).
Chapitre 2.
Construction de la mesure de
Lebesgue.
Le chapitre 2, plus difficile,
est consacré à la construction
effective de la mesure de Lebesgue ;
la démonstration du théorème de
représentation de Riesz
peut être omise en première lecture,
et d'ailleurs, nous l'avons toujours reportée
à une supplémentaire 13ième semaine,
par le truchement
d'un exposé de
deux heures effectué par deux étudiants.
Chapitre 3.
Espaces de fonctions intégrables.
Le chapitre 3 présente
les espaces fonctionnels
dont il a déjà été question plus haut,
établit
les inégalités classiques
de Jensen, Hölder et Minkowski.
Nous y étudions également
les intégrales dépendant
d'un paramètre,
en distinguant
la continuité et différentiabilité réelle
de l'holomorphie.
Nous développons plusieurs
exemples comme la fonction Gamma et la fonction
Zeta.
Bien que la transformation de Fourier
ne soit pas traitée en détail ici,
nous donnons une preuve simple
du lemme de Riemann-Lebesgue.
Chapitre 4.
Intégration
sur un produit cartésien.
Le chapitre 4
est consacré aux intégrales multiples
et, en particulier, aux théorèmes de
Fubini-Tonelli.
Chapitre 5.
Difféomorphismes d'ouverts et
intégration.
Le chapitre 5 établit des
théorèmes de changement de variables
et notamment
les théorèmes de passage
en coordonnées polaires en toute dimension.
Chapitre 6.
Convolution.
Le chapitre 6
est consacré à la convolution et,
outre les définitions de base, nous y donnons
la preuve de l'inégalité de Young.
Bibliographie
Fascicule d'exercices
QUATRE-VINGTS EXERCICES CORRIGÉS
Archives des examens avec leurs corrigés