I. Le laplacien riemannien
4 novembre : introduction, théorème, spectre du laplacien
8 novembre : inégalité de Poincaré, compacité, λ₁
II. Opérateurs elliptiques et théorie de Hodge
III. Formule de Bochner et applications
18 novembre : rappels sur la théorie des connexions, l’identité de Bianchi, le tenseur de Ricci ; formule de Bochner (énoncé), application au b₁ et aux champs de Killing
22 novembre : formule de Bochner (démonstration), bornes sur λ₁ dans les cas Ric > 0 et Ric ≥ 0 (inégalité de Li-Yau)
IV. Théorie générale des opérateurs elliptiques
25 novembre : espaces de Sobolev L², introduction aux opérateurs pseudodifférentiels, régularité elliptique ; autres espaces de Sobolev, espaces de Hölder
29 novembre : injections de Sobolev, régularité elliptique dans ces espaces
V. Exemples d’équations géométriques non linéaires : la courbure scalaire
courbure de Gauss sur les surfaces de genre > 1
2 décembre : problème de Yamabe : position du problème, le cas non critique
6 décembre : le cas de la sphère, l’ε-régularité
9 décembre : résolution dans le cas d’une constante de Yamabe strictement inférieure à celle de la sphère ; résolution dans le cas non conformément plat à partir de la dimension 6
13 décembre : le cas conformément plat et le cas des petites dimensions ; introduction au théorème de la masse positive