Groupes de travail en 2014-2015

Cette année j'organise et coorganise deux groupes de travail. Le premier sur l'article de Lusztig Unipotent representations as a categorical center visant à montrer que tout comme les faisceaux-caractères, les caractères unipotents d'une famille donnée s'obtiennent comme groupe de Grothendieck du centre de Drinfled d'une certaine catégorie monoidale construite géométriquement (convolution tronquée sur une catégorie de faisceaux G-équivariants sur G/BxG/B). Le second, coorganisé avec Christian Blanchet, vise à comprendre les constructions catégoriques d'invariants de noeuds, en se basant notamment sur cet article de Ben Webster.


Théorie de Lie supérieure et invariants de noeuds

Le but du groupe de travail est de comprendre cet article de Ben Webster.

Les séances ont lieu le mercredi à partir de 16h en salle 6071 (ou 671). Pour l'instant le rythme retenu est d'une séance toutes les deux semaines, à partir du mercredi 4 mars. Les dates plus précises se trouvent dans la section "exposés à venir".

(Inv) Exposés passés

28 janvier 2015 : Exposé d'introduction (Christian Blanchet).
Exposé de présentation du groupe de travail. Les notes sont disponibles ici
4 mars 2015 : Action catégorique de Uq(sl2) sur les grassmanniennes (Ruslan Maksimau).
Le groupe quantique Uq(sl2) et ses représentations. Catégorification des représentations irréductibles avec la cohomologie des grassmanniennes, et lien avec les algèbres de Nil-Hecke [4,5,6]. Les notes sont ici
18 mars 2015 : Algèbres de Hecke-carquois, d'après Khovanov-Lauda (Marco De Renzi).
Diagrammes pour les 2-catégories. Version idempotente du groupe quantique par Lusztig et sa catégorification. Description explicite des relations entre les 2-morphismes de la catégorie [1,2,5]. Les notes sont disponibles ici

(Inv) Exposés à venir

25 mars 2015 8 avril 2015 : Algèbres de Hecke-carquois, d'après Rouquier (Mikhail Gorsky).
Description à venir [6].
15 avril 2015 : Catégorification de la version idempotente du groupe quantique (Olivier Dudas).
Description à venir [3,4].

(Inv) Bibliographie

[1] M. Khovanov et A. D. Lauda, A diagrammatic approach to categorification of quantum groups. I, Represent. Theory 13 (2009), 309--347.

[2] M. Khovanov et A. D. Lauda, A diagrammatic approach to categorification of quantum groups II, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 363 (2011), no. 5, 2685-2700.

[3] M. Khovanov et A. D. Lauda, A categorification of quantum sl(n), Quantum Topol. 1 (2010), no. 1, 1--92.

[4] A. Lauda, A categorification of quantum sl(2), Advances in Mathematics, Volume 225, Issue 6, 2010, 3327-3424

[5] A. Lauda, An introduction to diagrammatic algebra and categorified quantum sl(2), Bulletin of the Institute of Mathematics Academia Sinica, Vol 7 (2012), No. 2, pp.165--270

[6] R. Rouquier, Quiver Hecke algebras and 2-Lie algebras, Algebra Colloq. 19 (2012), no. 2, 359-410.

[7] B. Webster, Tensor product algebras, Grassmannians and Khovanov homology , arXiv 1312.7357, 2013.


Représentations unipotentes comme centre de Drinfeld

Ce groupe de travail est basé sur deux articles récents de Lusztig, à savoir Truncated convolution of character sheaves et Unipotent representations as a categorical center. Ces articles montrent qu'étant donné une cellule bilatère c de Kazhdan-Lusztig, on obtient les faisceaux-caractères unipotents ou les caractères unipotents de la famille associées à c comme le groupe de Grothendieck d'une certaine catégorie construite géométriquement. Cette catégorie est la tranche associée à c de la catégorie monoidale des faisceaux G-équivariants sur G/BxG/B, munie de la convolution tronquée.

Le groupe de travail a lieu en général le mercredi à partir de 14h00 en salle 8029 (bâtiment Sophie Germain). Cette salle dispose de la visio-conférence et les exposés sont donc "visibles" de l'extérieur.

(Unip) Exposés passés

13 novembre 2014 : Exposé d'introduction (Olivier Dudas).
Exposé pour présenter le groupe de travail et la construction de Lusztig (cas des faisceaux-caractères et cas des caractères unipotents) [4,5]. Les notes sont ici.
15 janvier 2015 : Réalisation géométrique des algèbres de Hecke (Tuong-Huy Nguyen).
Bases de Kazhdan-Lusztig [3]. Faisceaux constructibles sur les variétés de drapeaux, convolution [6]. Propriétés des complexes de cohomologie d'intersection [1]. Cas des variétés de Schubert [6,7]. Catégorification. Les notes de cet exposé sont ici.
11 février 2015 : Catégorifications de l'algèbre asymptotique (Cédric Bonnafé).
Définition des cellules de Kazhdan-Lusztig et de l'algèbre asymptotique. Trois catégorifications différentes : par la géométrie des variétés de Schubert, par les bimodules de Soergel et par les faisceaux cohérents équivariants. Les notes de cet exposé sont ici.
12 mars 2015 : Centre de Drinfeld (Cédric Bonnafé).
Description et notes à venir.

(Unip) Exposés à venir

5 mai 2015 : Les foncteurs en jeu (Olivier Dudas).
Description à venir.

(Unip) Bibliographie

[1] A. A. Beilinson, J. Bernstein et P. Deligne. Faisceaux pervers, in Analysis and topology on singular spaces, I (Luminy, 1981), 5-171, Astérisque, 100, Soc. Math. France, Paris, 1982.

[2] C. Kassel, Quantum groups, Graduate Texts in Mathematics, 155. Springer-Verlag, New York, 1995.

[3] D. Kazhdan et G.Lusztig

[4] G. Lusztig, Truncated convolution of character sheaves, arXiv 1308.1082, 2013.

[5] G. Lusztig, Unipotent representations as a categorical center, arXiv 1401.2889, 2014.

[6] S. Riche, Perverse sheaves on flag manifolds and Kazhdan-Lusztig polynomials, notes sur la page de Simon, 2010.

[7] K. Rietsch, An introduction to perverse sheaves, arXiv 0307349, 2003.


Équivalences perverses (interrompu en 2013)

J'ai organisé au premier semestre 2013 un groupe de travail autour des équivalences perverses. Vous trouverez ici les notes des exposés du groupe de travail ainsi que les exposé à venir.

Le groupe de travail est actuellement en (longue) pause estivale. Pas de date de reprise prévue pour l'instant !

Le groupe de travail a lieu le jeudi à partir de 14h15 en salle 0009 (bâtiment Sophie Germain)

(Perv) Exposés passés

7 février 2013 : réunion d'organisation (Olivier Dudas).
Court exposé pour présenter le groupe de travail et la notion d'équivalences perverses. Les notes sont ici.
21 février 2013 : introduction aux t-structures I (Daniel Juteau).
Exemple de la t-structure canonique sur Db(A). Guide de lecture de BBD [1], comprenant : définition des t-structures, coeur (construction du noyau et conoyau), t-structures sur T/I et sur I, intersections de t-structures. Les notes du premier exposé sont ici.
14 mars 2013 : introduction aux t-structures II (Daniel Juteau).
Recollement de t-structures. Cas particulier des t-structures décalées. Lien avec les théories de torsion et le basculement [5]. Les notes sont ici.
28 mars 2013 : t-structures et équivalences perverses (Olivier Dudas).
Exemples de théorie de torsion. Données perverses et équivalences perverses (cas abélien et cas homotopique). Premières propriétés des équivalences. Les notes se trouvent ici.
4 avril 2013 : Le cas des algèbres symétriques (Léo Dreyfus-Schmidt).
Constructions d'équivalences perverses pour les algèbres symétriques. Cas des équivalences perverses minimales. Images des simples vs images des projectifs [5]. Les notes sont ici.
18 avril 2013 : Représentations de carquois et équivalences perverses (Mikhail Gorsky et Bernhard Keller).
Étude des foncteurs de réflexions BGP pour les algèbres de chemins d'un carquois [9]. Approfondissement au cas des carquois avec potentiel, mutation [7,8] et équivalences perverses [10]. Les notes sont ici.
16 mai 2013 : La dualité d'Alvis-Curtis vue comme auto-équivalence perverse (Marc Cabanes).
Définition du foncteur dualité. Compatibilité avec l'induction et la restriction de Harish-Chandra [2]. Perversité et hauteur de cuspidalité [5] (notes à venir).

(Perv) Autres propositions d'exposés

Arbres de Brauer.
Exemple du complexe de Rickard [13]. Modification de perversité. Étude de l'effet d'une équivalence perverse minimale sur un arbre de Brauer [5].
Conjecture du défaut abélien.
Expression de la conjecture du défaut abélien en termes d'équivalences perverses. Recollement d'équivalences locales [4]. Cas du défaut cyclique et lien avec la cohomologie des variétés de Deligne-Lusztig. Version combinatoire en termes d'algèbres de Hecke ζ-cyclotomiques [3].
Dualité de Ringel pour la catégorie O - Action du groupe de tresses.
Catégorie O et catégorie des bimodules de Soergel. Étude des complexes des Rouquier (shuffling) [14]. Filtrations par familles de Kazhdan-Lusztig et actions de w0 et π [11]. Lien avec la dualité de Ringel et de Serre [12]. Exemple de sl2.
sl2-catégorification.
Construction de sl2-categorifications et étude de l'auto-équivalence donnée par la reflexion. Application à la conjecture du défaut abélien pour le groupe symétrique [6,14].

(Perv) Bibliographie

[1] A. A. Beilinson, J. Bernstein et P. Deligne. Faisceaux pervers, in Analysis and topology on singular spaces, I (Luminy, 1981), 5-171, Astérisque, 100, Soc. Math. France, Paris, 1982.

[2] M. Cabanes et J. Rickard. Alvis-Curtis duality as an equivalence of derived categories. Modular representation theory of finite groups (Charlottesville, VA, 1998), 157-174, de Gruyter, Berlin, 2001.

[3] D. Craven. Perverse Equivalences and Broué's Conjecture II: The cyclic case, preprint.

[4] D. Craven et R. Rouquier. Perverse Equivalences and Broué's Conjecture, preprint.

[5] J. Chuang et R. Rouquier. Perverse Morita equivalences and Calabi-Yau algebras, preprint.

[6] J. Chuang et R. Rouquier. Derived equivalences for symmetric groups and sl2-categorification. Ann. of Math. (2) 167(1):245-298, 2008.

[7] H. Derksen, J. Weyman et A. Zelevinsky. Quivers with potentials and their representations. I. Mutations. Selecta Math. (N.S.) 14(1):59-119, 2008.

[8] S. Fomin et A. Zelevinsky. Cluster algebras. I. Foundations. J. Amer. Math. Soc. 15(2):497-529, 2002.

[9] D. Happel. Triangulated categories in the representation theory of finite-dimensional algebras. London Mathematical Society Lecture Note Series, 119. Cambridge University Press, Cambridge, 1988.

[10] B. Keller et D. Yang. Derived equivalences from mutations of quivers with potential.Adv. Math. 226(3):2118-2168, 2011.

[11] G. Lusztig. Characters of reductive groups over a finite field. volume 107 of Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1984.

[12] V. Mazorchuk et C. Stroppel. Projective-injective modules, Serre functors and symmetric algebras. J. Reine und Angew. Math. 616, 2008.

[13] J. Rickard. Derived categories and stable equivalence. J. Pure Appl. Algebra 61(3):303-317, 1989.

[14] R. Rouquier. Categorification of sl2 and braid groups. In Trends in representation theory of algebras and related topics, 137-167, Contemp. Math., 406, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006.