Rappels¶
Les notions suivantes ont été traitées dans les cours d’algèbre de L3.
Structures algébriques¶
Dans ce cours
corps = corps de nombres (et extensions de corps = espaces vectoriels)
anneaux = anneaux de polynômes
groupes = groupes de permutations de racines
Groupes¶
Groupe \((G,\times)\) : on peut effectuer et simplifier une opération
Exemple
\((\Z,+)\), \((\Z/n\Z,+)\), \(\gS_n\), \(GL_n(\R)\)…
notions de groupe abélien, de groupe cyclique
ordre d’un élément, générateurs
Anneaux¶
Anneau \((A,+,\times)\) : groupe abélien + opération distributive avec unité
Exemple
\((\Z,+,\times)\), \((\Z/n\Z,+,\times)\), \(M_n(\R)\), \(\R[x]\), \(\Z[i]\)…
unités, notions d’anneau commutatif, d’anneau intègre, d’anneau principal
caractéristique d’un anneau
Exemple
\(\Z\) est de caractéristique nulle
\(\Z/n\Z\) de caractéristique \(n\)
\(\Z/4\Z\times\Z/6\Z\) de caractéristique… \(12\) (le ppcm).
notation
\(A[x]\), anneau engendré par \(x\) sur \(A\) (toutes les expression polynomiales en \(x\) à coefficients dans \(A\)).
Corps¶
Corps \(K\) : existence d’inverses multiplicatifs
Exemple
\(\Q\), \(\R\), \(\C\)
\(\F_2=\Z/2\Z\)
\(\F_p=\Z/p\Z\)
\(\F_9=\F_3[i]\) où \(i^2=-1\).
\(\F_4=\F_2[\alpha]\) avec \(\alpha^2=\alpha+1\)
notation
\(K(x)\), corps engendré par \(x\) (corps de toutes les fractions)
Remarque
\(\F_3[i]=\F_3(i)\) puisque \(\F_3[i]\) est déjà un corps.
K-espace vectoriel, K-algèbre, A-module¶
\(K\)-espace vectoriel = groupe + action linéaire de \(K\)
\(K\)-algèbre = anneau + action linéaire de \(K\) = espace vectoriel + multiplication
notion de \(A\)-module que l’on verra (action d’un anneau sur un groupe)
Sous-structures¶
sous-groupe, sous-anneau, sous-corps, sous-espace vectoriel,…
Exemple
les sous-groupes de \(\Z\) sont les \(n\Z\)
idéal : moins que pas sous-anneau, manque l’unité multiplicative
Exemple
\(3\Z\) est un idéal de \(\Z\), ce n’est pas un sous-anneau
Définition
idéal principal
idéal premier si \(ab\in \gp\) implique \(a\in\gp\) ou \(b\in\gp\), ie \(A/\gp\) est intègre.
Morphismes¶
application qui respecte la structure et envoie unités sur unités : morphismes de groupes, d’anneaux, de corps, d’espaces vectoriels, de \(K\)-algèbre…
morphisme = homomorphisme
morphisme injectif, surjectif
isomorphisme = morphisme bijectif
endomorphisme
automorphisme = endomorphisme bijectif
Remarque
il suffit de définir un morphisme sur les générateurs
notions de noyau, d’image (qui héritent de la structure, et sont respectivement des sous-groupes, idéaux, sous-corps ou 0, sous-espaces-vectoriels…)
Exemple
\(\exp:(\R,+)\to(\R^\ast,\times)\), noyau \(\set{0}\)
signature d’une permutation
pour tout anneau \(A\), unique morphisme d’anneaux \(\Z\to A\) dont le noyau donne la caractéristique.
évaluation en \(a\) \(\phi_a:K[x]\to K\), noyau \(\langle x-a\rangle\).
Quotients¶
Définition
Soit \(G\) un groupe et \(H\) un sous-groupe. On définit une relation d’équivalence \(x\cR y\Leftrightarrow xH=yH\Leftrightarrow x^{-1}y\in H\)
On note \(G/H\) l’ensemble quotient = ensemble des classes à gauche.
On pourrait procéder “à droite” avec la relation \(x\cR' y\Leftrightarrow Hx=Hy\), on noterait \(H\backslash G\) le quotient obtenu.
Théorème
(Galois)
Soit \(G\) un groupe et \(H\) un sous-groupe. Il existe une structure de groupe sur l’ensemble \(G/H\) compatible avec la loi de \(G\) (c-à-d. telle que la surjection soit un morphisme)
si et seulement si \(\cR=\cR'\)
si et seulement si pour tout \(x\), \(x^{-1}Hx=x\)
si et seulement si \(H\) est un sous-groupe distingué de \(G\)
Démonstration
la surjection est un morphisme ssi pour tous \(x,y\) \(xyH=xHyH\). en prenant \(x=e\) on obtient \(yH=Hy\) soit \(y^{-1}Hy=H\). Réciproquement cette condition assure que \(xHyH=xyHH=xyH\).
Remarque
il suffit de vérifier que \(x^{-1}Hx\subset H\) pour tout \(x\), en effet dans ce cas on a aussi \(xHx^{-1}\subset H\) donc \(H\subset x^{-1}Hx\).
On a pareil avec anneau/idéal.
Remarque: le noyau d’un morphisme est toujours un sous-groupe distingué/un idéal, en fait c’est équivalent via la surjection dans le quotient.
un autre théorème utile, la correspondance entre sg du quotient et les sg du groupe initial
Théorème de correspondance
Soit \(H\) un sous-groupe distingué de \(G\), alors l’application quotient induit une bijection
pour laquelle
Démonstration
d’abord, si \(H\triangleleft G\) alors a fortiori \(H\triangleleft K\) donc on obtient bien un groupe qui contient la classe \(H\), donc un sg de \(G/H\).
injectivité : si \(K_1/H=K_2/H\), alors pour tout \(k_1\in K_1\), il existe \(k_2\in K_2\) tel que \(k_1H=k_2H\), en particulier \(k_1\in k_2H\subset K_2\) puisque \(H\subset K_2\). De même \(K_2\subset K_1\) donc on a égalité.
surjectivité : soit \(M\) un s.g. de \(G/H\), on pose \(K=\set{g\in G, gH\in M}\) de sorte que \(K/H=M\). Alors \(K\) est un sg de \(G\) qui contient \(H\).
cas des sg distingués : pour tout \(kH\in K/H\), pour tout \(gH\in G/H\), \((gH)^{-1}(kH)(gH) = g^{-1}kgH\), donc \(K/H\) distingué ssi pour tout \(k\), \(g^{-1}kg\in K\), ssi \(K\) disitngué dans \(G\).
Remarque
pareil avec idéaux du quotient.
Le théorème de factorisation (premier th d’isomorphisme)¶
Soit \(f:G\to H\) un morphisme de groupes, notons \(K\) son noyau. Alors les éléments du noyau n’interviennent pas dans la valeur prise, donc l’image d’un élément est bien définie modulo les éléments du noyau, en d’autres termes \(f\) est défini sur les classes d’éléments module \(K\).
Théorème de factorisation
Soit \(f:G\to G'\) un morphisme de groupes, alors \(f\) induit un isomorphisme \(G/\ker(f)\to f(G)\).
Propriété universelle du quotient
Soit \(f=G\to G'\) un morphisme, \(H\) un sous-groupe distingué de \(G\) et \(\pi\) la surjection \(G\to G/H\). Alors il existe un morphisme \(f^\ast:G/H\to G'\) tel que \(f=f^\ast\circ \pi\) si et seulement si \(H\subset\ker(f)\).
Démonstration
c’est un résultat sur les applications :
il existe \(f^\ast\)
ssi \(\pi(x)=\pi(y)\Rightarrow f(x)=f(y)\),
ssi \(x^{-1}y\in\ker \pi \Rightarrow x^{-1}y\in\ker f\)
ssi \(\ker \pi=H\subset \ker f\).
Remarque
si \(H\) n’est pas distingué, on a juste une application.
Exemple
\(\R^\ast\simeq \Gl_n(\R)/\Sl_n(\R)\)
Exemple
si \(x\) est d’ordre \(n\), \(\langle x\rangle\simeq \Z/n\Z\)
pareil à nouveau avec un idéal d’un anneau.
Exemple
\(\mu_n(\C)\simeq \Z/n\Z\)
\(\C\simeq \R[x]/(x^2+1)\)
\(K\simeq K[x]/(x-α)\)
Complément bonus : suites exactes¶
Définition
soient \(A,B,C\) des groupes et \(f:A\to B\), \(g:B\to C\) des morphismes de groupes. On note \(A\to^f B\to ^g C\) cette situation, et on dit que la suite est exacte si \(\Im(f)=\ker(g)\).
Exemple
\(A\to B\to 1\) est exacte si et seulement si \(f\) est un morphisme surjectif
\(1\to A\to B\) est exacte si et seulement si \(f\) est un morphisme injectif.
\(1\to A\to B \to 1\) est exacte ssi \(f\) est un isomorphisme
\(1\to A\to B\to C\to 1\) est exacte ssi \(g\) induit un isomorphisme \(B/f(A)\to C\).
Exemple
\(1\to \Sl_n\to \Gl_n\to K^\ast\to 1\)
\(1 \to n\Z \to \Z \to \langle x\rangle\to 1\) si \(x\) d’ordre \(n\).
pour \(p\) impair, \(1\to \pm1 \to \F_p^\ast \to (\F_p^\ast)^2\to 1\)
pour \(p\) impair, \(1\to (1+p\Z)/(p^k\Z)\to (\Z/p^k\Z)^\ast \to \F_p^\ast \to 1\)
Trois théorèmes fondamentaux¶
Groupes : le théorème de Lagrange¶
Théorème
Soit \(G\) un groupe fini et H un sous groupe de G. Alors \(\card G = \card H \times \card(G/H)\). En particulier \(\card H\mid\card G\).
Corollaire
l’ordre d’un élément divise l’ordre du groupe
un groupe d’ordre premier est cyclique
Exemple
RSA avec \(\varphi(n)\)
Anneaux : le théorème chinois¶
somme, produit de deux idéaux
idéaux premiers entre eux si \(\ga+\gb=A\).
Remarque
dans ce cas, et si l’anneau est commutatif, le produit est l’intersection
Théorème
Soit \(A\) un anneau commutatif et \(\ga_1,\dots \ga_r\) des idéaux de \(A\) deux à deux premiers entre eux. Alors la projection induit un isomorphisme
d’inverse
où \(u_i+v_i=1\), \(u_i\in \ga_i\), \(v_i\in\cap_{j\neq i} \ga_j\).
Démonstration
via la formule on a bien un morphisme surjectif, de noyau \(\cap \ga_i\).
Corps/espaces vectoriels : base¶
Théorème
toute famille libre peut être complétée en base
de toute famille liée on peut extraire une base
existence de base, toutes les bases ont le même cardinal
Exemple
\(1,i\) est une \(\R\)-base de \(\C\), décomposition en forme cartésienne
\(1,x,\dots x^n\) base de \(K_n[x]\)
utilisation: décomposition unique sur une base