On considère \(f(x,y)=(y^2+6)(x-1)-y(x^2+1)\) et \(g(x,y)=f(y,x)\).
On considère la courbe plane paramétrée: \(t\mapsto (t(t^2-1)^2,t^2+1)\)
Quelle est l’équation cartésienne de son adhérence dans le plan affine réel?
XT:=t*(t^2-1)^2;YT:=t^2+1;
eq:=resultant(XT-x,YT-y,t);
On remarque que si YT est reel, alors t^2 aussi, donc si XT est aussi reel, XT/(t^2-1) aussi donc t aussi. donc si (XT,YT) est une solution reelle de l’equation cartesienne trouvee, alors elle elle provient d’un parametre reel.
Faire un dessin à partir de la forme paramétrique et de l’équation cartésienne trouvée.
purge(x,y,u,t);
dessin1:=plotparam(XT+I*YT,t=-2..2);
dessin2:=implicitplot(eq=0,x=-5..5,y=-5..5,xstep=0.01,ystep=0.01);
Même question avec la courbe paramétrée: \(t \mapsto (\frac{\cos(t)+1}{\sin(t)+2},\frac{\sin^3(t)}{\sin(t)-3})\)
Pour la fraction rationnelle trigonométrique, on exprime x et y en fonction d’un fraction rationnelle en u=tan(t/2), puis on elimine u avec le resultant.
F1:=normal(halftan((cos(t)+1)/(sin(t)+2)));#on exprime tout avec tan(t/2)
F1u:=subst(F1,tan(t/2)=u);
F2:=normal(halftan((sin(t)^3)/(sin(t)-3)));
F2u:=subst(F2,tan(t/2)=u);
eq:=resultant(denom(F1u)*x-numer(F1u),denom(F2u)*y-numer(F2u),u);
dessinpara:=plotparam([F1,F2],t=-2*Pi..2*Pi);
dessinimpli:=implicitplot(eq,x=0..2,y=-1..1,ystep=0.01);#on ajuste un peu pour que implicitplot s'en sorte.
On considère les courbes d’équation: \(C_1:xy=4\) et \(C_2:y^2=(x-3).(x^2-16)\).
Tracer \(C_1,C_2\) avec des couleurs différentes.
purge(x,y);
C1:=x*y-4;C2:=y^2-(x-3)*(x^2-16);
d1:=implicitplot(C1,x=-7..7,y=-8..8,color=red+line_width_2):
d2:=implicitplot(C2,x=-7..7,y=-8..8,color=blue+line_width_2,xstep=0.01,ystep=0.01):
(d2,d1);
Donner une équation de la projection de \(C_1 \cap C_2\) sur l’axe des \(x\) selon \((Oy)\). Factorisez la sur \(\R\).
eqx:=resultant(C1,C2,y); #On elimine y
Astuce: pour ne pas passer en flottants via le menu deroulant, on lui donne une extention de corps sous forme d’un flottant.
factor(eqx,1.1); # on obtient 5 points reels.
Pourquoi ne trouve-t-on pas 6 points?
c’est de degre 5 car le centre de projection (0,1,0) est solution.
Etudier la projection sur l’axe des \(y\) de \(C_1\cap C_2\) depuis le point \((1,1)\). Ce point est il solution du système?
on parametre la droite passant par les points [1,1] et [0,y] grace au vecteur directeur (-1,y-1):
M:=[1,1]+t*[-1,y-1];
P1:=unapply(C1,x,y)(op(M));
P2:=unapply(C2,x,y)(op(M));
On cherche l’equation de la projection de l’intersection depuis (1,1) sur Oy. Cette equation est encore de degre 5. Pourtant (1,1) n’est pas solution. Mais on a pris toutes les droites passant par (1,1) sauf (x=1) (ie x=z en projectif) mais le point (0,1,0) est solution de C1 inter C2, et il est sur cette droite. On a donc perdu la ou les solutions qui sont sur la droite retirée.
resultant(P1,P2,t);
Comment tester si la droite \(y=-2x+1\) n’a pas de solutions communes (même dans \(\C\)) avec \(C_1\cap C_2\).
resultant(subs(y=-2*x+1,C1),subs(y=-2*x+1,C2),x); #il n'est pas nul
gcd((subs(y=-2*x+1,C1),subs(y=-2*x+1,C2),x)); #autre methode le pgcd est constant.
On a donc verifie que la droite d’equation y=-2x+1 (ie la parallele a y=-2x passant par (1,1) ne rencontrait pas C1 inter C2 meme sur un corps algebriquement clos.
Etudier maintenant la projection depuis le point \((1,1)\) sur la droite \(y=-2x\).
NB: A=(1,1) n’est pas sur la droite y=-2x. Bt=(t,-2t) eq param de la droite (ABt): x=1+l(t-1),y:=1+l(-2t-1)
C1t:=subs(x=1+l*(t-1),y=1+l*(-2*t-1),C1);
C2t:=subs(x=1+l*(t-1),y=1+l*(-2*t-1),C2);
la projection est donnée par les points de coordonnée (t,-2t) o`u t racine de. De plus, on a verifie que la parallele a la droite y=-2x passant par (1,1) ne contenait aucune solutions de C1 inter C2, ca ne pose donc pas de problemes de l’avoir retiree.
p2:=resultant(C1t,C2t,l);
Pourquoi est il de maintenant de degré 6? Pourquoi \((1,-2)\) est il dans la projection de \(C_1\cap C_2\)
car le point (1,-2) est l’intersection de y=-2x avec la droite passant par (1,1) et le point a l’infini de Oy. Mais le point a l’infini de Oy etait bien dans C1 inter C2.
Trouver une valeur approchée des points de projection, et dessiner les droites passant par ces points et le centre de projection.
sol:=solve(approx(p2),t);#pour basculer en flottants on fait approx.
pi1:=seq(point(sol[i]-2*I*sol[i],color=black+point_width_3),i=1..6): #les points sur la droite y=-2x
di1:=seq((droite(1+I,pi1[i],color=green)),i=1..6): # les 6 droites:
(d1,d2,pi1,di1); #NB un point d'intersection de C1 et C2 est a l'infini.
On prend maintenant \(C_1:=(x-2)^2+y^2-4\) et \(C_2:y^2=(x-3).(x^2-16)\). Dessiner \(C_1,C_2\), et étudier le résultant en \(y\) de ces 2 équations. (Adapter le nombre de points pour obtenir un dessin assez joli)
purge(x,y);
C1:=(x-2)^2+y^2-4;
C2:=y^2-(x-3)*(x^2-16);
d1:=implicitplot(C1,x=-1..5,y=-3..3,color=red):
d2:=implicitplot(C2,x=-5..8,y=-8..8,color=blue):
(d1,d2);
eqx:=resultant(C1,C2,y); #On elimine y
factor(eqx,1.1); # on obtient 5 points reels.
Interpréter les racines de ce résultant en fonction de votre dessin, et aussi la multiplicité de ces racines. Factoriser ce résultant de manière approchée, puis exacte dans \(\R[x]\).
factor(eqx); #On voit qu'il faut introduire le discriminant.
factor(eqx,sqrt(13));
Trouver les coordonnées exactes des solutions réelles et complexes de \(C_1 \cap C_2\). Dessiner sur l’axe des \(Ox\) les racines de ce résultant en même temps que les 2 courbes. Que remarquez vous?
eqred:=gcd(eqx,diff(eqx,x));
rac:=[solve(approx(eqred),x)];
On constate qu’il y a un point qui ne semble pas correspondre a une projection d’un point d’instersection. Nous allons l’interpréter maintenant.
(d1,d2,seq(point(i,couleur=black+point_width_3),i=rac));
solx:=[solve(eqred,x)];
soly:=seq(gcd(subs(x=solx[i],C1),subs(x=solx[i],C2)),i=1..3);
les ordonnées des points d’abscisse solx[i] sont:
seq(cSolve(soly[i],y),i=1..3);
On constate que pour solx[3] les ordonnées des points de C1 inter C2 ayant cette abscisse sont complexes conjuguees bien que solx[3] soit reel ce qui explique pourquoi le dessin ne nous donnait que 4 points.