Résultant

Intersections de courbes planes

On considère \(f(x,y)=(y^2+6)(x-1)-y(x^2+1)\) et \(g(x,y)=f(y,x)\).

1. Tracer les courbes \(C_1:f=0\) et \(C_2:g=0\) avec des couleurs différentes.

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   f:=(y^2+6)(x-1)-y(x^2+1);
   g:=unapply(f,x,y)(y,x);
   c1:=implicitplot(f,x=-3..3,y=-3..3,color=red):;
   c2:=implicitplot(g,x=-3..3,y=-3..3,color=blue):;
   (c1,c2)
   

2. D’après le théorème de Bézout, \(C_1\cap C_2\) est formé de \(9\) points. Où sont-ils ?

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   On voit quatre intersections simples, trois directions asymptotes communes qui doivent donner trois points à l’infini, il doit donc rester deux points d’intersection complexes.

3. Calculer le résultant de \(f\) et \(g\) par rapport à la variable \(y\).

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   px:=resultant(f,g,y)
   

4. En déduire la projection \(Z\) de \(C_1\cap C_2\) sur l’axe \(0x\).

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   R:=roots(px)
   

   On voit apparaître les deux racines complexes, et deux racines de multiplicité 2.

5. En déduire l’ensemble \(C_1\cap C_2\).

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   On injecte les valeurs x et on résout en y

   apply(r->roots(subst(f,x=r),y),col(R,1))
   

6. Tracer la courbe \(C_3:f+g=0\)

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   Oh, un cercle !

Equation d’une courbe paramétrée

On considère la courbe plane paramétrée: \(t\mapsto (t(t^2-1)^2,t^2+1)\)

1. Quelle est l’équation cartésienne de son adhérence dans le plan affine réel?
2. Faire un dessin à partir de la forme paramétrique et de l’équation cartésienne trouvée.
3. Même question avec la courbe paramétrée: \(t \mapsto (\frac{\cos(t)+1}{\sin(t)+2},\frac{\sin^3(t)}{\sin(t)-3})\)

Intersections de courbes planes

On considère les courbes d’équation: \(C_1:xy=4\) et \(C_2:y^2=(x-3).(x^2-16)\).

1. Tracer \(C_1,C_2\) avec des couleurs différentes.
2. Donner une équation de la projection de \(C_1 \cap C_2\) sur l’axe des \(x\) selon \((Oy)\). Factorisez la sur \(\R\).
3. Pourquoi ne trouve-t-on pas 6 points?
4. Etudier la projection sur l’axe des \(y\) de \(C_1\cap C_2\) depuis le point \((1,1)\). Ce point est il solution du système?
5. Comment tester si la droite \(y=-2x+1\) n’a pas de solutions communes (même dans \(\C\)) avec \(C_1\cap C_2\).
6. Etudier maintenant la projection depuis le point \((1,1)\) sur la droite \(y=-2x\).
7. Pourquoi est il de maintenant de degré 6? Pourquoi \((1,-2)\) est il dans la projection de \(C_1\cap C_2\)
8. Trouver une valeur approchée des points de projection, et dessiner les droites passant par ces points et le centre de projection.
9. On prend maintenant \(C_1:=(x-2)^2+y^2-4\) et \(C_2:y^2=(x-3).(x^2-16)\). Dessiner \(C_1,C_2\), et étudier le résultant en \(y\) de ces 2 équations. (Adapter le nombre de points pour obtenir un dessin assez joli)
10. Interpréter les racines de ce résultant en fonction de votre dessin, et aussi la multiplicité de ces racines. Factoriser ce résultant de manière approchée, puis exacte dans \(\R[x]\).
11. Trouver les coordonnées exactes des solutions réelles et complexes de \(C_1 \cap C_2\). Dessiner sur l’axe des \(Ox\) les racines de ce résultant en même temps que les 2 courbes. Que remarquez vous?