Virgule fixe, virgule flottante

Rationnels

On peut construire les fractions \(\frac mn\) en base quelconque.

Nombres décimaux

Nombre décimal, nombre à virgule :
on étend le système de numération en autorisant les puissances négatives de la base. un séparateur (la virgule, le point) à droite de l’unité (exposant 0), marque la limite entre exposants positifs et négatifs.

Ainsi, le nombre

\[a_n\dots a_1a_0,a_{-1}\dots a_{-k}\]

vaut

\[sum_{i=-k}^n a_i 10^i\]

Ceci se généralise à toutes les bases en replaçant les puissances de \(10\) par celles de la base \(b\).

On appelle partie entière la partie constituée d’exposants positifs, et partie fractionnaire l’autre.

exemples

Donner l’écriture décimale de \((131,24)_5\), de \((0,011010001)_2\).

exercice 1

Conversion

Pour déterminer l’écriture en base \(b\) d’un nombre décimal, on peut utiliser l’algorithme suivant :

  • écrire la partie entière en base \(b\)
  • multiplier la partie fractionnaire par \(b\) : la partie entière obtenue est le premier chiffre après la virgule
  • poursuivre jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de partie fractionnaire.

exercices 2, 3, 4

Virgule fixe, virgule flottante

On a dit que la virgule se trouvait à droite du chiffre des unités.

Dans la pratique, toutefois, on évite d’écrire des flottants comme \(123000000\) et \(0,0000000002487\) : on écrit plutôt \(123.10^6\) et \(2487.10^{-9}\), ou encore \(1,23.10^8\) et \(2,487.10^{-9}\) en notation d’ingénieur.

Ce principe permet d’évacuer totalement le séparateur décimal, et de ne représenter les nombres qu’avec un entier, dont les premier et dernier chiffres sont non nuls, multiplié par une puissance de la base.

Cela revient à dire où se trouve la virgule, on appelle cette représentation «virgule flottante».

exercices 9, 10, 11

théorème

Chaque décimal possède une écriture unique en virgule flottante.