Application de la théorie de l’élimination

à l’approximation diophantienne

Patrice PHILIPPON

UMR 7586 du CNRS Problèmes Diophantiens Université P. & M. Curie T.46-56, 5ème ét., case 247 4, place Jussieu F-75252 PARIS cedex 05 Cours de DEA

PARIS 6 Février-Juin 1998

Intersection de variétés projectives

Soit k un corps commutatif, infini et V , W deux sous-variétés projectives définies sur k , on a un ensemble intersection V ∩ W qui est algébrique. Si A = k[X_{0}, …, X_{n}] et I(V) , I(W) sont les idéaux (homogènes, premiers) de définition de V et W respectivement, dans A , les zéros de l’idéal I(V) + I(W) sont précisément les points de V ∩ W (i.e. Rad(I(V) + I(W)) = I(V ∩ W) ). En général, cet idéal n’est pas pur et peut avoir des premiers associés qui ne sont pas minimaux, ceci nous amène à introduire la notion de cycle.

Définition 1 – Un cycle (effectif) C de P_{n} , défini sur k , est une somme finie ∑_{i=1}^{s} μ_{C}(V_{i}).V_{i} où μ_{C}(V_{i}) ∈ Z^{∗} (resp. μ_{C}(V_{i}) ∈ N^{∗} ) et V_{i} est une sous-variété projective de P_{n} définie sur k . On note dim(C) = max_{i=1,...,s} dim(V_{i}) et on appelle composante isolée toute variété V_{i} telle que V_{i} ⊄ V_{j} pour j ≠ i . On note Supp(C) = ∑_{i=1}^{s} V_{i} le support de C et si W est une sous-variété projective de P_{n} on note C_{W} = ∑_{V ⊃W} μ_{C}(V).V avec la convention μ_{C}(V) = 0 si V n’est pas composante de C .

Si C et C′ sont deux cycles on écrit C′ ≤ C si toute composante V de C′ est aussi composante de C avec μ_{C′}(V) ≤ μ_{C}(V) . Les cycles forment ainsi un groupe commutatif partiellement ordonné (de neutre 0 ).

Si I est un idéal homogène de A et 𝔭_{1}, …, 𝔭_{s} les premiers minimaux associés à I , on note Z(I) = ∑_{i=1}^{s} ℓ_{i}.V_{i} où V_{i} = Z(𝔭_{i}) et ℓ_{i} = ℓ_{A_{𝔭_{i}}} ((A/I)_{𝔭_{i}}) . On notera encore RZ(I) = Z(Rad(I)) = ∑_{i=1}^{s} V_{i} et plus généralement R(C) = ∑_{i=1}^{s} V_{i} si V_{1}, …, V_{s} sont les composantes isolées du support de C . Enfin, on notera simplement C′ ⊂ C si toute composante de C′ est contenue (ensemblistement) dans une composante de C .

Pour étudier les variétés projectives on dispose d’un certain nombre de fonctions additives sur les cycles (i.e. satisfaisant f(C) = ∑_{i=1}^{s} μ_{C}(V_{i}).f(V_{i}) ) qu’on peut grosso modo partager entre :

- les fonctions bornées supérieurement (opposé d’une valuation, logarithme d’une valeur absolue, logarithme d’une distance, …) ;

- les fonctions bornées inférieurement (degré, hauteur, tailles, …).

Intersection de variétés projectives

Les premières ont un caractère local , tandis que les secondes ont un caractère global .

Le contrôle simultané des fonctions des deux types ci-dessus dans les intersections demande une définition précise d’un cycle intersection. L’approche décrite par W. Vogel [9] revient à munir les composantes de V ∩ W de certaines multiplicités et à rajouter des éventuelles composantes immergées selon un algorithme naturel. Il faut noter que les composantes immergées ainsi introduites n’ont en général rien à voir avec celles de l’idéal I(V) + I(W) . L’algorithme repose sur la méthode dite de la réduction à la diagonale et la remarque essentielle que, dans le cas d’une intersection propre, la diagonale est définie par une suite sécante sur la variété joint. Les termes en italiques sont définis dans les paragraphes suivants, donnons tout de suite la définition de la variété joint et de la diagonale dont il est question.

Définition 2 – Le joint de V ⊂ P_{m} et W ⊂ P_{n} est la variété de P_{m+n+1} , notée V ♯W , dont le cône affine est le produit des cônes affines de V et W :

C(V ♯W) = {(x_{0}, …, x_{m}, y_{0}, …, y_{n}); x ∈ C(V), y ∈ C(W)} .

On a dim(V ♯W) = dim(V) + dim(W) + 1 et I(V ♯W) = I_{X}(V) + I_{Y} (W) .

Si m = n , la diagonale Δ est la sous-variété linéaire de P_{2n+1} définie par l’idéal (X_{0} − Y_{0}, …, X_{n} − Y_{n}) , et on remarque (V ♯W) ∩ Δ = V ∩ W en identifiant Δ à P_{n} .

La technique utilisée par W.Vogel fait une grande consommation de décompositions primaires en n’en retenant à chaque étape que la partie de dimension maximale. L’association de formes éliminantes ou résultantes aux idéaux ayant précisément cette propriété, il est naturel de les substituer aux décompositions primaires. On consultera également [4] pour faire le lien avec la théorie de l’intersection abstraite de [3].

§ 1.1. Rappel : Formes associée à un A-module gradué de type fini.

Soit M un A-module gradué de type fini, on note M(k) le k-espace des éléments homogènes de degré k de M . Si r = dim_{A} M on se donne d = (d_{1}, …, d_{r}) ∈ (N^{∗})^{r} et on note

M[d] = (M/(U_{1}M + … + U_{r}M)) ⊗_{A} A[d]

où U_{i} = ∑_{𝔪∈M_{d_{i}}} u_{𝔪}^{(i)}.𝔪 et A[d] = A[…, u_{𝔪}^{(i)}, …] . On montre que Ann_{k[d]} M[d] est de rang 1 et on note χ_{d}(M) la limite inférieure des diviseurs attachés (cf. [1], chap. 7.4) aux k[d]-modules (de torsion) M[d](k) lorsque k → ∞ . En fait, les diviseurs attachés aux modules M[d](k) sont égaux pour k ≥ k_{0} avec k_{0} assez grand, on a donc :

χ_{d}(M) = sup_{k≥0} inf_{k′≥k} div (Fitt_{0}(M[d](k′))) = div (Fitt_{0}(M[d](k_{0}))) .

L’anneau k[d] étant factoriel, ce diviseur χ_{d}(M) détermine (à un facteur de k^{∗} près) une forme F_{d} ∈ k[d] , la forme résultante d’indice d de M . C’est une forme multihomogène en chaque groupe de variables u_{i} = {u_{𝔪}^{(i)}, 𝔪 ∈ M_{d_{i}}} . Pour M = A/I avec I idéal homogène premier de A on appellera encore F_{d} forme de Chow d’indice d de V , le degré de F_{d} en chaque groupe de variables est égal au degré d(V) de V = Z(I) dans P_{n} et si N_{i} := \binom{d_{i}+n}{n} − 1 on peut résumer le procédé par la figure suivante :

P_{n}

Ṽ
\underleftarrow{π_{1}}

V

↓ π_{2}

Pˇ

P_{n} espace projectif

V sous-variété projective de P_{n}

Pˇ = P _{ˇ N_{1}} × … × P _{ˇ N_{h}}

produit d’espaces duaux de P_{n}

Ṽ:={(x,u)∈P_{n}×Pˇ ; x∈V, u_{1}(x)=...=u_{h}(x)=0}

variété caractéristique de V

π_{1}(Ṽ) = V = Z(I)
π_{2}(Ṽ) = Z(F_{d})

Si C = ∑_{i=1}^{s} μ_{C}(V_{i}).V_{i} est un cycle de dimension < r , nous appellerons forme de Chow d’indice d de C le produit F = F_{1}^{μ_{C}(V_{1})} … F_{s}^{μ_{C}(V_{s})} où F_{i} est une forme de Chow d’indice (d_{1}, …, d_{dim(V_{i})+1}) de V_{i} . En particulier, le cycle C est défini sur k si et seulement s’il admet une forme de Chow F ∈ k[d] . Si π : P_{m} → P_{n} est une projection linéaire dont le centre ne contient pas V ⊂ P_{m} , une forme de Chow de π(V) s’obtient en appliquant πˇ à une forme de Chow de V .

Théorème de l’élimination – Avec les notations ci-dessus, si ρ : k[d] → K est un homomorphisme de k-algèbres à valeurs dans un corps K alors ρ(F_{V}) s’annule si et seulement si les formes ρ(U_{i}) ∈ K[X_{0}, …, X_{n}] , i = 1, …, d_{dim(V)+1} , ont un zéro commun dans V (\overline{K}) .

§ 1.2. Produit d’intersection.

1.2.a) Intersection lorsqu’une des variétés est une hypersurface.

Soit V une variété et H une hypersuface de P_{n} , V ⊄ H , on note δ le degré de H et F une forme de Chow de V d’indice d = (δ, 1, …, 1) ∈ N^{dim(V)+1} . Si on désigne par ρ la spécialisation définie par ρ(U_{1}) = p où p est une équation de H , alors ρ(F) est une forme résultante de I(V) + pA . En effet, une présentation de ρ(M[d])(k) s’obtient en spécialisant une présentation de M[d](k) et donc

Fitt_{0} (ρ (M[d](k))) = ρ (Fitt_{0} (M[d](k)))

d’où, pour tout k ≥ 0 , χ_{d} (A/(I(V) + pA)) = ρ (χ_{d}(A/I(V))) . On pose dans ce cas

V · H = Z(I(V) + pA) ,

c’est un cycle pur de dimension dim(V) − 1 et une forme de Chow de V · H est donc ρ(F) . En particulier, si V et H sont définis sur k il en est de même de V · H et si V′ est une composante irréductible et réduite de V · H on a μ_{V ·H}(V′) = ℓ_{A_{I(V ′)}} ((A/I(V) + pA)_{I(V′)}) .

Si H est un hyperplan contenant V (i.e. V ⊂ H ) on devra utiliser la définition générale du cycle intersection V · H donnée au paragraphe suivant.

1.2.b) Intersection de deux variétés.

Soient V et W deux sous-variétés de P_{n} et V ♯W leur joint dans P_{2n+1} , c’est une variété projective (i.e. un sous-ensemble algébrique fermé, irréductible et réduit de P_{n} ). Notons H_{i} , i = 0, …, n les hyperplans de P_{2n+1} , définis sur k[v] , d’équations

∑_{j=0}^{n} v_{j}^{(i)}.(X_{j} − Y_{j})

et π : Δ → P_{n} la projection linéaire définie par π(x, x) = x . Le produit d’intersection (V ♯W) · H_{0} , introduit en a), est défini sur k(v) , on écrit la décomposition :

(V ♯W) · H_{0} = C_{1} + C′_{1}

où C_{1} est la partie fixe (c-à-d. la somme des composantes définies sur k ) et C′_{1} est la partie mobile (c-à-d. la somme des autres composantes, qui sont définies sur k(v) mais pas sur k ). On remarque que C_{1} ⊂ Δ et on écrit C′_{1} = D_{1} + D′_{1} où D_{1} (resp. D′_{1} ) est la somme des composantes de C′_{1} non contenues (resp. contenues) dans Δ . On itère le procédé en définissant comme précédemment pour i = 2, …, min (n + 1; dim(V ♯W)) ,

D_{i−1} · H_{i−1} = ∑_{V′} μ_{D_{i−1}}(V′).(V′ · H_{i−1}) = C_{i} + C′_{i} , C′_{i} = D_{i} + D′_{i} .

Définition 3 – Le cycle intersection de deux variétés V, W ⊂ P_{n} , noté V · W , est défini par :

V · W = π (∑_{i=1}^{ν} C_{i})

où ν = min (n + 1; dim(V ♯W)) .

Remarque - Si dim(V ♯W) ≥ n + 1 on a ν = n + 1 et C′_{n+1} = 0 , tandis que si dim(V ♯W) ≤ n on a ν = dim(V ♯W) et D_{ν} · H_{ν} = 0 .

Les composantes mobiles D′_{i} , écartées dans la définition ci-dessus, contiennent des renseignements géométriques intéressant. Par exemple, le degré de D′_{ν} = C′_{ν} est égal au produit du degré de la variété joint plongé dans P_{n} (i.e. l’union des droites passant par un point de V et un point de W ) multiplié par le degré de l’application envoyant le joint défini dans ces notes sur le joint plongé. Les autres composantes D′_{i} s’interprêtent comme lieux de ramification de certaines projections linéaires génériques (voir un ouvrage en préparation de H. Flenner et J. Stückrad). Nous allons voir que les composantes des cycles D′_{i} sont contenues dans V ∩ W mais qu’aucune de ces composantes n’est égale à une composante de V ∩ W . Dans la suite nous notons V ∩ W le cycle RZ(I(V) + I(W)) .

Lemme 4 – Les cycles C_{i} , C′_{i} , D_{i} et D′_{i} sont purs de même dimension dim(V ♯W) − i = dim(V) + dim(W) + 1 − i . On a π(C_{i} + D′_{i}) ⊂ V ∩ W pour i = 1, …, ν , aucune composante de π(D′_{i}) n’est égale à une composante de V ∩W et R(V · W) = V ∩ W .

Démonstration – Vérifions par récurrence que C_{i} , C′_{i} , D′_{i} et D_{i} sont purs de dimension dim(V) + dim(W) + 1 − i , comme D_{i} et D′_{i} sont composantes de C′_{i} il suffit de le vérifier pour C_{i} + C′_{i} . C’est le cas pour C_{1} + C′_{1} d’après la définition de a) et par le même raisonnement si D_{i} est pur de dimension dim(V) + dim(W) + 1 − i alors D_{i} · H_{i} = C_{i+1} + C′_{i+1} est pur de dimension dim(V) + dim(W) − i .

Pour i = 1, …, ν le cycle C_{i} est défini sur k et contenu dans H_{0} donc aussi bien dans H_{1}, …, H_{n} , on en déduit que C_{i} ⊂ Δ et donc π(C_{i} + D′_{i}) ⊂ π (V ♯W ∩ Δ) = V ∩ W et V · W = ∑_{i=1}^{s} π(C_{i}) ⊂ V ∩ W . Une composante de D′_{i} n’étant pas définie sur k ne peut être égale à une composante de V ∩ W , car ces dernières sont toutes définies sur k .

Réciproquement, si V′ est une composante de V ∩ W elle n’est contenue dans aucune autre composante de V ∩ W et, étant définie sur k , ne peut être égale à une composante d’un D′_{i} . Mais

(V ♯W) ∩ Δ ⊂ ((V ♯W) · H_{0}) ∩ Δ ⊂ C_{1} + D′_{1} + D_{1} ∩ Δ ⊂ … ⊂ ∑_{i=1}^{ν}(C_{i} + D′_{i}) + D_{ν} · Δ

et D_{ν} · Δ = 0 , d’où V ∩ W = π((V ♯W) ∩ Δ) ⊂ V · W ⊂ V ∩ W , ce qui montre que V′ est nécessairement égale à une composante de V · W .

Il est utile d’expliciter une forme de Chow de V ·W . On part d’une forme de Chow F_{V ♯W} du joint V ♯W et on note ρ_{i} , 1 ≤ i ≤ ν +1 , la spécialisation de U_{i} sur ∑_{j=0}^{n} v_{j}^{(i)}.(X_{j} −Y_{j}) . On pose F_{0} = F_{V ♯W} et f_{0} = 0 et pour i = 1, …, ν on écrit ρ_{i}(F_{i−1}) = F_{i}.f_{i} où f_{i} est un plus grand facteur de ρ_{i}(F_{i−1}) ne dépendant pas des v_{j}^{(k)} , j = 0, …, n , k = 1, …, i . Ainsi, f_{i} est une forme de Chow de C_{i} et F_{i} une forme de Chow de C′_{i} , on écrit F_{i} = G_{i}G′_{i} où G_{i} (resp. G′_{i} ) est une forme de Chow de D_{i} (resp. D′_{i} ). On a le diagramme suivant :

F_{V ♯W} ⟶^{ρ_{1}} \{ G′_{1} ; G_{1} ; f_{1} ⟶^{ρ_{2}} \{ G′_{1}G′_{2} ; G_{2} ; f_{1}f_{2} ⟶^{ρ_{3}} … ⟶^{ρ_{ν}} \{ \begin{matrix}G′_{1} … G′_{ν} \\ G_{ν} \\ f_{1} … f_{ν} & ⟶^{τ_{1},...,τ_{dim(V ♯W)+1}} & F_{V ·W} \end{matrix}

et maintenant une forme de Chow de V · W est donnée par la forme déduite du produit f_{1} … f_{ν} par spécialisation des formes U_{i} en formes ne dépendant que des variables X . On a noté τ_{1}, …, τ_{dim(V ♯W)+1} ces dernières spécialisations dans le diagramme ci-dessus et on désignera par (\underline{τ} ∘ \underline{ρ}) le processus de spécialisationssélections décrit par ce diagramme.

Pour assurer la cohérence de notre terminologie on doit vérifier que dans le cas où W est une hypersurface de P_{n} de degré δ , dont p désigne une équation, on trouve le même cycle qu’en a) lorsque V ⊄ W , dim(V) > 0 . On remarque qu’une forme de Chow de V ♯W s’obtient en spécialisant une forme de Chow F_{V ♯P_{n}} de V ♯P_{n} d’indice convenable par la spécialisation qui envoie U_{dim(V ♯W)+2} sur p . Maintenant, d’après l’alinéa précédent une forme de Chow du cycle V ·W s’obtient en appliquant les spécialisations ρ_{i} , i = 1, …, n + 1 , puis les spécialisations des formes U_{i} restantes en formes ne dépendant que des variables X , notée τ_{j} , j = 1, …, dim(V ♯W) + 1 . Toutes les spécialisations envisagées commutent entr’elles et on vérifie, à l’aide du théorème de l’élimination, que les (ρ_{i}) spécialisent F_{V ♯P_{n}} en le produit d’une forme de Chow de V d’indice (d_{1}, …, d_{dim(V)}, δ) ∈

(N^{∗})^{dim(V)+1} et de la forme F_{P_{n}}^{d(V)}(v) = Det (v_{j}^{(i)})d(V)_{{j=0,...,n \atop i=2,...,n+2}} . On peut résumer

la situation par le diagramme commutatif suivant :

F_{V ♯P_{n}}

U_{dim(V ♯W)+2}→p↙  ↘^{(\underline{τ}∘\underline{ρ})}
F_{V ♯W} F_{V}
(\underline{τ}∘\underline{ρ})↘  ↙_{U_{dim(V ♯W)+2}→p}

F_{V ·W}

On en déduit qu’une forme de Chow de V · W est bien la spécialisation d’une forme de Chow d’indice convenable de V par la spécialisation envoyant une forme générique U_{i} sur p .

Remarque - Le raisonnement ci-dessus montre par la même occasion : V ·P_{n} = V , car le résultat de l’application de (\underline{τ} ∘\underline{ρ}) à F_{V ♯P_{n}} est, par construction, une forme de Chow de V · P_{n} et on a vu que c’est aussi une forme de Chow de V .

Définition 5 – Si C et C′ sont des cycles on pose :

C · C′ = ∑_{V,W} μ_{C}(V)μ′_{C}(W).(V · W) .

Ce produit est commutatif, distributif par rapport à l’addition des cycles, d’élément neutre P_{n} , mais il n’est pas associatif.

Exemple - Dans P_{2} : si U = {X_{2} = 0} , V = {X_{0}X_{2} = X_{1}^{2}} , W = {X_{1} = 0} et P = {X_{1} = X_{2} = 0} , on a U · V = 2.P , V · W = P et donc :

(U · V) · W = 2.P ≠ P = U · (V · W) .

Nota Bene - En considérant le r-joint V_{1}♯ … ♯V_{r} on peut définir de la même façon que précédemment un cycle V_{1} ·. . .·V_{r} . Dans l’exemple ci-dessus on obtient U · V · W = P .

Une remarque utile pour la suite est que pour toute composante isolée V′ de V ·W une forme de Chow de (V ·W)_{V′} est une forme résultante d’un module A/𝔭^{(μ)} où 𝔭^{(μ)} désigne la puissance symbolique μ-ième de l’idéal de définition de V′ dans A .

§ 1.3. Théorèmes de Bézout géométriques.

Commençons par une définition :

Définition 6 – Soient V′, V, W ⊂ P_{n} des variétés projectives, on dira que V et W s’intersectent proprement (en V′ ) si et seulement si V ·W (resp. (V ·W)_{V′} ) est pur de dimension dim(V) + dim(W) − n .

On notera que si V et W s’intersectent proprement alors V ∩ W est pur de dimension dim(V) + dim(W) − n , car le lemme 4 assure R(V · W) = V ∩ W . Montrons le théorème de Bézout suivant :

Théorème 7 – Soit V et W deux variétés projectives dans P_{n} , on a

d(V · W) := ∑_{V′} μ_{V ·W} (V′).d(V′) ≤ d(V).d(W) .

De plus, on a égalité si V et W s’intersectent proprement.

Démonstration – Par construction de V · W on a, en posant D_{0} = V ♯W ,

d(V · W) = d ((V ♯W) · Δ)

= ∑_{i=1}^{ν} d(C_{i})

= ∑_{i=1}^{ν} (d(D_{i−1}) − d(D_{i}) − d(D′_{i}))

= d(V ♯W) − ∑_{i=1}^{ν} d(D′_{i}) − d(D_{ν})

≤ d(V ♯W) , il suffit donc de montrer d(V ♯W) = d(V).d(W) . Or, d(V ♯W) est le degré en les coefficients de chaque forme linéaire U_{i} d’une forme de Chow F d’indice (1, …, 1) ∈ (N^{∗})^{dim(V)+dim(W)+1} de V ♯W , si on spécialise dim(V) (resp. dim(W) ) des formes U_{i} en des formes linéaire ne dépendant que X (resp. Y ) assez générales on obtient une forme de Chow du joint de d(V) points et de d(W) points, c’est-à-dire d’un ensemble de d(V).d(W) points de P_{2n+1} . Les spécialisations envisagées préservant les degrés partiels des formes on en conclut que la forme de Chow F , et donc V ♯W , est de degré d(V).d(W) .

Enfin, si V · W s’intersectent proprement on a, d’après le lemme 4, C_{i} = D′_{i} = 0 pour i = 1, …, n car V ∩ W étant de dimension dim(V) + dim(W) − n ne peut contenir des composantes de dimension dim(V) + dim(W) + 1 − i et C′_{n+1} = 0 car ν = n + 1 , d’où d(V · W) = d(V ♯W) = d(V).d(W) dans ce cas.

Exemple - Dans P_{3} : on intersecte la courbe V de degré 4 paramétrée par (s, t) → (s^{4}, s^{3}t, st^{3}, t^{4}) , dont l’idéal de définition est :

I(V) = (X_{0}X_{3} − X_{1}X_{2}, X_{0}^{2}X_{2} − X_{1}^{3}, X_{1}X_{3}^{2} − X_{2}^{3}, X_{0}X_{2}^{2} − X_{1}^{2}X_{3}) ,

avec sa tangente L = {X_{0} = X_{1} = 0} à l’infini. On trouve V ·L = 3.P où P est le point défini par {X_{0} = X_{1} = X_{2} = 0} , on a donc d(V ·L) = 3 < 4 = d(V)d(L) .

Remarque - W. Vogel [9] définit le cycle V · W en y retenant les parties mobiles D′_{i} , ce qui rétablit en tout cas une égalité dans le théorème ci-dessus. Lorsque V et W s’intersectent proprement on a D′_{i} = 0 pour tout i et cette définition coïncide avec la nôtre.

Si C est un cycle effectif de P_{n} et δ ∈ N^{∗} notons

d(C, δ) = ∑_{V} μ_{C}(V).d(V).δ^{dim(V)} ,

c’est une application Z-linéaire, égale à d(ι_{δ}(C)) où ι_{δ} : P_{n} → P_{\binom{n+δ}{n}−1} désigne le plongement de Veronese de degré δ .

Théorème 8 – Soit I un idéal homogène de A et p_{1}, …, p_{m} des formes de degrés ≤ δ , alors si J = I + (p_{1}, …, p_{m}) on a d(RZ(J), δ) ≤ d(RZ(I), δ) .

Si de plus 𝔭 est un idéal premier de A (ou A lui-même), W = Z(𝔭) et (A/I)_{𝔭} est Cohen-Macaulay alors d(Z(J)_{W} , δ) ≤ d(Z(I)_{W} , δ) .

Démonstration – Remarquons d’abord que si une forme q ∈ A de degré δ ne s’annule pas sur une variété V on a, en posant H = Z(q) :

(∗)  d(V · H, δ) = d(V.H)δ^{dim(V)−1} = d(V)δ^{dim(V)} = d(V, δ) ,

car V et H s’intersectent proprement et par le théorème 7 V · H est pur de degré d(V).δ . Pour la première inégalité il suffit, par récurrence, de traiter le cas m = 1 . Désignons par H l’hypersurface définie par p_{1} , on constate que les composantes de RZ(J) proviennent soit de composantes de RZ(I) contenues dans H , soit de l’intersection d’une composante de RZ(I) avec H . On a en tout cas :

RZ(J) ≤ ∑_{V ⊂H} V + ∑_{V ⊄H} V · H ,

d’où avec (*),

d(RZ(J), δ) ≤ ∑_{V ⊂H} d(V, δ) + ∑_{V ⊄H} d(V · H, δ) = ∑_{V} d(V, δ) = d(RZ(I), δ) ,

où les sommes portent sur les composantes de RZ(I) .

Pour la seconde inégalité, soit V une composante de Z(J) contenue dans W et 𝔓 ⊂ 𝔭 son idéal de définition dans A , posons μ = dim(R(I)_{V})−dim(V) . L’anneau (A/I)_{𝔓} est Cohen-Macaulay, par ailleurs il existe q′_{1}, …, q′_{μ} des combinaisons linéaires homogènes des q_{i} telles que V soit composante de Z(J_{μ})_{V} où on pose J_{i} = I + (q′_{1}, …, q′_{i}) pour i = 1, …, μ . On en déduit que les anneaux (A/J_{i})_{𝔓} sont Cohen-Macaulay et en particulier les cycles Z(J_{i})_{V} sont purs de dimensions respectives dim(Z(I)) − i . Comme J_{μ} ⊂ J on a encore d(Z(J)_{W} , δ) ≤ d(Z(J_{μ})_{W} , δ) et il suit de (*) :

d(Z(J_{μ})_{W} , δ) ≤ d(Z(J_{μ−1})_{W} , δ) ≤ … ≤ d(Z(I)_{W} , δ)

car pour tout i la forme q′_{i} ne s’annule sur aucune composante de Z(J_{i−1})_{W} .

§ 1.4. Multiplicité de Samuel.

A propos de ce paragraphe on consultera plus particulièrement [1], chap. 8, et [6], chap. 7.

Soit A un anneau commutatif, unitaire et noetherien, M un A-module non nul, de type fini et 𝔮 un idéal de A contenu dans le radical de A et tel que M/𝔮M soit de longueur finie. Pour d ∈ N^{∗} on pose :

e_{𝔮,d}^{A}(M) = lim_{h→∞} \frac{ℓ_{A} (M/𝔮^{h+1}M)}{h^{d}/d!} ∈ R_{≥0} ∪ \{∞\}

et e_{𝔮}(M) = e_{𝔮}^{A}(M) = e_{𝔮,dim_{A}(M)}^{A}(M) . On montre (cf. [1], chap. 8.4 et chap. 8.7) que e_{𝔮}(M) ∈ N^{∗} , d’où e_{𝔮,d}^{A}(M) = 0 si dim_{A}(M) < d tandis que e_{𝔮,d}^{A}(M) = ∞ si dim_{A}(M) > d . Plus précisément, lorsque dim_{A}(M) > 0 la théorie des séries de Hilbert-Samuel montre

ℓ_{A} (M/𝔮^{h}M) = e_{𝔮}(M).\frac{h^{dim_{A}(M)}}{dim_{A}(M)!} + α_{h}.h^{dim_{A}(M)−1}

où (α_{h}) tend vers une limite quand h → ∞ (cf. Bo, chap. 8.4.3 et 8.4.4). Nous admettrons ici ces faits.

Remarque - On a dim_{A}(M/𝔮M) = 0 , dim_{A}(M) = dim_{A/ Ann(M)}(M) = dim (A/ Ann_{A}(M)) et e_{𝔮}^{A}(M) = e_{𝔮}^{A/ Ann_{A}(M)}(M) .

Exemples - 1) Si (A, 𝔪) est un anneau local régulier on a : e_{𝔪}(A) = 1 .

2) Si M est de longueur finie on a e_{𝔮}(M) = ℓ_{A}(M) , car dim_{A}(M) = 0 et 𝔮 ⊂ Ann_{A}(M) .

Proposition 9 – (i) e_{𝔮^{n},d}^{A}(M) = n^{d}.e_{𝔮,d}^{A}(M) ; (ii) Si 𝔮′ ⊂ 𝔮 alors e_{𝔮,d}^{A}(M) ≤ e_{𝔮′,d}^{A}(M) ; (iii) Si 𝔮^{n}M ⊂ M′ ⊂ M alors e_{𝔮,d}^{A}(M) = e_{𝔮,d}^{A}(M′) pour d ∈ N^{∗} ; (iv) Si M = M_{0} ⊃ M_{1} ⊃ … ⊃ M_{h} ⊃ … est une filtration de M telle que 𝔮M_{h} ⊂ M_{h+1} pour tout h et 𝔮M_{h} = M_{h+1} pour tout h ≥ n alors e_{𝔮,d}^{A}(M) = lim_{h→∞} \frac{ℓ_{A}(M_{h}/M_{h+1})}{h^{d−1}/(d−1)!} pour d ∈ N^{∗} ;

(v) e_{𝔮}(M) = ∑_{𝔪} e_{𝔮_{𝔪}}(M_{𝔪}) où la somme porte sur les idéaux maximaux de A contenant 𝔮 , appartenant au support de M (i.e. M_{𝔪} ≠ 0 ) et tels que dim_{A_{𝔪}}(M_{𝔪}) = dim_{A}(M) .

Démonstration – (i) Il suffit de considérer la sous-suite M/𝔮^{n(h+1)}M , h ∈ N , dans a définition de e_{𝔮,d}^{A}(M) .

(ii) On a des surjections M/𝔮′^{h+1}M → → M/𝔮^{h+1}M pour tout h ∈ N , d’où ℓ_{A} (M/𝔮′^{h+1}M) ≥ ℓ_{A} (M/𝔮^{h+1}M) et le résultat. (iii) On a une injection M′/(𝔮^{h+1}M ∩ M′) ↪ M/𝔮^{h+1}M et, pour h ≥ n , une surjection M′/(𝔮^{h+1}M ∩ M′) → → M′/𝔮^{h−n+1}M′ , d’où :

(1) ℓ_{A} (M′/𝔮^{h−n+1}M′) ≤ ℓ_{A} (M′/(𝔮^{h+1}M ∩ M′)) ≤ ℓ_{A} (M/𝔮^{h+1}M) .

De l’autre côté, on a pour tout h ≥ n une suite exacte

0 → 𝔮^{n}M/𝔮^{h+1}M → M/𝔮^{h+1}M → M/𝔮^{n}M → 0

de A-modules d’une part, une injection 𝔮^{n}M/𝔮^{h+1}M ↪ M′/𝔮^{h+1}M et une surjection M′/𝔮^{h+1}M′ → → M′/𝔮^{h+1}M d’autre part, d’où l’on déduit :

(2)  \begin{aligned}ℓ_{A} (M/𝔮^{h+1}M) & ≤ ℓ_{A} (M/𝔮^{n}M) + ℓ_{A} (M′/𝔮^{h+1}M) \\ & ≤ ℓ_{A} (M/𝔮^{n}M) + ℓ_{A} (M′/𝔮^{h+1}M′) . \end{aligned}

En divisant les formules (1) et (2) par h^{d}/d! puis en faisant tendre h vers l’infini, on vérifie l’égalité annoncée lorsque d > 0 .

(iv) Pour tout h ≥ n on a M_{h} = 𝔮^{h−n}M_{n} et donc :

\begin{aligned}ℓ_{A} (M_{h}/M_{h+1}) & = ℓ_{A} (M_{n}/𝔮^{h−n+1}M_{n}) − ℓ_{A} (M_{n}/𝔮^{h−n}M_{n}) \\ & = e_{𝔮,d}^{A}(M_{n}).\frac{(h + 1)^{d} − h^{d}}{d!} + α_{h+1}(h + 1)^{d−1} − α_{h}.h^{d−1} . \end{aligned}

Comme d > 0 et (α_{h}) tend vers une limite lorsque h → ∞ on déduit de

l’identité ci-dessus \frac{ℓ_{A}(M_{h}/M_{h+1})}{h^{d−1}/(d−1)!} ⟶_{h→∞} e_{𝔮,d}^{A}(M_{n}) = e_{𝔮,d}^{A}(M) , d’après (iii).

(v) On a ℓ_{A}(M/𝔮^{h}M) = ∑_{𝔪} ℓ_{A_{𝔪}}(M_{𝔪}/𝔮_{𝔪}^{h}M_{𝔪}) car Ann_{A}(M/𝔮^{h}M) = 𝔮 + Ann_{A}(M) n’a que des idéaux maximaux comme premiers associés et il suffit d’écrire une suite de composition de M/𝔮^{h}M pour vérifier l’égalité.

Remarque - Si Gr_{𝔮}(A) := ⊗_{h≥0}𝔮^{h}/𝔮^{h+1} désigne l’anneau gradué associé à (A, 𝔮) et Gr_{𝔮}(M) := ⊗_{h≥0}𝔮^{h}M/𝔮^{h+1}M le Gr_{𝔮}(A)-module associé à M , on a 𝔮^{h}Gr_{𝔮}(M)/𝔮^{h+1}Gr_{𝔮}(M) ≃ 𝔮^{h}M/𝔮^{h+1}M . On déduit de la proposition 9(iv) : e_{𝔮,d}^{A}(M) = e_{Gr_{𝔮}(𝔮),d}^{Gr_{𝔮}(A)}(Gr_{𝔮}(M)) .

Proposition 10 – (i) Si 0 → M′ → M → M′′ → 0 est une suite exacte de A-modules tels que M/𝔮M , M′/𝔮M′ et M′′/𝔮M′′ soient de longueurs finies et d ∈ N , alors e_{𝔮,d}^{A}(M) = e_{𝔮,d}^{A}(M′) + e_{𝔮,d}^{A}(M′′) ;

(ii) On a e_{𝔮}(M) = ∑ ℓ_{A_{𝔭}}(M_{𝔭}).e_{𝔮}(A/𝔭) où la somme porte sur les premiers minimaux tels que M_{𝔭} ≠ 0 et dim(A/𝔭) = dim_{A}(M) .

Démonstration – (i) Désignons par s la surjection de M sur M′′ dans la suite exacte donnée, on considère les filtrations M_{h} = 𝔮^{h}M , M′_{h} = 𝔮^{h}M ∩ M′ et M′′_{h} = s(𝔮^{h}M) sur M , M′ et M′′ respectivement. On a clairement 𝔮M′_{h} ⊂ M′_{h+1} et le lemme d’Artin-Rees (cf. [6], chap. 4.7, thm. 20 et [1], chap.3.3.1, corollaire 1) s’énonce précisément : 𝔮M′_{h} = M′_{h+1} pour h ≥ h_{0} . On a aussi 𝔮M′′_{h} = M′′_{h+1} pour tout h et des suites exactes

0 → M′_{h}/M′_{h+1} → M_{h}/M_{h+1} → M′′_{h}/M′′_{h+1} → 0 ,

d’où il vient ℓ_{A}(M_{h}/M_{h+1}) = ℓ_{A}(M′_{h}/M′_{h+1}) + ℓ_{A}(M′′_{h}/M′′_{h+1}) et le résultat en appliquant la proposition 9(iv) si d > 0 . Si d = 0 , ou bien les deux membres de l’égalité à montrer sont infinis, ou bien les modules M , M′ et M′′ sont tous trois de dimension 0 et leurs multiplicités coïncident avec leurs longueurs, l’égalité cherchée est alors claire.

(ii) Soit M = M_{0} ⊃ M_{1} ⊃ … ⊃ M_{s} = 0 une suite de composition de M , il suit de (i) : e_{𝔮,d}(M) = ∑_{h=0}^{s−1} e_{𝔮,d}(M_{h}/M_{h+1}) pour tout d . Chaque quotient M_{h}/M_{h+1} est simple et isomorphe à A/𝔭_{h} où 𝔭_{h} appartient au support de M (i.e. M_{𝔭_{h}} ≠ 0 ). Fixons d = dim_{A}(M) , on a dim(A/𝔭_{h}) ≤ d et e_{𝔮}(M_{h}/M_{h+1}) = 0 sauf si dim(A/𝔭_{h}) = d , enfin le nombre d’indices h tels que 𝔭_{h} soit égal à un même premier 𝔭 est ℓ_{A_{𝔭}}(M_{𝔭}) .

Nota Bene - Si M = A/I alors e_{𝔮}(M) = e_{𝔮}(A/I′) où I′ désigne l’intersection des composantes primaires de I de dimension dim_{A}(M) (i.e. dont le radical 𝔭 satisfait dim(A/𝔭) = dim_{A}(M) ).

Proposition 11 – Supposons 𝔮 = (q_{1}, …, q_{d}) engendré par d éléments avec d = dim_{A}(M) , M/𝔮M de longueur finie et notons χ_{q}(M) := ∑_{j}(−1)^{j}ℓ_{A} (H_{j}(q, M)) la caractéristique d’Euler du complexe des modules H_{j}(q, M) , j = 0, …, d , d’homologie de Koszul de q = {q_{1}, …, q_{d}} sur M . On a :

(i) χ_{q}(M) = χ_{(q_{2},...,q_{d})}(M/q_{1}M) − χ_{(q_{2},...,q_{d})}(0 :_{M} q_{1}) ; (ii) si q′_{1} ∈ A est tel que M/(q′_{1}M + q_{2}M + … + q_{d}M) soit de longueur finie,

alors : χ_{(q_{1}q′_{1},q_{2},...,q_{d})}(M) = χ_{(q_{1},...,q_{d})}(M) + χ_{(q′_{1},q_{2},...,q_{d})}(M) ; (iii) la formule de Lech :

χ_{q}(M) = lim_{n_{1}→∞} … lim_{n_{d}→∞} \frac{ℓ_{A} (M/(q_{1}^{n_{1}}M + … + q_{d}^{n_{d}}M))}{n_{1} … n_{d}} ;

(iv) χ_{q}(M) = e_{𝔮,d}^{A}(M) ≤ ℓ_{A}(M/𝔮M) avec égalité si (q_{1}, …, q_{d}) est une suite régulière sur M ;

(v) et la formule d’associativité :

e_{𝔮}(M) = ∑_{𝔭} e_{(q_{1},...,q_{i})}^{A_{𝔭}}(M_{𝔭}).e_{𝔮}(A/𝔭)

où la somme porte sur les premiers minimaux tels que (M/(q_{1}, …, q_{i})M)_{𝔭} ≠ 0 et dim(A/𝔭) = d − i .

Démonstration – (i) Considérons le bicomplexe K_{·}(q_{1}, M) ⊗_{A} K_{·}((q_{2}, …, q_{d}), M) dont le complexe total associé s’identifie au complexe de Koszul K_{·}(q, M) . La caractéristique d’Euler étant invariante par passage aux modules d’homologie, celle du complexe total de notre bicomplexe est égale à la caractéristique d’Euler des bicomplexes des suites spectrales aboutissant à son homologie. Ecrivons cette identité pour le bicomplexe ′E_{i,j}^{2} ≃ H_{i} (q̃, H_{j}(q_{1}, M)) où on a noté q̃ = (q_{2}, …, q_{d}) , on obtient :

χ_{q}(M) = ∑_{k}(−1)^{k} ∑_{{i+j=k \atop 0≤j≤1}} ℓ_{A} (H_{i} (q̃, H_{j}(q_{1}, M)))

= ∑_{k}(−1)^{k} (ℓ_{A} (H_{k}(q̃, M/q_{1}M)) + ℓ_{A} (H_{k−1}(q̃, 0 :_{M} q_{1})))

= χq̃(M/q_{1}M) − χq̃(0 :_{M} q_{1}) .

(ii) Ecrivons la même l’identité pour le bicomplexe ′′E_{i,j}^{2} ≃ H_{i} (q_{1}, H_{j}(q̃, M)) , on obtient :

(3) \begin{aligned}χ_{q}(M) & = ∑_{k}(−1)^{k} ∑_{{i+j=k \atop 0≤i≤1}} ℓ_{A} (H_{i} (q_{1}, H_{j}(q̃, M))) \\ & = ∑_{k}(−1)^{k} (ℓ_{A} (H_{k}(q̃, M)/q_{1}H_{k}(q̃, M)) − ℓ_{A} (0 :_{H_{k}(q̃,M)} q_{1})) . \end{aligned}

On a des identités similaires en remplacant q par q′ := (q′_{1}, q_{2}, …, q_{d}) et par q′′ := (q_{1}q′_{1}, q_{2}, …, q_{d}) . De plus, pour tout A-module N et x, x′ ∈ A on a l’égalité :

ℓ_{A}(N/xx′N) − ℓ_{A}(0 :_{N} xx′) = ℓ_{A}(N/xN) − ℓ_{A}(0 :_{N} x) + ℓ_{A}(N/x′N) − ℓ_{A}(0 :_{N} x′)

qui résulte de la suite exacte de A-modules :

0 → 0 :_{N} x′ → 0 :_{N} xx′ ⟶^{×x′} 0 :_{N} x → N/x′N ⟶^{×x} N/xx′N → N/xN → 0

dont l’exactitude en 0 :_{N} x se vérifie par x′N ∩ (0 :_{N} x) = x′(0 :_{N} xx′) et en N/x′N par xx′N :_{N} x = x′N + (0 :_{N} x) . Reportant dans les formules (3) pour q , q′ et q′′ , il vient : χ_{q′′}(M) = χ_{q}(M) + χ_{q′}(M) . (iii) Soient n_{1}, …, n_{d} ∈ N , pour i = 1, … d notons q^{(i)} := (q_{i}^{n_{i}}, …, q_{d}^{n_{d}}) et M_{i} := M/(q_{1}^{n_{1}}M + … + q_{i}^{n_{i}}M) , utilisant la première égalité du (i) on écrit :

χ_{q^{(1)}}(M) = χ_{q^{(2)}}(M_{1}) − χ_{q^{(2)}}(0 :_{M} q_{1}^{n_{1}})

= χ_{q^{(3)}} (M_{2})) − χ_{q^{(3)}}(0 :_{M_{1}} q_{2}^{n_{2}}) − χ_{q^{(2)}}(0 :_{M} q_{1}^{n_{1}}) …

= χ_{∅}(M_{d}) − ∑_{i=1}^{d} χ_{q^{(i+1)}}(0 :_{M_{i−1}} q_{i}^{n_{1}}) ,

avec la convention M_{0} = M . Mais χ_{∅}(M_{d}) = ℓ_{A}(M_{d}) et la seconde inégalité du (i) permet de réécrire ce résultat sous la forme :

χ_{q}(M) = \frac{ℓ_{A} (M/(q_{1}^{n_{1}}M + … + q_{d}^{n_{d}}M))}{n_{1} … n_{d}} − ∑_{i=1}^{d} \frac{χ_{(q_{i+1},...,q_{d})}(0 :_{M_{i−1}} q_{i}^{n_{i}})}{n_{1} … n_{i}} .

On remarque alors que chacun des nombres χ_{(q_{i+1},...,q_{d})}(0 :_{M_{i−1}} q_{i}^{n_{i}}) ne dépend que de n_{1}, …, n_{i−1} lorsque n_{i} est assez grand, aussi en prenant les n_{i} de sorte que les quotients n_{i+1}/n_{i} soient arbitrairement grands on montre que \frac{ℓ_{A}(M/(q_{1}^{n_{1}} M+...+q_{d}^{n_{d}} M))}{n_{1}...n_{d}} converge vers χ_{q}(M) . (iv) La caractéristique d’Euler étant additive dans les suites exactes on a :

χ_{q}(M) = χ_{q}(M/𝔮M) + χ_{q}(𝔮M) = ∑_{h≥0} χ_{q}(𝔮^{h}M/𝔮^{h+1}M) = χ_{q} (Gr_{𝔮}(M))

car il existe des isomorphismes de A/𝔮-modules H_{j}(q, ⊗_{h≥0}𝔮^{h}M/𝔮^{h+1}M) ≃ ⊗_{h≥0}H_{j}(q, 𝔮^{h}M/q^{h+1}M) . Comme on a vu que la proposition 9(iv) entraîne e_{𝔮,d}^{A}(M) = e_{Gr_{𝔮}(𝔮),d}^{Gr_{𝔮}(A)}(Gr_{𝔮}(M)) , il suffit de montrer

χ_{q}(Gr_{𝔮}(M)) = e_{Gr_{𝔮}(𝔮),d}^{Gr_{𝔮}(A)} (Gr_{𝔮}(M)) .

Mais on vérifie sur la suite exacte

0 → 0 :_{Gr_{𝔮}(M)} q_{1} → Gr_{𝔮}(M) →^{×q_{1}} Gr_{𝔮}(M) → Gr_{𝔮}(M)/q_{1}Gr_{𝔮}(M) → 0

que

e_{Gr_{𝔮}(𝔮),d}^{Gr_{𝔮}(A)} (Gr_{𝔮}(M)) = e_{Gr_{𝔮}(𝔮),d}^{Gr_{𝔮}(A)} (Gr_{𝔮}(M)/q_{1}Gr_{𝔮}(M)) − e_{Gr_{𝔮}(𝔮),d}^{Gr_{𝔮}(A)} (0 :_{Gr_{𝔮}(M)} q_{1}) .

En comparant à (i) et en remarquant que pour les modules de dimension 0 les quantités χ_{q}(Gr_{𝔮}(M)) et e_{Gr_{𝔮}(𝔮),d}^{Gr_{𝔮}(A)} (Gr_{𝔮}(M)) coïncident avec la longueur du module Gr_{𝔮}(M) , on conclut à l’égalité cherchée.

Comme χ_{q}(0 :_{M} q_{1}) = e_{𝔮,d}(0 :_{M} q_{1}) ≥ 0 , on a d’après (i) :

χ_{q}(M) ≤ χ_{(q_{2},˙,q_{d})}(M/q_{1}M) ≤ … ≤ χ_{∅}(M/qM) = ℓ_{A}(M/qM)

avec des égalités si q_{1}, …, q_{d} est une suite régulière sur M .

(v) Posons q′ := (q_{1}, …, q_{i}) et q′′ := (q_{i+1}, …, q_{d}) et considérons le bicomplexe K_{·}(q′, M)⊗_{A}K_{·}(q′′, M) dont le complexe total associé est le complexe de Koszul K_{·}(q, M) . Raisonnant comme au (i), on écrit en utilisant (iv) :

\begin{aligned}e_{𝔮}(M) = χ_{q}(M) & = ∑_{k}(−1)^{k} ∑_{i+j=k} ℓ_{A} (H_{i}(q′′, H_{j}(q′, M))) \\ & = ∑_{j}(−1)^{j} ∑_{i}(−1)^{i}ℓ_{A} (H_{i}(q′′, H_{j}(q′, M))) . \end{aligned}

La proposition 10(ii) montre alors

\begin{aligned}∑_{i}(−1)^{i}ℓ_{A} (H_{i}(q′′, H_{j}(q′, M))) & = e_{𝔮}(H_{j}(q′, M)) \\ & = ∑_{𝔭} ℓ_{A_{𝔭}} (H_{j}(q′, M)_{𝔭}) .e_{𝔮}(A/𝔭) \end{aligned}

où la dernière somme porte sur les premiers 𝔭 du support de M/q′M tels que dim_{A}(A/𝔭) = dim_{A}(M/q′M) = d − i . Reportant dans l’expression précédente on obtient finalement :

e_{𝔮}(M) = ∑_{j=1}(−1)^{j} ∑_{𝔭} ℓ_{A_{𝔭}} (H_{j}(q′, M)_{𝔭}) .e_{𝔮}(A/𝔭)

= ∑_{𝔭} (∑_{j=1}(−1)^{j}ℓ_{A_{𝔭}} (H_{j}(q′, M_{𝔭}))) .e_{𝔮}(A/𝔭)

= ∑_{𝔭} e_{(q_{1},...,q_{i})}(M_{𝔭}).e_{𝔮}(A/𝔭) .

Définition 12 – On dit que q_{1}, …, q_{s} ∈ 𝔮 forment une suite superficielle sur M (par rapport à 𝔮 ) si et seulement si pour i = 1, …, s l’application 𝔮^{h}M_{i}/𝔮^{h+1}M_{i} → 𝔮^{h+1}M_{i}/𝔮^{h+2}M_{i} , avec M_{i} = M/(q_{1}, …, q_{i−1})M , induite par la multiplication par q_{i} est injective pour tout h assez grand.

Proposition 13 – (i) Si q_{1}, …, q_{s} ⊂ 𝔮 est une suite superficielle sur M et s < dim_{A}(M) alors e_{𝔮}(M) = e_{𝔮} (M/(q_{1}, …, q_{s})M) et dim_{A} (M/(q_{1}, …, q_{s})M) = dim_{A}(M) − s ;

(ii) Si A est local de corps résiduel infini, il existe une suite q_{1}, …, q_{d} ⊂ 𝔮 superficielle sur M telle que e_{𝔮}(M) = e_{(q_{1},...,q_{d})}(M) .

Démonstration – voir [1], chap. 8.7.5, thm. 1 et corollaire.

§ 1.5. Multiplicité d’intersection.

Soit V′, V, W ⊂ P_{n} et supposons k algébriquement clos. Nous posons la définition suivante où nous considérons l’idéal I(Δ) de la diagonale dans A ⊗_{k} A = k[X_{0}, …, X_{n}, Y_{0}, …, Y_{n}] :

I(Δ) := (X_{0} − Y_{0}, …, X_{n} − Y_{n}) .

Définition 14 – Supposons que V′ est une composante de V ∩ W (i.e. une composante isolée de V · W ), soient I(V′) , I(V) et I(W) les idéaux de définition de V′ , V et W respectivement. La multiplicité (de Chevalley-Weil-Samuel) de V ∩ W le long de V′ est le nombre :

i(V′; V ∩ W) := e_{I(Δ)}^{(A⊗_{k}A)_{𝔭}}(M_{𝔭}) ,

où M = (A ⊗_{k} A)/(I(V) ⊗_{k} 1 + 1 ⊗_{k} I(W)) et 𝔭 = I(Δ) + 1 ⊗_{k} I(V′) .

Théorème 15 – Avec les notations introduites on a i(V′; V ∩ W) = μ_{V ·W} (V′) . En particulier, si V et W s’intersectent proprement alors

V · W = ∑_{V′} i(V′; V ∩ W).V′

où la somme est prise sur les composantes V′ de V ∩ W .

Nous commençons par montrer un lemme. Posons B = A ⊗_{k} A , ν = dim(V ♯W) − dim(V′) , d’après la proposition 13(ii) il existe une suite superficielle q_{0}, …, q_{ν−1} ⊂ I(Δ) sur M_{𝔭} telle que e_{I(Δ)}^{B_{𝔭}}(M_{𝔭}) = e_{(q_{0},...,q_{ν−1})}^{B_{𝔭}}(M_{𝔭}) . Et on peut prendre les q_{i} de la forme :

q_{i} = ∑_{j=0}^{n} v_{j}^{(i)}.(X_{j} − Y_{j}) .

Lemme 16 – Si I ⊂ 𝔭 sont deux idéaux premiers de B , M = B/I et q_{1}, …, q_{μ} est une suite superficielle sur M_{𝔭} avec μ = dim_{B_{𝔭}}(M_{𝔭}) = dim_{B}(M)− dim_{B}(B/𝔭) , on pose C_{0} = Z(I) et, pour i = 1, …, μ , C_{i} = C_{i−1} · H_{i} avec H_{i} = Z(q_{i}) , alors :

e_{(q_{1},...,q_{μ})}(M_{𝔭}) = μ_{C_{μ}}(W′)

où W′ = Z(𝔭) .

Démonstration – On procède par récurrence sur μ , si μ = 0 on a I = 𝔭 , C_{0} = W′ et e(M_{𝔭}) = 1 = μ_{C_{0}}(W′) . Supposons le résultat établi pour μ − 1 , on déduit de la construction des cycles intersections :

μ_{C_{μ}}(W′) = ∑_{W′′⊃V′} μ_{C_{0}·H_{1}}(W′′).μ_{C′_{μ−1}}(W′)

où W′′ parcourt les composantes de C_{0} · H_{1} , C′_{0} = W′′ et C′_{i} = C′_{i−1} · H_{i+1} . Mais la formule d’associativité (proposition 11(v)) s’écrit précisément :

e_{(q_{1},...,q_{μ})}^{B_{𝔭}}(M_{𝔭}) = ∑_{𝔭′} e_{(q_{1})}^{B_{𝔭}}(M_{𝔭′}).e_{(q_{2},...,q_{μ})}^{B_{𝔭}} ((B/𝔭′)_{𝔭})

où 𝔭′ parcourt les premiers minimaux associés à (I, q_{1}) contenus dans 𝔭 . On a correspondance bijective entre les composantes W′′ de C_{0} · H_{1} et les premiers minimaux 𝔭′ associés à (I, q_{1}) et comme q_{1} n’appartient pas à I on a dim(W′′) < dim(C_{0}) . Par hypothèse de récurrence on a e_{(q_{2},...,q_{μ})}^{B_{𝔭}} ((B/𝔭)_{𝔭}) = μ_{C′_{μ−1}}(W′) et on aura montré le lemme si e_{(q_{1})}(M_{𝔭′}) = μ_{V ·H_{1}}(W′′) , mais q_{1} étant superficiel sur M_{𝔭} ces deux quantités sont égales à ℓ_{B_{𝔭′}} (M_{𝔭′}/q_{1}M_{𝔭′}) (cf. proposition 13 et § 1.2.a).

Démonstration du théorème – On applique le lemme à I = I(V)⊗_{k} 1+1⊗_{k} I(W) , 𝔭 = I(Δ) + 1 ⊗_{k} I(V′) et μ = ν , on remarque que μ_{C_{ν}} (W′) = μ_{V ·W} (V′) car V · W = π(C_{ν}) . Dans le cas d’intersection propre il n’y a pas de composante immergée, d’où le résultat.

Théorème 17 – Si V et W s’intersectent proprement en V′ on a :

μ_{V ·W} (V′) = ∑_{j=0}^{n}(−1)^{j}ℓ_{A_{I(V ′)}} (Tor_{j}^{A_{I(V ′)}} ((A/I(V))_{I(V′)}, (A/I(W))_{I(V′)})) .

Démonstration – Notons B = A ⊗_{k} A , 𝔭 = I(Δ) + 1 ⊗_{k} I(V′) et M = B/(I(V) ⊗_{k} 1 + 1 ⊗_{k} I(W)) , on vérifie pour tout j :

Tor_{j}^{A_{I(V ′)}} ((A/I(V))_{I(V′)}, (A/I(W))_{I(V′)}) ≃ Tor_{j}^{B_{𝔭}} (M_{𝔭}, (B/I(Δ))_{𝔭}) .

Mais I(Δ) est engendré par une suite régulière sur B_{𝔭} et les Tor sont isomorphes aux groupes d’homologie du complexe de Koszul de M𝔭̃ par rapport à cette suite régulière (qui fournit une résolution libre finie de (B/I(Δ))_{𝔭} ). Or, μ_{V ·W} (V′) = e_{I(Δ)}^{B_{𝔭}}(M_{𝔭}) est égal à la caractéristique d’Euler de ce complexe d’homologie de Koszul d’après la proposition 9(ii).

Question (D. Buchsbaum) – Peut-on toujours écrire μ_{V ·W} (W′) comme une caractéristique d’Euler pour toute composante W′ de V · W ?

Proposition 18 – Soit V′ une composante isolée de V · W , si (A/I(V))_{I(V′)} et (A/I(W))_{I(V′)} sont Cohen-Macaulay alors :

μ_{V ·W} (W′) ≥ ℓ_{A_{I(V ′)}} ((A_{𝔭}/I(V) + I(W))_{I(V′)}) ,

avec égalité si I(Δ)_{𝔭} ⊂ (I(V) + I(W) + q_{0}A + … q_{δ−1}A)_{𝔭} où δ = dim V ♯W − dim V′ et 𝔭 est défini comme dans la preuve du théorème précédent.

Démonstration – On déduit de la première hypothèse que M_{I(V′)} est Cohen-Macaulay et q_{0}, … q_{δ−1} est une suite régulière sur M_{𝔭} , d’où :

\begin{aligned}e_{(q_{0},...,q_{δ−1})}(M_{𝔭}) & = ℓ_{(A⊗_{k}A)_{𝔭}} ((M/q_{0}M + … + q_{δ−1}M)_{𝔭}) \\ & ≥ ℓ_{(A⊗_{k}A)_{𝔭}} ((M/I(Δ))_{𝔭}) . \end{aligned}

L’injection A_{𝔭} ↪ (A⊗_{k} A)_{𝔭} , p ↦ p⊗_{k} 1 induit une injection de A_{I(V′)}-modules de A_{I(V′)}/I(V) + I(W) dans M_{𝔭}/I(Δ)M_{𝔭} , qui est un isomorphisme lorsque I(Δ)_{𝔭} ⊂ (I(V) + I(W) + q_{0}A + … + q_{δ−1}A)_{𝔭} , l’énoncé s’en déduit aussitôt.

Remarque – En particulier, si dim W′ = dim V ♯W − n − 1 on a δ = n + 1 et I(Δ) = (q_{0}, …, q_{n}) . Par ailleurs, il existe une réciproque à la proposition 18, voir [9].

Proposition 19 – Si U , V et W s’intersectent proprement deux à deux alors :

(U · V) · W = U · (V · W) .

Démonstration – Dans A ⊗_{k} A ⊗_{k} A on définit q_{0}, …, q_{n} comme précédemment et q′_{i} = ∑_{j=0}^{n} v_{j}^{(i)}(Y_{j} − Z_{j}) pour i = 0, …, n . Soit W′′ une composante de U ∩ V ∩ W et 𝔭 = I(W′′) dans A , posons :

M = (A ⊗_{k} A)/(I(U) ⊗_{k} 1 + 1 ⊗_{k} I(V))

N = (A ⊗_{k} A ⊗_{k} A)/ (I(U) ⊗_{k} 1 ⊗_{k} 1 + 1 ⊗_{k} I(V) ⊗_{k} 1 + 1 ⊗_{k} 1 ⊗_{k} I(W)) .

On a par la formule d’associativité :

e_{I(Δ)+I(Δ′)}(N_{𝔭}) = e_{(q_{0},...,q_{n},q′_{0},...,q′_{n})}(N_{𝔭})

= ∑_{𝔭′} e_{(q_{0},...,q_{n})}(M_{𝔭′}).e_{(q′_{0},...,q′_{n})}(M′_{𝔭})

= ∑_{W′} μ_{U·V} (W′).μ_{W′·W} (W′′) ,

où M′ = (A ⊗_{k} A)/(𝔭′ ⊗_{k} 1 + 1 ⊗_{k} I(W)) , 𝔭′ = I(W′) parcourant les premiers minimaux de I(V) + I(W) + q_{0}A + … + q_{n}A . Or, la dernière somme est égale à μ_{(U·V)·W} (W′′) on a donc en échangeant les rôles de U et W :

μ_{(U·V)·W} (W′′) = μ_{U·V ·W} (W′′) = μ_{U·(V ·W)}(W′′) .

Remarques – La démonstration de cette proposition dans [8] utilise l’existence de deux suites spectrales de Tor-Tor vers un même Tor triple.

On dit que deux variétés V et V′ de P_{n} , de même dimension d , sont rationellement équivalentes s’il exite une variété W de dimension d + 1 et une fonction f ∈ Frac(A/I(W)) telles que : div(f) = V − V′ . On étend cette définition aux cycles par linéarité. En supposant le corps de base k algébriquement clos, le lemme de Chow montre quétant donnés deux cycles C et C′ il existe toujours un cycle C′′ rationellement équivalent à C′ et tel que les composantes de C et C′′ s’intersectent proprement deux à deux. De plus, si C′′_{1} et C′′_{2} sont deux tels cycles alors C·C′′_{1} et C·C′′_{2} sont rationellement équivalents. On peut alors définir un produit ∗ sur les classes d’équivalence rationelle de cycles en posant [C] ∗ [C′] := C · C” . La proposition 19 montre qu’on met ainsi une structure d’anneau commutatif sur l’ensemble de ces classes. On rejoint ainsi la théorie de l’intersection de [3].

Par exemple, en écrivant une intersection comme intersection d’une variété avec une suite d’hypersurfaces, L. van Gastel [4] montre :

[V]∗[W] = ∑_{i=1}^{ν}[C_{i}+D′_{i}]∗[H]^{∗(dim(V)+dim(W)+1−i)}+[D_{ν}]∗[H]^{∗(dim(V)+dim(W)+1−ν)} ,

où l’on a repris les notations du paragraphe 1.2.b et H désigne un hyperplan de P_{n} .

§ 1.6. Multiplicité en un point.

Soit F une forme de Chow (d’indice (1, …, 1) ) d’une sous-variété projective V de P_{n} et x ∈ P_{n} . On notera 𝔡_{x} : k[\underline{u}] → k[\underline{s}] l’homomorphisme de k-algèbres définies par 𝔡_{x}U_{i} = ∑_{j<k} s_{j,k}^{(i)}.(X_{j}x_{k} − X_{k}x_{j}) et on pose m_{x}(V) = ord_{x} 𝔡_{x}F l’ordre de V en x . On a m_{x}(V) > 0 si et seulement si x ∈ V .

Si C est un cylce effectif on pose : m_{x}(C) = ∑ μ_{C}(V).m_{x}(V) .

Proposition 20 – Soit 𝔪 l’idéal de définition de x dans A et A_{𝔪} le localisé de A en 𝔪 , on a :

m_{x}(V) = e_{𝔪}^{A_{𝔪}}((A/I(V))_{𝔪}) .

En particulier, m_{x}(V) > 1 si et seulement si x est un point singulier sur V .

Si C_{x}(V) désigne le cône tangent à V en x on a m_{x}(V) = deg C_{x}(V) = m_{x}(C_{x}(V)) , car A(C_{x}(V)) = Gr_{𝔪}(A/I(V)) .

Proposition 21 – Pour tous x ∈ V et y ∈ W on a : m_{(x,y)}(V ♯W) = m_{x}(V).m_{y}(W) .

Démonstration – On remarque que C_{(x,y)}(V ♯W) = C_{x}(V)♯C_{y}(W) , d’où :

m_{(x,y)}(V ♯W) = deg C_{(x,y)}(V ♯W)
= deg C_{x}(V). deg C_{y}(W) = m_{x}(V).m_{y}(V) .

Définition 22 – Soient V et W deux variétés projectives dans P_{n} , on dira que V et W s’intersectent quasi-transversallement en x si et seulement si V , W , C_{x}(V) , C_{x}(W) sont Cohen-Macaulay et V · W et C_{x}(V) · C_{x}(W) sont de même dimension ≥ 0 en x . On dira que V et W s’intersectent transversallement en x si de plus ils s’intersectent proprement en x , c’est-à-dire : dim V · W = dim C_{x}(V) · C_{x}(W) = dim V + dim W − n .

Proposition 23 – Pour tout x ∈ P_{n}(k) on a m_{x}(V · W) ≥ m_{x}(V).m_{x}(W) , avec égalité si V et W s’intersectent transversallement en x .

Lemme 24 – Soit M = (A ⊗_{k} A/(I(V) ⊗_{k} 1 + 1 ⊗_{k} I(W))_{𝔪⊗_{k}1+1⊗_{k}𝔪} , si V · W est pur en x on a :

m_{x}(V · W) = m_{x}((V ♯W) · Δ) = e_{(q_{0},...,q_{s})}(M)

où s = dim V ♯W et :

q_{i} = \{ \begin{matrix}∑_{j=0}^{n} v_{j}^{(i)}(X_{j} − Y_{j}) & pour i = 0, …, dim V ♯W − dim_{x} V · W, \\ ∑_{j=0}^{n} v_{j}^{(i)}X_{j} & pour i = dim V ♯W − dim_{x} V + 1 · W, …, s. \end{matrix}

Démonstration – Par la formule d’associativité on a :

\begin{aligned}e_{q_{0},...,q_{s})}(M) & = ∑_{𝔭} e_{(q_{0},...,q_{δ−1})}(M_{𝔭}).e_{(q_{δ},...,q_{s})}((A ⊗_{k} A/𝔭)_{𝔪}) \\ & = ∑_{𝔭} μ_{V ·W} (Z(𝔭)).e_{(q_{δ},...,q_{s})}((A ⊗_{k} A/𝔭)_{𝔪}) \end{aligned}

où la somme porte sur les premiers minimaux associés à Ann M +q_{0}A+…+q_{δ−1}A et δ = dim V ♯W −dim_{x} V ·W . Si V ·W est pur en x , ces premiers correspondent aux composantes de V · W contenant x et donc on a bien e_{q_{0},...,q_{s})}(M) = ∑_{W′∋x} μ_{V ·W} (Z(𝔭)).m_{x}(W′) = m_{x}(V · W) .

Démonstration – Comme une forme de Chow de V ·W s’obtient par spécialisation d’une forme de Chow de V ♯W on a m_{x}(V ·W) ≥ m_{(x,x)}(V ♯W) = m_{x}(V).m_{x}(W) d’après la proposition 21. La condition de quasi-transversalité en x entraîne que q_{0}, …, q_{δ−1} forment une suite superficielle sur M et comme dim_{x} V · W ≥ 0 on écrit grâce au lemme 24 :

\begin{aligned}m_{(x,x)}(V ♯W) & = e_{(q_{δ},...,q_{s})}(M/q_{0}M + … + q_{δ−1}M) \\ & = e_{(q_{0},...,q_{s})}(M) = m_{x}(V · W) , \end{aligned}

la seconde égalité résultant du fait que q_{0}, …, q_{δ−1} est une suite régulière sur M .

Application – Si V = W est lisse en x alors m_{x}(V) = 1 , V ∩ V = V et C_{x}(V) ∩ C_{x}(V) = C_{x}(V) sont de même dimension. Donc V s’auto-intersecte quasi-transversallement en x , on en déduit m_{x}(V · V) = m_{x}(V)^{2} = 1 d’où μ_{V ·V} (V) = 1 et V · V = V + C où C est un cycle de support contenu dans le lieu singulier de V .

Si dim V = 1 (i.e. V est une courbe) on a V · V = V + ∑ μ_{i}.x_{i} où les x_{i} sont les points singuliers de V et μ_{i} ≥ m_{x_{i}}(V)(m_{x_{i}}(V) − 1) .

Si V est une courbe plane alors, pour tout x ∈ V , C_{x}(V) est une réunion de droites issues de x et donc Cohen-Macaulay, on en déduit que V s’auto-intersecte quasi transversallement en tout point x ∈ V et donc m_{x}(V · V) = m_{x}(V)^{2} , ce qui montre que μ_{i} = m_{x_{i}}(V)(m_{x_{i}}(V) − 1) dans ce cas. Remarquons pour conclure que si V n’a que des pincements ou des points doubles ordinaires comme singularités alors \frac{1}{2} ∑_{i} μ_{i} est le défaut de genre donné par la formule de Plücker (i.e. g(V) = \frac{(d(V)−1)(d(V)−2)}{2} − \frac{1}{2} ∑_{i} μ_{i} ).

Question (D. Eisenbud) – Si V ⊂ W , décrire toutes les composantes de V · W . On a V · W = μ.V + C où μ ≥ m_{V} (W) et C est un cycle de support contenu dans V .

Références

[1] Bourbaki N. – Algèbre commutative, Masson, 1983.

[2] Eisenbud D. – Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Text in Math. 150, Springer, 1995.

[3] Fulton W. – Intersection theory, Springer, 1984.

Intersection de variétés projectives

[4] van Gastel L. – Excess intersections and a correspondance principle, Invent. Math. 103, 1991, 197–221.

[5] Mumford D. – Algebraic geometry I : complex projective varieties, Springer, 1976.

[6] Northcott D.G. – Lessons on rings, modules and multipicities, Cambridge Univ. Press, 1968.

[7] Samuel P. – Méthodes d’algèbre abstraite en géométrie algébrique, Ergeb. Math. 4, Springer, 1955.

[8] Serre J-P. – Algèbre locale, multiplicités, Lecture Notes in Math. 11, Springer, 1989.

[9] Vogel W. – Lectures on Bézout theorem, TIFR Lectures on Math. Phys. 74, 1984.

Tailles et anneaux diophantiens

§ 2.1. Introduction.

On décrit un formalisme général permettant de développer l’approximation diophantienne sur les anneaux. Les motivations sont diverses. D’une part, les théories transcendantes connaissent un essor remarquable dans des situations variées, qui laisse entrevoir un début d’axiomatisation (voir [13], [15], [16] et [17]). D’autre part, le parallélisme entre la théorie des approximations algébriques et la théorie de Nevanlinna, mis en évidence par C.F.Osgood [11] et largement exploité par P.Vojta [20], ainsi que plusieurs remarques de E.Reyssat [18], [19] indiquent des extensions possibles des méthodes diophantiennes. Les exemples de base que nous voulons formaliser sont les anneaux Z , F_{q}[T] , Z[X_{1}, …, X_{n}] … et leurs corps de fractions.

S.Lang [8] décrit la notion de corps avec formule du produit (voir aussi [6] et la notion de M-corps de [7]), généralisant les A-corps de A.Weil [21] et la formule du produit de E.Artin et G.Whaples [1]. Il s’agit d’un corps commutatif K et d’un ensemble M_{K} de valeurs absolues (dont au plus un nombre fini sont archimédiennes) et pour chaque valeur absolue W ∈ M_{K} d’un réel λ_{W} ∈ R_{>0} tels que

∀x ∈ K \ {0}, ∏_{W ∈M_{K}} W (x)^{λ_{W}} = 1 .

Pour assurer la convergence on suppose que pour x donné il y a au plus un nombre fini de W telles que W (x) ≠ 1 . Mais ceci ne rend pas compte des corps de type de transcendance fini, par exemple. Pour ce faire nous introduisons les anneaux diophantiens. Notre propos est grosso modo de prendre une classe assez générale d’anneaux et de définir sur ces anneaux une structure diophantienne, par l’intermédiaire de tailles et d’une inégalité de la taille. Nous définissons la notion de taille sur un anneau commutatif, unitaire et intègre quelconque.

Tailles et anneaux diophantiens

§ 2.2. Anneaux taillés.

Soit A un anneau commutatif, unitaire et intègre. On note A^{∗} les unités de A et K son corps des fractions. Nous appelons pseudo-valeur absolue W sur A une application A → R_{≥0} satisfaisant W (0) = 0 , W (xy) = W (x)W (y) et W (x + y) ≤ W (x) + W (y) . L’ensemble des x ∈ A tels que W (x) = 0 est un idéal premier I_{W} de A , A/I_{W} est un anneau intègre et nous noterons Frac(A/I_{W}) son corps des fractions. Si W (y) = 0 on a W (x + y) = W (x) pour tout x ∈ A et W induit une valeur absolue sur Frac(A/I_{W}) . Une pseudo-valeur absolue induit une topologie sur A compatible avec la structure d’anneau. Cette topologie est séparée si et seulement si W est une valeur absolue. Nous dirons que W est discrète si la topologie qu’elle induit est discrète, on a alors W (x) ≥ 1 pour tout x ∈ A \ {0} .

Nous dirons que A est taillé s’il est muni d’une famille (W_{j}; j ∈ J) de pseudo-valeurs absolues indexée par un ensemble mesuré (J, ν) , tel que, pour x_{1}, …, x_{k} ∈ A , la fonction

j ↦ log max(W_{j}(x_{1}); …; W_{j}(x_{k}))

à valeur dans R ∪ {−∞} soit mesurable et de partie positive intégrable, on note log T (x_{1}, …, x_{k}) son intégrale dans R ∪ {−∞} . On pose η(T) := ∫_{J} η(W_{j}).dν(j) = log_{2} T (1, 2) ^{(†)} où η(W_{j}) = 0 si W_{j} est ultramétrique et sinon η(W_{j}) est l’unique réel η > 0 tel que W_{j}(x) = |ι(x)|^{η} pour tout x ∈ K et pour un isomorphisme convenable ι de Frac(A/I_{W_{j}}) sur un sous-corps de C (ici, | · | est la valeur absolue ordinaire de C ) ; cf.[2], § 6.4, théorème 2. Nous appellerons taille homogène (resp. taille inhomogène) la fonction T (resp. \overline{T} (x_{1}, …, x_{k}) := T (1, x_{1}, …, x_{k}) ). Une même fonction taille peut être déterminée par différentes familles de pseudo-valeurs absolues. Par taille nous ferons référence au couple de fonctions (T, \overline{T}) , et nous désignerons un anneau taillé par (A, T, \overline{T}) ou (A, T) en faisant référence aux fonctions tailles plutôt qu’à une famille de pseudo-valeurs absolues les déterminant. Autrement-dit, une taille s’identifie à une classe de familles de pseudo-valuers absolues.

Toute pseudo-valeur absolue sur A s’identifie à une taille (déterminée par la famille réduite à la pseudo-valeur absolue en question). On notera que la quantité T (x_{1}, …, x_{k}) ne dépend que de {x_{1}, …, x_{k}} et est donc inchangée par permutation des x_{i} et élimination des x_{i} redondants. On appellera taille triviale (resp. taille impropre) la taille sur A telle que T (x_{1}, …, x_{k}) = 0 (resp. T (x_{1}, …, x_{k}) = 1 ) pour x_{1}, …, x_{k} ∈ A non tous nuls. Enfin, nous dirons qu’une taille est discrète si elle peut être déterminée par une famille de valeurs absolues ultramétriques discrètes.

(†) log_{2} désigne le logarithme en base 2 .

Remarquons que si on dispose d’un nombre fini de tailles (T_{1}, …, T_{s}) sur A , le produit de ces tailles forme une nouvelle taille T = T_{1} … T_{s} . Il est pourtant préférable dans certains cas de considérer séparément ces tailles.

Proposition 1 – Soit (A, T, \overline{T}) un anneau taillé et k, ℓ ∈ N^{∗} , x, y_{1}, … y_{k} ∈ A , u ∈ A^{∗} , alors T (0) = 0 , si T n’est pas triviale \overline{T} (0) = \overline{T} (1) = T (1) = 1 et :

(o) T (y_{2}, …, y_{k}) ≤ T (y_{1}, …, y_{k}),

T (0, y_{1}, …, y_{k}) = T (y_{1}, …, y_{k}), \overline{T} (1, y_{1}, …, y_{k}) = \overline{T} (y_{1}, …, y_{k});

(i) T (y_{1}, …, y_{k}) ≤ \overline{T} (y_{1}, …, y_{k}),

\overline{T} (y_{1}, …, y_{k}) ≤ \overline{T} (y_{1}, …, y_{ℓ}).\overline{T} (y_{ℓ+1}, …, y_{k}) , 1 ≤ ℓ ≤ k − 1;

(ii) \overline{T} (y_{1}, …, y_{k}) ≥ 1;
(iii) T (u) = \overline{T} (u).\overline{T} (1/u)^{−1};
(iv) T (y_{1}^{ℓ}, …, y_{k}^{ℓ}) = T (y_{1}, …, y_{k})^{ℓ};
(v) T (xy_{1}, …, xy_{k}) = T (x)T (y_{1}, …, y_{k}),

\overline{T} (xy_{1}, …, xy_{k}) ≤ \overline{T} (x)\overline{T} (y_{1}, …, y_{k});

(vi) T (y_{1} + … + y_{k}) ≤ k^{η(T)}T (y_{1}, …, y_{k}),

\overline{T} (y_{1} + … + y_{k}) ≤ k^{η(T)}\overline{T} (y_{1}, …, y_{k}).

Démonstration – (o), (i), (ii) et (v) découlent clairement des définitions. Pour (iii) on écrit

− log \overline{T} (1/u) = − ∫_{J} log max(1, W_{j}(1/u))dν(j)
= ∫_{J} log min(1, W_{j}(u))dν(j)
= log T (u) − log \overline{T} (u) .

Pour (iv) on remarque pour chaque pseudo-valeur absolue W = W_{j}

max(W (y_{1}^{ℓ}), …, W (y_{k}^{ℓ})) = max(W (y_{1}), …, W (y_{k}))^{ℓ} ,

et pour (vi) on a W (y_{1} + … + y_{k}) ≤ k^{η(W)} max(W (y_{1}), …, W (y_{k})) , d’où suit le résultat par intégration.

Exemple – L’anneau Z muni de sa valeur absolue ordinaire est bien sûr un anneau taillé, on obtient une taille différente lorsqu’on considère l’ensemble J des valeurs absolues ordinaire et p-adiques sur Z . Notons \overline{Z} l’anneau des éléments entiers sur Z dans une clôture algébrique de Q et J l’ensemble de tous les prolongements de la valeur absolue ordinaire de Z à \overline{Z} . L’ensemble des parties E de J constituées de tous les prolongements à \overline{Z} d’une partie E_{0} des extensions à un corps de nombres K de la valeur absolue ordinaire de Z , engendre une tribu dans J . On pose ν(E) := card E_{0}/[K : Q] , ceci définit une mesure ν sur J et on vérifie sans peine que l’espace mesuré (J, ν) détermine une taille T sur \overline{Z} , telle que T (x) = |Norme_{[K:Q]}(x)|^{1/[K:Q]} pour tout x ∈ K entier sur Z .

Soit T une taille déterminée par une famille de pseudo-valeurs absolues (W_{j}, j ∈ J) indexée par un ensemble mesuré (J, ν) , si φ : J → R_{>0} est une fonction mesurable bornée on appellera taille de densité φ associée à T et on notera T_{φ} la taille déterminée par la même famille mais où J est muni de la mesure φν . On prendra garde que cette notion dépend du choix d’une famille de pseudo-valeurs absolues déterminant la taille T .

Nous dirons que T est locale pour la densité φ si elle satisfait :

(L) ∀x_{1}, …, x_{k} ∈ A, T (x_{1}, …, x_{k}) ≤ max(T_{φ}(x_{1}), …, T_{φ}(x_{k})) .

Toute pseudo-valeur absolue sur A détermine une taille locale pour la densité 1 . Réciproquement, d’après la proposition 1(vi), toute taille T locale pour la densité 1 avec η(T) ≤ 1 est déterminée par une pseudo-valeur absolue (cf. [2], chap.6, §6.1, corollaire 1).

Nous dirons que T est globale pour la densité φ si elle satisfait :

(G1) T (x) ≥ 1 pour tout x ∈ A \ {0} ;

(G2) ∀x_{1}, …, x_{k} ∈ A \ \{0\}, ∃u ∈ A^{∗}, \overline{T} (ux_{1}, …, ux_{k}) ≤ T_{φ}(x_{1}, …, x_{k}) .

La condition (G1) entraîne T (u) = 1 dès que u ∈ A^{∗} . On remarquera que si A est un corps, la condition (G1) (qui est alors une formule du produit généralisée) entraîne (G2) avec la densité 1 . De même, si (G2) est satisfaite avec la densité 1 alors (G1) en est une conséquence. La taille déterminée sur Z par la famille de toutes les valeurs absolues (ordinaire et p-adiques) satisfait (G1), mais pas (G2) (on a T (x) = 1 pour x ∈ Z \{0} ). Sur F_{q}[t] , les valeurs absolues W (·) = q^{−v_{t}(·)} et W′(·) = q^{d_{t}^{∘}(·)} déterminent une taille T ne satisfaisant pas (G1) mais satisfaisant (G2) pour la densité définie par φ(W) = 1 et φ(W′) = 2 . Nous dirons encore qu’une taille satisfaisant (G1) est semi-globale.

Une taille peut être à la fois globale et locale, nous verrons au § 3.b ci-dessous comment les tailles satisfaisant (L) et (G1) sont reliées aux tailles introduites dans [12] et utilisée dans [4].

Enfin, nous dirons que deux tailles T et T′ sont équivalentes s’il existe des réels c_{1}, c_{2} > 0 tels que

c_{1}. log T ≤ log T′ ≤ c_{2}. log T .

Nous dirons que T et T′ sont strictement équivalentes pour un facteur commun V si

| log T − log T′| ≤ log V .

§ 2.3. Prolongements des tailles.

Soient (A, T) et (A′, T′) deux anneaux taillés, un homomorphisme d’anneaux taillés est un homomorphisme d’anneaux h : A → A′ tel que pour tout x_{1}, …, x_{k} ∈ A on ait T (x_{1}, …, x_{k}) = T′(h(x_{1}), …, h(x_{k})) . En particulier, si h est injective nous dirons que T′ prolonge T à A′ . Nous allons décrire des prolongements explicites lorsque A′ = A[X_{1}, …, X_{s}] , A′ est la clôture intégrale de A dans une extension finie de son corps des fractions, A′ = S^{−1}A où S est un ensemble multiplicatif et étudier le cas des quotients A′ = A[X_{1}, …, X_{s}]/𝔭 où 𝔭 est un idéal premier homogène de A[X_{1}, …, X_{s}] tel que 𝔭 ∩ A = (0) .

2.3.a) Anneaux de polynômes.

Si A′ = A[X] et W_{j} (j ∈ J) est ultramétrique on la prolonge à A′ par la méthode de Gauss, pour θ ∈ [0, 2π[ et p = ∑_{α} p_{α}X^{α} ∈ A′ on pose

W_{j}^{θ}(p) = W_{j}(p) = max_{α}(W_{j}(p_{α})) .

Si W_{j} est archimédienne on considère un isomorphisme ι de Frac(A/I_{W_{j}}) sur un sous-corps de C tel que W_{j}(x) = |ι(x)|^{η(W_{j})} . Soient θ ∈ [0, 2π[ et p ∈ A′ , on pose W_{j}^{θ}(p) = |ι(p)(e^{iθ})|^{η(W_{j})} . On obtient alors la famille (W_{j}^{θ}; (j, θ) ∈ J × [0, 2π[) et on munit J × [0, 2π[ de la mesure dν ⊗ \frac{dθ}{2π} . On adjoint à cette famille la valeur absolue V (p_{1}, …, p_{k}) = 4^{η(T). max_{1≤i≤k}(d^{∘}p_{i})} affectée de la mesure de Dirac, et on obtient ainsi une famille J′ déterminant le prolongement de Gauss-Mahler de la taille T :

log T (p_{1}, …, p_{k}) = ∫_{J} ∫_{0}^{2π} log max_{1≤i≤k} (W_{j}^{θ}(p_{i})) .\frac{dθ}{2π} .dν(j) + log max_{1≤i≤k} (V (p_{i})) .

Il résulte des propriétés de la mesure de Mahler, avec p = ∑_{α=α_{0}}^{α_{1}} p_{α}X^{α} ,

T (p) ≥ T (p_{α_{0}})

T (p_{1}, …, p_{k}) ≤ T ({p_{i,α}; i, α}). max_{1≤i≤k}(d^{∘}p_{i} + 1)^{η(T)}

T ({p_{i,α}; i, α}) ≤ T (p_{1}, …, p_{k}).2^{η(T). max_{1≤i≤k}(d^{∘}p_{i})} = T V^{1/2}(p_{1}, …, p_{k}) .

Si φ est une densité sur J on l’étend à J′ en posant φ(V) = 2 .

Proposition 2 – Si T est une taille locale (resp. semi-globale, globale) pour la densité φ sur A , le prolongement de Gauss-Mahler de T à l’anneau de polynômes A[X] est une taille locale (resp. semi-globale, globale) pour la densité φ étendue.

Démonstration – Supposons T locale de facteur V , p_{1}, …, p_{k} ∈ A[X] , on écrit

log T (p_{1}, …, p_{k}) ≤ log T (\{p_{i,α}; i, α\}) + \frac{3}{2}. log V (p_{1}, …, p_{k})

≤ log max_{i,α}(T_{φ}(p_{i,α})) + \frac{3}{2}. log V (p_{1}, …, p_{k})

≤ log max_{i}(T_{φ}(\{p_{i,α}; α\})) + \frac{3}{2}. log V (p_{1}, …, p_{k})

≤ log max_{i}(T_{φ}(p_{i}))

en utilisant la remarque précédent l’énoncé de la proposition. Ainsi le prolongement de Gauss-Mahler de T satisfait (L) et est donc local pour la densité étendue φ .

Supposons T semi-globale, si p ∈ A[X] \ {0} , p = ∑_{α=α_{0}}^{α_{1}} p_{α}X^{α} , le prolongement de Gauss-Mahler de T satisfait T (p) ≥ T (p_{α_{0}}) et donc (G1). Supposons T globale pour la densité φ , on écrit pour u ∈ A^{∗}

log \overline{T} (up_{1}, …, up_{k}) ≤ log \overline{T} (\{up_{i,α}; i, α\}) + \frac{3}{2}. log V (p_{1}, …, p_{k}) .

Comme T satisfait (G2) (sur A ) on choisit u ∈ A^{∗} tel que

log \overline{T} (\{up_{i,α}; i, α\}) ≤ log T_{φ}(\{p_{i,α}; i, α\})

≤ log T_{φ}(p_{1}, …, p_{k}) − \frac{3}{2}. log(V (p_{1}, …, p_{k})) .

Réunissant les deux inégalités précédentes on vérifie que le prolongement de Gauss-Mahler de T satisfait (G2) et est donc globale pour la densité φ .

Appliquant la proposition ci-dessus inductivement on déduit le résultat pour tout anneau de polynômes A[X_{1}, …, X_{s}] . S’introduit alors la valeur absolue V (·) = 4^{η(T)sd^{∘}·} , tandis que si on reprend les propriétés de la mesure de Mahler en plusieurs variables on peut se contenter de la valeur absolue V (·) = (s + 1)^{2η(T)d^{∘}·} . Le prolongement de Gauss-Mahler ainsi obtenu n’est pas le seul prolongement intéressant, il consiste à étendre une pseudo-valeur absolue archimédienne W par intégration de la fonction log |ι_{W} (p)| , (p ∈ A) sur un produit de s copies du cercle unité de C . On peut aussi intégrer sur des cycles mieux adaptés suivant les situations (voir à ce propos [14]-I).

Nous venons de montrer comment une taille sur un anneau A s’étend aux polynômes à coefficients dans A . En fait, si cette taille est semi-globale elle induit ainsi une application A[(Y_{i})_{i∈N}] → R_{≥0} ∪ {−∞} satisfaisant les axiomes (T0), (T1), (T2) et (T3.b) de [12] avec c′′ = 1 et c′ = η(T) . Si de plus la taille est locale pour une densité bornée par κ alors l’application induite satisfait (T3.a) de cette même référence avec c = κ + 1 . On voit donc que toute taille semi-globale et locale pour une densité bornée induit une taille déterminée par une famille de pseudo-valeurs absolues au sens de [12], ceci nous amène à poser la question suivante : Existe-t-il des tailles aus sens de [12] qui ne sont pas déterminées par une famille de pseudo-valeurs absolues ?

2.3.b) Extensions entières.

Supposons A intégralement clos, soit A′ la clôture intégrale de A dans une extension finie K′ du corps des fractions K de A . On considère pour chaque pseudo-valeur absolue W_{j} un système complet de prolongements à A′ . Plus précisément, la pseudo-valeur absolue W_{j} induit une valeur absolue W sur le corps des fractions Q de A/I_{W_{j}} . On considère pour chaque idéal I′ de A′ au-dessus de I_{W_{j}} , un système complet de prolongements de W au corps des fractions Q′ de A′/I′ . Un tel prolongement W′ induit une pseudo-valeur absolue sur A′ prolongeant W_{j} et telle que I_{W′} = I′ . On note J′ := {(j, W′); j ∈ J, W′ | W_{j}} l’ensemble de tous les prolongements des W_{j} obtenus de cette manière. Pour W′ | W on pose

μ(W′) = [Q′_{W′} : Q_{W}]_{s}/[K′ : K]_{s}

le quotient des degrés séparables des extensions des complétés de Q et Q′ en W et W′ et des corps K et K′ respectivement, on a ∑_{W′|W} μ(W′) = 1 (cf. [2], chap.5, §2.3 et chap.6, §§8.2 et 8.7). Le prolongement de la taille T sur A′ est déterminé par la famille J′ muni de la mesure ν′ := ν × μ . On vérifie que cela définit bien une taille sur A′ et on a T (x) = T (Norme_{K′/K}(x))^{1/[K′:K]} et \overline{T} (Norme_{K′/K}(x))^{1/[K′:K]} ≤ \overline{T} (x) pour x ∈ A′ . Nous appellerons ce prolongement le prolongement complet de T à A .

Proposition 3 – Si T est semi-globale il en est de même de son prolongement complet à A′ .

Démonstration – On a T (x) = T (Norme_{K′/K}(x))^{1/[K′:K]} ≥ 1 pour tout x ∈ A′ car Norme_{K′/K}(x) ∈ A .

Exemple – Partant de l’anneau Z taillé par la valeur absolue ordinaire on en déduit que tous les anneaux d’entiers de corps de nombres sont taillés. En fait, l’exemple du paragraphe 2 exhibe une taille T sur l’anneau \overline{Z} de tous les entiers algébriques (dans une clôture algébrique de Q ), dont la restriction à chaque anneau d’entier de corps de nombres coïncide avec le prolongement complet de la taille de Z à cet anneau. La proposition montre en particulier que cette restriction est une taille semi-globale, on vérifie que c’est en fait une taille globale de facteur constant (l’exponentielle de ce facteur est le diamètre de la maille du réseau des unités dans le plongement logarithmique usuel). En revanche, on montre que la taille sur l’anneau \overline{Z} est globale de facteur 1+ε pour tout réel ε > 0 . En tout cas, \overline{T} (x)^{[Q(x):Q]} est la mesure de Mahler du polynôme minimal de x sur Z , et d’après le théorème de Kronecker \overline{T} (x) = 1 si et seulement si x est une racine de l’unité.

Plus généralement on a

Proposition 4 – Soit x ∈ A′ , on désigne par T une taille sur A , son prolongement complet à A′ et de Gauss-Mahler à A[X] . Si p ∈ A[X] est une équation de dépendance intégrale de x sur A de degré minimal n , on a

T (p) = \overline{T} (x)^{n} .

Démonstration – Soit W une pseudo-valeur absolue de la famille déterminant T et y_{1}, …, y_{n} les racines de p(X) = X^{n} + p_{1}X^{n−1} + … + p_{n} dans une extension convenable de A′ où l’on fixe un prolongement de W . Ainsi {W (y_{1}), …, W (y_{n})} = {W′(x), W′ | W } déterminent les prolongements de W à K(x) et on a, d’après les propriétés du prolongement de Gauss-Mahler de W à A[X] ,

W (p) = ∏_{i=1}^{n} max(1, W (y_{i})) = ∏_{W′|W} max(1, W′(x)) .

On en déduit

log T (p) = ∫_{W ∈J} log W (p).dν(W)

= ∫_{W ∈J} ∑_{W′|W} log max(1, W′(x)).dν(W)

= ∫_{W′∈J′} log max(1, W′(x)).dν′(W′)

= n log \overline{T} (x) .

Il est intéressant dans certains cas de considérer des prolongements incomplets d’une taille sur A à A′ , par exemple si cette taille est locale. De façon générale, on peut choisir au-dessus de chaque valeur absolue de la famille déterminant la taille sur A un sous-ensemble des prolongements à A′ et on détermine une taille sur A′ si et seulement si la fonction j ↦ log max(W_{j}(x_{1}), …, W_{j}(x_{k})) ainsi obtenues est mesurable. La condition d’intégrabilité de la partie positive se déduit alors de la proposition précédente. En considérant les extensions possibles de la mesure de Mahler de Q[X] à K[X] pour K un corps de nombres on se convainc que la condition de mesurabilité n’est pas automatique.

2.3.c) Localisation.

Soit S un ensemble multiplicatif de A et J′ ⊂ J le sous-ensemble des j ∈ J tels que W_{j}(y) = 0 pour au moins un y ∈ S . On suppose que J′ est mesurable, de mesure nulle. Soit j ∈ J \ J′ , pour x ∈ S^{−1}A il existe y ∈ S tel que yx ∈ A et on pose W_{j}(x) = \frac{W_{j}(yx)}{W_{j}(y)} . Ceci étend les pseudovaleurs absolues à S^{−1}A et on obtient ainsi le prolongement homogène de T à S^{−1}A . Si x_{1}, …, x_{k} ∈ S^{−1}A et y ∈ S satisfont yx_{1}, …, yx_{k} ∈ A et T (y) ≠ 0 on a T (x_{1}, …, x_{k}) = T (yx_{1}, …, yx_{k})/T (y) .

Proposition 5 – Soit T une taille sur A et S un ensemble multiplicatif sur A tel que T (y) ≠ 0 pour tout y ∈ S .

Si T est locale (resp. semi-globale, globale) pour une densité φ ≥ 1 satisfaisant T_{φ−1}(y) ≤ 1 (resp. T (y) = 1 , \overline{T} (y)T_{φ−1}(y) ≤ 1 ) pour tout y ∈ S , alors le prolongement homogène de T à S^{−1}A est une taille locale (resp. semi-globale, globale) pour la densité φ .

Démonstration – Soit x_{1}, …, x_{k} ∈ S^{−1}A et y ∈ S tels que yx_{1}, …, yx_{k} ∈ A . Supposons T locale de densité φ satisfaisant T_{φ−1}(y) ≤ 1 pour y ∈ S , on écrit

T (x_{1}, …, x_{k}) = \frac{T (yx_{1}, …, yx_{k})}{T (y)}

≤ \frac{max(T_{φ}(yx_{1}), …, T_{φ}(yx_{k}))}{T (y)}

≤ max(T_{φ}(x_{1}), …, T_{φ}(x_{k})) .

Supposons T semi-globale et T (y) = 1 pour y ∈ S et remarquons que dans le cas global la condition \overline{T} (y)T_{φ−1}(y) ≤ 1 entraîne \overline{T} (y) = 1 puis 1 ≤ T (y) ≤ \overline{T} (y) = 1 pour y ∈ S . On en déduit T (x) = T (yx)/T (y) = T (yx) ≥ 1 , c’est-à-dire (G1). Supposons T globale de densité φ telle que \overline{T} (y)T_{φ}(y) ≤ 1 pour tout y ∈ S . Soit u ∈ A^{∗} tel que \overline{T} (uyx_{1}, …, uyx_{k}) ≤ T_{φ}(yx_{1}, …, yx_{k}) , on écrit, en utilisant la proposition 1(v),

\overline{T} (ux_{1}, …, ux_{k}) = T (y, uyx_{1}, …, uyx_{k})/T (y)
≤ \overline{T} (y).\overline{T} (uyx_{1}, …, uyx_{k})/T (y)
≤ \overline{T} (y)T_{φ−1}(y).T_{φ}(yx_{1}, …, yx_{k})/T_{φ}(y)
≤ T_{φ}(x_{1}, …, x_{k}) .

Ceci établit (G2) et la proposition.

En général, le prolongement homogène d’une taille globale sur A à son corps des fractions n’est pas nécessairement une taille globale. Nous allons voir qu’il existe un prolongement global d’une taille semi-globale sur A au corps des fractions de A , lorsque A est un anneau de Krull. Si T (x) ≠ 0 pour tout x ∈ A \ {0} nous notons T le prolongement homogène de la taille T au corps des fractions K de A , nous allons d’abord étendre cette taille aux diviseurs de A . On note {v_{j}; j ∈ J′} la famille des valuations essentielles de A et pour tout m ∈ N^{∗} et tout idéal 𝔞 ⊂ A on note 𝔞^{(m)} l’idéal divisoriel des x ∈ K tels que v_{j}(x) ≥ m inf_{y∈𝔞} v_{j}(y) pour tout j ∈ J′ (cf. [2], chap. 7, § 1.4, propositions 5 et 7, p. 204-5).

Proposition-Définition 6 – Soit (A, T) un anneau de Krull taillé satisfaisant T (x) ≠ 0 pour tout x ∈ A \ {0} , pour tout idéal 𝔞 de A on a :

sup_{{m∈N^{∗},x∈K^{∗} \atop 𝔞^{(m)}⊂xA}} T (x)^{1/m} = inf_{{m∈N^{∗},x∈K^{∗} \atop xA⊂𝔞^{(m)}}} T (x)^{1/m} .

On pose T (𝔞) cette quantité qui ne dépend que du diviseur de 𝔞 , satisfait T (xA) = T (x) et si 𝔟 est un autre T (𝔞𝔟) = T (𝔞)T (𝔟) et T (𝔞) ≥ T (𝔟) dès que 𝔞 ⊂ 𝔟 . De plus, si T est semi-globale on a T (𝔞) ≥ 1 .

Démonstration – Posons S_{m} = S_{m}(𝔞) = sup_{{x∈K^{∗} \atop 𝔞^{(m)}⊂xA}} T (x)^{1/m} et I_{m} =

I_{m}(𝔞) = inf_{{x∈K^{∗} \atop xA⊂𝔞^{(m)}}} T (x)^{1/m} , on vérifie facilement que la suite S_{m} est croissante, I_{m} est décroissante et S_{m} ≤ I_{m} . Il résulte du théorème d’approximation dans les anneaux de Krull (cf. [2], chap. 7, § 1.5, corollaire 1, p. 206) que pour tout m ∈ N^{∗} il existe x_{m} ∈ A tel que 𝔞^{(m)} = 𝔞∩x_{m}A . Si x_{0} ∈ 𝔞 est fixé on a donc x_{0}x_{m}A ⊂ 𝔞^{(m)} ⊂ x_{m}A , d’où

T (x_{m})^{1/m} ≤ S_{m} ≤ I_{m} ≤ T (x_{0}x_{m})^{1/m} .

Comme (\frac{T (x_{m})}{T (x_{0}x_{m})})^{1/m} ⟶_{m→∞} 1 les suites S_{m} et I_{m} convergent vers une limite commune T (𝔞) . Comme on a I_{m} ≥ 1 pour tout m il vient T (𝔞) ≥ 1 et si 𝔞 = xA alors x_{m} = x^{m} convient dans le raisonnement ci-dessus ce qui montre T (xA) = T (x) . On a 𝔞^{(m)}𝔟^{(m)} ⊂ (𝔞𝔟)^{(m)} et (𝔞𝔟)^{(m)} est l’idéal divisoriel ayant même diviseur que 𝔞^{(m)}𝔟^{(m)} , on en déduit I_{m}(𝔞𝔟) ≤ I_{m}(𝔞)I_{m}(𝔟) et S_{m}(𝔞𝔟) ≥ S_{m}(𝔞)S_{m}(𝔟) puis en passant à la limite T (𝔞𝔟) = T (𝔞)T (𝔟) . Enfin, si 𝔞 ⊂ 𝔟 on a S_{m}(𝔞) ≥ S_{m}(𝔟) pour tout m , d’où T (𝔞) ≥ T (𝔟) .

Si 𝔞 est un idéal fractionnaire de A il existe d ∈ A^{∗} tel que d𝔞 soit un idéal entier, on pose T (𝔞) = T (d𝔞)/T (d) et on vérifie grâce à la proposition 6 que cette définition ne dépend pas du choix de d . Si 𝔞 et 𝔟 sont deux idéaux fractionnaires, on vérifie encore T (𝔞𝔟) = T (𝔞)T (𝔟) et T (𝔞) ≥ T (𝔟) dès que 𝔞 ⊂ 𝔟 . En particulier, T (𝔞^{−1}) = T (𝔞)^{−1} où 𝔞^{−1} = A :_{K} 𝔞 est l’idéal divisoriel de diviseur oppose au diviseur de 𝔞 .

Soit (A, T) un anneau de Krull muni d’une taille semi-globale, nous allons maintenant expliquer comment munir le corps des fractions K de A d’une taille globale T′ étendant \overline{T} (dans le sens où \overline{T}′ = \overline{T} sur A ). On note 𝔭_{j} l’idéal divisoriel premier associé à v_{j} , j ∈ J′ . Pour j ∈ J′ on considère la valeur absolue W_{j} = T (𝔭_{j})^{−v_{j}} et on munit J′ de la mesure ν′ somme des mesures de Dirac en chaque point et on considère la famille de pseudo-valeurs absolues {W_{j}; j ∈ J}∪{W_{j}; j ∈ J′} avec la mesure ν +ν′ . Cette famille détermine une taille T′ sur le corps des fractions K de A , on a

log T′(x_{1}, …, x_{k}) = log T (x_{1}, …, x_{k}) − ∑_{j∈J′} min(v_{j}(x_{1}), …, v_{j}(x_{k})). log T (𝔭_{j}) .

Tout x ∈ K^{∗} engendre un idéal fractionnaire ayant même diviseur que l’idéal fractionnaire ∏_{j∈J′} 𝔭_{j}^{v_{j}(x)} et, d’après le paragraphe précédent, on a donc :

∏_{j∈J′} T (𝔭_{j})^{v_{j}(x)} = T (x) ,

d’où T′(x) = 1 . Ceci montre que T′ satisfait (G1) et on a remarqué que, sur un corps, (G2) en découle avec le facteur 1 . Ainsi T′ est bien une taille globale sur K et on vérifie pour tout x_{1}, …, x_{k} ∈ A que \overline{T}′(x_{1}, …, x_{k}) = \overline{T} (x_{1}, …, x_{k}) car alors v_{j}(x_{i}) ≥ 0 pour j ∈ J′, i = 1, …, k . Plus généralement, si x_{1}, …, x_{k} ∈ K^{∗} et si on note T_{1} la taille déterminée par \{W_{j}, j ∈ J′\} on a \overline{T}′(x_{1}, …, x_{k}) = \overline{T} (x_{1}, …, x_{k})\overline{T}_{1}(x_{1}, …, x_{k}) , et si A est factoriel T_{1}(x_{1}, …, x_{k}) = T_{1}(y) = T (y)^{−1} où y ∈ K^{∗} est un pgcd de x_{1}, …, x_{k} . Nous appellerons la taille T′ le prolongement inhomogène de T à K .

Un corps avec formule du produit est un corps muni d’une famille {W_{j}, j ∈ J} de valeurs absolues telle que pour tout x ∈ K^{∗} il n’y ait qu’un nombre fini de j satsifaisant W_{j}(x) ≠ 1 et qu’on ait ∏_{j∈J} W_{j}(x) = 1 . Si l’une des valeurs absolues W_{j} est archimédienne ou discrète de corps résiduel fini alors un théorème de E. Artin et G. Whaples [1] montre que K est une extension finie de Q ou d’un corps de fractions rationelles k(X) sur un corps quelconque k .

2.3.e) Idéaux et anneaux quotients.

On envisage dans ce paragraphe le prolongement d’une taille sur un anneau de Krull noetherien A aux idéaux de A[X_{1}, …, X_{s}] ainsi qu’aux éléments de A[X_{1}, …, X_{s}]/𝔭 où 𝔭 est un idéal premier de A[X_{1}, …, X_{s}] tel que 𝔭 ∩ A = (0) .

Soit (A, T) anneau de Krull taillé satisfaisant T (x) ≠ 0 pour tout x ∈ A \ {0} , en supposant de plus A noetherien on peut étendre la fonction T à tous les idéaux de A[X_{1}, …, X_{s}] . Précisément, on considère un tel idéal et son homogénéisé I dans A[X_{0}, …, X_{s}] auquel est associé un diviseur résultant 𝔞 dans un anneau de polynômes A[U] . Comme le prolongement de Gauss-Mahler de T à A[U] satisfait T (p) ≠ 0 pour tout p ∈ A[U]\{0} et que l’anneau A[U] est de Krull, la fonction T s’étend aux diviseurs de A[U] et on pose T (I) := T (𝔞) .

Soit K le corps des fractions de A et T′ le prolongement inhomogène de T à K , si I est premier et I ∩ A = (0) alors le diviseur résultant 𝔞′ de I′ := I ⊗_{A} K dans K[U] est associé à un idéal principal F.K[U] et T′(F) = T (𝔞) . Si d ∈ (N^{∗})^{h} où h = dim Z(I′) + 1 et 𝔞_{d} désigne un diviseur résultant d’indice d de I′ , il est préférable de considérer le prolongement de T à A[U] obtenu avec les prolongements de Gauss des valeurs absolues ultramétriques et le prolongement suivant des valeurs absolues archimédiennes :

\frac{1}{η(W)}. log W (F) := ∫_{S_{N_{1}+1}} … ∫_{S_{N_{h}+1}} log |ι(F)|σ_{N_{1}+1} ∧…∧σ_{N_{h}+1} +∑_{i=1}^{h} d_{U_{i}}^{∘}F. ∑_{j=1}^{N_{i}} \frac{1}{2j}

où S_{m+1} désigne la sphère unité de C^{m+1} et σ_{m+1} la mesure invariante de masse 1 sur S_{m+1} et N_{i} + 1 = \binom{s+d_{i}}{s} . On démontre alors avec cette normalisation : T_{d}(I′) := T (𝔞_{d}) = T (I′)^{d_{1}...d_{h}} .

Soit maintenant 𝔭 un idéal premier homogène de A′ = K[X_{0}, …, X_{s}] , h = dim Z(𝔭) + 1 , et x ∈ A′/𝔭 , considérons une forme résultante F d’indice (1, …, 1, d^{∘}x^{)} de 𝔭 et ρ_{x} : A′[U_{1}, …, U_{h}] → A′[U_{1}, …, U_{h−1}] l’homomorphisme de spécialisation défini par ρ_{x}(U_{d}) = x . On étend alors une pseudo-valeurs absolue W sur A′ à x par la formule :

log W (x) := \frac{1}{d(𝔭)}. log W (ρ_{x}(F)/F) .

Il faut écrire cette expression comme une intégrale, notamment pour les valeurs absolues ultramétriques.

§ 2.4. Anneaux diophantiens.

Nous considérons dans ce paragraphe un anneau A commutatif, unitaire, intègre et muni d’un nombre fini de tailles T_{1}, …, T_{s} et T = T_{1} … T_{s} .

Définition – Soient Φ, Ψ : (R_{≥0})^{s} → R_{≥0} deux fonctions croissantes par rapport à chaque variable, un anneau A sera dit diophantien s’il est commutatif, unitaire, intègre, muni d’un nombre fini de tailles T_{1}, …, T_{s} telles que la taille T := T_{1} … T_{s} soit semi-globale et d’une famille J_{0} de pseudo-valeurs absolues déterminant une taille distinguée T_{0} satisfaisant une inégalité de la taille (de type (Φ, Ψ) ), pour tout x ∈ A \ {0}

log \overline{T}_{0}(x) ≤ Φ(log \overline{T}_{1}(x), …, log \overline{T}_{s}(x))
log T_{0}(x) ≥ −Ψ(log \overline{T}_{1}(x), …, log \overline{T}_{s}(x)) .

Une situation diophantienne est la donnée d’un anneau (A, T, T_{0}) diophantien et, pour chaque pseudo-valeur absolue W ∈ J_{0} , d’un anneau C_{W} ⊃ A/I_{W} (commutatif, unitaire, intègre) muni d’un prolongement de W , non discret et complet pour ce prolongement. On définit l’anneau des J_{0}-adèles comme le sous-anneau C des (x_{W}) ∈ ∏_{W ∈J_{0}} C_{W} tels que l’application W → log W (x_{W}) soit mesurable, de partie positive intégrable, et on pose log T_{0}((x_{W})) := ∫_{J_{0}} log W (x_{W}).dν_{0}(x_{W}) .

Les exemples fondamentaux d’anneaux diophantiens sont A = Z ou Q en distinguant la valeur absolue ordinaire ou une valeur absolue p-adique, et A = F_{q}[T] pour la valeur absolue distinguée q^{d_{T}^{∘}} . Un corps avec formule du produit [6], § 14.3 est un anneau diophantien en distinguant une des valeurs absolues de la formule du produit.

Si L est un corps de type fini sur un corps K muni d’une taille globale T , on écrit L comme une extension finie de K(x_{1}, …, x_{s}) où x_{1}, …, x_{s} forment une base de transcendance de L sur K . On considère le prolongement de Gauss-Mahler de T à K[x_{1}, …, x_{s}] , et ce dernier anneau étant factoriel on considère le prolongement inhomogène de T à son corps des fractions K(x_{1}, …, x_{s}) . Enfin, on a le prolongement complet de T à L qui est une extension finie de ce corps K(x_{1}, …, x_{s}) . Les propositions 2 et 3 montrent que le prolongement obtenu est une taille globale sur L . Ce prolongement dépend uniquement du choix de la base de transcendance x_{1}, …, x_{s} . Si (K, T, T_{0}) est un anneau diophantien, supposons qu’on ait un prolongement de la taille distinguée T_{0} à L alors pour que (L, T, T_{0}) soit un anneau diophantien il faut et il suffit que x_{1}, …, x_{s} satisfassent une inégalité de la taille, qui n’est rien d’autre qu’une mesure d’indépendance algébrique sur K . Pour t ∈ R_{≥0} il suffit de poser Ψ(t) = sup_{x∈L:log \overline{T} (x)≤t}(− log T_{0}(x)) et on a une inégalité de la taille dès que cette quantité est finie pour tout t .

Dans une situation diophantienne, si C est un anneau de Krull noetherien, la taille distinguée admet une extension aux idéaux de C[X_{1}, …, X_{s}] pour chaque point p = (p_{0}, …, p_{s}) ∈ P_{s}(C) . Soit I un idéal homogène de C[X_{0}, …, X_{s}] et 𝔞 le diviseur résultant associé, il existe un entier

ℓ ≥ 1 tel que 𝔞^{ℓ} = xC[U] et on pose T_{0}(I(p)) := (\frac{T_{0}(𝔡x)}{T_{0}(x)T_{0}(p)^{d^{∘}x}} )^{1/ℓ} où 𝔡 : C[U] → C[S] est défini par 𝔡(u_{i}) = ∑_{i=0}^{s} s_{i,j}p_{j}, (i = 0, …, s) . On vérifie que cette quantité ne dépend pas du choix du générateur x , ni du choix des coordonnées de p ….

§ 2.5. Tailles non standard.

La théorie de Nevanlinna fournit une taille sur le corps K des fonctions méromorphes (en une variable complexe). Plus précisément, fixons r ≥ 1 et soit f ∈ K une fonction méromorphe, on pose pour θ ∈ [0, 2π[ et z ∈ C

W^{θ,r}(f) : = \{ \begin{matrix}|f(re^{iθ})| & si re^{iθ} n’est pas pôle de f \\ 1 & sinon \end{matrix} ,

W_{z,r}(f) : = \{ \begin{matrix}r^{− ord_{z} f} & si z = 0 \\ (|z|/r)^{ord_{z} f} & si 0 < |z| ≤ r \\ 1 & si |z| > r \end{matrix} .

Les fonctions W^{r,θ} ne sont pas des pseudo-valeurs absolues sur K , on leur associe néanmoins les fonctions

log T_{r}(f) = ∫_{0}^{2π} log W^{θ,r}(f)\frac{dθ}{2π} + ∑_{z} log W_{z,r}(f)
log \overline{T}_{r}(f) = ∫_{0}^{2π} log max(1, W^{θ,r}(f))\frac{dθ}{2π} + ∑_{z} log max(1, W_{z,r}(f)) .

La fonction log \overline{T}_{r} n’est autre que la fonction caractéristique de Nevanlinna et la formule de Jensen s’écrit T_{r}(f) = |c_{λ}| où c_{λ} est le premier coefficient non nul du développement de Laurent de f en l’origine.

Le comportement de T_{r} lorsque r varie se contrôle bien en introduisant une taille à valeur non standard. Pour ce faire on admet l’axiome du choix, on considère un ultrafiltre U non trivial, plus fin que le filtre des parties de complémentaires négligeables pour la mesure de Lebesgue sur R_{≥1} , l’ultrapuissance ^{∗}R := (R)^{R_{≥1}}/U et Γ := {0} ∪ (^{∗}R/L^{∗}) où L^{∗} désigne le sous-groupe multiplicatif des limités d’inverses limités, du groupe multiplicatif ^{∗}R\{0} des hyperréels. On considère alors les valeurs absolues W^{θ} , W_{z} obtenues comme images dans Γ des applications r ↦ W^{θ,r} et r ↦ W_{z,r} respectivement. On remarque que W^{θ} est bien une valeur absolue (ultramétrique) à valeurs non-standard car pour f donnée l’ensemble des r > 0 pour lesquels f a un pôle sur le bord du disque de rayon r centré à l’origine est négligeable pour la mesure de Lebesgue. On en déduit des fonctions taille homogène T et inhomogène \overline{T} à valeurs dans Γ avec η(T) = 1 . Comme l’image dans Γ de r ↦ |c_{λ}| vaut 1 on a une formule du produit T (f) = 1 pour tout f ∈ K^{∗} , qui découle directement de la formule de Jensen (autrement-dit T est une taille globale sur K ). Soit ω la classe dans Γ de l’application identique de R_{≥1} , on vérifie que si f est un polynôme alors \overline{T} (f) = ω^{d^{∘}f} et \overline{T} (f) ≤ ω^{c} , c ∈ L^{∗} (resp. \overline{T} (f) = 1 ) si et seulement si f est une fonction rationnelle (resp. f est constante) ; cf. [9], chap.6, thm.2.6. Les propriétés générales des tailles montrent \overline{T} (fg) ≤ \overline{T} (f)\overline{T} (g) , \overline{T} (f + g) ≤ \overline{T} (f, g) , \overline{T} (1/f) = \overline{T} (f) et on a \overline{T} (f − a) = \overline{T} (f) pour a ∈ C , d’où, pour a ∈ C , \overline{T} (1/(f − a)) = \overline{T} (f − a) = \overline{T} (f) ce qui est le premier théorème principal de Nevanlinna. Considérons la taille distinguée suivante

log T_{∞}(f) = ∫_{0}^{2π} log W^{θ}(f)\frac{dθ}{2π}
log \overline{T}_{∞}(f) = ∫_{0}^{2π} log max(1, W^{θ}(f))\frac{dθ}{2π} .

On a 1 ≤ \overline{T}_{∞}(f) = T_{∞}(f).\overline{T}_{∞}(1/f) ≤ min(\overline{T} (f), T_{∞}(f).\overline{T} (1/f)) et l’inégalité de la taille

\overline{T}_{∞}(f) ≤ \overline{T} (f) \frac{1}{\overline{T} (f)} ≤ T_{∞}(f) .

Ainsi (K, T, T_{∞}) est un anneau diophantien (non standard). La fonction de proximité (cf. [9], chap.6, §2) de f à a ∈ C est \overline{T}_{∞}(1/(f − a)) = (\frac{T_{∞}(f−a)}{\overline{T}_{∞}(f)})^{−1} et le second théorème principal de Nevanlinna (cf. [9], chap.6, thm 4.1) entraîne pour a_{1}, …, a_{m} ∈ C

∏_{i=1}^{m} \frac{T_{∞}(f − a_{i})}{\overline{T}_{∞}(f)} ≥ \overline{T} (f)^{−2}.(ω log \overline{T} (f))^{−c} ,

où c ∈ L^{∗} dépend de f est des a_{i} . Enfin, le théorème de la dérivée logarithmique s’écrit simplement (cf. [9], chap.6, thm 3.1)

\overline{T}_{∞}(f′/f) ≤ (ω log \overline{T} (f))^{c} ,

où c ∈ L^{∗} est maintenant une constante absolue.

On comparera cette approche à celle de [7] qui travaille essentiellement à r fixé et traite par défaut le coefficient c_{λ} dans la formule de Jensen.

Réécrire dans ce language la preuve de Frankenhuysen de la conjecture abc version Nevanlinna, qu’on comparera au paragraphe suivant avec le théorème de Mason-Brownawell-Masser

§ 2.6. Tailles et lemmes de multiplicité.

Dans [19], Reyssat introduit un autre type de taille (standard) sur des sous-anneaux du corps K des fonctions méromorphes sur C . Précisément, soit f = (f_{1}, …, f_{s}) ∈ K^{s} et A = C[f_{1}, …, f_{s}] on considère les pseudovaleurs absolues W (p) = e^{d_{f}^{∘}p} et W′(p) = e^{− ord_{0} p(f)} où p ∈ A , elles déterminent des tailles T et T_{0} respectivement. On vérifie que T est globale et T_{0} locale (pour la densité 1 ). On a log \overline{T}_{0} ≤ max_{i}(0, − ord_{0} f_{i}). log \overline{T} et une inégalité de la taille pour (A, T, T_{0}) n’est rien d’autre qu’un lemme de multiplicité. Par exemple, si f_{1}, …, f_{s} sont des solutions analytiques en 0 et algébriquement indépendantes d’un système d’équations différentielles polynomiales une telle inégalité est connue grâce à un résultat de Y.Nesterenko [10] : log T_{0} ≫ −(log T)^{s} , améliorant des travaux antérieurs de W.D.Brownawell et D.W.Masser [3].

Soit k un corps commutatif algébriquement clos, posons A = k[z] , C = k[[z]] , K = k(z) et L = k((z)) , on considère la valeur absolue | · | = |·|_{0} = 2^{− ord_{0}} sur L et la taille définie sur K par toutes les valeurs absolues | · |_{x} = 2^{− ord_{x}}; x ∈ P_{1}(k) . Précisément, pour α = (α_{1}, …, α_{s}) ∈ K^{s} ,

T (α) = ∏_{x∈P_{1}(k)} max(|α_{1}|_{x}, …, |α_{s}|_{x}) , \overline{T} (α) = T (1, α_{1}, …, α_{s}) .

Pour s = 1 , on remarquera que T (α) = 1 (i.e. T est semi-globale) et on a l’inégalité de la taille |α| ≥ \overline{T} (α)^{−1} . Soit \overline{L} une clôture algébrique de L , on notera encore T le prolongement complet de T à la clôture algébrique \overline{K} de K dans \overline{L} .

Si γ : C[f_{1}, …, f_{s}] → L est l’inclusion naturelle on a W′(p) = |γ(p)|_{0} , en revanche W ne provient pas d’une taille sur K , ni même \overline{K} .

Tailles et anneaux diophantiens

Références

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Ouf !