1M001
1M001 Analyse et algèbre pour les sciences 2013-2014
Synopsis du cours, par Sylvie Delabrière: Synopsis (nouvelle version du 27/11//13: le chap. sur les fractions rationnelles, pas traité en cours et qui le sera en 1M002, a été mis à la fin. Noter que la division euclidienne des polynômes a été mise dans le chap. sur les polynômes et est au programme de l'examen du 17/12.
Feuilles de TD: feuille1 (version du 7/9/13)
feuille2 (version du 8/10/13 avec l'exo 6 détaillé et les corrections suivantes: dans 7.1 et 7.2: calculer Arcsin'(x) et Arccos'(x) pour x dans l'intervalle ouvert ]-1,1[, dans 11.2 remplacer "valeurs intermédiaires" par "accroissements finis")
feuille3 (La plupart des exos sont tirés d'une feuille d'exos de LM110 communiquée par Sophie Chemla. Merci à elle! )
feuille4 (v. du 20/11 avec 2 coquilles corrigées dans 4.6 et 9.5. Tous les exos sur les équa. diff. (sauf 3,12,13) sont dus à Amandine Schreck. Merci à elle! )
feuille5 (sur les nombres complexes) Version du 26/11: quelques exos ajoutés
feuille6 (sur les polynômes) Version corrigée du 3/12: dans l'exo 4.2 remplacer les deux apparitions de X4+X3+X2+1 par X4+X3+X2+ X +1 (i.e. il manque le X). La plupart des exos des feuilles 5 et 6 sont dus à Amandine Schreck. Encore merci à elle!
Pour les devoirs de 1h (environ) qui ont eu lieu en TD, on donne ici les sujets qui nous ont été communiqués, et parfois le corrigé. (D1-1Xy signifie Devoir 1 du groupe 1X-y et D1-1Xy-cor en est le corrigé. Et pour les groupes d'étudiants en bi-cursus, 1Xy est remplacé par l'abréviation du bi-cursus, par exemple SDR.)
D1-111   D1-112   D1-112-cor  
D1-123   D1-124   D1-124-cor (v. du 26/11 avec correction en 3.3)  D1-SEC  
D1-131   D1-131-cor   D1-132   D1-132-cor   D1-133   D1-133-cor   D1-3S1
D1-141   D1-141-cor  
D1-151   D1-154 (à venir)   D1-154-cor (à venir)   D1-SDR  
D2-115   D2-124   D2-124-cor   D2-3S1   D2-3S1-cor  
Examens partiels du 8 et 12 novembre: MIPI_11   MIPI_12-15   MIPI_13-HA   MIPI_14-16
Corrigés: corr. MIPI_11   corr. MIPI_12-15   corr. MIPI_14-16
Examen partiel du 17 décembre: Exam-17dec et son corrigé: corr-Exam-17dec
L'évaluation de cette UE est uniquement en CC. La note sera obtenue comme suit :
Il y aura deux examens partiels de 2h en amphi. Le 2ème aura lieu à la Maison des examens à Arcueil le mardi 17 décembre, 13h30-15h30. Chacun de ces devoirs sera noté sur 25 et la somme donnera une note D sur 50.
Par ailleurs, il y aura chaque semaine en TD une interrogation de 5mn portant sur des questions de cours qui auront été indiqués dans les cours d'amphi. Ces 12 petites interros de cours seront notées sur 24 points. Il y aura aussi pendant les TD, la semaine précédant chacun des 2 devoirs en amphi, un devoir de 1h, noté sur 13 points. Comme 24 + 13 + 13 = 50, la somme de ces évaluations en TD donnera une note C sur 50.
Enfin, la note finale F sera le sup de D+C et 2D, c'est-à-dire que les évaluations en TD ne peuvent qu'améliorer la note finale.
Pour tous les contrôles et examens: Aucun document autorisé. Calculatrices et téléphones portables interdits.
Polycopié et déroulement du cours pour l'amphi 12:
page de couverture   table des matières (mise à jour le 25/9/13)
chap.1 (version du 20/9/13: ne diffère de celle du 18/9 que par des modifs mineures. Principales corrections par rapport aux versions antérieures: 2b/h corrigé en h/2b en 1.7, ajout de f CONTINUE dans le TVI 1.15, et f(...) remplacé par g(f(...)) à la fin de la preuve de 1.24)
chap.2 (version du 26/9/13: diffère de celle du 21/9 par: démo de 2.17 ajoutée comme Question de cours, puis un ajout sur les domaines de définition de f et g dans 2.22, puis prop. 2.25 changée en théorème et "R barre" changé en R union + ou - infini, puis dernière ligne de 2.26 suppression du x juste avant la racine carrée.)
chap.3 (version du 1/10 au soir: diffère de celle distribuée dans le groupe 12-4 par les corrections suivantes:
p.26, dernière ligne de 3.6: remplacer 0 par: a
p.29, début de ligne 8: remplacer delta, delta par: -delta, delta
p.30, Prop. 3.21: remplacer S f par: Si f
p.34, deux dernières lignes de 3.36: remplacer 6 fois x par a. D'autre part, l'ancienne page 35 a été remplacée par de nouvelles pages 35 et 36.)
chap.4 (version du 14/10/13)
chap.5 (v. du 31 oct. avec 5.11(i) corrigé. Dans la v. du 29 oct.: correction à faire: dans 5.11(i) rajouter n! avant le coefficient binomial. La formule (5.2.14) est juste.
cours 1 du 5/9: on a traité le poly jusque 1.15, c.-à-d. on a énoncé (Th. 1.1) les propriétés que R partage avec Q (relation d'ordre total, compatible avec la structure de corps), ainsi que la propriété de la borne supérieure, que l'on admet. Comme application de cette propriété, on a montré (1.7) que R contient la racine carrée de 2. On a aussi montré (1.8) que cette racine carrée n'est pas un rationnel. On a défini la valeur absolue (mais ses propriétés n'ont été démontrées qu'au cours suivant). On a défini les intervalles de R (1.10), la notion de voisinage (1.12) et celle de fonction continue (1.13 et 1.14), mais sans introduire les notions de continuité à gauche ou à droite, qui ont été vues dans le 3ème cours, avec le parag. 2.6. Enfin, on a démontré le théorème des valeurs intermédiaires (1.15).
cours 2 du 12/9: on a traité la section 1.3 du chap.1, c-à-d.: une suite réelle croissante et majorée (resp. décroissante et minorée) converge vers sa borne supérieure (resp. inférieure), théorème des suites adjacentes et théorème des bornes atteintes (2 questions de cours). Le parag. 1.4 sur les propriétés des fonctions continues n'a pas été vu mais a été traité dans le 4ème cours, après le théorème 2.17 (et 2.11).
cours 3 du 19/9: on a traité les section 2.1 à 2.4 du chap.2, c-à-d.: définition des limites de fonctions via les suites, unicité de la limite, opérations algébriques sur les limites de suites et de fonctions, théorème sur limites et inégalités larges, et théorème des gendarmes pour les suites et fonctions (2 questions de cours).
cours 4 du 26/9: Sections 2.5 à 2.7. Puis début du chap.3: 3.1 à 3.6 puis 3.11, 3.12 et 3.13.
cours 5 du 3/10: On a ajouté en questions de cours deux points vus la fois précédente. D'une part, les deux définitions de la dérivabilité de f en a: existence d'une limite pour le taux d'accroissement (3.1), ou par l'existence d'un DL1 (3.3 ou la forme équivalente 3.4). D'autre part, l'énoncé du th. 3.11: dérivée d'un fonction composée. Puis on a continué le chap.3 et traité: interprétation graphique de la dérivabilité (3.7), fonction dérivée, dérivées successives et fonctions de classe Cn (3.8 et 3.9), th. 3.14: dérivée d'une somme, d'un produit ou quotient (question de cours), corollaires: dérivabilité des fonctions rationnelles (3.17) et de la fonction f(x)n pour f dérivable et n dans N et aussi n dans Z si f ne s'annule pas (ceci est plus général que 3.18). Puis définition d'un extremum local (3.19) et Prop. 3.21: condition nécessaire pour un extremum local (question de cours), 3.23 th. de Rolle et 3.24 th. des accroissements finis (en abrégé TAF), dont l'énoncé est une question de cours. Application du TAF: fonctions dérivables monotones ou strictement monotones (3.29). Puis définition de l'application réciproque d'une application bijective (3.32 et 3.33).
cours 6 du 10/10: On a vu le th. de l'application réciproque (3.35) et son interprétation graphique (3.37). Puis on a commencé le chap.4. On a admis l'existence de la fonction logarithme népérien ln: c'est l'unique fonction f dérivable sur R+* telle que f'(x) = 1/x et f(1) = 0. On a établi les propriétés de ln, puis introduit l'application réciproque exp et démontré les propriétés de exp. On a montré que la limite en +infini de x/ln(x) est +infini (Question de cours, ainsi que la démonstration) puis introduit et étudié la dérivabilité des fonctions puissances xa pour x>0 et arbitraire (question de cours), puis comparé la croissance en +infini des fonctions exponentielle, puissances et logarithme (question de cours). Puis on a rappelé la définition des fonctions sinus, cosinus et tangente, et leur dérivabilité sur leur domaine de définition. Puis on a étudié les fonctions réciproques Arcsin, Arccos et Arctan et leurs dérivées (voir exo 7 de la feuille 2).
cours 7 du 17/10: On a fini le chap.4: fonctions sh, ch, th et leurs réciproques Argsh, Argch, Argth. Puis on a commencé le chap.5: Développements limités et formules de Taylor, et couvert le polycopié jusque 5.15.
cours 8 du 24/10: On a donné le théorème sur la composition de DL, puis expliqué l'application des DL à la comparaison de deux fonctions f et g au voisinage d'un point a: si f-g admet en a un DLn et que ce DLn est non nul, alors le le signe de (f-g)(a+h) au voisinage de a est le même que celui de ckhk, où k est le plus petit entier tel que le coefficient ck du DLn soit non nul. En prenant pour g la fonction constante f(a) (resp. la fonction affine g(h) = g(a) + f'(a)h) ceci donne un critère pour l'existence d'un extremum local en a (resp. pour déterminer au voisinage de a la position du graphe par rapport à la tangente en a). Enfin, on a démontré le théorème de Taylor-Lagrange, qui est un résultat "global" et permet de calculer des valeurs approchées assez précises de f(a+h), connaissant la valeur en a de f et de ses dérivées jusqu'à l'ordre n. On a illustré ceci par le calcul à un millième près de sin(pi/5), en prenant pi = 3,14 et sin(pi/4) = 0,707. Ceci termine le chapitre 5. Trois nouvelles questions de cours: théorème sur la composition de DL, le théorème: si f admet en a un DL non nul, alors au voisinage de a le signe de f est celui du mônome de plus bas degré dans le DL. Théorème de Taylor-Lagrange. Au prochain cours, on commencera un chapitre d'algèbre.
cours 9 du 31/10: droite affine = ensemble de points, un vecteur = déplacement entre deux points, d'où un ensemble D de vecteurs. Puis plan affine (plan du tableau par exemple) = ensemble de points, un vecteur = déplacement entre deux points, d'où un ensemble P de vecteurs. Puis espace affine = espace ambient de dimension 3 = ensemble de points, et à nouveau un vecteur = déplacement entre deux points, d'où un ensemble E de vecteurs. On peut ajouter deux vecteurs et multiplier un vecteur par un réel. Notons V = D, P, ou E. En prenant un système de coordonnées donné par une base de V, on vérifie que les deux opérations précédentes vérifient les propriétés suivantes:
(1) (V,+) est un groupe abélien, c.-à-d. u+v = v+u, (u+v)+w = u + (v+w) donc on peut omettre les parenthèses, il existe un vecteur noté 0 tel que 0 + u = u pour tout u, et pour tout u il existe un unique vecteur noté -u tel que -u + u = 0.
(2) la multiplication par un réel vérifie: 1.u = u et r.(s.u) = (rs).u, pour tous u dans V et r,s dans R.
(3) on a les formules de distributivité: (r+s).u = r.u + s.u et r.(u+v) = r.u + r.v, pour tous r,s dans R et u,v dans V.
Lorsque ces propriétés sont vérifiées, on dit que V est un espace vectoriel (sur R). On a donc vu comme exemples d'espaces vectoriels les ensembles de vecteurs D,P,E précédents, on l'on a montré qu'ils possédaient chacun une base formée de, respectivement, un, deux et trois éléments. On a aussi démontré le
Théorème. Toute base de P est formée d'exactement deux éléments.
On verra plus tard l'énoncé analogue pour E. Ce qui suit n'est pas au programme de 1M001 (mais sera revu en 1M002). On a aussi montré qu'un espace vectoriel peut être quelque chose de plus abstrait, comme l'ensemble V des suites réelles (un) qui vérifient la relation de récurrence linéaire un+2 = 5 un+1 -6 un. Soit (v_n) l'élément de V déterminé par ses deux termes initiaux v0 = 2 et v1 = 5, on cherche la valeur de v2014 ou, plus généralement, une formule explicite pour le n-ième terme vn. La solution consiste à montrer que V est un espace vectoriel de dimension 2 (comme P) et admet une base formée de deux suites géométriques (an) et (bn), donc il existe des réels r,s uniques tels que v = r.a + s.b, i.e. vn = r.an + s.bn pour tout n. Les conditions initiales 2 = v0 = r.1 + s.1 et 5 = v1 = r.a + s.b donnent un système qui permet de déterminer r et s, d'où une formule pour vn pour tout n. Pas de nouvelles questions de cours cette semaine!
cours 10 du 7/11: Compte tenu des digressions sur les espaces vectoriels faites au cours précédent (hors du programme de 1M001 mais dans celui de 1M002), on a prévu de faire un cours supplémentaire le jeudi 21/11, 16h-18h, amphi A2. (Par contre le cours du 21/11 à 13h45 est annulé en raison des JOR.) Compte tenu de ce cours supplémentaire, on a continué dans l'esprit du cours précédent: les énoncés ci-dessous marqués (*) ne sont pas au programme de l'examen (mais seront utiles en 1M002). On a redonné la définition axiomatique d'un espace vectoriel V, puis donné la définition de famille liée, libre, génératrice, et celle de base = famille libre et génératrice. On a admis la:
Proposition-clé (admise). (*) Si V possède une famille génératrice G ayant n éléments, alors toute famille de cardinal > n est liée, donc toute famille libre est de cardinal au plus n.
On en a déduit le:
Théorème. (*) Si V possède une base B de cardinal n, alors toutes les bases de B sont de cardinal n. Cet entier n est appelé la dimension de V et est noté dim(V). De plus, si L est une famille libre de cardinal n, alors L est une base de V.
On a montré que Rn est de dimension n en exhibant la base canonique.
Puis on est passé aux équations différentielles linéaires, cf. Chapitre 8 du Synopsis. Soit I un intervalle ouvert non vide contenant 0 (pour simplifier l'écriture je prends ici 0 au lieu d'un réel quelconque x0.)
Théorème (admis). (*) Soit f une fonction continue sur I. Alors il existe une unique primitive F de f sur I telle que F(0) = 0. Toute autre primitive de f sur I est de la forme F + c, pour un réel c.
Soient a et b deux fonctions continues sur I et soit A la primitive de a sur I telle que A(0) = 0.
Théorème A (cf. parag. 8.1 du synopsis). Les solutions de l'équation différentielle linéaire homogène (du 1er ordre) y'(x) = a(x) y(x) sont les fonctions f(x) = f(0) exp(A(x)). Elles forment un espace vectoriel de dimension un, engendré par exemple par la fonction exp(A(x)). De plus, si l'on fixe la condition initiale f(0), alors la solution est unique.
Théorème B (cf. parag. 8.2 du synopsis). Soit G la primitive sur I de la fonction b(x) exp(-A(x)) qui s'annule en 0. Alors les solutions de l'équation différentielle linéaire avec second membre y'(x) = a(x) y(x) + b(x) sont les fonctions y(x) = (G(x) + c)exp(A(x)). En particulier, si y, z sont deux solutions, alors f= y-z est une solution de l'équation homogène f'(x) = a(x) f(x).
Pour ne pas interférer avec la préparation de l'examen du 12/11, on n'a pas signalé ces deux théorèmes comme questions de cours, mais ce seront des questions de cours pour la semaine du 18 novembre. Enfin, on a traité ce qui suit:
Théorème. (*) On considère l'équation différentielle linéaire homogène du 2ème ordre y''(x) + a(x) y'(x) + b(x) y(x) = 0.
(i) (ADMIS) Pour tout couple de réels (r,s), il existe une unique solution y telle que y(0) = r et y'(0) = s.
(ii) Soit F (resp. G) la solution coirrespondant au couple (1,0) (resp. (0,1)). Alors (F,G) forme une base de l'espace vectoriel des solutions, qui est donc de dimension 2.
Théorème. Soient désormais a,b deux réels. On considère l'équation différentielle linéaire homogène du 2ème ordre à coefficients constants y''(x) + a y'(x) + b y(x) = 0 et on lui associe le polynôme de degré deux P = X2 + aX + b. Soit S l'espcae vectoriel des solutions, qui est de dimension 2.
(0) Si le réel r est racine de P alors exp(rx) est solution.
(1) Si P a deux racines réelles distinctes r et s, alors les fonctions exp(rx) et exp(sx) forment une base de S.
(2) Si P a une racine réelle double r, alors les fonctions exp(rx) et x exp(rx) forment une base de S.
(3) Si P a deux racines complexes conjuguées r + ip et r - ip (avec r,p réels et p non nul), alors les fonctions exp(rx) cos(px) et exp(rx) sin(px) forment une base de S.
cours 11 du 14/11: On est revenu sur les théorèmes A et B ci-dessus pour les équa. diff.: les solutions de l'équa. diff. linéaire homogène (*) f'(x) = a(x)f(x) forment un espace vectoriel E et si l'on note calE (= E calligraphique) l'ensemble des solutions de (**) y'(x) = a(x)y(x) + b(x), alors l'application qui à un couple (y,z) d'éléments de calE associe z-y est à valeurs dans E, et pour y fixé elle définit une bijection de calE sur E, dont la bijection réciproque est l'application qui à tout f dans E associe y + f.
Ceci conduit à la définition suivante: étant donné un espace vectoriel E, un espace affine de direction E est un ensemble non vide calE muni d'une application qui à tout couple (A,B) d'éléments de calE associé un vecteur vect(AB) de E et qui vérifie les deux conditions suivantes:
(i) Relation de Chasles: vect(AB) + vect(BC) = vect(AC).
(ii) Pour A fixé, l'application qui à B associe vect(AB) est une bijection de calE sur E. La bijection réciproque est l'application de E dans calE qui à tout vecteur f associe l'unique point B tel que vect(AB) = f, ce point est noté A + f.
Outre l'exemple donné par les équa. diff., on a les 2 exemples géométriques suivants:
(1) Le plan du tableau calP est un plan affine: à un couple de points (A,B) on associe le vecteur vect(AB) d'origine A et d'extrémité B. Pour la multiplication par un réel et l'addition des vecteurs (règle du parallélogramme), ces vecteurs forment un espace vectoriel P de dimension 2.
(2) De même, l'espace ambient est un espace affine de dimension 3: à un couple de points (A,B) on associe le vecteur vect(AB) d'origine A et d'extrémité B. Ces vecteurs forment un espace vectoriel E de dimension 3.
Puis on a introduit la notion de repère dans le plan affine ou l'espace affine, et le système de coordonnées qui en résulte. On a montré qu'une droite affine dans le plan peut être définie soit par un vecteur directeur u et un point A, soit par une équation a x + b y + c = 0. Dans ce cas, la droite vectorielle associée a pour équation a x + b y = 0 et le vecteur u de coordonnées (-b, a) est un vecteur directeur de la droite.
On a aussi expliqué que dans l'espace de dimension 3, un plan affine calP, de direction le plan vectoriel P, est défini soit par la donnée d'un point I de calP et de deux vecteurs linéairement indépendants formant une base de P, soit par une équation a x + b y + c z = d. Dans ce cas, P a pour équation a x + b y + c z = 0.
Pour définir dans l'espace de dimension 3 une droite affine calD, il suffit à nouveau de se donner un point A et un vecteur directeur u; par contre, pour la définir en termes d'équations il faut maintenant deux équations a x + b y + c z = d et a' x + b' y + c' z = d' qui sont non liées, c.-à-d., qui définissent deux plans affines non parallèles, dont la droite calD est l'intersection.
On a ensuite donné la définition d'une norme sur un R-espace vectoriel E: c'est une application N de E dans R+ vérifiant les 3 propriétés: (a) N(x) = 0 si et seulement si x = 0, (b) N(rx) = |r| N(x), pour tout réel r, (c) Inégalité triangulaire: N(x+y) est inférieur ou égal à N(x) + N(y). On a montré que si calE est un espace affine de direction E, alors N donne lieu à une distance sur calE, définie par d(A,B) = N(vect(AB)): elle vérifie bien les 3 propriétés d'une distance, à savoir: (a) d(A,B) = 0 si et seulement si A = B, (b) d(A,B) = d(B,A), (c) Inégalité triangulaire: pour tout A,B,C dans calE, d(A,C) est inférieure ou égale à d(A,B) + d(B,C).
Puis on a introduit le produit scalaire standard sur E = Rn, défini par ((x1, ..., xn)|(y1, ..., yn)) = x1 y1 + ... + xn yn. On a montré qu'il vérifie les 3 propriétés suivantes: pour tout X,X',Y,Y' dans E et r,s dans R on a:
(1) (rX + sX'|Y) = r(X|Y) + s(X'|Y)   et   (X|rY + sY') = r(X|Y) + s(X|Y')
(2) (X|Y) = (Y|X)
(3) (X|X) > 0 si X est non nul.
Puis en utilisant ces propriétés, on a montré le:
Théorème (inégalité de Cauchy-Schwarz). Pour tout X,Y dans E = Rn, (X|Y)2 est inférieur ou égal à (X|X) (Y|Y), et l'on a égalité si et seulement si X et Y sont liés. En notant N(X) la racine carrée de (X|X), cette inégalité équivaut à: |(X|Y)| est inférieur ou égal à N(X) N(Y), avec égalité si et seulement si X et Y sont liés.
Corollaire. L'application N ci-dessus est une norme sur E = Rn, appelée la norme euclidienne.
cours supplémentaire du 21/11: On a introduit la:
Définition. Soient E,F deux R-espaces vectoriels. Une application f de E vers F est dite linéaire si elle vérifie f(rX + sX') = rf(X) + sf(X') pour tout X,X' dans E et r,s dans R. Lorsque de plus l'espace d'arrivée F égale R, on dit alors que f est une forme linéaire.
Puis on est revenu aux propriétés (1),(2),(3) du produit scalaire standard sur Rn. La propriété (1) se traduit en disant que le produit scalaire est linéaire en chacune des variables, on dit alors que c'est une forme bilinéaire. La propriété (2) se traduit en disant que ( | ) est "symétrique". La propriété (3) se traduit en disant que ( | ) est "défini positif". On a alors donné la:
Définition. Soit E un R-espace vectoriel quelconque. Alors un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur E, i.e. une application qui à tout couple (X,Y) d'éléments de E associe un réel (X|Y) et qui vérifie les propriétés (1),(2),(3) énoncées plus haut.
On a redémontré l'inégalité de Cauchy-Schwarz ainsi que le cas d'égalité, pour faire voir que la démo n'utilise que les propriétés (1),(2),(3), donc ce résultat est valable pour n'importe quel produit scalaire sur n'importe quel R-espace vectoriel. Puis on a donné la:
Définition. Soit E un R-espace vectoriel de dimension n, muni d'un produit scalaire ( | ). Alors une base orthonormée de E est une base (e1, ..., en) de E telle que (ei|ei) = 1 pour tout i, et (ei|ej) = 0 lorsque i,j sont distincts.
On a ensuite montré dans le cas de R2 que la formule (X|Y) = x1 y1 + x2 y2 est valable lorsque (x1, x2) et (y1, y2) sont les coordonnées de X et Y dans une quelconque base orthonormée, et l'on en a déduit que pour X,Y tous deux non nuls, on a (X|Y) = N(X) N(Y) cos(theta), où theta désigne l'angle entre X et Y.
Puis on a défini C comme l'espace vectoriel R2, chaque couple de réels (a,b) étant identifié au nombre complexe z = a + ib, muni de la multiplication définie par (a+ ib)(c + id) = ac - bd + i(ad + bc). La conjugaison complexe associe à tout z = a + ib le nombre complexe noté "z barre" égal à a - ib, qu'on notera ici C(z). On a les propriétés suivantes: C(z+u) = C(z) + C(u), C(zu) = C(z) C(u), si z = a + ib est non nul alors zC(z) = a2 + b2 est un réel > 0, on appelle norme ou module ou valeur absolue de z, et l'on note |z| la racine carrée de zC(Z) = a2 + b2, ceci coïncide avec la norme euclidienne de (a,b) dans R2, et l'on a de plus |zu| = |z| |u|. D'autre part, tout z non nul admet un inverse pour la multiplication, qui est (1/|z|2) C(z). Donc C est bien un corps.
Pour tout réel t, on pose exp(it) = cos(t) + i sin(t). On obtient ainsi tous les points du cercle unité, c.-à-d., tous les nombres complexes de module 1. Pour tout nombre complexe z non nul, de module r > 0, le nombre complexe z/r est de module 1, donc égal à exp(it) pour un réel t uniquement déterminé modulo 2pi, et appelé un argument de z. On peut donc écrire z sous forme polaire: z = r exp(it) = r (cos(t) + i sin(t)).
D'autre part, les formules trigonométriques (supposées connues) donnent alors que exp(it)exp(it') = exp(i(t+t')) pour tous réels t, t'. On obtient alors la formule de De Moivre: pour tout entier n et tout réel t on a:
cos(nt) + i sin(nt) = exp(int) = exp(it)n = (cos(t) + i sin(t))n.
Si z = r exp(it) on obtient ainsi que zn = rn exp(int), donc on voit que la forme polaire est très commode pour calculer des puissances. Et aussi bien sûr des produits puisque r exp(it) fois r' exp(it') égale rr' exp(i(t+t')).
Enfin, pour tout entier n > 1, les racines n-ièmes de l'unité sont les nombres complexes z tels que zn = 1. En écrivant z = r exp(it) on voit que ceci équivaut à ce que r = 1 et t = 2k pi/n pour un entier k défini modulo n. On obtient donc la:
Proposition Soit n un entier n > 1. (a) L'ensemble Un des racines n-ièmes de l'unité dans C est formé des nombres complexes exp(2ik pi/n), pour k variant de 0 à n-1.
(b) Tout nombre complexe non nul Z = R exp(iT) possède exactement n racines n-ièmes dans C: ce sont les nombres complexes z = r exp(iT/n) exp(2ik pi/n), pour k variant de 0 à n-1, où r désigne la racine n-ième de R dans R+*.
Enfin, on a la proposition suivante, pas traitée en cours mais qu'il faut connaître (cf. l'exo 11 de la feuille 5):
Proposition Soient a,b,c dans C, avec a non nul. On associe à tout polynôme du 2ème degré P(X) = aX2 + bX + c son discriminant Delta, égal à b2 - 4ac, qui est un nombre complexe. Si Delta = 0, alors P a une racine double qui est -b/2a. Si Delta est non nul, il possède dans C deux racines carrées opposées l'une de l'autre, disons d et -d; alors les solutions dans C de P(z) = 0 sont les deux nombres complexes (-b+d)/2a et (-b-d)/2a.
cours 12 du 28/11 (dernier cours): On a expliqué la définition du produit vectoriel dans R3. Puis on a traité le chapitre sur les polynômes (= chap.11 dans la v. du synopsis du 27/11): dans ce qui suit K désigne le corps R ou C. L'anneau de polynômes K[X] en une indéterminée X est un espace vectoriel de base l'ensemble de tous les monômes 1, X, ..., Xn, ... pour n dans N; en d'autres termes, c'est l'ensemble des sommes finies P = a0 + a1X + ... + anXn, avec n variant dans N et les ai dans K. Un tel polynôme est dit de degré inférieur ou égal à n, et si an est non nul on dit que P est de degré n et que an est le coefficient dominant de P. Si le coefficient dominant vaut 1, on dit que le polynôme est unitaire. On dit que le polynôme nul est de degré -infini.
La somme de deux polynômes est définie de façon évidente et le produit est défini sur les monômes par Xp Xq = Xp+q et ceci est étendu par bilinéarité à deux polynômes quelconques, ce qui donne la formule 11.1.3 (ii) du synopsis.

Prop. (Q cours). Soient P,Q des polynômes non nuls. On pose deg(P) = p et deg(Q) = q.
(i) La somme P+Q est de degré inférieur ou égal à max(p,q), avec égalité sauf si p = q et les coefficients dominants sont opposés.
(ii) Le produit PQ est de degré p+q et son coefficient dominant est le produit des coefficients dominants. En particulier, PQ est non nul, donc K[X] est un anneau intègre.
(iii) Par conséquent, dans K[X] on peut simplifier: si PS = PT avec P non nul, alors S = T.

Théorème (division euclidienne). (Q cours) Pour tout P,D dans K[X] avec D non nul, il existe un unique couple (Q,R) de polynômes tel que P = DQ + R, avec deg(R) < deg(D) (éventuellement R = 0). On dit que Q (resp. R) est le quotient (resp. le reste) de la division euclidienne de P par D.

Puis, à tout polynome P on associe la fonction de K dans K qui à tout a associe P(a). On dit que a est racine de P si P(a) = 0.

Prop.-Déf. (Q cours) Soient P de degré n > 0 et a dans K.
(i) Alors a est racine de P si et seulement si P est divisible par X - a, i.e. si et seulement si il existe un polynôme Q de degré n-1 tel que P = (X-a)Q.
(ii) Soit k un entier > 0. On dit que a est racine de P d'ordre k (ou de multiplicité k) si P est divisible par (X-a)k Q mais pas par (X-a)k+1, c.-à-d., si l'on a P = (X-a)^k Q avec Q(a) non nul.
(iii) P a au plus n racines, comptées avec multiplicité, dans K.

Remarque: le point (iii) ci-dessus entraîne que l'application qui à un polynôme P associe la fonction polynomiale associée, est injective. En effet, si P et Q donnent la même fonction, alors le polynôme P - Q a une infinité de racines donc est le polynôme nul.

Théorème de D'Alembert-Gauss. Soit P dans C[X] de degré n > 0.
(i) P admet au moins une racine dans C. Par récurrence sur n, ceci entraîne le point (ii) suivant:
(ii) On a P = a(X-z1) ... (X-zn) où a est le coefficient dominant de P et z1, ..., zn sont les n racines de P dans C comptées avec leur multiplicité (i.e. chaque racine apparaît autant de fois que sa multiplicité).

Prop. (Q cours). Soit P dans R[X] de degré n > 0.
(i) Si z est une racine de P dans C, alors son conjugué C(z) est aussi racine de P. Ceci entraîne que les racines complexes non réelles de P viennent par paires (zk, C(zk)), disons pour k variant de 1 à q, avec les zk pas nécessairement distincts
(ii) Il résulte alors du thm. de D'Alembert-Gauss que P admet p = n-2q racines réelles r1, ..., rp (pas nécessairement distinctes), et donc P se factorise dans R[X] en un produit de polynômes de degré 1 et de polynômes de degré 2 à discriminant < 0 (voir 11.3.3 du synopsis). Ceci résulte du fait que si z = a + ib alors C(z) = a - ib et (X-z)(X-C(z)) = X2 -2aX + a2 + b2.

Théorème (Q cours): relations entre coefficients et racines. Si l'on a un polynôme unitaire P = Xn + c1Xn-1 + c2Xn-2 + ... + cn et si l'on connaît ses n racines a1, ..., an dans C, alors -c1 égale la somme des ai et cn égale (-1)n fois le produit des ai, de plus c2 est la somme pour i < j des produits aiaj.
(Il y a une formule analogue pour chaque coefficient ck, mais on ne l'a pas donnée.)

Puis, on a donné la définition-proposition suivante:
Déf.-Prop. (i) Pour tout polynôme P = somme pour n variant de 0 à p de termes an Xn, on définit, de façon formelle, le polynôme dérivé P' comme étant la somme, pour n variant de 0 à p des termes an nXn-1.
(ii) On peut vérifier et l'on admet que: (P+Q)' = P' + Q', (PQ)' = P'Q + PQ' et (Pn)' = n Pn-1 P'.
(iii) On définit les polynômes dérivés successifs par P'' = (P')' puis, par récurrence, P(k+1) = (P')(k) = (P(k))'.
Enfin, on a démontré la proposition suivante:

Prop. (Q cours) Soit P un polynôme de degré n > 0, soit a dans K et soit k un entier > 0. Alors a est racine de P d'ordre k si et seulement si P et ses dérivés jusqu'à l'ordre k-1 s'annulent en a, mais P(k)(a) est non nul.
FIN DU COURS !
Questions de cours pour l'amphi 12 à la date du 28/11/13:
(1) Propriété de la borne supérieure: si A est une partie de R non vide et majorée, il existe dans R un plus petit majorant de A, appelé la borne supérieure de A et noté ici b(A). Il est caractérisé par les deux propriétés suivantes: (i) c'est un majorant de A: tout x dans A est inférieur à b(A), (ii) c'est le plus petit majorant de A: pour tout c < b(A) il existe x dans A tel que c < x.
(2) Théorème des valeurs intermédiaires. Soient I un intervalle de R et f une application continue de I dans R. Soient a < b dans I et soit y un réel compris entre f(a) et f(b). Alors il existe c dans [a,b] tel que f(c) = y. Par conséquent: l'image d'un intervalle par une application continue est un intervalle.
(3) Théorème des suites adjacentes. Soient (an) et (bn) deux suites réelles telles que: (an) est croissante, (bn) décroissante, et lim (b_n - a_n) = 0. Alors (an) et (bn) convergent vers une même limite c, qui est la borne supérieure de (an) et la borne inférieure de (bn).
(4) Théorème des bornes atteintes. Soient a < b dans R et soit f une application continue de [a,b] dans R. Alors f([a,b]) est borné (c.-à-d. à la fois majoré et minoré) donc admet une borne supérieure M et une borne inférieure m. De plus, ces bornes sont atteintes, donc f([a,b]) est l'intervalle fermé borné [m,M].
(5) Théorème sur les limites et inégalités larges: voir 2.12 du poly. La démonstration dans le cas où les deux limites sont dans R fait aussi partie de la question de cours.
(6) Théorème des gendarmes pour les suites et les fonctions: voir 2.15 du poly. La démonstration pour les suites (cas (i) et (ii)) fait aussi partie de la question de cours.
(7) Démonstration de la partie difficile du th.2.17: savoir exprimer en termes de epsilon et deltas la non continuité de f en a, et savoir utiliser ceci pour construire une suite (un) qui tend vers a mais telle que la suite (f(un)) ne tende pas vers f(a).
(8) Savoir énoncer la définition 2.28 de l'existence d'une limite en termes de voisinages.
(9) Savoir énoncer les deux définitions de la dérivabilité de f en a: existence d'une limite pour le taux d'accroissement (3.1), ou par l'existence d'un DL1 (3.3 ou la forme équivalente 3.4).
(10) Enoncer la formule pour la fonction dérivée d'une composée (et d'un produit ou quotient) de fonctions dérivables, et savoir appliquer ces formules pour dériver une fonction donnée.
(11) Donner la définition de: "f a un extremum local en un point c" et pour une fonction dérivable énoncer la condition nécessaire pour que ceci soit le cas.
(12) Enoncer le théorème des accroissements finis.
(13) Enoncer le théorème sur la dérivabilité en b = f(a) de la fonction réciproque g de f, et savoir l'utiliser pour calculer la dérivée d'une fonction telle que Arcsin ou Arctan ou Argsh, etc
(14) Donner la limite en +infini de x/ln(x) et en donner la démonstration.
(15) Pour tout réel a, donner la définition de la fonction puissance xa et calculer sa dérivée.
(16) Pour a,b >0 et A >1 donner les limites en +infini de exp(ax)/xb, de xa/ln(x)b et de Ax/xb.
(17) Enoncer le théorème sur l'intégration d'un DL.
(18) Enoncer le théorème de Taylor-Young.
(19) Connaître ou savoir retrouver les DL des fonctions usuelles (section 5.2 du poly).
(20) Enoncer le théorème sur la somme, le produit ou le quotient de deux DL.
(21) Enoncer le théorème sur la composition de deux DL.
(22) Enoncer et savoir utiliser sur un exemple le théorème: si f admet en a un DL non nul, alors au voisinage de a le signe de f est celui du mônome de plus bas degré dans le DL.
(23) Enoncer le théorème de Taylor-Lagrange.
(24) Sur un intervalle I, les solutions d'une équa. diff. linéaire homogène: (1) y'(x) = a(x)y(x) (avec a continue sur I) sont les fonctions c exp(A(x)), où A est une primitive fixée de a sur I. Elles forment un espace vectoriel E de dimension 1.
L'équa. diff. linéaire avec second membre: (2) y'(x) = a(x)y(x) + b(x) (avec a,b continues sur I) admet au moins une solution y0, et l'ensemble calE (E calligraphiqe) des solutions de (2) est formé des fonctions y0 + f, où f est une solution de (1). En d'autres termes, l'application de calE dans E, qui à toute solution y1 de (2) associe y1 - y0 est une bijection de calE sur E, dont la bijection réciproque est l'application qui à f associe y0 + f.
(25) Savoir résoudre quelques équations différentielles linéaires y'(x) = a(x)y(x) + b(x) en utilisant la méthode de "variation de la constante", qui revient à trouver une primitive sur I de la fonction b(x)exp(-A(x)).
(26) Connaître les deux façons de définir une droite affine calD (D calligraphiqe) dans le plan affine calP:
(i) droite de vecteur directeur u donné et passant par un point A donné
(ii) soit, si l'on a muni calP d'un repère (O,i,j) et donc de coordonnées (x,y), droite donnée par une équation ax + by = c, et savoir passer de l'un à l'autre.
(27) Donner la définition du produit scalaire standard ( | ) sur Rn puis énoncer l'inégalité de Cauchy-Schwarz, en présisant le cas d'égalité.
(28) Donner la définition d'une norme sur un R-espace vectoriel E et démontrer que si la fonction racine carrée de (x|x) est une norme sur Rn.
(29) Donner la définition et les propriétés de la conjugaison complexe et de la valeur absolue complexe.
(30) Pour tout réel t, donner la définition de exp(it) (cf. 9.2.1 du synopsis) et écrire la formule de Moivre: exp(int) = exp(it)n pour tout entier n.
(31) Pour un entier n > 1, donner les racines n-ièmes de l'unité dans C et montrer que tout nombre complexe non nul possède exactement n racines n-ièmes dans C
(32) Soient P,Q des polynômes non nuls, de degrés p et q.
(i) Alors P+Q est de degré inférieur ou égal à max(p,q), avec égalité sauf si p = q et les coefficients dominants sont opposés.
(ii) Le produit PQ est de degré p+q et son coefficient dominant est le produit des coefficients dominants.
(33) Pour tout P,D dans K[X] avec D non nul, il existe un unique couple (Q,R) de polynômes tel que P = DQ + R, avec deg(R) < deg(D) (éventuellement R = 0). On dit que Q (resp. R) est le quotient (resp. le reste) de la division euclidienne de P par D.
(34) Soit P dans K[X] de degré n > 0 et soit a dans K.
(i) Déf.: a est racine de P d'ordre k (ou de multiplicité k) si P est divisible par (X-a)k Q mais pas par (X-a)k+1, c.-à-d., si l'on a P = (X-a)^k Q avec Q(a) non nul.
(ii) Prop.: P a au plus n racines, comptées avec multiplicité, dans K.
(35) Soit P dans R[X] de degré n > 0.
(i) Si z est une racine de P dans C, alors son conjugué z barre est aussi racine de P.
(ii) P se factorise dans R[X] en un produit de polynômes de degré 1 et de polynômes de degré 2 à discriminant < 0.
(36) Relations entre coefficients et racines. Si l'on a un polynôme unitaire P = Xn + c1Xn-1 + c2Xn-2 + ... + cn et si l'on connaît ses n racines a1, ..., an dans C, alors -c1 égale la somme des ai et cn égale (-1)n fois le produit des ai, de plus c2 est la somme pour i < j des produits aiaj.
(37) Caractérisation des racines multiples via les dérivées successives. Soit P un polynome de degré n > 0, soit a dans K et soit k un entier > 0. Alors a est racine de P d'ordre k si et seulement si P et ses dérivés jusqu'à l'ordre k-1 s'annulent en a, mais P(k)(a) est non nul.