Algèbre Appliquée 3M220

L3 Mathématiques, Semestre 6, 6 ECTS

Équipe pédagogique

Pierre-Vincent Koseleff, Alain Kraus, Sudarshan Shinde, Leonardo Zapponi.
Années précédentes : Dominique Bernardi, Razvan Barbaud.

Site Moodle

Planning

Objectifs

Ce cours s'adresse aux étudiants de la Licence de Mathématiques, niveau L3, ayant suivi en seconde année le cours d'Arithmétique et Algèbre (2M220, ex LM220) et un cours d'Algèbre linéaire (2M270, ex LM270) ou équivalents. Ce cours est indépendant et complémentaire du cours d'Algèbre 3M270, que ce soit au premier ou au second semestre (voir le descriptif des UE).
Le cours d'Algèbre Appliquée constitue, d'une part, une introduction à l'option ``algèbre effective et calcul formel'' de l'Agrégation externe de Mathématiques, et d'autre part, permet d'envisager par la suite un Master de Mathématiques fondamentales ou des débouchés en Mathématiques-Informatique : cryptologie, robotique, traitement du signal...
Par exemple, en dehors de Sorbonne Université : Master MIC, Paris 7, Master Parisien MPRI, liste non exhaustive.

Contenu

Algorithme d'Euclide et applications
Rappels sur l'algorithme d'Euclide étendu. Algorithme de Berlekamp-Massey. Recherche de récurrences linéaires.
Calcul matriciel
Échelonnement des matrices à coefficients dans un corps ou un anneau euclidien. Forme d'Hermite. Sous-groupes de Z^n. Application à la classification des groupes abéliens finis.
Transformation de Fourier discrète
Quotient des anneaux de polynômes A[X]/(P). Racines de l'unité, transformée de Fourier discrète, transformée de Fourier rapide.
Corps finis
Rappels. Constructions. Polynômes minimal. Polynômes iréductibles. Polynômes cyclotomiques.
Codes correcteurs
Problématique des codes correcteurs. Exemples. Codes correcteurs linéaires. Matrices génératrices, matrices de contrôle. Codes de Hamming. Codes cycliques. Codes BCH. Codes de Reed-Solomon.
Analyse de complexité
Nombre d'opérations dans le corps ou l'anneau de base (complexité arithmétique), nombre d'opérations machine (cas simples), taille (espace mémoire) des objets calculés.