1M002
1M002 Analyse et algèbre pour les sciences 2013-2014. Section MIPI.21

Synopsis complet du cours 1M002, par Sylvie Delabrière : Synopsis version du 11/1/2014)

1M002 : Polycopié du chapitre 1 : espaces vectoriels, par Patrick Polo : chapitre 1. (version du 15/1/2014)
1M002 : Polycopié du chapitre 1bis : équations différentielles linéaires, par Patrick Polo : chapitre 1bis. (version du 30/1/2014)
1M002 : Polycopié du chapitre 3 : Matrices, par Patrick Polo : chapitre 3. (version du 14/2/2014)
1M002 : Polycopié complet, par A. Guilloux : poly Guilloux. (version du 14/2/2014)
1M002 : Polycopié du chapitre 5 : intégration/fractions rationnelles, par P. Polo : chapitre 5. (version du 17/3/2014)
feuille de TD, des propositions : TD1, TD2. TD3 (suites 1), TD4 (suites 2), TD5 (suites 3), TD6 (matrices 1), TD7 (matrices 2), TD8 (intégration 1), TD8bis (intégration, autres possibilités),
TD9 (intégration ter, fractions rationnelles). TD10 (diagonalisation).
Pour information, le polycopié du cours de lm125, qui couvre la partie "algèbre" du 1M002, par Sophie Chemla : lm125 (version 2009)

Autres références

Les livres de mathématiques de L1 sont nombreux. J'encourage les étudiants à les ouvrir et à chercher une référence qui leur conviendra. Je peux cependant conseiller les livres suivants, qui s'adaptent bien au cours :
Contrôle continu 1 : samedi 8 mars 9h15-11h45. Amphis A1-A2-B1-B2.
Sujet sujet CC1
Corrigé corrigé CC1
Consultation des copies : vendredi 21 mars, 12h10-13h30, en 15/25-438. Par ordre alphabétique du nom de famille. Inscription obligatoire en m'envoyant un email, mentionnant votre nom et, si possible, votre numéro d'anonymat. En cas d'empêchement sur tout ou partie de ce créneau horaire, veuillez me le préciser dans le message, également par email.
Devoir sur table numéro 2 : commun pour toutes les sections du MIPI 21, lundi 7 avril, 16h. lieu : Amphi A1 pour les groupes 1-2-3, et amphi 41B pour les groupes 4 et 5.
Sujet devoir sur table 2
Corrigé corrigé devoir sur table 2
TD supplémentaires : mardi 8 avril, 16h. Groupe 1 = 56-66 salle 209. Groupe 3 = 55-65 salle 105. Groupe 4 = 55-65 salle 106. Groupe 5 = 55-65 salle 103.
Contrôle continu 2 : vendredi 2 mai.



cours 1 du 13/1/2014, amphi A1: Introduction aux espaces vectoriels. Motivations : équations différentielles linéaires, suites définies par une équation de récurrence linéaire. Définition abstraite d'un R-espace vectoriel (E, +, .). Les 4 axiomes qui font de (E, +) un groupe commutatif. 4 axiomes supplémentaires impliquent la loi externe. Exemples R^n, les fonctions, les polynômes, les suites, C. Les C-espaces vectoriels. Vocabulaire : vecteurs, scalaires, combinaison linéaire. Définition d'un sous-espace vectoriel. Exemples et contre-exemples. Familles génératrices. Sous-espace vectoriel engendré par une partie. Familles génératrices minimales. Ce sont, par définition, des bases. On admet qu'elles ont même cardinal, et on appelle dimension de F ce nombre. Exemple détaillé : trouver une famille génératrice minimale de l'espace vectoriel engendré par les quatre fonctions 1, cos^2(t), sin^2(t), cos(2t).
cours 2 du 14/1/2014, amphi 41B: Définition d'une famille libre, d'une famille liée. Exemples. Si E est muni d'une famille libre et génératrice, tout vecteur de E s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille. Une famille génératrice minimale est génératrice et libre. On admet, pour l'instant, que les familles libres et génératrices ont toutes même cardinal. Du coup, ce sont aussi des bases, et leur cardinal commun est la dimension de l'espace. Vocabulaire : lorsque dim E=1, on dit que E est une droite; lorsque dim E=2, on dit que E est un plan. Applications : équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants. Les solutions forment une droite. Le cas y''=py'+qy. Les solutions complexes forment un plan complexe. Si le polynôme caractéristique X^2-pX-q possède deux racines complexes distinctes a et b, alors les solutions complexes sont les combinaisons linéaires complexes des fonctions exp(at) et exp(bt). Si a=b, alors les solutions complexes sont les combinaisons linéaires complexes des fonctions exp(at) et t*exp(at).
cours 3 du 20/1/2014, amphi A1: Solutions réelles de y''=py'+qy. Elles forment un R-espace vectoriel de dimension deux. Si le discriminant de l'équation est >0, alors une base des solutions est formée des fonctions exp(at) et exp(bt). Si Delta=0, alors une base des solutions est formée des fonctions exp(at) et t*exp(bt). Si Delta<0 et a=u+iv, alors une base des solutions est formée des fonctions exp(ut)*cos(vt) et exp(ut)*sin(vt). On a démontré que la famille est libre en faisant un DL quand t tend vers 0.
Lemme clef : dans un ev. qui possède une famille génératrice à n éléments, toute famille formée de p>n vecteurs est liée. La démonstration donnée utilise la notation matricielle et la méthode du pivot de Gauss. On en déduit que les bases d'un tel e.v ont toutes même cardinal, et que ce sont les familles libres génératrices, mais aussi les familles génératrices minimales, ou encore les familles libres maximales.
Théorème fourre-tout : dans un espace de dimension n, les familles génératrices à n éléments sont des bases. Il en va de même pour les familles libres à n éléments. Toute famille génératrice possède n éléments au moins, et toute famille libre possède n éléments au plus. Théorème de la base incomplète.
cours 4 du 21/1/2014, amphi 41B: Si F est un sous-espace vectoriel de E et E de dimension finie, alors F est de dimension finie et dim F<= dim E. Les deux dimensions sont égales si et seulement si E=F.
Applications linéaires et endomorphismes: définition, composée. Noyau, notation Ker, Image. Ce sont des sous-ev. Notation L(V, W) et L(E). Une application linéaire T est injective si et seulement si son noyau est réduit à 0. Vocabulaire : valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre associé à une valeur propre.
Exemple : sous-espaces propres de l'application de dérivation D qui opère sur les fonctions C^1. Ker(D^2-p.D-q.Id). Autres exemples : f(x, y,z)=x+y-2z; Le décalage S(u_n)=u_(n+1), ses espaces propres. Projecteurs, symétries, identité.
Théorème du rang : si T :V -> W est linéaire, et V de dimension finie, alors dim(Ker T )+dim(Im T)=dim(V).
Corollaire : en dimension finie, un endomorphisme est bijectif si et seulement si il est injectif, si et seulement si il est bijectif.
cours 5 du 27/1/2014, amphi A1: Quelques mots sur la dérivation des fonctions à valeurs complexes. Cf le poly chapitre 2 pour les détails des démonstrations.
Début du chapitre "Suites réelles et complexes." Généralités : K=R, ou C. Structure d'espace vectoriel sur K, l'opérateur de décalage S(u_n)=u_(n+1) est un endomorphisme. Multiplication terme par terme de deux suites. Suites définies explicitement en fonction de n. Suites définies implicitement : relation de récurrence d'ordre 1. Trois cas particuliers : suite arithmétique de raison r, suite géométrique de raison r. Suite arithmético-géométrique u_(n+1)=a u_n+b. Dans ces trois cas, on a démontré la formule qui explicite u_n en fonction de n. Il faut être capable de donner la formule correcte. Suites définies implicitement par une relation d'ordre 2. Cas particulier : relation linéaire d'ordre 2 à coefficients constants, homogène. On l'écrit comme L_2=Ker(S^2-p.S-q.Id). L'application phi : L_2-> K^2 qui envoie une suite sur ses deux premiers termes est linéaire et bijective. Les solutions forment un sous-K-espace vectoriel de l'ensemble des suites, de dimension 2.
cours 6 du 28/1/2014, amphi 41B: Continuation du cours précédent : bases explicites des suites solutions de l'équation u_(n+1)=p.u_(n+1)+q.u_n, équation qui sera notée (*) dans le reste de ce paragraphe.
On a énoncé et démontré la
Proposition : Si phi : E-> F est une application linéaire bijective, alors
a) l'application réciproque phi^(-1) est aussi linéaire.
b) Si E est de dimension finie, alors F est aussi de dimension finie, et dim F=dim E.
c) Si F est de dimension finie, alors E est aussi de dimension finie, et dim F=dim E.
d) Supposons que E est de dimension finie. Alors phi envoie toute base de E sur une base de F.
d) Supposons que F est de dimension finie. Alors phi^(-1) envoie toute base de F sur une base de E.
Nous en déduisons que une base sur K des solutions de l'équation (*) est donnée par la paire de suites U_n et V_n de L_2, de condition initiales (U_0,U_1)=(1,0), (V_0,V_1)=(0, 1).
Une autre base : on forme le polynôme caractéristique P=X^2-pX-q=(X-a)(X-b) pour deux racines complexes a et b éventuellement confondues.
Si a et b sont distincts, alors les suites a^n et b^n forment une base du C-espace vectoriel L_2. Si a=b, alors les suites a^n et n.a^n forment une base du C-espace vectoriel L_2. (L'énoncé complet, celui du Th. 2.21 du polycopié chapitre 2, est une question de cours).
Cas réel : (Prop. 2.23 poly chap. 2) on suppose maintenant K=R et p et q scalaires réels. On notera ell_2 l'ensemble des suites réelles solutions de (*), pour les différencier du cas précédent. Si le discriminant Delta est >0, alors les suites réelles a^n et b^n forment une base du R-espace vectoriel ell_2. Si Delta=0, alors les suites réelles a^n et n.a^n forment une base du R-espace vectoriel ell_2. Enfin, si Si Delta < 0, alors les suites réelles Re(a^n) et Im(a^n) forment une base du R-espace vectoriel ell_2.
exercice à traiter en TD : u_(n+2)=2 cos(theta) u_(n+1)-u_n, voir l'énoncé complet : polycopié chapitre 2 exercice 2.24.
Techniques de raisonnement : récurrence simple, récurrence double. Un exemple traité en détails : cos(n.theta) est un polynôme en cos( theta) (polynôme de Tchebychev), comme dans le polycopié 3 section 1.7.3.
Vocabulaire : majorant/minorant/borne supérieure/borne inférieure d'une partie de R. Suites réelles et complexes bornées.
cours 7, 3/2/2014 amphi A1: Suites réelles et complexes, vocabulaire : bornée, convergente, suite extraite. Limite de u_n + lambda.v_n, de u_n.v_n, de 1/v_n.
Savoir-faire : a) Inégalités triangulaires pour la somme de deux nombres complexes (inégalité "à gauche" et "à droite").
b) Majorer un quotient, c'est majorer le numérateur, et minorer le dénominateur.
Limite de la partie réelle et de la partie imaginaire. Exemple : convergence de suite géométrique réelle. Une suite réelle majorée converge.
Suite réelle monotone. De toute suite réelle on peut extraire une sous-suite monotone. On en déduit le théorème de Bolzano-Weierstrass dans le cas réel. Passage à la limite dans l'inégalité u_n inférieur à v_n. Théorème des gendarmes. Définition de u_n tend vers + infini.
cours 8, 4/2/2014, amphi 41B: Exemple : u_n = 3^n-n^2+n*log(n)/100+(-2)^n. Technique : repérer le terme dominant (comparaison exponentielle/puissance/log, quitte à se ramener à e^x/x tend vers + infini pour comparer deux suites), puis mettre en facteur ce terme dominant. Notation u_n=o(v_n), et u_n équivalente à v_n. On a surtout insisté sur la première notion. Notation u_n=o(1). Si u_n est négligeable devant v_n et v_n est négligeable devant w_n, alors u_n est négligeable devant w_n. Règle de simplification pour o(1/n)+o(1/n^2)+o(log(n)/n^2).
théorème de Bolzano-Weierstrass dans le cas réel et complexe.
Caractérisation séquentielle de la continuité d'une fonction f. On commence le chapitre suites récurrentes d'ordre 1, u_(n+1)=f(u_n). Si u_n tend vers ell et si f est continue en ell, alors ell=f(ell).
Exercice type : u_0>0, et u_(n+1)=sqrt(u_n+1). Positivité, définie pour tout n. Distinction entre les informations déduites de la croissance de f, et celles déduite du tableau de variation de f(x)-x. Point fixe de f. Représentation graphique, pour différentes données initiales u_0. Cette étude graphique a été terminée au cours suivant.
cours 9, 10/2, amphi A1: Si I=[a,b] et f : I->I est continue, alors f possède au moins un point fixe dans I, comme application du théorème des valeurs intermédiaires.
Définition d'une application k-contractante. Lorsque f est de classe C^1 et que |f'| est majorée par k (strictement inférieur à 1) sur I, alors f est k-contractante, comme conséquence du théorème des accroissements finis. Théorème du point fixe : soit f : I -> I une application k-contractante. Alors la suite u_(n+1)=f(u_n) est convergente pour toute condition initiale u_0 dans I. La limite "ell" est unique, elle vérifie ell=f(ell). De plus, pour tout n on a
|u_n-ell | <=k^n |u_0-ell |.
La démonstration de l'existence utilise le critère de Cauchy pour les suites. Cette notion de suite de Cauchy est définie.
cours 10, 11/2, amphi 41B: Le critère : "une suite est de Cauchy si et seulement si elle converge" est démontré.
Exemple détaillé de suite associée à f contractante : u_(n+1)=1/2(u_n+3/u_n), comme dans le synopsis 3.5.1. Etude graphique. Cette suite fournit des approximations rationnelles successives de racine(3). Comparaison entre la vitesse de convergence théorique, et l'observation expérimentale. On démontre directement que la convergence est en fait quadratique, et pas seulement géométrique comme le prédit le théorème du point fixe : le nombre de décimales correctes est au moins doublé à chaque itération.
Suites adjacentes. Exemple d'application : convergence de la somme partielle de la série de terme général (-1)^k/k.
Théorème de Cesaro : si u_n converge vers ell, alors sa moyenne de Cesaro converge vers ell. Théorème 1.12.1 du polycopié. Exercice à chercher : l'énoncé reste vrai si u_n tend vers + infini.
Ceci termine le chapitre "Suites réelles et complexes".
cours 11, 17/2, amphi A1: Début du chapitre matrices. On définit la loi externe et la loi interne qui font de M_(p,n)(K) un K-espace vectoriel. On définit le produit de deux matrices rectangulaires de taille convenable. L'application (A, B)-> A*B est linéaire para rapport à chacune des variables. Définition de l'application linéaire canonique phi_A : K^n ->K^p associée à la matrice A. L'image de la base canonique de K^n par phi_A est l'ensemble des colonnes A_j de A. Définition de Im(A), Ker(A), rang(A). Théorème du rang pour A. Im(A) est engendré par les colonnes de A. Le système linéaire AX=b possède une solution si et seulement si le vecteur b est dans l'image de A. Si c'est le cas, alors (principe de superposition), les solutions de AX=b sont de la forme X=X_0+X', où X_0 et une solution particulière, et X' est un vecteur du noyau Ker(A).
cours 12, 18/2, amphi 41B: Système linéaire (S), système homogène (ou sans second membre) associé. Notation matricielle AX=b, matrice augmentée associée (A,b). Le rang du système est le nombre de lignes de A linéairement indépendantes. On résoud un tel système par opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée (méthode du pivot de Gauss).
Trois types d'opérations élémentaires : a) permutation de deux lignes, b) multiplication d'une ligne par un scalaire non-nul, c) combinaison linéaire de deux lignes : L_i est remplacée par L_i+mu L_j, avec j différent de i.
L'algorithme consiste à placer un pivot (ie un coefficient 1) en haut à gauche, puis à annuler les coefficients dessous. On itère le procédé sur la sous-matrice obtenue. L'algorithme est terminé lorsque la matrice est échelonnée. Le nombre de pivots est alors égal au rang(S), et aussi au rang de A. Les variables libres correspondent aux n-r colonnes sans pivot. On déduit de ces variables libres une base de Ker(A) à n-r éléments. On obtient les équations qui déterminent Im(A) grâce à la nullité du second membre des les lignes nulles de la matrice échelonnée. Le choix des variables libres nulles conduit à une solution particulière Pour des énoncés précis qui font l'objet de question de cours, cf Th. 3.28 du Polycopié du chapitre 3, par Patrick Polo : matrices (version du 14/2/2014)
cours 13, 24/2, amphi A1: Déterminants. Exemple en taille 2x2. Déterminant d'une matrice, d'une famille de vecteurs colonnes. Propriétés générales. C'est une application linéaire en chaque colonne, et alternée : si deux colonnes sont égales, le déterminant associé est nul. De plus, le déterminant de la matrice identité vaut 1. Théorème (admis) : cette application existe, et est unique.
Propriétés qui en découlent : det(AB)=det(A) det(B). Le déterminant est inchangé quand on change une colonne C_i par C_i+aC_j. Le déterminant change de signe quand on échange deux colonnes.
Définition du mineur d'indice (i, j). Formule pour le développement du déterminant selon une colonne, puis selon une ligne. Exemples de calculs.
cours 14, 25/2, amphi 41B: Esquisse de démontration du théorème admis, et de justification de la formule pour le développement selon une colonne/selon une ligne. On renvoie chap. 3.5 du polycopié : matrices pour les détails de la preuve.
Matrice transposée. Propriété : elle a même déterminant que la matrice originelle
Matrices triangulaires (inférieures ou supérieures): leur déterminant est le produit des éléments sur la diagonale.
Corollaire : on peut faire des opérations sur les lignes pour calculer le déterminant. La méthode du pivot (sur les lignes ou les colonnes) fournit un algorithme efficace pour calculer le déterminant en pratique. Des exemples.
Matrice de Vandermonde (3x3). Calcul de son déterminant par une méthode polynomiale : le résultat est un polynome de degré 2 dont on connait deux racines et le coefficient dominant.
cours 15, 3/3, amphi A1: continuation du chapitre déterminant. Une matrice est de rang n si et seulement si son déterminant est non-nul. Définition de la comatrice associée à A.
Relation A*(transposée de la comatrice)=(transposée de la comatrice)*A=det(A) Id. Définition d'une matrice inversible, et du groupe GL_n(K). Théorème : A est inversible si et seulement si det(A) est non-nul. Si c'est le cas, son inverse est donné par (transposée de la comatrice de A)/det(A). Exemple 2x2.
Algorithme de calcul de l'inverse par la méthode du pivot : on augmente A en lui accolant à droite la matrice identité, et l'on pratique les opérations élémentaires sur la matrice ainsi augmentée. Lorsque la partie gauche est égale à Id, on lit l'inverse sur la partie droite.
Matrice d'une application linéaire. Notation A=Mat(u,B_E, B_F). Exemples divers.
cours 16, 4/3, amphi 41B: Matrices de u+v, de a.u, de la composée (v o u), de u^n. L'application u est inversible si et seulement si la matrice A associée est inversible, auquel cas A^{-1}=Mat(u^{-1}, B_F, B_E).
Calcul de u(x) exprimé dans la base B_F grâce à la colonne AX. Application au calcul pratique de Ker u : on se fixe des bases de E et F, et on doit résoudre un système linéaire homogène.
Matrice P de changement de base de B vers B' : P=Mat(Id, B, B'). Son inverse est la matrice du changement de base de B' vers B. Relation X=PX', et A'=P^{-1} AP.

cours 17, 10/3, amphi A1: Cours "intégration". définition d'une subdivision, d'une fonction en escalier, de son intégrale. Puis on a démontré le: Théorème: (i) L'ensemble E des fonctions en escalier sur I est un R-espace vectoriel. (ii) L'application de E dans R qui à une fonction en escalier f associe son intégrale I(f) est: (1) linéaire et (2) croissante c.-à-d., si f(x) est inférieur ou égal à g(x) pour tout x dans I, alors I(f) est inférieur ou égal à I(g). On a aussi démontré la relation de Chasles. Puis, pour une fonction bornée f de I dans R, on a défini ses intégrales inférieure I_(f) et supérieure I+(f) et donné la: Définition: f est intégrable au sens de Riemann sur I si et seulement si I_(f) = I+(f). Puis l'on a montré que les intégrales inférieure et supérieure vérifient la relation de Chasles, et qu'on a la: Proposition: notons m (resp. M) la borne inférieure (resp. supérieure) des f(x) quand x parcourt l'intervalle ouvert d'extrémités a et b. Alors on a les inégalités larges (notées =<) suivantes: (b-a) m =< I_(f) =< I+(f) =< (b-a) M. Enfin, on a énoncé le théorème fondamental ci-dessous, dont la version plus simple du synopsis est une Q. de cours: Théorème fondamental du calcul intégral. Soit f une fonction bornée de I dans R. On suppose que f admet en tout point intérieur x de I une limite à gauche f(x_) et une limite à droite f(x+). Alors f est intégrable sur tout intervalle contenu dans I et l'application F qui à tout x de I associe l'intégrale de f sur l'intervalle d'extrémités a et x, est continue sur I et dérivable à gauche et à droite en tout point intérieur de I, sa dérivée à gauche (resp. à droite) en x étant f(x_) (resp. f(x+)).
cours 18, 11/3, amphi 41B: Les fonctions continues par morceaux sont intégrables. Le "théorème fondamental du calcul intégral" (i.e. lien intégrale/primitive pour les fonctions continues). Théorème de Chasles. Propriétés de linéarité de l'intégrale (y compris l'espace des fonctions intégrables est un sous-ev).
Positivité+ croissance+ inégalité avec les valeurs absolues.
1ère formule de la moyenne.
inégalité de Cauchy-Schwarz avec discussion du cas d'égalité.
cours 19, 17/3, amphi A1: Primitives de base. intégration par parties. Formule du changement de variables, cas affine puis cas général. Exemple : dt/(1+sqrt(t)). Plus de détails dans la section 5.3 du polycopié chapitre 5 de P. Polo.
cours 20, 18/3, amphi 41B: Règles de Bioche. (f(t)dt est inchangée quand t devient -t = cas 1, t devient Pi-t = cas 2, Pi+t=cas 3).
Polynômes premiers entre eux, polynômes irréductibles. Cas réel, cas complexe (D'alembert-Gauss). Existence de la décomposition en facteurs irréductibles. Exemple : x^3-1.
Fractions rationnelles. Ecriture sous forme irréductible. Théorème d'existence de la décomposition en éléments simples. Exemples : 1/(x*(x+1)), 1/(x*(x-1)^2).
Exercice à faire à la maison corrigé séance suivante : décomposition en éléments simples, et primitive, de x^4/(x^3-1).
cours 21, 24/3, amphi A1: Chapitre diagonalisation. Cf synopsis et cours de P. Polo, de A. Guilloux. Révision : définition de valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre. Multiplicité géométrique d'une valeur propre (= la dimension de l'espace propre associé). Exemples de multiplicité 1, ou supérieure à 1. Calculs d'espaces propres en dimension 2, 3, 4.

Polynôme caractéristique. Ses racines sont les valeurs propres. Multiplicité algébrique d'une valeur propre.
cours 22, 25/3, amphi 41B: Définition d'une matrice, d'un endomorphisme diagonalisable. Exemples et non-exemples. Si f est diagonalisable, alors son polynôme caractéristique est scindé (= un produit de facteurs de degré 1). La réciproque est fausse : la matrice [0, 1; 0, 0] n'est pas diagonalisable, même si son polynôme caractéristique est scindé.
Théorème (critère pour être diagonalisable). Soit f : E-> E linéaire. La somme des multiplicités géométriques des valeurs propres de f est toujours <= à la dimension de E.
Il y a égalité si et seulement si f est diagonalisable.
cours 23, 31/3, amphi A1: Compléments d'analyse : formules de Taylor avec reste intégral. Formule de Taylor-Lagrange.
Définition d'une subdivision marquée d'un intervalle [a, b]. Cf polycopié chap. 5 de P. Polo. Cas de la subdivision régulière : le pas de cette subdivision est (b-a)/n. Somme de Riemann associée à une fonction et à une subdivision marquée.
Théorème de convergence des sommes de Riemann. Deux exemples. Démonstration du théorème dans le cas C^1.
cours 24 (dernier cours ce semestre), 1er avril, amphi 41B: Compléments d'algèbre. suites vectorielles X_{n+1}=AX_n, où X_n est un vecteur colonne de hauteur 2. Exemple numérique : on demande la limite de u_n/3^n, où u_n est la première coordonnée de X_n.
Somme directe de deux sous-espaces. Sous-espaces supplémentaires. Exemple dans R^3, et décomposition d'une fonction réelle en sa partie paire et sa partie impaire.
Questions de cours : Les questions de cours exposées en cours la semaine n sont exigibles en TD la semaine n+1. Elles se cumulent d'une semaine sur l'autre.
Semaine 1 :
(1) Enoncer les quatre axiomes qui font de (E, +) un groupe commutatif.
(2) Enoncer les quatre axiomes impliquant la loi externe qui font de (E, +, .) un espace vectoriel.
(3) Enoncer les trois axiomes qui définissent un sous-espace vectoriel.
(4) Définition d'une famille libre, d'une famille liée.
(5) Si E est muni d'une famille libre et génératrice, tout vecteur de E s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille. Savoir le démontrer.
(6) Donner les solutions complexes de l'équation différentielle y''=py'+qy. Savoir discuter selon les cas qui se présentent.
Semaine 2 :
(7) Th. 9.4.2 du synopsis. Donner les solutions réelles de l'équation différentielle y''=py'+qy. Savoir discuter selon les trois cas qui se présentent.
(8) Si E est de dimension finie, toutes les bases ont même cardinal. Ce sont les familles libres et génératrices, mais aussi les familles génératrices minimales, ou encore les familles libres maximales.
(9) Prop. 9.3.2 du synopsis : si dim E=n, les familles génératrices à n éléments sont des bases. Il en va de même pour les familles libres à n éléments. Toute famille génératrice possède n éléments au moins, et toute famille libre possède n éléments au plus.
(10) Enoncer le théorème de la base incomplète : Th. 9.3.4 du synopsis.
(11) Donner la définition d'une application linéaire, de son noyau et de son image.
(12) Savoir démontrer qu'une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit à zéro.
(13) Enoncer le théorème du rang : si T :V -> W est linéaire, et V de dimension finie, alors dim(Ker T)+dim(Im T)=dim(V).
(14) Donner la définition de valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre.
Semaine 3
(15) Donner la formule qui explicite le n-ème terme d'une suite arithmétique, d'une suite géométrique et d'une suite arithmético-géométrique. Y compris sur des exemples.
(16) Suites complexes solutions d'une récurrence linéaire d'ordre 2 homogène à coeff. constants : Th. 2.21 poly chap. 2.
(17) Suites réelles solutions d'une récurrence linéaire d'ordre 2 homogène à coeff. constants : Prop. 2.23 poly chap. 2.
(18) Vocabulaire : la définition de majorant/minorant/borne supérieure/borne inférieure d'une partie de R doit être connue, avec les quantificateurs (cf le polycopié chap. 3 section 1.8, ou le cours 1M001).
Semaine 4
(19) Inégalités triangulaires (à gauche et à droite) pour la somme de deux complexes z et z'. Savoir borner les suites Re(u_n) et Im(u_n) à partir d'une borne pour u_n. Réciproquement, savoir borner la suite (u_n) à partir de bornes pour Re(u_n) et Im(u_n).
(20) Donner la définition de "la suite complexe u_n converge.". Idem avec "la suite complexe (u_n) diverge".
(20) Enoncé du théorème de Bolzano-Weierstrass pour une suite réelle ou complexe.
(21) définition d'une suite négligeable devant une autre : notation u_n=o(v_n), et sa signification. Règles de calcul : savoir simplifier o(1/n)+o(1/n^2)+o(log(n)/n), ou un exemple similaire.
(22) suite u_(n+1)=f(u_n) :si (u_n) converge vers ell et si f est continue en ell, alors ell=f(ell). La démonstration, qui s'appuie sur la caractérisation séquentielle de la continuité et l'unicité de la limite, est à connaitre.
Semaine 5
(23) Définition : une application f est k-contractante. Définition 3.3.8 du synopsis.
(24) Théorème du point fixe : soit f : I -> I une application k-contractante. Alors la suite u_(n+1)=f(u_n) est convergente pour toute condition initiale u_0 dans I. La limite "ell" est unique, et elle vérifie ell=f(ell). De plus, pour tout n on a l'estimation |u_n-ell | <=k^n |u_0-ell |.
(25) Définition d'une suite de Cauchy : définition 2.1.6 du synopsis. Enoncé du critère 2.3.3 du synopsis : Une suite est convergente si et seulement si elle est de Cauchy.
(26) Les quatre axiomes vérifiés par deux suites adjacentes. Propriété : dans ce cas elles convergent et ont même limite. Synopsis 2.3.1 et 2.3.2.
Semaine 6
(27) Définition du produit de deux matrices rectangulaires : tailles compatibles, et formule pour le terme général. Propriétés de linéarité de (A,B)-> A*B.
(28) Définition de l'application linéaire canonique phi_A associée à une matrice rectangulaire. cf polycopié, Prop. 3.8 et 3.11. Définition de Im(A), Ker(A), rang(A) en terme de phi_A.
(29) Définition du rang d'un système linéaire. cf polycopié, Déf. 3.12.
(30) Forme générale des solutions d'un système linéaire. (principe de superposition). cf polycopié, Th. 3.13.
(31) Algorithme du pivot de Gauss : la liste des trois opérations élémentaires autorisées. cf polycopié, section 3.4.1.
(32) Résolution d'un système linéaire AX=b, et détermination de Im(A) et Ker(A) grâce à une matrice échelonnée A_r associée : énoncé du Théorème 3.28 du polycopié.
Semaine 7
(32) det(AB)=det(A) det(B) pour deux matrices carrées A et B.
(33) Théorème fondamental d'unicité et d'existence du déterminant comme application multilinéaire alternée, qui vaut 1 sur la matrice identité. (Th. 3.33a) du polycopié).
(34) Le déterminant est invariant quand on fait une opération élémentaire sur les colonnes de la forme C_i reçoit C_i + lambda C_j, avec j different de i. Analogue pour les lignes. Comportement du déterminant quand on échange deux colonnes, ou deux lignes.
(35) Définition du mineur en position (i,j), et du signe qui est attaché à cette position. (cf polycopié Remarque 3.40). Savoir appliquer la définition sur un exemple 4x4.
(36) Formule pour le développement selon une ligne ou une colonne d'un déterminant. (3.39) du polycopié. Savoir l'utiliser sur un exemple 3x3.
(37) Définition de la matrice transposée de A. Son déterminant est celui de A. Définition d'une matrice triangilaire supérieure. Formule pour son déterminant.
(38) Savoir mener l'algorithme du pivot, par opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes, pour calculer le déterminant d'une matrice 3x3.
Semaine 8
(39) définition des coefficients de la comatrice associée à A. Relation A*(transposée de la comatrice de A)=det(A).Id_n.
(40) A est inversible si et seulement si det(A) est non-nul. Dans ce cas, son inverse est donnée par A^{-1}=(transposée de la comatrice de A)/det(A).
(41) Savoir calculer l'inverse d'une matrice de petite taille par la méthode du pivot, pratiquée sur la matrice A augmentée de l'identité.
(42) Définition de la matrice associée à u : E-> F, où E et F sont bases de deux bases.
Lorsque l'on a également v : F-> G, formule pour la matrice de la composée (v o u) : Mat(v o u, B_E, B_G)=Mat(v, B_F, B,G) * Mat(u, B_E, B_F).
(43) u est inversible si et seulement si A=Mat(u, B_E, B_F) est une matrice inversible. Dans ce cas, A^{-1}=Mat(u^{-1}, B_F, B_E).
(44) Si x s'écrit dans la base B_E sous forme d'un vecteur colonne X, et si A=Mat(u, B_E, B_F), alors u(x) s'écrit dans la base B_F sous forme du vecteur colonne AX.
(45) Soit E muni de deux bases B et B'. La matrice P=Mat(Id_E, B', B) est par définition la matrice de passage de B vers B'.
Si x s'écrit dans la base B sous forme d'un vecteur colonne X, et si x s'écrit dans la base B' sous forme d'un vecteur colonne X', alors on a la relation X=PX'.
Soit f est un endomorphisme de E. On pose A=Mat(f, B) et A'=Mat(f, B'). Alors on a la relation A'=P^{-1}AP.
Semaine 9
(46) Définition d'une fonction en escalier, et de son intégrale. (= déf. 5.1 du polycopié de P. Polo, ou, au choix, 4.1.2 et 4.1.5 du synopsis).
(47) Théorème fondamental du calcul intégral, pour les fonctions continues. (= 5.17 du polycopié de P. Polo, ou 6.1.3 et 6.1.4 du synopsis).
(48) Propriétés de linéarité, et de positivité de l'intégrale (=4.2.5 du synopsis).
(49) Egalité et inégalité de la première formule de la moyenne (5.21 du polycopié, ou 4.2.10 du synopsis pour l'inégalité).
(50) Inégalité de Cauchy-Schwarz. Cas d'égalité dans l'inégalité. (4.3.2 du synopsis. Une version équivalente consiste à élever (correctement) les deux membres de l'inégalité au carré).
Semaine 10
(51) Primitives élémentaires (= celles de t^alpha, exp((alpha+i*beta)*t), cos(t), sin(t), 1/(1+t^2)).
(52) Formule d'intégration par parties. (synopsis, 6.16).
(53) Formule du changement de variable. (synopsis 6.17).
(54) Définition d'un polynôme irréductible. Enoncé du thérème d'existence de la factorisation d'un polynôme en facteurs irréductibles. (polycopié de A. Guilloux, déf. 6.14 et Prop. 6.16).
(55) Enoncé du théorème d'existence et d'unicité de la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle. (polycopié de A. Guilloux, Th. 6.2.3).
Semaine 11
(56) Révision : définition de valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre. Multiplicité géométrique d'une valeur propre (= la dimension de l'espace propre associé).
(57) Définition d'un endomorphisme diagonalisable.
(58) Définition d'une matrice diagonalisable.
(59) Théorème (critère pour être diagonalisable). Soit f : E-> E linéaire. La somme des multiplicités géométriques des valeurs propres de f est toujours <= à la dimension de E. Il y a égalité si et seulement si f est diagonalisable.
(60) Définition du polynôme caractéristique d'une matrice M (ou d'un endomorphisme). Propriété : les racines du polynôme caractéristique sont les valeurs propres de M.
Semaine 12
(61) Enoncé de la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre n. Th. 5.26 du polycopié de P. Polo.
(62) Enoncé de la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre n. Th. 5.27 du polycopié de P. Polo.
(63) Définition d'une subdivision marquée (sigma, Theta), et de la somme de Riemann associée S(f,sigma, Theta). Cas particulier important : la subdivision régulière, et les Theta_k sont choisis au bord de chaque sous-intervalle. 5.41 dans le polycopié.
(64) Enoncé du théorème de convergence des sommes de Riemann. Th. 5.43.
(65) Définition de deux sous-espaces vectoriels en somme directe, puis de deux sous-espaces supplémentaires (cf synopsis 9.2.4 et 9.2.6).

Evaluation du cours

L'évaluation de cette UE est uniquement en Contrôle Continu. La note sera obtenue comme suit :
Comme 20 + 12 + 12 = 44, la somme de ces évaluations en TD donnera une note C sur 44. Enfin, la note finale F sur 100 sera le sup de E+C et de 100 E/56, c'est-à-dire que les évaluations en TD ne peuvent qu'améliorer la note finale.
Pour tous les contrôles et examens: Aucun document autorisé. Calculatrices et téléphones portables interdits.