2015-2016
Entrainement à l'écrit d'algèbre de mathématiques, Prépa Agreg UPMC 2015-2016
Une
liste de 20 questions de cours exigibles pour la deuxi&eagraveme session de colles. La démonstration complète a été donnée en cours.
:
-1. Les sous-groupes de (Z,+) sont les mZ.
-2. Soit G un groupe cyclique d'ordre n. Alors pour tout d divisant n, G possède un unique sous-groupe d'ordre d.
-3. Le premier théorème d'isomorphisme, pour les groupes.
-4. identité n=sum_{d|n} phi(d) pour la fonction phi d'Euler.
-5. un lemme utile : soit G un groupe abélien fini. Il existe dans G un élément d'ordre le ppcm des ordres des éléments de G.
-6. Application du lemme utile 5 : Soit k un corps commutatif, et G un sous-groupe fini de k^*. Alors G est cyclique.
-7. Lemme de prolongement des caractères : Si G est un groupe abélien fini, et H un de ses sous-groupes, alors tout
caractère de H se prolonge en un caractère de G.
-9. 2ème application du lemme de prolongement 7 (en combinaison avec le lemme 5) : Théorème de classification des
groupes abéliens finis : Tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit de groupes cycliques C_j, dont les cardinaux successifs se divisent.
La démonstration de l''unicité de cette décomposition n'est pas exigible.
- 11. Lorsque p est un nombre premier impair, le symbole de Legendre x->x^((p-1)/2) vaut 1 sur les carrés et -1 sur les non-carrés modulo p.
-12. Calcul efficace du symbole de Legendre par la méthode d'exponentiation rapide.
Estimation du nombre d'opérations modulo p en O(log p).
- 16. Soit H un sous-groupe d'indice 2 d'un groupe G. Alors H est distingué dans G.
Application : isomorphisme exceptionnel : PGL_2(F_4) est isomorphe à A_5.
- 17. Formule des classes. Application : le centre d'un p-groupe est non-trivial.
- 21. Si K est un corps fini, son cardinal est une puissance d'un nombre premier.
- 22. Structures additives et multiplicatives comparées de
trois anneaux non-isomorphes à 4 éléments.
- 23. Les polynomes cyclotomiques,
définis avec les racines primitives de l'unité, sont en fait à coefficients entiers.
Savoir les calculer explicitement pour de petits degrés (n<=20).
- 24. Les anneaux Z[i] et Z[sqrt(2)] sont euclidiens, donc principaux.
- 25.
Enoncé du lemme des noyaux. Démonstration en utilisant une relation
de Bezout bien choisie. (cours de Mr. Saias du 23 octobre 2015).
- 26. Lemme des contenus de Gauss : si P et Q dans A[X] sont des polynomes à coefficients dans un anneau A,
avec A=Z ou A=k[Y],
alors leurs contenus vérifient l'égalité suivante dans A : c(PQ)=c(P)c(Q).
- 30. Critère d'irréductibilité d'Eisenstein. Enoncé et application à l'irréductibilité du p-ième polynome cyclotomique Phi_p.
La démonstration n'est pour l'instant pas exigible.
- 31. Factorisation de X^(p^n)-X en facteurs irréductibles dans F_p[X].