Corps commutatifs et théorie de Galois

Paul Tauvel

Préface :

L’auteur de ces notes souhaite, dans cette préface, indiquer quels sont les principes qui l’ont guidé lors de la rédaction de cet ouvrage. Tout d’abord, il a voulu que le livre soit très autonome. Pour ce faire, plusieurs chapitres sont consacrés à des révisions portant sur les groupes et les polynômes. Si l’on ne peut pas revenir sur tous les résultats que l’étudiant a vu lors de ses études universitaires, il peut lui être très profitable de pouvoir trouver dans l’ouvrage les démonstrations d’assertions que l’on va utiliser dans la suite. C’est certainement le cas pour les groupes symétriques et la résolubilité de certains de ces groupes. L’autre souci du rédacteur a été d’écrire un livre de niveau plutôt élevé. Actuellement, une grande mode consiste à écrire des ouvrages de mathématiques assez édulcorés en ce qui concerne le niveau. Cette tendance semble avoir encore été accentuée avec la réforme du LMD et, dernièrement, on a vu dans la plupart des universités les programmes de mathématiques diminuer même dans les filières où c’est la discipline principale. Il est clair que c’est une erreur : les étudiants ne sont absolument pas moins intelligents que ceux des générations précédentes, et plutôt que de diminuer les programmes il vaut mieux essayer de leur enseigner des choses difficiles, mais qui peuvent les captiver. Ce qui est contenu dans cet ouvrage dépasse donc ce qui est enseigné dans un cours « usuel » de théorie de Galois, mais peut donner le goût à des étudiants d’aller encore plus loin dans la théorie. Dernier point enfin, l’auteur n’a pas souhaité non plus sacrifier à une mode très tenace, et qui consiste à raconter la vie de Galois.

Quatrième de couverture :
La théorie des corps occupe une place prépondérante en algèbre générale. Elle est également au cœur de plusieurs autres domaines des mathématiques : géométrie algébrique, théorie des nombres, groupes arithmétiques, cryptographie, théorie des modèles... L’ouvrage que lui consacre Patrice Tauvel comporte une étude exhaustive des extensions algébriques, et, ce qui est moins fréquent, des extensions transcendantes, ainsi qu’une remarquable initiation à la théorie de Galois différentielle. Les corps finis précèdent dans le texte la théorie de Galois classique et lui servent de motivation. Viennent ensuite les constructions par règle et compas et la résolution des équations par radicaux. Enfin, une attention toute particulière est accordée à la théorie des corps ordonnés. Le cours est illustré par plus de 200 exercices, choisis avec soin. Ce livre s’adresse aux étudiants en master de mathématiques, aux candidats à l’agrégation ainsi qu’aux enseignants et chercheurs.
Patrice Tauvel a su rédiger, dans un style épuré et particulièrement rigoureux, un cours complet et brillant sur les corps, devenu dès sa première édition un ouvrage de référence.

“... In view of the many outstanding features that this masterly textbook on fields and Galois theory has to offer, above all with regard to its methodological originality and elegance, mathematical abundance and topicality, didactical skill, and user-friendly lucidity, it must be seen as both a highly valuable complement and a welcome alternative to the vast textbook literature in this fundamental area of modern abstract algebra. ”
Werner Kleinert - Humboldt University (Berlin) - Zentralblatt MATH

Table des matières

1. Résultats divers
1. Conventions et notations
2. Relations d’ordre
3. Corps des fractions
4. Caractéristique d’un anneau
5. Corps premiers
6. Théorème de d’Alembert
7. Fonction d’Euler
8. Fonction de Möbius
9. Pseudo-anneaux
10. Matrices et endomorphismes
11. Exercices

2. Polynômes
1. Notations
2. Degré
3. Valuation
4. Divisions
5. Propriétés arithmétiques
6. Diviseurs, multiples
7. Polynômes irréductibles
8. Substitutions
9. Zéros des polynômes
10. Dérivations et formule de Taylor
11. Corps algébriquement clos
12. Polynômes réels
13. Coefficients et racines
14. Critères d’irréductibilité
15. Résultant et discriminant
16. Exercices

3. Rappels sur les groupes
1. Notations
2. Quotients
3. Groupes résolubles
4. Groupes symétriques
5. Signature et groupe alterné
6. Groupe symétrique et résolubilité
7. Opérations de groupes
8. Applications aux groupes
9. Sous-groupes de Sylow
10. Exercices

4. Extensions
1. Généralités
2. Extensions algébriques
3. Bases de transcendance
4. Théorème de Lüroth
5. Norme et trace
6. Exercices

5. Extensions de décomposition
1. Homomorphismes et groupe de Galois
2. Corps de rupture
3. Clôture algébrique
4. Extensions composées
5. Extensions de décomposition
6. Exercices

6. Corps finis
1. Racines de l’unité
2. Commutativité des corps finis
3. Propriétés des corps finis
4. Polynômes irréductibles
5. Quelques constructions explicites
6. Exercices

7. Séparabilité
1. Polynômes séparables
2. Corps parfaits
3. Extensions séparables
4. Séparabilité et homomorphismes
5. Théorème de l’élément primitif
6. Degré séparable
7. Extensions radicielles
8. Fermeture séparable
9. Clôture séparable
10. Exercices

8. Extensions normales
1. Éléments conjugués
2. Extensions normales
3. Clôture normale
4. Séparabilité et extensions normales
5. Exercices

9. Théorie de Galois
1. Extensions galoisiennes
2. Correspondance de Galois
3. Inégalités entre indices et degrés
4. Sous-extensions galoisiennes
5. Un exemple
6. Extensions abéliennes
7. Extensions cycliques
8. Applications
9. Exercices

10. Résolubilité par radicaux
1. Opération du groupe de Galois
2. Groupes de Galois résolubles
3. Extensions radicales
4. Équations résolubles par radicaux
5. Exemples
6. Exercices

11. Constructions à la règle et au compas
1. Nombres de Fermat
2. Deux nombres transcendants
3. Points constructibles
4. Corps et points constructibles
5. Impossibilités classiques
6. Polygones réguliers
7. Exercices

12. Corps ordonnés
1. Anneaux ordonnés
2. Corps ordonnés
3. Carrés et corps ordonnés
4. Extensions et corps ordonnés
5. Extensions algébriques
6. Corps ordonnés maximaux
7. Exercices

13. Nombres réels
1. Suites convergentes et suites de Cauchy
2. Corps des nombres réels
3. Propriétés topologiques
4. Propriétés algébriques
5. Applications continues
6. Une représentation des réels
7. Une caractérisation des réels
8. Exercices

14. Polynômes à plusieurs indéterminées
1. Généralités
2. Substitutions
3. Dérivations
4. Polynômes symétriques
5. Sommes de puissances
6. Fractions rationnelles symétriques
7. Une extension galoisienne
8. Exercices

15. Compléments de théorie de Galois
1. Théorème de la base normale
2. Permutations paires
3. Extensions composées
4. Interprétation du groupe de Galois
5. Exercices

16. Extensions transcendantes
1. Extensions linéairement disjointes
2. Extensions algébriquement disjointes
3. Extensions séparables
4. Dérivations
5. Extensions et dérivations
6. Exercices

17. Entiers sur un anneau
1. Anneaux de fractions
2. Dépendance intégrale
3. Anneaux intégralement clos
4. Relèvement des idéaux premiers
5. Prolongement des homomorphismes
6. Théorème des zéros
7. Réductions et groupes de Galois
8. Exercices

18. Corps différentiels
1. Anneaux et corps différentiels
2. Quelques résultats
3. Extensions élémentaires
4. Application
5. Extensions de Picard-Vessiot
6. Groupe de Galois différentiel
7. Exercices

Bibliographie
Notations
Index