Réduction des endomorphismes

Rached Mneimne

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Extraits de la préface :
La réduction des endomorphismes est devenue de nos jours un chapitre bien classique des mathématiques de Propédeutique. Le présent ouvrage n’est pas une présentation de plus du sujet destinée aux jeunes étudiants qui font leurs premiers pas dans l’apprentissage des mathématiques supérieures. Il suppose en fait une familiarité certaine avec le sujet, même s’il reprend ici ou là quelques énoncés bien connus et en donne des démonstrations souvent inédites et concises, et même si, également, il explique ou rappelle les éclairages nécessaires pour une compréhension de qualité de la matière dans ses parties les plus classiques. Nous avons, il est vrai, opté sans détours pour le langage des groupes opérant, pour celui des suites exactes (courtes), et surtout pour l’utilisation de la réduction de Jordan, sans le souci des limites d’un programme actuel ou d’un autre à venir ! Il nous semble en effet que les scrupules des anciens, comme des contemporains, à introduire l’usage de cette réduction seront tôt ou tard écartés, comme furent écartés les scrupules à enseigner l’intégrale de Lebesgue dans les classes préparatoires. La réduction de Jordan présentée avec le secours des tableaux de Young allie à une efficacité et une simplicité certaines un attrait esthétique bien souvent absent des méthodes que nos jeunes ont le loisir de manipuler. La maîtrise de cette réduction ramène, par exemple, toute l’apparente complexité du cas nilpotent à la combinatoire élémentaire des tableaux de Young. Elle ouvre par ailleurs la voie à une compréhension inattendue de bien des aspects de la théorie des représentations, aspects dont on était bien conscient aux moments fondateurs, mais qui sont noyés de nos jours dans un vocabulaire tout aussi opaque que dense. Une fois maîtrisée la réduction de Jordan, le chemin est alors libre vers l’apprentissage des représentations de l’algèbre de Lie sl(2,C) des matrices d’ordre deux de trace nulle, véritable génome de la théorie des représentations des algèbres de Lie semi-simples complexes et lieu d’initiation privilégié pour apprécier et comprendre quelques aspects des représentations des algèbres associatives : théorème de Burnside, théorème sur le bicommutant, composantes isotypiques, etc. Ici, comme avec les tableaux de Young, c’est visuellement et par la manipulation des « pyramides renversées » que l’on maîtrise la complexité de la situation. Le titre volontairement modeste que nous avons donné à l’ouvrage souligne en réalité cette unité et cette continuité, dans la théorie des représentations, entre les parties élémentaires et celles qui le sont moins. Notre penchant pour les représentations de sl(2,C) nous a fait choisir d’initier le lecteur à cette théorie par ce biais, quand d’autres auteurs le font par l’étude des représentations des groupes finis (ou des groupes compacts). Ce choix impliquait naturellement tout un développement sur la structure des algèbres de Lie semi-simples complexes. Il ne s’agissait cependant guère pour nous de récrire le livre de J.-P. Serre sur le sujet en moins bien, ce que d’autres auteurs ont fait avec plus ou moins de bonheur, mais de reprendre avec le maximum de concision les idées et la philosophie de ce grand classique en y usant, quand cela rendait les choses plus claires, du langage des suites exactes, mais surtout en montrant au lecteur comment tout (ou presque) y est finalement de la « jordanisation » (effective) cachée. Nous avons voulu également insister sur le côté géométrique des choses en dégageant en priorité le groupe Aut(g) des automorphismes de l’algèbre de Lie g, ainsi que le groupe Int(g) de ses automorphismes intérieurs. Nous pensons ainsi avoir bien fait comprendre la part synthétique de la théorie, gérée par les invariants de nos automorphismes, par opposition à la part analytique qu’implique le choix d’une sous-algèbre de Cartan. Cet objet qui pourrait dérouter le débutant s’éclaire d’une façon nouvelle quand on saisit que la donnée d’une sous-algèbre de Cartan permet de calculer, un peu comme celle d’un repère cartésien le fait en géométrie ! La conjugaison des sous-algèbres de Cartan vient à point pour rappeler la prééminence de la symétrie sur les relations algébriques, même si chaque territoire marque l’autre de son sceau.
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On peut rester longuement dans le cadre matriciel en se confinant à sl(n,C) et y faire des choses intéressantes, non triviales. Il s’avère cependant nécessaire de passer, tôt ou tard, au cadre général des algèbres de Lie semi-simples, où les choses deviennent d’un côté plus simples, notamment par la reconnaissance des ustensiles intrinsèques, et de l’autre plus ardues du fait de la relative complexité technique du cadre concerné. Les livres qui introduisent les algèbres de Lie s’orientent systématiquement vers la classification des systèmes de racines, ou, ce qui revient au même, vers la classification des algèbres de Lie semi-simples complexes. Une fois déroulé le processus usuel qui part de la définition d’une sous-algèbre de Cartan et qui aboutit aux diagrammes de Dynkin, plusieurs développements sont possibles : représentations de dimension finie, géométrie des orbites nilpotentes, cohomologie des algèbres de Lie, etc. Le choix opéré dépend du goût des auteurs, mais également de leur savoir-faire. L’étude du cône nilpotent et des orbites nilpotentes présente, à nos yeux, un côté esthétique supérieur, et constitue un lieu où se déploient des méthodes mathématiques d’une vitalité et d’une élégance remarquables.

Table des matières

1 Introduction
2 Manipulations premières sur la relation de similitude
3 Valeurs propres. Polynôme caractéristique. Polynôme minimal
4 La partition de M(n,C) en classes de similitude
5 La suite des noyaux itérés. Les tableaux de Young
6 Les matrices nilpotentes. Le cône nilpotent
7 La réduction de Jordan pour elle-même
8 Familles particulières de matrices. Les matrices de la classe δ
9 Application. Racines carrées de matrices
10 Application au calcul de la dimension du commutant
11 Application. Connexité et centralisateur
12 Matrices régulières
13 Réduction simultanée
14 Un autre point de vue sur la réduction de Jordan. La version K[X]-modules
15 Matrices de Hessenberg
16 Le cas réel
17 Similitude et Congruence. Les matrices symétriques réelles
18 Quelques exemples récapitulatifs
19 Laissés de côté
20 Exercices
20.1 Normes invariantes
20.2 Contrôle des solutions d’un système différentiel
20.3 Polynômes et exponentielles
20.4 Sous-espaces de dimension finie de fonctions continues stables par composition à la source
20.5 Ergodique
20.6 Matrices régulières et commutants
20.7 Quand une classe de similitude n’est pas connexe
20.8 Connexité et classes de similitude particulières
20.9 L’application A → Aexp(A) est surjective
20.10 Réduction simultanée de deux formes quadratiques
20.11 Décomposition polaire et application
20.12 Quand U(n) opère par multiplication à gauche
20.13 Trois sous-groupes compacts maximaux
20.14 L’inégalité de Kantorovich
20.15 Décomposition de Bruhat
20.16 Sur les drapeaux
20.17 Sous-espaces hypostables et matrices de Hessenberg
20.18 Une curiosité
20.19 De l’intérêt de la décomposition de Dunford
20.20 Un raffinement dans la décomposition de Dunford
20.21 Le critère de Klarès
20.22 Équation homogène pour le cône nilpotent réel
20.23 Les matrices nilpotentes régulières
20.24 Nilpotents de C[A]
20.25 Quand l’image est un sous-espace propre
20.26 Des tableaux de Young rectangulaires
20.27 Une division cellulaire
20.28 Une question de stabilité
20.29 Une autre question de stabilité
20.30 Nombre des supplémentaires stables
20.31 Une somme encombrante
20.32 Un exercice de concours
20.33 Huit autres
20.34 Une matrice nilpotente est semblable à son double
20.35 D’autres exercices possibles de concours
20.36 Toute matrice de M(n,C) est semblable à une matrice symétrique
20.37 Vu à l’agrégation
20.38 Suite du précédent
20.39 Connexité et classe δ
20.40 Matrices à polynôme caractéristique réel
20.41 L’équation χ_A=χ_B
20.42 Déterminant et non-dégénérescence
20.43 Le lemme de Chaperon
20.44 Le lemme de Magneron
20.45 Sur les matrices normales
20.46 Place de matrices normales dans les armoires
20.47 Réduction des matrices normales réelles. La façon Skandalis
20.48 Une localisation des valeurs propres. Les disques de Gershgörin
20.49 Propreté d’une application polynomiale
20.50 Matrices stochastiques
20.51 Les matrices de Bourdaud
20.52 Matrices remarquables
20.53 Bases de jordanisation et pivot de Gauss
20.54 Le théorème de Flick d’Ornano
20.55 Les fibrés en droites O(n)
20.56 Élémentaire
20.57 Sous-espaces de M(n,C) stables par l’action à gauche de GL(n,C)
20.58 Sous-espaces de M(n,C) stables par similitude
20.59 Idéaux à gauche de M(n,C)
20.60 Retrouver l’algèbre simple M(n,C) à partir de l’un de ses idéaux à gauche
20.61 Un des théorèmes de Burnside
20.62 Bases matricielles, décompositions de l’unité et automorphismes de M(n,K)
20.63 Autre façon de faire
20.64 La représentation irréductible de l’algèbre M(n,C)
20.65 Burnside, en un coup de baguette
20.66 Quelques applications du théorème de Burnside
20.67 Une autre preuve du théorème de Jordan
20.68 Encore une
20.69 La décomposition de Frobenius « forte »
20.70 Un critère de nilpotence
20.71 Au delà de la classe δ
20.72 L’indication en moins
20.73 L’antichambre de la réduction injective stricte
20.74 La réduction injective — Applications
20.75 Le cône des matrices de carré nul
20.76 Pseudo-inverses et sl_2-triplets
20.77 L’ensemble des transvections comme classe de similitude
20.78 Le Théorème d’Engel — Démonstration
20.79 Les dérivations et leurs sous-espaces caractéristiques
20.80 Dérivation nilpotente
20.81 Là où (peut-être) naquit l’idée de poids
20.82 Le théorème de Lie — Preuve
20.83 Trace et crochets
20.84 Le critère de Cartan
20.85 Théorème de Weyl sur les représentations d’une algèbre de Lie semi-simple
20.86 Idéaux d’une algèbre de Lie semi-simple
20.87 Dérivations d’une algèbre de Lie semi-simple
20.89 Décomposition de Jordan-Dunford-Chevalley dans g semi-simple
20.90 Une manière d’attraper les matrices génériques
20.91 Cinq arguments pour se convaincre que l’endomorphisme ad(A) de gl(V) est de trace nulle
20.92 Deux façons d’établir que d est diagonalisable si ad(d) l’est
20.93 Déterminant de l’endomorphisme Ad(P)
20.94 Élémentaire
20.95 Réduction de Jordan effective de ad(E_ij)
20.96 Jordanisation effective de ad(X_α), pour X_α\in g_α
20.98 Unicité de Y dans un sl_2-triplet
20.99 Conjugaison de deux sl_2-triplets
20.100 Les endomorphismes ad(N) et le cône nilpotent de End(M(n,K))
20.101 Nilespace et autres sous-espaces caractéristiques de l’endomorphisme ad(A)
20.102 Nilespace et coeur
20.103 Irréductibilité de la représentation tautologique du sl_2-triplet standard
20.104 La réalisation standard de la représentation irréductible V(n) de dimension n+1 de sl(2,C)
20.105 Pyramides renversées et caractère formel d’une représentation de sl(2,C)
20.106 Commutant d’une représentation de sl(2,C) et δ-défaut de ad(X)
20.107 Multiplicité d’une représentation irréductible
20.108 Les matrices des algèbres de Lie classiques sont de trace nulle
20.109 Exercice élémentaire
20.110 L’exponentielle sur sl(2,R)
20.111 De la géométrie des hyperboloïdes à une nappe
20.112 Sous-algèbres de Cartan de M(n,R)
20.113 Lorsque z(M) est une algèbre commutative
20.114 Lorsque z(M) est de dimension minimale
20.115 Les nombres pairs à l’affiche
20.116 Lorsque z(M) est une algèbre de Lie réductive
20.117 Lorsque z(M) est une algèbre locale
20.118 Lorsque z(M) est une algèbre (associative) réduite
20.119 Sous-algèbres réduites de M(n,C)
20.120 Les nilpotents distingués sont les nilpotents réguliers dans M(n,C)
20.121 Un argument inédit
20.122 Un trop grand ouvert
20.123 Une différentielle qui vient un peu tard
20.124 Disjoints à l’infini
20.125 Une représentation irréductible
20.126 Une autre approche via les algèbres de Lie
20.127 Formes bilinéaires invariantes et représentations irréductibles de sl(2,C)
20.128 Le Lemme de Schur
20.129 Un isomorphisme de groupes
20.130 Élémentaire
20.131 La forme de Killing d’une algèbre de Lie résoluble
20.132 Un autre parfum
21 Algèbres de Lie de dimension finie
22 Les représentations irréductibles de dimension finie des algèbres de Lie semi-simples complexes
23 Dernières considérations sur les orbites. Le cône nilpotent
24 Appendice. Poincaré-Birkhoff-Witt
25 Examens
25.1 DEA — Mneimné Paris, mars 99
25.2 DEA — Mneimné Paris, mai 99
25.3 DEA — Mneimné Paris, juin 99
25.4 DEA — Keller & Mneimné Paris, juin 01
25.5 DEA — Caldéro Lyon, janvier 1999
25.6 DEA — Caldéro Lyon, janvier 2000
26 Postface
27 Bibliographie