Géométrie analytique classique

Jean-Denis Eiden

Quatrième de couverture :
La lecture des programmes de mathématiques de nos lycées et collèges, voire de nos universités, pourrait laisser penser que la Géométrie est sur le déclin. Ce livre prouve brillamment qu’il n’en est rien. La « Géométrie des Grecs » est au contraire toujours aussi resplendissante. Si « géomètre » a certes cessé d’être synonyme de « mathématicien », la Géométrie reste plus que jamais la discipline reine des mathématiques, et la chronique royale que nous en donne ici Jean-Denis Eiden montre qu’elle n’est pas près d’abdiquer. Source irremplaçable pour l’intuition scientifique, la Géométrie a su préserver l’héritage façonné par ses maîtres d’œuvre, de l’Antiquité à nos jours, tout en s’enrichissant des apports de l’Algèbre et de l’Analyse. Qui dit géométrie dit bien sûr figures, et le lecteur ne pourra qu’être fasciné par celles dont ces pages sont parsemées. Réalisées avec les outils très puissants que nous offre l’informatique, elles contribuent à montrer combien vaine serait l’idée de réduire la géométrie à de l’algèbre, si raffinée soit-elle. Pour nous emmener à la conquête des droites, des triangles, des cercles, des coniques, l’auteur n’exige de nous que l’équipement minimal. Les concepts indispensables sont introduits au fur et à mesure, sans recherche gratuite de généralité. Les approfondissements ne sont suggérés qu’en seconde lecture, et seulement s’ils permettent de donner à une notion un nouvel éclairage ou d’illustrer un principe général important.

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183 illustrations

Avec rigueur et clarté, dans une langue impeccable qu’il manie avec un grand talent, Jean-Denis Eiden s’adresse évidemment avant tout aux amoureux de la géométrie, mais aussi à beaucoup de ceux qui ne le seraient pas encore… Son livre sera très utile aux étudiants de Licence, ainsi qu’aux candidats au CAPES ou à l’agrégation, qui y trouveront matière à donner de la chair à des leçons de géométrie, ou à illustrer des leçons d’algèbre avec des applications originales.

Ancien élève de l’ÉNS de Saint-Cloud et agrégé de mathématiques, Jean-Denis Eiden est professeur de Mathématiques Spéciales (MP*) au lycée Fabert à Metz.
Présentation :
Voici les principaux thèmes qui font l’ossature de l’ouvrage, ainsi que le bestiaire que l’on va y côtoyer.

Quelques principes d’Algèbre

Vecteurs propres et points fixes
Valeurs propres et théorème de Feuerbach
Le Nullstellensatz
Coniques et théorème de Bezout
Densité algébrique
Autopolarité et diagonalisabilité
Théorie de Galois et configurations
Le birapport
Birapport et permutations
Birapport, orbites et corps finis
La formule des six birapports
Harmonie, formes quadratiques et trace
Lien entre $GL_2(CC)$ et $Sim(3,1)$
La signature
Signature et dégénérescence d’une conique
Signature et cercles-points
Signature et sextangles harmoniques
Signature et orhogonalité de cercles
Signature et faisceaux de cercles
Signature et réseaux de cercles
Signature et théorème de Witt

Les grands théorèmes

Le théorème de Feuerbach
Le théorème de Pascal pour le cercle
Le théorème de Pascal barycentrique
Théorème de Pascal et Géométrie algébrique
Le théorème de Brianchon
Le théorème de Carnot
Le théorème de Ptolémée

Les monstres sacrés

Points liés à un triangle, et autres vedettes
Coordonnées barycentriques des points $O,G,\Omega,H$
Coordonnées barycentriques des points $I,I_a,I_b,I_c$
Coordonnées barycentriques des points cycliques
Affixes des points $O,G,\Omega,H$
Les points de Lucas
Le point de Lemoine
Les centres isodynamiques
Le point de Fermat
Le point de Napoléon
Le point de Gergonne

Lieux et ensembles définis géométriquement
Cinq points définissent une conique
L’axe radical de deux cercles, version algébrique
L’axe radical de deux cercles, version géométrique
Equation barycentrique du cercle circonscrit
Le cercle d’Euler
L’axe d’Euler
Equation barycentrique du cercle d’Euler
Équation complexe du cercle d’Euler
L’axe radical des cercles circonscrit et d’Euler
La droite de Steiner
L’ellipse circonscrite de Steiner
L’ellipse inscrite de Steiner
L’axe orthique
L’hyperbole de Kiepert
Arcs capables et cercles d’Apollonius
Équations tangentielles et lieux orthoptiques

Les transformations remarquables
L’inversion, analytique ou géométrique
L’inversion (ou homologie) harmonique
L’isogonalité
Comment elle agit sur les foyers
L’isotomie
La dualité, ou polarisation, « formelle »
Le point de Frégier
Les involutions de Frégier d’un cercle
Application au théorème de Pascal

Les courbes remarquables
Les hyperboles équilatères
Hyperboles équilatères et isogonalité
Hyperboles équilatères et théorème de Pascal
Hyperboles équilatères dans un faisceau tangentiel
À la gloire des cercles du plan euclidien

Les familles de coniques
Les faisceaux linéaires de coniques
La conique des « neuf » points
Les faisceaux tangentiels de coniques
Foyers des coniques d’un faisceau tangentiel
Les faisceaux (linéaires) de cercles
Quelques constructions relatives aux faisceaux
L’involution de Désargues
Les faisceaux concourants
Les réseaux de cercles

Les configurations remarquables
La droite de Simson et l’$H_3$ de Steiner
Droites de Simson passant par un point
Une belle figure
Une riche cubique
Les trois faisceaux d’Apollonius
Hyperboles équilatères dans un faisceau tangentiel
L’astuce de Morley
La configuration de Fermat-Torricelli
L’orthologie
Les quadrangles harmoniques
Les quadrangles équiharmoniques
L’alternative de Steiner
Les faisceaux concourants
La circonscription harmonique

Constructions géométriques

Paraboles passant par quatre points
Quatrième point d’intersection de deux coniques
Tangentes menées d’un point à une conique
Droites de Simson passant par un point
Les faisceaux des cercles
Cercle d’un faisceau passant par un point
Cercle d’un faisceau ayant un centre donné
Cercles d’un faisceau tangents à une droite donnée

Table des matières :

Avant-propos
Présentation

I Le calcul barycentrique
1. Rappels et conventions
2. Généralités
2.1 Notion de coordonnées barycentriques
2.2 Lien avec les coordonnées cartésiennes
2.3 Interprétation de l’égalité $x+y+z=0$
3 Interprétation géométrique des coordonnées barycentriques
3.1 Aires et coordonnées barycentriques
3.2 Un cas particulier
3.3 Le point de Lemoine
3.4 Les coordonnées trilinéaires
4 Les équations barycentriques
4.1 Notion d’équation barycentrique
4.2 Équations barycentriques des droites
4.3 Les équations barycentriques de degré supérieur à $2$ : un avant-goût
4.4 Parallélisme de droites
5 Alignement et concours
5.1 Condition d’alignement de trois points
5.2 Équations paramétriques de droites
5.2.1 Cas de la droite passant par deux points
5.2.2 Cas des droites d’un faisceau linéaire
5.3 Condition de concours de trois droites
6 Cas particuliers
7 Matrice d’une application affine
7.1 La formule matricielle
7.2 Vecteurs propres et points fixes
7.3 Les symétries centrales
7.4 Les homothéties-translations
7.5 Application : le cercle d’Euler
7.5.1 Définition du cercle d’Euler.
7.5.2 L’équation barycentrique du cercle d’Euler
8 Changement de triangle de référence
9 Un exemple d’homographie : l’inversion harmonique
10 Coordonnées barycentriques de quelques points remarquables
10.1 Les (!) centres de gravité
10.2 Le centre du cercle circonscrit
10.3 L’orthocentre
10.4 Le centre du cercle d’Euler
10.5 Les centres des cercles (ex)inscrits
10.6 Pour ne pas en rester là

II Les coniques
1 Introduction
2 Étude des coniques circonscrites
2.1 Les coniques circonscrites
2.2 Cinq points définissent une conique
2.3 Un petit Nullstellensatz
2.4 Le centre d’une conique circonscrite
2.5 Le genre d’une conique circonscrite
2.6 Les tangentes à une conique circonscrite
2.7 La conjugaison (harmonique) par rapport à une conique
2.8 Les asymptotes d’une hyperbole circonscrite
2.9 Directions conjuguées d’une conique
2.9.1 Milieux de cordes
2.9.2 Conjugaison et bilinéarité
2.9.3 Conjugaison et polarité
2.9.4 Le cas particulier des cercles
2.10 L’équation barycentrique du cercle circonscrit
2.11 Du côté de chez Leibniz
2.12 Les cercles du plan
2.13 L’axe radical de deux cercles. Version algébrique
2.14 Cercles possédant un triangle autopolaire donné
3 Autour du théorème de Pascal
3.1 Le théorème de Pascal
3.2 Un déterminant impressionnant... en apparence
4 Quelques résultats sur les coniques générales
4.1 Le théorème de Carnot
4.2 Alignement de trois images affines
4.2.1 Généralités
4.2.2 Des configurations particulières
4.2.3 La droite de Simson et l’hypocycloïde de Steiner
4.2.4 Deux constructions préparatoires
4.2.5 Le $H_3$ par la face Nord : le problème $P_1$
4.2.6 Le $H_3$ par la face Sud : le problème $P_2$
4.2.7 En guise de conclusion

III Correspondances remarquables liées à un triangle

1 L’inversion isotomique
1.1 Définition
1.2 Cas particuliers
2 Droites, coniques et inversion isotomique
2.1 L’inverse isotomique d’une droite cévienne
2.2 L’inverse isotomique d’une droite non cévienne
3 Application à des constructions géométriques
3.1 Combien de paraboles par quatre points
3.2 Secrets de fabrication. Les triangles autopolaires
3.3 Le quatrième point commun à deux coniques
4 Triangles et polarisation
4.1 La polaire triangulaire (ou trilinéaire)
4.2 La dualité, ou polarisation, « formelle »
4.2.1 Préliminaires
4.2.2 Dualité et constructions géométriques
4.2.3 Propriétés de la dualité
5 Définition de l’inversion isogonale
5.1 La preuve géométrique
5.2 La preuve par les homographies
5.3 Premières propriétés
6 Des couples célèbres
7 Droites, coniques et inversion isogonale
7.1 L’inverse isogonal d’une droite cévienne
7.2 L’inverse isogonal d’une droite non cévienne
8 Hyperboles équilatères circonscrites à un triangle
8.1 Propriétés générales
8.2 Théorème de Pascal et hyperboles équilatères
9 Deux exercices de révision
9.1 Les deux inversions
9.2 Des triangles d’aires égales

IV Les familles de coniques
1 Faisceaux linéaires de coniques circonscrites
1.1 Les faisceaux à quatre points de base
1.1.1 Faisceaux et inversion isogonale
1.1.2 La conique des neuf points
1.2 Les faisceaux de coniques tangentes
1.3 Coniques remarquables d’un faisceau
1.4 Le point de Frégier
1.5 Une belle figure
2 Applications des faisceaux linéaires
2.1 Discussion de l’existence d’un triangle autopolaire commun
2.2 Le cas des cercles et le théorème de Feuerbach
2.3 Faisceaux linéaires et conjugaison isogonale
2.3.1 Faisceaux et involutions quadratiques
2.3.2 Application à l’inversion isogonale
3 Points cycliques et foyers d’une conique inscrite
3.1 Une brève présentation des points cycliques
3.2 Coordonnées barycentriques des points cycliques
3.3 Foyers d’une conique inscrite
3.4 Foyers des coniques tangentes à quatre droites

V Utilisation des nombres complexes en Géométrie
1 Introduction
1.1 Présentation du chapitre
1.2 Conventions et rappels de notations
2 Généralités
3 Application des complexes à la Géométrie du triangle
3.1 L’aire d’un triangle
3.2 Quelques points et une configuration remarquables
3.3 Symétries et projections orthogonales
4 Deux exemples et des exercices
4.1 Intersection de droites et polarité
4.2 L’astuce de Morley
4.3 Un peu de théorie de Galois
4.4 Huit exercices
5 Homographies du plan complexe
5.1 Généralités
5.2 Homographies stabilisant le cercle-unité
5.3 Le groupe $\bf PO(\mathbb U)$
5.4 Les involutions de Frégier de $\mathbb U$
5.5 Génération de $\bf PO(\mathbb U)$ par les involutions de Frégier
5.5.1 Le cas $\beta \not =0$
5.5.2 Le cas $\beta =0$
6 Le théorème de Pascal
7 L’inversion
7.1 Définition
7.2 Le théorème de Ptolémée
8 Les triangles équilatéraux
8.1 Caractérisation des triangles équilatéraux par les affixes des sommets
8.2 Les centres isodynamiques
8.3 Quelques propriétés
8.4 La configuration de Fermat—Torricelli
8.5 Annexe
8.5.1 La fonction de Fermat
8.5.2 L’orthologie
8.5.3 Orthologie et isogonalité
9 Homographies, conformité et birapport
9.1 Les homographies en tant qu’applications conformes
9.2 Interprétation géométrique des homographies
9.3 Homographies, droites et cercles
9.4 Arcs capables et cercles d’Apollonius
9.5 Le birapport
9.5.1 Définition et formules
9.5.2 Birapport et permutations
9.5.3 Birapport et homographies
9.5.4 Les homographies, les involutions et leurs points fixes
9.5.5 Birapport, droites et cercles
9.5.6 Les quadrangles harmoniques
9.5.7 Harmonie, formes quadratiques et trace
9.5.8 Les quadrangles équiharmoniques
9.5.9 Formule des six birapports et applications
10 Corrigé des exercices

VI Les cercles du plan euclidien
1 Les équations formelles des cercles-droites
1.1 Polynômes et équations formelles
1.2 La forme quadratique fondamentale
1.3 Interprétation projective
1.4 Orthogonalité, contact, intersection, équation tangentielle
1.5 Homographies et forme quadratique fondamentale
1.6 La démonstration en suspens
1.7 Résumé des principaux résultats de ce paragraphe
2 L’axe radical. Version géométrique
2.1 Puissance d’un point par rapport à un cercle
2.2 Cercles laissés stables par une inversion
2.3 L’axe radical de deux cercles
3 Faisceaux de cercles
3.1 Définition et classification
3.2 Propriétés algébriques des faisceaux
3.3 Quelques constructions relatives aux faisceaux
3.3.1 Cercle d’un faisceau passant par un point
3.3.2 Cercle d’un faisceau ayant un centre donné
3.3.3 Cercles d’un faisceau tangents à une droite donnée
3.3.4 Centres d’homothétie et faisceaux
3.4 Action du groupe de Möbius sur les faisceaux
3.4.1 Prolégomènes algébriques
3.4.2 Étude géométrique
3.4.3 Applications
4 L’alternative de Steiner
4.1 Les coniques reviennent
4.2 Un détour par les enveloppes de cercles
4.3 Une chaîne de cercles
4.4 Et si la chaîne se refermait
4.4.1 La preuve classique
4.4.2 Une preuve algébrique
4.4.3 Pour aller plus loin
5 Voyage dans l’espace (des cercles-droites)
5.1 Exposé du problème
5.2 Les trois faisceaux d’Apollonius
5.3 Trois faisceaux concourants
5.4 Pour terminer en beauté
6 Corrigé des exercices

Annexe A. Compléments de calcul barycentrique
1 Vecteurs et coordonnées barycentriques
2 Nombre de droites de Simson passant par un point donné
3 Intersection d’une conique et d’une droite
3.1 Retour vers la classification des coniques
3.2 Caractérisation des hyperboles et de leurs asymptotes
4 Intersection d’une conique et d’une courbe algébrique
4.1 Représentation paramétrique d’une conique circonscrite
4.2 Un cas particulier du théorème de Bezout
4.3 Le théorème de Pascal
5 Tangentes à une courbe algébrique
5.1 L’identité d’Euler
5.2 L’équation d’une tangente
5.3 Tangentiel et inversion isogonale
5.4 L’équation tangentielle d’une conique
5.4.1 Généralités
5.4.2 Dualité, équations barycentriques et équations tangentielles
5.4.3 Dualité et théorème de Brianchon
5.4.4 Le cas des coniques inscrites
5.4.5 Retour sur un exercice
5.4.6 Équations tangentielles et lieux orthoptiques
5.5 Un mot sur les faisceaux tangentiels de coniques
5.5.1 Introduction
5.5.2 Les faisceaux tangentiels
6 Étude de la famille $\mathbf F$ de la section \bf \unskip \ref apotheose
7 Un exercice : hyperboles équilatères et faisceaux tangentiels
7.1 Énoncé
7.2 Corrigé
7.3 Remarques et compléments
7.3.1 La question de l’angle obtus
7.3.2 Le cas des cercles tangents
7.3.3 La circonscription harmonique
7.3.4 Le cas du parallélisme de $BB’$ et de $CC’$

Annexe B Axiomatisation des Géométries affine et projective
1 Notion d’espace affine
1.1 Espaces affines
1.2 Sous-espaces affines
1.3 Notion de bipoint
1.4 Applications affines
1.5 Formes affines
1.6 Bijections affines
1.7 L’espace des applications affines
1.8 Les espaces affines, canal historique
2 Bases affines
2.1 Notions de base et de repère affines
2.2 Coordonnées d’un point
2.3 Équations d’un sous-espace affine
3 Barycentres
3.1 Barycentre d’une famille finie de points massiques
3.2 Coordonnées barycentriques
3.3 Condition d’alignement
3.4 Équations barycentriques de droites
4 Complétion projective et complexification
4.1 Complétion projective d’un espace affine
4.2 Homographies
4.3 Extraction d’un espace affine d’un espace projectif
4.3.1 Les supplémentaires d’un sous-espace vectoriel
4.3.2 Faisons le point grâce à deux exercices
4.3.3 Un transport de structure
4.3.4 Principe d’utilisation de ces constructions
4.4 Complexification d’un espace vectoriel réel
4.5 Complexification d’un espace affine réel
4.6 Complexification d’un espace quadratique réel
4.7 Espaces affines réels euclidiens
4.8 Complétion projective complexe d’un espace affine euclidien
4.9 Retour sur le cercle circonscrit et les points cycliques
4.10 Coniques affines et coniques projectives
4.11 À quoi bon

Bibliographie
Notations
Index

— -

Index

A
Action simplement transitive
Alternative
de Poncelet
de Steiner
Antihomographie
Application affine
Axe
d’Euler
orthique
radical
radical d’un faisceau
B
Barycentre
Base affine
Bipoint
Birapport
Groupe du
C
Cabri
Caractéristique
d’un corps
Polynôme
Centre
de gravité
du cercle circonscrit
radical
Cercle
d’Apollonius
d’Euler
de rayon nul
réel
sans point réel
Cercle—droite
Cercles orthogonaux
Cévienne (droite)
Complété projectif
de $\CC$
Complexe
Affixe d’un
Image d’un
Complexifié
d’un espace affine
d’un espace quadratique
d’un espace vectoriel
Cône isotrope
Conique
Asymptote d’une
Centre d’une
circonscrite
dégénérée
des neuf points
équation bifocale
Genre d’une
inscrite
passant par cinq points
Points conjugués
Polaire d’un point
Pôle d’une droite
projective
Tangente à une
Conique harmoniquement
circonscrite
inscrite
Coniques
bitangentes
osculatrices
surosculatrices
Conservation des barycentres
Construction à la règle et au compas
Coordonnées barycentriques
normalisées
Courbe cycloïdale
Cubique
circulaire
courbe
elliptique
focale
Tangentiel d’un point d’une
D
Densité algébrique
Diamètre
conjugué
d’une conique
Directions conjuguées
Discriminant
Droite
affine
cévienne
d’Euler, (voir Axe d’Euler)
de Newton
de Simson
de Steiner
duale
Droite-point à l’infini
Dualité
E
Ellipse de Steiner
inscrite
Enveloppe (de droites, cercles)
Équation barycentrique
Équation formelle
Espace
affine euclidien
affine
projectif
F
Faisceau de cercles
à points de base
à points de Poncelet
à points—limites
concentriques
tangents
Faisceau orthogonal
Faisceaux de coniques
linéaires
tangentiels
Fonction symétrique
Forme quadratique fondamentale
Foyer singulier
Fraction rationnelle
Frégier
Involution de
Point de
G
Groupe
affine
de Möbius
des homographies
des similitudes
projectif
H
Harmonique
Conjugaison
Conjugué
Division
Quadrangle
Sextangle
Hermitienne (Forme, Matrice)
Homographie
Homologie harmonique
Homothéties
Homothéties-translations
Hyperbole de Kiepert
Hyperbole équilatère
Hyperplan à l’infini
Hypocycloïde de Steiner
I
Idéal homogène
Identité d’Euler
Inverse
isogonal
isotomique
Inversion
harmonique
analytique
géométrique
isogonale
isotomique
Involution quadratique
Isobarycentre
Isotrope
Cône
Droite
Vecteur
O
Orbite
équiharmonique
harmonique
singulière
Orthocentre
Orthogonaux
Cercles
Orthologie
P
Paraboloïde elliptique
Plan affine
Point
à distance finie
à l’infini
de Fermat-Torricelli
de Feuerbach
de Gergonne
de Lemoine
de Napoléon
dual
Point constructible
Points cycliques
Points de Lucas
Polaire triangulaire
Polynôme caractéristique
Polynôme homogène
Degré d’un
Problème de Délos
Ptolémée
Formule de
Puissance
d’un point par rapport à un cercle
d’une inversion
extérieure
Q
Quadrangle
équiharmonique
harmonique
Quadrilatère orthocentrique
Quadrilatère complet
Quadrique
R
Rebroussement (Point, Tangente de)
Repère affine
Réseau de cercles-droites
S
Sextangle harmonique
Signature
Sous—espace affine
engendré par une partie
Équations d’un
Steiner
Alternative de
Droite de
Ellipse circonscrite de
Ellipse inscrite de
Hypocycloïde de
Point de
Porisme de
Symédiane
Système de points massiques
T
Théorème
de Brianchon
de Carnot
de Ceva
de Feuerbach
de Menelaüs
de Pascal
de Witt
Trace d’une matrice
Translation
Triangle
acutangle
autopolaire
autopolaire commun
Centres isodynamiques
de référence
fondamental
médian
obtusangle
plein
V
Valeur propre
Vandermonde
Déterminant de
Vecteur
isotrope
Vectorialisé d’un espace affine
Vierergruppe
Z
Zariski
Topologie de

© Calvage-et-Mounet