Une application de la diagonalisation en physique

(d'après un cours de E. Trubowitz; page réalisée par B. Keller)

Considérons n masses identiques, mobiles sur un rail circulaire et reliées par des ressorts identiques. Voici l'exemple n=6 (nous ne dessinons pas le rail) :

dessin de masses reliées par des ressorts sur un cercle

Dans des coordonnées naturelles, l'équation de ce système est de la forme

(d/dt)2 x + A x=0

où x est le vecteur des positions des n masses et A est la matrice Id - (1/2)*(C + C-1), où C est la matrice compagnon du polynôme Xn-1. En particulier, C est circulaire, c'est-à-dire combinaison linéaire de puissances de la matrice C. Comme toute matrice circulaire, la matrice A se diagonalise facilement sur le corps des nombres complexes (les vecteurs (1, z, z2, ... , zn-1), où z parcourt les racines n-ièmes de l'unité, forment une base de vecteurs propres). On réduit ainsi le système ci-dessus à un système semblable de la forme

(d/dt)2 u+ D u=0

où la matrice D est diagonale à coefficients diagonaux positifs. Ce système est équivalent à n équations du type

(d/dt)2 ui+ d2i ui=0

dont la solution est immédiate :

Les solutions du système obtenues en prenant ui=0 sauf pour un seul i sont appelés des "états purs" du système. Quand le système se trouve dans un état pur, toutes les masses oscillent avec la même fréquence. On trouve ci-dessous une liste de liens sur les dessins de quelques états purs. Voici un état qui n'est pas pur. Le lecteur savant est invité à étudier l'action du groupe diédral d'ordre n sur les solutions vérifiant x(0)=0.

Les calculs ont été faits à l'aide de Maple. Les dessins ont été regroupés en gifs animés à l'aide de GIF Animator. Le fichier etats.txt contient les définitions des procédures Maple utilisées. Le fichier exemple.txt contient les commandes qui produisent les dessins de deux solutions pour n=4 (un état pur et un état mixte).

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Rached Mneimné, le 11 novembre 1998.
mneimne@math.jussieu.fr